SPRĘŻYSTOŚĆ CIAŁ

Zadanie 9.1

Jaki jest współczynnik sprę­żystości sprężyny, która pod cięża­rem o masie m = 3 kg rozciągnęła się o

Δl = 5 cm?

Odp. K = 598 n/M

Zadanie 9.2

Dwie jednakowe sprężyny o współczynniku sprężystości k połą­czono tak, że otrzymano jedną sprężynę dwa razy dłuższą. Jaki będzie współczyn­nik sprężystości tej długiej sprężyny?

a) 0,5 • k b) k

c) 2 • k d) k²

Zadanie 9.3

Długą sprężynę o współ­czynniku sprężystości k powieszono pod sufitem i rozciągnięto siłą F o pewną długość Δx. Sprężynę tę podzielono na­stępnie na trzy równe części i powieszo­no je obok siebie, w równych odległo­ściach, pod sufitem. Za pomocą listewki o masie do pominięcia rozciągnięto jed­nocześnie te trzy sprężyny siłą F taką jak poprzednio. O ile teraz wydłuży się każda ze sprężyn?

a) o ¹/₉ Δx b) o ¹/₃ Δx

c) o Δx d) o

Zadanie 9.4

Na gładkim stole (leżą dwa ciężarki o masach m₁ i m₂ połączone sprę­żyną o współczynniku sprężystości k. Jaka siła F działająca poziomo, przyłożona do pierwszego ciężarka spowoduje wy­dłużenie sprężyny o Δl? Załóż, że cię­żarki mogą poruszać się bez tarcia.

Zadanie 9.5

Dwie sprężyny o jednako­wych długościach rozciągane są jedna­kową siłą F. Jedna z nich, o współczynni­ku sprężystości k₁ =500 N/m, zwiększyła swoją długość o Δl₁ = 2 cm. Jaki jest współczynnik sprężystości drugiej sprę­żyny, jeżeli rozciągnęła się o l₂ = 5 cm?

a) 100 N/m b) 200 N/m

c) 400 N/m d) 500 N/m

Zadanie 9.6

Dwie sprężyny o jednako­wych długościach i współczynnikach sprężystości k₁ =400 N/m i k₂=600 N/m powieszono tak, że swobodnie zwisały w odległości l = 0,8 m od siebie. Do dol­nych końców sprężyn przyczepiono po­ziomą, metalową listewkę, o pomijalnej masie. W jakiej odległości x od jednego z końców listewki należałoby powiesić ciężarek, aby listewka pozostała pozioma?

Odp. x = 0,48 m

Zadanie 9.7

Przez nieruchomy bloczek przerzucono nić i do jednego jej końca doczepiono ciężarek o masie m₁ = 60 g, a do drugiego końca przymocowano sprężynę o długości l = 15 cm i do niej ciężarek o masie m₂ = 100 g. Jaka bę­dzie długość sprężyny, gdy ciężarki m₁ i m₂ będą się poruszać? Uwaga: spręży­na ta pod działaniem siły o wartości F = 0,2 N wydłuża się o Δl = 3 cm.

Odp. l + x = 26,2 cm

Zadanie 9.8

Na rysunku 9.1. przedstawio­no układ sprężyna-ciężarek będący w równowadze, który znajduje się na wózku. W pewnej chwili wózek zaczął się poruszać z przyspieszeniem o war­tości a, co spowodowało odchylenie cię­żarka o kąt α w stronę przeciwną do ru­chu wózka. Jak zachowa się sprężyna?

a) jej długość się nie zmieni

b) ściśnie się

c) rozciągnie się

d) zacznie okresowo ściskać się i rozciągać

Zadanie 9.9

Do jednego końca nici prze­rzuconej przez nieruchomy bloczek przyczepiony jest ciężarek o masie

m₁ = 75 g, a do drugiego - sprężynka z przy­mocowanym do jej dolnego końca dru­gim ciężarkiem o masie m₂ = 150 g. W czasie ruchu ciężarków długość sprę­żyny wynosi l₁ = 15 cm. Jaka jest dłu­gość sprężyny nierozciągniętej? Pod działaniem siły F₀ = 10 N sprężyna ta wydłuża się o Δl = 20 cm.

