Ruch obrotowy
Ruch obrotowy
Wykład 6
1
Wrocław University of Technology
03-XII-2011
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Obroty - definicje
Ciało sztywne to ciało które obraca się w taki sposób, \
e wszystkie jego części są
związane ze sobą dzięki czemu kształt ciała nie ulega zmianie.
Ka\
dy punkt tego ciała porusza się po okręgu, którego środek le\
y na osi obrotu i
ka\
dy punkt zakreśla w ustalonym czasie taki sam kąt. W ruchu postępowym
ka\
dy punkt ciała porusza się po linii prostej i doznaje w ustalonym czasie
takiego samego przemieszczenia liniowego.
Kierunek
obrotu
2
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Poło\
enie kątowe
Poło\
eniem kątowym nazywamy kąt, jaki tworzy linia zakreślająca poło\
enie ciała
na okręgu z pewnym stałym kierunkiem, wybranym za kierunek o zerowym
poło\
eniu kątowym.
s
� = , s = r�
r
1 rad : s = r
s
1 rad : s = r
� = , s = r�
r
3
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Poło\
enie kątowe
Kąt jest tu mierzony w radianach (rad). Radian jest równy stosunkowi dwóch
wielkości o wymiarze długości, jest zatem liczbą bezwymiarową. Obwód
okręgu o promieniu r jest równy 2Ąr więc kąt pełny ma 2Ą radianów:
2Ąr
360� = = 2Ą rad
1 pełny obrót =
r
1rad = 57.3� = 0.159 = 1 pełnego obrotu
Kąt � nie przybiera znów wartości zero po ka\
dym pełnym obrocie linii odniesienia
wokół osi obrotu. Mówimy, \
e po dwóch pełnych obrotach linii odniesienia, od
zerowego poło\
enia kątowego, poło\
enie kątowe � jest równe � = 4Ą rad.
4
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Przemieszczenie kątowe
Przesunięcie kątowe jest dodatnie, jeśli obrót zachodzi w kierunku przeciwnym
do kierunku ruchu wskazówek zegara, a jest ujemne, jeśli obrót zachodzi w
kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara.
"�
"� = �2 -�1
�2
�1
5
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Prędkość i przyspieszenie kątowe
Średnia prędkość kątowa Chwilowa prędkość kątowa
�2 -�1 "�
"� d�
�śr = =
�chw = lim =
t2 - t1 "t
"t0
"t dt
Średnie przyspieszenie kątowe Chwilowe przyspieszenie kątowe
�2 -�1 "�
"� d�
�śr = =
�chw = lim =
t2 - t1 "t
"t0
"t dt
�chw �chw
6
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Prędkość i przyspieszenie kątowe
Czy są to wielkości wektorowe?
REGUA
A PRAWEJ DA
ONI
7
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Równania ruchu
RUCH POST
POWY RUCH OBROTOWY
v = v0 + at
� = �0 + � t
1
1
2
2
x = x0 + v0t + at
� = �0 + �0t + � t
2
2
2
2 2
v2 = v0 + 2a(x - x0 )
� = �0 + 2�(� -�0 )
8
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Związek zmiennych liniowych z kątowymi
Poło\
enie
(miara łukowa)
s = � �" r
Prędkość
ds d� dr d�
= r + � = r
dt dt dt dt
{
0
v = � �" r
Wektor prędkości liniowej jest zawsze styczny do toru cząstki.
Okres obrotu T, odnoszący się zarówno do ruchu ka\
dego punktu ciała, jak i do
ciała sztywnego jako całości, jest dany wzorem:
2Ą r 2Ą
T = =
v �
9
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Związek zmiennych liniowych z kątowymi
Przyspieszenie
dv d�
= r
dt dt
Wielkość dv/dt, stanowi tylko cześć przyspieszenia liniowego - tę część, która
jest związana ze zmianą wartości bezwzględnej v wektora prędkości liniowej v.
