III. Analiza przypadków wytrzymałościowych pręta
Dane:
rozkład sił wewnętrznych w konstrukcji prętowej (belka, rama, kratownica)
geometria pręta
cechy materiału (prawo Hooke a)
podpory
Szukamy:
rozkładu naprę\
eń
odkształceń
przemieszczeń
Geometria elementów konstrukcji:
ciało 3D
płyta, tarcza, powłoka (2D)
pręt (1D)
pręt prosty i pryzmatyczny
(1D)
Cecha definiująca-
Jeden z wymiarów geometrycznych elementu jest znacznie większy od pozostałych
LX>>LY,LZ
LY
X dowolny przekrój
LZ
poprzeczny,
Y
charakterystyki
potrafimy
Z
LX
wyznaczyć
oś pręta (oś X) = oś przechodząca przez
środki cię\
kości przekrojów poprzecznych (za chwile oka\
e się dlaczego)
(Y,Z)  wygodnie (oka\
e się wkrótce dlaczego)
jest przyjąć osie główne bezwładności przekroju poprzecznego
wtedy YX, ZX są płaszczyznami głównymi
mogą te\
być inne typy prętów:
-pręty zakrzywione (łuki) -pręty o zmiennym przekroju
(nie-pryzmatyczne)
Siły wewnętrzne, przypadek ogólny
[ ]
Znakowanie sił wewnętrznych
"X
w przyjętym układzie współrzędnych
X
x "x
MO (MX , MY , MZ)
O
S (N, QY, QZ )
Z
Y
Siła osiowa
N
MZ
XZ
X
XY MX
Y
Moment
QY
Z QZ MY
skręcający
Siły poprzeczne
Dodatnie (+) na rysunku
Momenty zginające w dwóch
płaszczyznach głównych
Obowiązuje:
zasada zesztywnienia (małe przemieszczenia)
małe odkształcenia
materiał liniowo-sprę\
ysty
więzy dwustronne
=> zasada superpozycji (konsekwencja liniowości)
Ka\
dą składową analizujemy oddzielnie, wyniki dodajemy
1. Siła osiowa N
2. Momenty zginające MY,MZ
3. Siły poprzeczne QY,QZ
4. Moment skręcający MX
1.Siła osiowa (normalna, podłu\
na)
N>0, siła rozciągająca
X
Z
Y
X
N<0, siła ściskająca
Z
Y
Jaki rozkład naprę\
eń będzie panował w całym przekroju?
Załó\
my ze jest to:jednorodny (stały), jednoosiowy stan naprę\
eń, statycznie
równowa\
ny tej sile. Warunki statycznej równowa\
ności to:
sumy równe:
N =
XX XX XX
+"� dF = � +"dF = � F
F F
moment od naprę\
eń=0:
dMO = r � dp = (0, y, z)�(� dF,0,0)=
XX
�ł 0 z 0 y �ł
�ł0, - �ł
= , =
�ł �ł
� dF 0 � dF 0
XX XX
�ł łł
r = (0, y, z)
= (0, z� dF, - y� dF)
O
XX XX
MO =
O
+"dM = 0 = (0,0,0) :
dp = (� dF,0,0)
XX
F
MY = z� dF = � zdF = � SY = 0 �! SY = 0
XX XX XX
+" +"
F F
M = - y� dF = -� ydF = -� SZ = 0 �! SZ = 0
Z XX XX XX
+" +"
F F
jest to mo\
liwe tylko gdy wypadkowa sił wewnętrznych N przechodzi przez
środek cię\
kości przekroju poprzecznego
N
N = � F �! � =
XX XX
F
stan naprę\
enia:
N
�ł
0 0łł
�ł śł
F
�ł
� = 0 0 0śł
�ł śł
0 0 0
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
stan odkształcenia (prawo Hooke a):
N
�ł łł
0 0
�ł śł
EF
�ł śł
- vN
�ł
� = 0 0 śł
EF
�ł śł
- vN
�ł śł
0 0
�ł śł
EF
�ł �ł
Przemieszczenia