Odp. l = 13 cm

Zadanie 9.10

Na rysunku 9.2. przedsta­wiono zależność wydłużenia sprężyny Δx od wartości F przyłożonej siły. Na podstawie tego wykresu oblicz pracę, jaką trzeba wykonać, aby rozciągnął sprężynę o Δx = 5 cm.

Odp. W = 0,25 J

Zadanie 9.11

Sprężyna łączy sobą dwa ciężarki o masach m i M. Jeżeli powiesi się układ, przyczepiając ciężarek m do sufitu, to długość sprężyny wynosi l₁ (rysunek 9.3a). Jeżeli postawi się układ na stole tak, żeby ciężarek M był na dole, to długość sprężyny wynosi /₂ < l₁ (rysunek 9.3b.). Jaka jest długość sprę­żyny /₀ w stanie nienaprężonym?

Zadanie 9.12

Niewielki ciężarek o masie m podnoszony jest na gumowej lince pio­nowo do góry z przyspieszeniem a₁ następnie zaś opuszczany z takim samym przyspieszeniem. Współczynnik spręży­stości linki wynosi k. Oblicz różnicę dłu­gości linki l₁ - l₂, gdzie l₁ - długość linki podczas podnoszenia ciężarka, a l₂ -długość linki podczas opuszczania.

Zadanie 9.13

Dwie płytki o masach m₁ i m₂ znajdują się jedna nad drugą połą­czone sprężyną o współczynniku sprężystości k, jak pokazano na rysunku 9.4. Jaką siłą F należałoby nacisnąć na gór­ną płytkę, dodatkowo ściskając spręży­nę, aby po odjęciu siły układ płytek ode­rwał się od podłoża (podskoczył)? Czy zawsze jest to możliwe?

Zadanie 9.14

Sprężyna o współczynniku sprężystości k = 800 N/m była wstępnie rozciągnięta o Δx₁= 4 cm. Jaką pracę trzeba wykonać, aby jej rozciągnięcie osiągnęło Δx₂ = 14 cm?

Odp. 8 J

Zadanie 9.15

Na stole leży ciężarek o masie m = 10 kg, do którego przycze­piona jest sprężyna o współczynniku sprężystości k = 500 N/m. Wolny koniec sprężyny zaczęto ciągnąć pewną siłą równoległą do powierzchni stołu w taki sposób, że ciężarek zaczął przesuwać się ruchem jednostajnym. Jaką pracę wyko­nano, przesuwając ciężarek na odległość s = 2,5 m, jeżeli współczynnik tarcia cię­żarka o stół f = 0,2?

Odp. 50,4 J

Zadanie 9.16

Niewielka płytka o masie m leżąca na stole ma przymocowaną w środ­ku sprężynkę o współczynniku sprężysto­ści k. Jaką pracę trzeba wykonać, aby ru­chem jednostajnym podnieść płytkę na wysokość h nad powierzchnię stołu, ciągnąc za wolny koniec sprężynki?

Zadanie 9.17

Jaką co najmniej średnicę d musi mieć drut aluminiowy, aby utrzymał - zawieszony na nim ciężar

Q = 10 kN? Wytrzymałość na zerwanie drutu alumi­niowego W = 11• 10⁷ N/m².

Odp. d = 11 mm

Zadanie 9.18

Jaką długość może mieć zwisający drut miedziany umocowany jednym końcem, aby nie zerwał się pod własnym ciężarem? Wytrzymałość na zerwanie drutu miedzianego W = 24,5 • 10⁷ N/m², a jego gęstość

ρ = 9000 kg/m³.