Ta część (składowa) przyspieszenia liniowego jest - podobnie jak v - styczna do
toru rozwa\
anego punktu. Będziemy ją nazywać składową styczną przyspieszenia
liniowego ast punktu.
ast = � �"r
ast = � �" r
Druga składowa przyspieszenia liniowego
powoduje zmianę kierunku wektora prędkości
liniowej v i nazywa się składowo radialną
przyspieszenia liniowego:
v2
arad = = �2 �" r
10
r
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
Energia kinetyczna obracającego się ciała:
n
1 1 1 1
2 2 2
Ek = m1v1 + m2v2 + m3v3 +... = mivi2
"
2 2 2 2
i=1
vi nie jest takie samo dla wszystkich cząstek.
n n
1 1 1
2
Ek = mi(�ri) = (miri2)�2 = I�2
" "
2 2 2
i=1 i=1
gdzie � jest jednakowe dla wszystkich cząstek.
Wyra\
enie w nawiasie informuje, jak rozło\
ona jest masa obracającego się ciała
wokół osi jego obrotu. Wielkość tę nazywamy momentem bezwładności ciała
względem danej osi obrotu i oznaczamy ją symbolem I. Jest to wielkość stała dla
danego ciała sztywnego i określonej osi obrotu.
11
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Energia kinetyczna w ruchu obrotowym
" Masa bli\
ej osi " Masa dalej od osi
" Mały moment bezwładności " Du\
y moment bezwładności
" A
atwo rozkręcić " Trudno rozkręcić
12
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Moment bezwładności
Moment bezwładności
n
I =
"m ri2
i
i=1
Jednostką momentu bezwładności I w układzie SI, jest kilogram razy metr do
kwadratu (kg " m2).
Jeśli ciało sztywne składa się z wielu blisko siebie poło\
onych cząstek (czyli
jest ciałem rozciągłym) wtedy:
2
I =
+"r dm
Twierdzenie Steinera
Jeśli znamy moment bezwładności IŚM tego ciała względem osi równoległej do danej
osi i przechodzącej przez środek masy ciała.
Moment bezwładności względem osi danej jest równy:
I = IŚM + mh2
13
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Moment bezwładności
Jednorodny pręt, oś Ą" do długości
Ą"
Ą"
Ą"
" Cienki jednorodny pręt o masie M i długości L.
" Wybieramy element masy o długości dx w
odległości x od osi obrotu O. Stosunek dm do
całej masy M jest równy stosunkowi długości
dx do całej długości L:
dm dx
M
=
dm = dx
M L
L
L-h
L-h
�ł łł
�ł �ł
M M x3 �łśł 1
�ł
x2dm = x2dx = = M (L2 - 3Lh + 3h2)
�ł
+" +"
�ł �ł
L L 3 3
�ł łł
-h
�ł �ł-h
" Przesuwając poło\
enie osi O mo\
na obliczyć moment bezwładności
14
pręta względem dowolnej osi.
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Moment bezwładności
Pierścień
" Jednorodny cylinder o długości L, promieniu
wewnętrznym R1, i zewnętrznym R2. Oś obrotu jest
osią symetrii.
" Wybieramy cieńkie cylindry o promieniu r, grubości
dr, i długości L. Objętość takiego elementu:
dm = �dV = �(2ĄrLdr)
R2 R2
2Ą�L
2 2 3 4
+"r dm = +"r �(2ĄrLdr) = 2Ą�L+"r dr = 4 (R2 - R14) =
R1 R1
Ą�L
2
2 2
V = ĄL(R2 - R12)
= (R2 - R12)(R2 + R12)
2
1
2
I = M (R2 + R12)
15
2
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Moment bezwładności
Momenty bezwładności brył sztywnych
PR
T PA
YTA PROSTOK
TNA
16
PIERŚCIEC
WALEC OBR
CZ KULA SFERA
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Moment siły
Zdolność siły F do wprawiania ciała w ruch obrotowy zale\
y nie tylko od
wartości jej składowej stycznej Fst, lecz tak\
e od tego, jak daleko od punktu O jest
ona przyło\
ona. Aby uwzględnić obydwa te czynniki, definiuje się wielkość M
zwaną momentem siły, jako iloczyn:
M = (r)(F sin Ś)
Moment siły mo\
na rozumieć jako miarę zdolności siły F do skręcania
ciała. Jednostką momentu siły w układzie SI jest niuton razy metr (N " m).
