Zadania z logiki

I. Określić stosunek między zakresami nazw:

1. Warszawa, miasto, miasto wojewódzkie, ulica

2. Wisła, rzeka, jezioro, roślina wodna

3. pojazd o napędzie elektrycznym, tramwaj, pantograf, lokomotywa spalinowa

4. człowiek, Polak, urzędnik, ekonomista

5. prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb

6. roślina wodna, drzewo, brzoza, roślina

7. ssak, kręgowiec, zwierzę, zwierzę żyjące w lesie

8. pojazd o napędzie benzynowym, samochód, samochód osobowy, silnik

9. Europa, Polska, miasto, Warszawa

II. Sprawdzić, czy zachodzi wynikanie logiczne w logice nazw:

1. Żaden polityk nie jest przestępcą ze zbioru {Żaden przestępca nie jest politykiem}

2. Żaden prawnik nie jest urzędnikiem ze zbioru {Każdy prawnik ma wyższe wykształcenie,

Ktokolwiek ma wyższe wykształcenie nie jest urzędnikiem}

3. Niektórzy materialiści są racjonalistami ze zbioru {Niektórzy filozofowie są materialistami, Niektórzy filozofowie są racjonalistami}

4. Niektóre drapieżniki nie są ssakami ze zbioru {Żaden ssak nie jest rybą, Niektóre ryby są drapieżnikami}

5. SeP ze zbioru formuł {MeP, SaM}

6. SiP ze zbioru formuł {MaP, SiM}

7. SoP ze zbioru formuł {MeP, SiM}

8. SiP ze zbioru formuł {MaP, MaS}

9. SoP ze zbioru formuł {PaM, SoM}

III. Czy następujący zbiór formuł jest sprzeczny w logice nazw? Odpowiedź uzasadnić.

1. {SiP, MaS, PoM}

2. {SiP, PiS}

3. {SiP, PeS}

4. {SaP, MaS, PoM}

5. {SoP, MaS, PoM}

6. {PoS, SaP}

7. {SoP, SaP}

8. {SeP, MaS, PoM}

9. {SeP, PeS}

IV. Określić przy użyciu wskaźników, do jakich kategorii syntaktycznych należą wyrażenia proste występujące w następującym zdaniu:

1. Jeżeli nieprawda, że pada śnieg i niebo jest pochmurne, to słońce świeci jasno i pogodnie

2. Mądry Jan bardzo lubi logikę i interesuje się logicznymi paradoksami

3. Jeżeli jest konieczne, że Ziemia szybko obiega Słońce, to nie jest możliwe, że nasza planeta porusza się ruchem prostoliniowym

4. Jan uczy się logiki wtedy i tylko wtedy, gdy interesuje się logiką i posiada wolny czas

5. Mądry Jan bardzo lubi logikę i interesuje się logiką

6. Głupi pies bardzo lubi kota wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest prawdą, że kot nienawidzi psa

7. Nieprawda, że słońce jasno świeci wtedy i tylko wtedy, gdy pada deszcz

8. Prawnik posiada wiedzę prawniczą i zajmuje wysoką pozycję w hierarchii społecznej

9. Jeżeli dobry człowiek kocha przyrodę, to lubi dzikie zwierzęta

V..

1. Wyrazić spójnik „ani nie ..., ani nie ...” przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

2. Wyrazić spójnik „dokładnie jedno z dwojga: ..., ...” przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

3. Wyrazić spójnik „co najwyżej jedno z dwojga: ..., ...” przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

4. Wyrazić spójnik „co najmniej jedno z dwojga: ..., ...” przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

5. Wyrazić jednoargumentowy spójnik falsum przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

6. Wyrazić jednoargumentowy spójnik verum przy użyciu wyłącznie spójników standardowego języka zdaniowego

7. Wyrazić spójnik koniunkcji przy użyciu wyłącznie spójników negacji i alternatywy

8. Wyrazić spójnik alternatywy przy użyciu wyłącznie spójników negacji i koniunkcji

9. Wyrazić spójnik alternatywy przy użyciu wyłącznie spójników negacji i implikacji

VI. Czy następująca formuła jest tautologią klasycznej logiki zdaniowej. Odpowiedź uzasadnić.

1. ((p → q) ∨ (p → r)) → (p → (q ∨ r))

2. (p → (q ∧ r)) → ((p → q) ∧ (p → r))

3. ((p → r) ∨ (q → r)) → ((p ∧ q) → r)

4. ((p ∨ q) → r) → ((p → r) ∧ (q → r))

5. (p → (q ∨ r)) → ((p → q) ∨ (p → r))

6. ((p → q) ∧ (p → r)) → (p → (q ∧ r))

7. ((p ∧ q) → r) → ((p → r) ∨ (q → r))

8. ((p → r) ∧ (q → r)) → ((p ∨ q) → r)

9. ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q)