Odp. l = 2775 m

Zadanie 9.19

W celu zmierzenia głębo­kości morza spuszczono na stalowym dru­cie niewielki ciężarek. Jaka jest największa głębokość morza, którą można zmie­rzyć tą metodą? Wytrzymałość na zerwa­nie drutu stalowego W = 78,5•10⁷ N/m², gęstość stali ρ₁ =7500 kg/m³, gęstość wody morskiej ρ ₂ = 1000 kg/m^3. Należy przyjąć, że gęstość wody morskiej nie zmienia się z głębokością, a masa cię­żarka jest do pominięcia.

Odp. l = 12300 m

Zadanie 9.20

Do sufitu umocowany jest stalowy pręt o długości l = 1,5 m i prze­kroju poprzecznym S = 0,01 cm². Do jego dolnego końca przyczepiono ciężar o masie m = 250 kg. O ile wydłuży się pręt, jeżeli moduł Younga stali wynosi E =196 •10⁹ Pa? Zaniedbaj masę pręta.

Odp. Δl = 12,5 mm

Zadanie 9.21

Podczas rozciągania ekspandera (sprężyny do treningu sportowe­go) maksymalna przyłożona siła ma wartość F = 200 N; efektywny współ­czynnik sprężystości sprężyny ekspandera wynosi k = 2000 N/m. Oblicz pracę wy­konaną przez sportowca podczas n = 50 krotnego rozciągania ekspandera.

Odp. W = 500 J

Zadanie 9.22

Na drucie stalowym o dłu­gości l = 2 m i polu przekroju poprzecz­nego S = 2,5 mm² powieszono ciężar o masie m = 150 kg. Jaka praca została wykonana podczas rozciągania drutu przez ten ciężar? Moduł Younga stali, z której wykonany jest drut, wynosi E = 210•10⁹ N/m².

Odp. W = 41 mJ

Zadanie 9.23

Metalowy walec o masie m = 200 kg powieszono na czterech równooddalonych drutach mających ta­kie same długości i pola przekroju po­przecznego (rysunek 9.5.). Jaką siłą bę­dzie rozciągany każdy z drutów, jeżeli skrajne wykonane są ze stali, a środko­we z miedzi? Moduł Younga stali jest n = 1 razy większy niż moduł Younga miedzi.

Odp. F_cu = 327 N; F_s = 654 N

Zadanie 9.24

Profilowany pręt o dwu róż­nych średnicach umocowany jest w ścia­nie (rysunek 9.6.). Odcinek grubszego pręta o polu przekroju poprzecznego S₁ = 4 cm² ma długość l₁ = 2 m, nato­miast odcinek cieńszego - o polu prze­kroju poprzecznego S₂ = 2 cm² ma dłu­gość l₂ = 1 m. Na pręt działa pozioma siła ściskająca o wartości F = 600 kN.

Jakie będzie całkowite skrócenie pręta, jeżeli wykonany jest z materiału, które­go moduł Younga wynosi

E = 10⁵ MPa?

Odp. Δl = 1 cm

Zadanie 9.25

Na rysunku 9.7. pokazano cztery wykresy. Który z wykresów i lustru­je zależność energii sprężystości E_s od wydłużenia sprężyny x?

a) l b) II

c) III d) IV

Zadanie 9.26

O ile wydłuży się pręt ni­klowy o długości l = 2 m i polu prze­kroju poprzecznego S = 2 cm², jeżeli przy jego rozciąganiu wykonano prace W= 0,25 J? Moduł Younga niklu wynosi E = 2•10" Pa.