Uwaga:
niuton razy metr jest równie\
jednostką pracy; moment siły i praca są to jednak
zupełnie ró\
ne wielkości, których nie wolno ze sobą mylić - pracę wyra\
a się
często w d\
ulach (1 J = 1 N " m), czego nigdy nie robi się w odniesieniu do
momentu siły.
17
Ruch obrotowy 03.XII.2011
II zasada dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego
Moment siły mo\
e spowodować obrót ciała sztywnego.
M = I �"�
wyp
Dowód:
Na cząstkę działa siła F. Cząstka mo\
e poruszać się jedynie po okręgu,
dlatego te\
jej przyspieszenie wzdłu\
toru pochodzi tylko od składowej stycznej
Fst, siły (tzn. składowej, która jest styczna do toru cząstki).
Fst = m�" ast
Moment siły działającej na cząstkę jest dany wzorem
M = Fst �" r = mast �" r = m(� r)r = (mr2)� = I�
18
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Praca i energia kinetyczna ruchu obrotowego
Związek zmiany energii kinetycznej "Ek ciała z pracą W, wykonaną nad
układem jest dany przez
2
2
I�k I�p
"Ek = Ekk - Ekp = - = W
2 2
Gdy ruch zachodzi jedynie wzdłu\
osi x, praca definiuje się:
�k
W =
+"Md�
�
p
Szybkość, z jaką jest wykonywana praca jest to moc:
dW
P = = M �"�
dt
19
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Porównanie
RUCH RUCH
POST
POWY OBROTOWY
x
poło\
enie poło\
enie kątowe
�
prędkość vx = dx dt prędkość kątowa
� = d� dt
przyspieszenie przyspieszenie kątowe
ax = dvx dt � = d� dt
masa m moment bezwładności
I
M = I�
II zasada dynamiki II zasada dynamiki
Fwyp = ma
wyp
W =
W = Fdx
praca praca
+"Md�
+"mv
2
I�2
energia kinetyczna energia kinetyczna
Ek = Ek =
2 2
moc moc
P = F �"v
P = M �"�
W = "Ek
związek pracy z energią W = "Ek związek pracy z energią
20
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Toczenie się ciał
s = � �" R
vŚM = � �" R
Chwilowa Oś obrotu P
Ruch Ruch
Toczenie
+ =
obrotowy postępowy
21
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Energia kinetyczna ruchu obrotowego
Jeśli potraktujemy ruch kola jako ruch wyłącznie obrotowy wokół osi
przechodzącej przez punkt P, wtedy otrzymamy:
IP�2
Ek =
2
przy czym � jest prędkością kątową koła, a IP  momentem bezwładności
koła względem osi, przechodzącej przez punkt P. Z twierdzenia Steinera, czyli
równania I = IŚM + mh2 dostajemy:
IP = IŚM + mR2
gdzie m jest masą koła, IŚM  jego momentem bezwładności względem osi
przechodzącej przez środek masy koła, a R (promień koła) jest odległością tych
dwóch osi obrotu (h).
2
IŚM�2 mR2�2 IŚM�2
mvŚM
Ek = + = +
2 2 2 2
22
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Toczenie się ciał po równi pochyłej
Ciało toczy się bez poślizgu, więc
mo\
emy skorzystać z równania:
fs - mg sin� = maŚM
- aŚM = �R
Rfs = IŚM�
stąd
IŚM aŚM
fs = -
R2
ostatecznie
g sin�
aŚM = -
IŚM
1+
mR2
23
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Moment pędu
przeniesiona do O
r
r r
L(� ) = r � p = rp sinĆ
II zasada dynamiki Newtona
r
r
dL
= M
dt
24
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Zachowanie momentu pędu
Jeśli na układ nie działa \
aden wypadkowy moment siły, to równanie przybiera
postać dL/dt = 0, co oznacza, \
e:
r
L = const.
Całkowity moment Całkowity moment
pędu w pewnej chwili pędu w pewnej chwili
=
początkowej tpocz końcowej tkon
r r
Lpocz = Lkon
Jeśli działający na układ wypadkowy moment siły jest równy zeru, to całkowity
moment pędu L układu nie zmienia się niezale\
nie od tego, jakim zmianom
podlega układ.
25
Ruch obrotowy 03.XII.2011
Moment pędu
r  Śruby"
r
 obroty"
L = I�
26