(w ogólności zale\
ą od warunków podparcia, w praktyce interesują nas tylko uX)
uX = 0
wykres
X
siły osiowej
l x
+
Nx
uX =
XX XX
+"� dx =� x = EF
0
Nl Pl
uX = "l = =
EF EF
N(x)= P = const
P
Energia sprę\
ysta w pręcie ściskanym / rozciąganym
N(x), � = N(x)
� = �(x)= = E�(x)
XX XX
EF F
l
1 1
N 2
ES = E� dFdx =
XX XX
+"� � dV = 2 +"+"
2
&! 0 F
F
}
l 2
1 N(x)
= E
2
+" +"dF dx =
2
(EF)
0 F
l 2 l
1 N(x) 1
= dx =
+" +"�(x)N(x)dx
2 EF 2
0 0
�
odkształcenie uogólnione
siła osiowa -naprę\
enie uogólnione
N
Praca wirtualna sił wewnętrznych w pręcie ściskanym / rozciąganym
l
N
�W =
+"�� �" Ndx
0
Przykład 1 Znalez
ć naprę\
enia i przemieszenia w p. A i B pręta stalowego
F = 20cm2, E = 205GPa, l = 3.0m
N :
[kN]
N1 150 kN
�1 = = = 7.5�"104kPa = 75.0MPa
150 F 20�"10-4 m2
1
N2 50 kN
l
2
�2 = = = 2.5�"104kPa = 25.0MPa
+
P2 =100kN
F 20�"10-4 m2
A
N1 l �1 l
50
uA = = =
1
EF 2 E 2
l
2
75.0 3.0 MPa �" m
= �" = 5.48�"10-4m
205�"103 2 MPa
B
P1 = 50kN
N1 l N2 l �1 l �2 l
uB = + = + =
EF 2 EF 2 E 2 E 2
75.0 + 25.0 3.0 MPa �" m
= �" = 7.31�"10-4m
205�"103 2 MPa
Zagadnienia techniczne dla rozciągania (lub ściskania prętów nie podlegającym
wyboczeniu)
N
� =
F
(konstrukcje metalowe)
-wytrzymałość obliczeniowa dla stali
fd = (200 � 350)[MPa]
Typy zadań:
Nmax
Sprawdzanie naprę\
eń w przekroju:
�max = d" fd
F
Nmax
Wymiarowanie (określenie przekroju):
F e" Fmin =
fd
Określenie granicznego obcią\
enia:
N d" Ngr = F �" fd
Przykład 1 c.d.
fd = 215MPa
a) Sprawdzić nośność pręta z p.1 ,
Nmax
N1 150 kN
�max = = �1 = = =
F F 20�"10-4 m2
= 7.5�"104kPa = 75.0MPa d" fd = 215MPa
b) Dobrać powierzchnię przekroju:
Nmax
150 kN
F e" Fmin = = =
fd 215 MPa
150 kN
= 6.97 �"10-4m2 = 6.97cm2
215�"103 kNm-2
c) Określić obcią\
enie graniczne:
N d" Ngr = F �" fd = 20�"10-4 �"215 m2 �" MPa
m2MN
= 0.4300 = 430kN
m2
Przykład 2.
Na końcach pręta o długości i przekroju znajdują się sprę\
yny
E, F
2l
kompensacyjne o sztywności k. Jakie powstanie w nim naprę\
enie przy podgrzaniu o
"T
nie odkształcalne ściany
E, F,ą
N kN
�ł łł
k =
�ł śł
" m
�ł �ł
k
k
2l
d
l
Symetria zadania,
schemat połówkowy
d + "
l + "l
Odrzucamy więz (myślowo),
N
Jego działanie zastępujemy
siłą N, wstępnie przyjętą jako
rozciągającą
W rzeczywistości więz działa,
stąd wydłu\
enie całego układu:
"l + " = 0
N
�l + = 0
k
"l + " = 0
N
�l + = 0
k
� N
�ł �łl
+ ą"T + = 0
�ł �ł
E k
�ł łł
N N
�ł �łl
+ ą"T + = 0
�ł �ł
EF k
�ł łł
l 1 EFk 1
�ł
N�ł + = -ą"Tl �! N = -ą"Tl �! � = -Eą"T
�ł �ł
EF
EF k lk + EF
�ł łł
1+
kl
0.8 EF
0
Przy małych jak dla podpór
1
kl
0.6
1
sztywnych
EF
� -Eą"T
1+ x
1+
0.4
kl
0.2
EF
EF
Przy du\
ych
", � 0
0 kl
kl
0 2 4 6 8 10
x