VII. Czy formuła wynika ze zbioru formuł? Odpowiedź uzasadnić.

1. r ze zbioru {p ∨ ¬q, p → r, r → q}

2. ¬r ze zbioru {p → q, r → p, r → ¬q}

3. r ∨ s ze zbioru {¬p → q, q → r, p → s}

4. ¬p ze zbioru {(p ∧ q) → r, ¬r ∧q}

5. ¬r ze zbioru {p, (q ∧ p) → r, ¬q}

6. p ze zbioru {p → q, ¬q → r, ¬r}

7. r ze zbioru {¬p → q, p → r, q → r}

8. r ze zbioru {¬p → (q ∧ r), q, p → r}

9. ¬r ze zbioru {p → q, r → p, r → ¬q}

VIII. Czy następujący zbiór formuł jest sprzeczny? Odpowiedź uzasadnić.

1. {p ∨ ¬q, r → q, ¬(s ∧ ¬r), s ∧ ¬p}

2. {¬(p → q), r ∨ s, r → ¬p, s → q}

3. {¬(¬p ∨ q), q ∨ ¬r, p → r}

4. {p → q, ¬r ↔ q, p ∧ r}

5. {p → q, r → p, r → ¬q}

6. {p ∧ ¬r, p → q, q → r}

7. {p → q, q → ¬r, s → r, p ∧ s}

8. {p ↔ ¬q, q ∨ ¬r, r → p}

9. {p ∧ ¬q, q ∨ ¬r, r → ¬p}

IX. Napisać schemat w języku kwantyfikatorowym dla zdania:

1. Każdy matematyk jest uczniem pewnego matematyka

2. Pewien matematyk nie jest uczniem żadnego matematyka

3. Pewien matematyk nie ma uczniów wśród matematyków

4. Istnieje książka, którą przeczytali wszyscy

5. Istnieje ktoś, kto ma przyjaciela

6. Każdy przeczytał jakąś książkę

7. Nikt nie przeczytał wszystkich książek

8. Każdy jest przyjacielem wszystkich

9. Nikt nie jest niczyim przyjacielem

X. Czy następująca formuła jest tautologią klasycznej logiki kwantyfikatorów. Odpowiedź uzasadnić.

1. ∀x(Px ∧ Qx) → (∀xPx ∧ ∀xQx)

2. (∀xPx ∧ ∀xQx) → ∀x(Px ∧ Qx)

3. ∃x(Px ∧ Qx) → (∃xPx ∧ ∃xQx)

4. (∃xPx ∧ ∃xQx) → ∃x(Px ∧ Qx)

5. ∃x(Px ∨ Qx) → (∃xPx ∨ ∃xQx)

6. (∃xPx ∨ ∃xQx) → ∃x(Px ∨ Qx)

7. ∃x∀yP(x,y) → ∀y∃xP(x,y)

8. ∀y∃xP(x,y) → ∃x∀yP(x,y)

9. ∀x(Px → Qx) → (∃xPx → ∃xQx)

XI. Czy zdanie wynika ze zbioru zdań? Odpowiedź uzasadnić. Stosować logikę kwantyfikatorową.

1. Żaden polityk nie jest przestępcą ze zbioru {Żaden przestępca nie jest politykiem}

2. Jan jest dobrego zdania o sobie samym ze zbioru {Każdy, o kim Jan jest dobrego zdania, jest dobrego zdania o Janie}

3. Niektórzy materialiści są racjonalistami ze zbioru {Niektórzy filozofowie są materialistami, Niektórzy filozofowie są racjonalistami}

4. Niektórzy ludzie lubią Jana ze zbioru {Niektórzy ludzie lubią każdego, kto jest o nich dobrego zdania, Jan jest dobrego zdania o każdym człowieku}

5. Jan jest dobrego zdania o sobie samym ze zbioru {Istnieje ktoś, kto jest dobrego zdania Janie i o kim Jan jest dobrego zdania}

6. Niektórzy filozofowie są uczonymi ze zbioru {Każdy uczony jest racjonalistą, Niektórzy filozofowie nie są racjonalistami}

7. Niektóre drapieżniki nie są ssakami ze zbioru {Żaden ssak nie jest rybą, Niektóre ryby są drapieżnikami}

8. ∀x∼P(x,x) ze zbioru {∀x∀y(P(x,y) → ∼ P(y,x))}

9. ∀x∀y(P(x,y) → ∼ P(y,x)) ze zbioru {∀x∼P(x,x), ∀x∀y∀z((P(x,y) ∧ P(y,z)) → P(x,z))}

XII. Czy następujący zbiór zdań jest sprzeczny? Odpowiedź uzasadnić.

1. {∀x∀y((P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y)), ∃x(P(x) ∧ Q(x)), ∀x(P(x) → ∼R(x,x))}

2. {∀x(P(x) → Q(x)), ∀x(Q(x) → ∃yR(x,y)), ∃xP(x), ∀x∀y ∼R(x,y)}

3. {Żadne zdanie nie wynika ze zdania, które mu przeczy, Każde zdanie przeczy jakiemuś zdaniu, Istnieją zdania, z których wynika każde zdanie}

4. {Niektórzy ludzie lubią każdego, kto jest o nich dobrego zdania, Jan jest dobrego zdania o każdym człowieku, Nikt nie lubi Jana}

5. {Istnieją zdania, które wynikają z każdego zdania i z których każde zdanie wynika, Jeśli jakieś zdanie wynika z każdego zdania, to jest ono prawdziwe, Jeśli z jakiegoś zdania wynika każde zdanie, to nie jest ono prawdziwe}

6. {Istnieją zdania, które wynikają z każdego zdania, Dla każdego zdania można podać takie, z którego ono nie wynika}

7. {Żaden polityk nie jest przestępcą, Każdy polityk jest przestępcą, Istnieją politycy}

8. {∀x∃yP(x,y), ∀y∃x ∼P(x,y)}

9. {∀x∀y(P(x,y) → P(y,x)), ∀x∀y((P(x,y) ∧ P(y,x)) → x = y), ∃x∃yP(x,y)}

BIBLIOGRAFIA

Barbara Stanosz, Ćwiczenia z logiki, PWN Warszawa

---