Mateusz
14.06.2013
Fizyka metali  laboratorium
Franckowiak
Ocena:
Rok 1 magisterski
Odlewnictwo 1
Wyznaczanie modułu sztywności metodą wahadła
torsyjnego
L 6
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodą wyznaczenia modułu sztywności dla
metali i stopów, metodą wahadła torsyjnego.
2. Wstęp teoretyczny
Odkształcenie sprężyste - odkształcenie, które ustępuje po usunięciu siły, która je
spowodowała. Siła, która powoduje, że odkształcenie jest sprężystym nosi nazwę siły
sprężystości. Odkształcenie sprężyste metali zachodzi poprzez przemieszczanie się atomów na
odległości nie większe niż odległości sieciowe, dzięki czemu nie następują zasadnicze zmiany
w ułożeniu atomów w sieci.
Oscylator harmoniczny - model teoretyczny w naukach ścisłych opisujący układ
w parabolicznym potencjale  potencjał oscylatora harmonicznego, bądz
krócej potencjał
harmoniczny, czyli kwadratowa zależność potencjału od odległości , gdzie r jest odległością
w N-wymiarowej przestrzeni, N zależy od konkretnej realizacji modelu. Ze względu na skalę
modelowanych zjawisk wyróżnia się klasyczny oscylator harmoniczny oraz kwantowy
oscylator harmoniczny.
Sprężystość  właściwość fizyczna ciał odzyskiwania pierwotnego kształtu i wymiarów
po usunięciu sił zewnętrznych wywołujących zniekształcenie  czyli zmianie tensora naprężeń
towarzyszy zmiana tensora odkształceń i odwrotnie, przy czym zmiany te są w pełni
odwracalne. Istotną cechą sprężystości jest zachowanie energii.
Ścinanie  odkształcenie ciała spowodowane naprężeniem stycznym do jego
powierzchni. W wytrzymałości materiałów, ścinanie traktuje się również jako stan obciążenia
spowodowany takimi naprężeniami. Naprężenie styczne do powierzchni ciała nazywane jest
naprężeniem ścinającym.
Ściskanie osiowe - w wytrzymałości materiałów definiujemy dwa podstawowe przypadki
ściskania osiowego:
" Ściskanie czyste pręta, w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego
i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o stałej gęstości o zwrocie
przeciwnym do wektora normalnego powierzchni ścianki poprzecznej (prostopadłym do
ścianki, skierowanym do wewnątrz). Dla tego przypadku wytrzymałościowego znane jest
rzeczywiste rozwiązanie zagadnienia brzegowego liniowej teorii sprężystości.
" Ściskanie proste pręta, które różni się od ściskania "czystego" tym, że obciążenie
zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości i współliniowych sił
skupionych, działających w osi tego pręta. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest
praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie
zagadnienia czystego ściskania przyjmując, że
gdzie A oznacza pole przekroju poprzecznego pręta.
Rozciąganie osiowe - w wytrzymałości materiałów definiujemy dwa podstawowe
przypadki rozciÄ…gania osiowego:
" Rozciąganie czyste pręta, w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego
i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o stałej gęstości o zwrocie
zgodnym z wektorem normalnym powierzchni ścianki poprzecznej (prostopadłym do ścianki,
skierowanym na zewnątrz). Dla tego przypadku wytrzymałościowego znane jest rzeczywiste
rozwiązanie zagadnienia brzegowego liniowej teorii sprężystości.
" Rozciąganie proste pręta, które różni się od rozciągania "czystego" tym, że obciążenie
zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości i współliniowych sił
skupionych, działających w osi tego pręta. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest
praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie
zagadnienia czystego rozciągania przyjmując, że
gdzie A oznacza pole przekroju poprzecznego pręta.
Prawo Hooke a  prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia.
Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost
proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany
współczynnikiem (modułem) sprężystości.
Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke a jest rozciąganie statyczne pręta.
Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta,
do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta.
Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E.
gdzie:
F  siła rozciągająca, S  pole przekroju, "l  wydłużenie pręta, l  długość początkowa.
Moduł Younga - wielkość określająca sprężystość materiału. Wyraża ona,
charakterystycznÄ… dla danego materiaÅ‚u, zależność wzglÄ™dnego odksztaÅ‚cenia liniowego µ
materiaÅ‚u od naprężenia Ã, jakie w nim wystÄ™puje w zakresie odksztaÅ‚ceÅ„ sprężystych.
JednostkÄ… moduÅ‚u Younga jest paskal, czyli N/m².
Moduł Kirchhoffa - współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od
naprężenia, jakie w nim występuje. Jednostką modułu Kirchhoffa jest paskal. Jest to wielkość
określająca sprężystość materiału.
gdzie Ä - naprężenia Å›cinajÄ…ce, Å‚ - odksztaÅ‚cenie postaciowe
Moduł Kirchhoffa dla materiałów izotropowych bezpośrednio zależy od modułu Younga
i współczynnika Poissona:
gdzie Å - współczynnik Poissona, E - moduÅ‚ Younga
Wahadło  ciało zawieszone lub zamocowane ponad swoim środkiem ciężkości
wykonujące w pionowej płaszczyz
nie drgania pod wpływem siły grawitacji. W teorii
mechaniki rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:
" matematyczne
" fizyczne
W wahadle matematycznym poruszające się ciało jest punktem materialnym,
zawieszonym na nieważkiej, nierozciągliwej nici o długościl. Ruch ciała ograniczony nicią jest
ruchem po okręgu. Równanie ruchu wahadła określa wzór:
Wahadło fizyczne
Bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej
ponad środkiem ciężkości tej bryły.
Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:
Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:
wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła
gdzie:
d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości, g - przyspieszenie ziemskie, I -
moment bezwładności ciała względem osi obrotu, m - masa ciała.
Moment bezwładności  miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem
określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy
ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności
odgrywa prawie takÄ… samÄ… rolÄ™ w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu
postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością
kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności
zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.
gdzie:  masa punktu,  odległość punktu od osi obrotu, - prędkość kątowa.
3. Przebieg ćwiczenia
Podczas zajęć laboratoryjnych, wyznaczenie modułu sztywności przeprowadzono za
pomocą wahadła torsyjnego (rys.1.)
Rys.1. Wahadło torsyjne
Badaniu poddano próbkę pręt stalowy i przeprowadzono je zgodnie z wytycznymi
zawartymi w instrukcji do przeprowadzenia laboratorium. Uzyskane wartości umieszczono
w tabeli 1.
Tabela 1.
Badany
m [kg] R [m] r [m] L [m] t [s] N [cykl] Tn[s/cykl]
materiał
stal 2,1 0,13 0,001 0,85 300 160 1,875
gdzie: t  czas drgań wahadła, N  liczba cykli, m  masa wahadła, R  promień krążka, L 
długość pręta, r  promień pręta.
Moduł sztywności wyliczono ze wzoru:
4. Wnioski
Na podstawie przeprowadzonych badań można sformułować następujące wnioski:
1. Przy użyciu wahadła torsyjnego możliwe jest w prosty sposób określenie modułu
sztywności badanego stopu.
2. Wadą tej metody jest ograniczenie co do wielkości badanej próbki (dla odlewu potrzeba
by próbki o długości kilku pięter, aby ramię, a tym samym i moment siły pozostał stały
mimo skręcania się dolnego końca pręta).