Nazwisko i imiÄ™ Grupa Data
1. Udowodnić, że monetami o nominale 3 i 5 złotych można wypłacić każdych n złotych, gdzie n e" 8.
2. Wykazać indukcyjnie, że | sin (nx)| d" n sin (x) dla każdej liczby naturalnej n, gdzie x " R.
1 1 1 13
3. Indukcyjnie udowodnić nierówność + + · · · + > dla każdej liczby naturalnej n e" 2.
n+1 n+2 2n 24
4. Indukcyjnie wykazać, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n mamy następujące podzielności:
a) 14|(103n+2 - 2(-1)n);
b) 169|(33n - 26n - 1).
5. Dana jest funkcja f: Z N+, gdzie

2x + 1 dla x e" 0
f(x) =
-2x dla x < 0
a) Wykazać, że funkcja odwrotna f-1 istnieje.
b) Wyznaczyć f-1(2006) i f-1(2007).
6. Dane sÄ… funkcje f: A B i g: B C.
a) Wykazać, że jeśli funkcja g ć% f jest injekcją, to funkcja f jest injekcją.
b) Wykazać, że jeśli funkcja g ć% f jest surjekcją, to funkcja g jest surjekcją.
7. Wykazać, że funkcja f: R R, gdzie f(x) = 3x3 - x, nie jest różnowartościowa, ale jest surjekcją.
7. Wykazać, że funkcja f: Z Z, gdzie f(x) = 3x3 - x, jest różnowartościowa, ale nie jest surjekcją.