Odp. Δl = 0,16 mm

Zadanie 9.27

Kula o masie m uderza w sprężynę z szybkością V i ściska ją o Δx. O ile skróci się sprężyna, jeżeli ude­rzy w nią ta sama kula z szybkością 2v?

a) o Δx b) o 2 Δx

c) o 4 Δx d) o 0,5 Δx

Zadanie 9.28

Jeżeli na nici o długości l zostanie zawieszony ciężarek o masie M, to nastąpi jej wydłużenie o Δx = 1 % dłu­gości, a jednocześnie zostanie przekro­czona granica wytrzymałości nici i nastąpi jej zerwanie. Do takiej nici przyczepio­no ciężarek o masie m < M. Na jaką co najmniej wysokość h należy unieść zwi­sający ciężarek m, aby po swobodnym jego puszczeniu zerwał nić?

Zadanie 9.29

Do rozciągnięcia sprężyny o Δx₁= 4 cm trzeba użyć pewnej siły, gromadząc w ten sposób energię potencjalną sprężystości. Ile razy wzrośnie ta energia, jeżeli sprężyna zostanie rozcią­gnięta do Δx₂ = 8 cm?

Odp. n = 4

Zadanie 9.30

Na stalowym pręcie, umo­cowanym jednym końcem w suficie, wisi kula o masie m, powodując wydłużenie pręta o Δx. Ile razy energia potencjalna ciężkości kuli zmaleje w stosunku do zwiększenia się energii potencjalnej sprężystości pręta? Ciężar pręta można zaniedbać.

a) 0,5 raza b) 1 raz

c) 2 razy d) 4 razy

Zadanie 9.31

Do sprężyny o współczyn­niku sprężystości k₁, umocowanej jed­nym końcem do sufitu, przyczepiono dru­gą sprężynę o współczynniku sprężysto­ści k₂ Do dolnej sprężyny doczepiono ciężarek o masie m. Jaki jest stosunek energii potencjalnych sprężystości tych sprężyn n = E_p1 : E_p2, jeżeli zaniedbamy cię­żary sprężyn?

Zadanie 9.32

Na stacji rozrządowej wa­gon towarowy o masie m = 50 t jechał po poziomym torze z szybkością v = 2 m/s do momentu sczepienia się automatycz­nie ze składem towarowym (pociągiem). O ile zostanie ściśnięta każda z czterech sprężyn amortyzatorów wagonu w trak­cie sczepiania, jeżeli współczynnik sprężystości każdej z nich wynosi k = 2,25•10⁵ N/m? Przyjmij, że masa wagonu jest dużo mniejsza od masy składu.

Odp. 1,5 cm

Zadanie 9.33

Gimnastyk o masie m = 70 kg skoczył na batut z wysokości h = 5 m. O ile ugnie się batut, jeżeli pod stojącym na nim sportowcem ugina się o x₀ = 20 cm?

Odp. x = 1,63 m

Zadanie 9.34

Metalową kulę o masie m = 0,75 kg upuszczono z wysokości h = 10 m na pionowo stojącą sprężynę o długości l = 20 cm. Spadająca kula ugięła sprężynę o połowę. Oblicz współ­czynnik sprężystości sprężyny.

Zadanie 9.35

W pistoleciku-zabawce można ścisnąć sprężynę i po włożeniu plastikowej kulki wystrzelić z niego. Ja­kie przyspieszenie a uzyskuje plastiko­wy pocisk, jeżeli po ściśnięciu sprężyny o Δl= 10 cm i skierowaniu lufy piono­wo do góry pocisk wyskakuje na wyso­kość H = 0,5 m? Należy przyjąć, że pla­stikowa kulka odrywa się od sprężyny w momencie, kiedy jest ona całkowicie rozprężona. Opory ruchu kulki należy zaniedbać.

Odp. g = 19 g

Zadanie 9.36

Duży ciężar o masie m = 400 kg opuszczany jest powoli ze stałą prędkością o wartości v = 2 m/s na lin­ce, której współczynnik sprężystości wynosi k = 4•10⁵ N/m. Jaką maksymal­ną siłą zostanie napięta linka, jeżeli opuszczanie zostanie gwałtownie za­trzymane?

Odp. k = 14800 N/m

---