Temat:
Rezonator kwarcowy
Wydział AE i I .
rok I .
semestr II .
grupa V .
sekcja 2 .
Maciej Kaliński .
Ireneusz Szcześniak .
1. WSTĘP.
Współczynnikiem dobroci oscylatora nazywamy parametr, który charakteryzuje jego zdolność do wykonywania drgań niewymuszonych. Dobroć rezonatora definiujemy jako stosunek energii posiadanej przez drgający oscylator do energii traconej w jednym okresie drgań. Jak widać z definicji, oscylator o dużej dobroci raz pobudzony do drgań wykona wiele wahnięć zanim się zatrzyma. Oscylator taki nazywany jest rezonatorem, ponieważ przyjmuje energię tylko w zjawisku rezonansu. W przypadku pobudzania do drgań oscylatora za pomocą okresowo przykładanej małej siły, dla oscylatora o dużej dobroci musi być przykładana siła o okresie dokładnie równym okresowi drgań własnych oscylatora. Względna różnica okresów nie może być dużo większa od odwrotności dobroci Q:
Jak więc widać dobroć jest z jednej strony równa ilości wahnięć jaką wykona wahadło swobodne zanim amplituda nie zmaleje mniej więcej dwukrotnie, a z drugiej strony jest równa odwrotności dopuszczalnych względnych odchyleń okresu drgań, czyli dokładności rezonatora. W ćwiczeniu badanym oscylatorem jest rezonator kwarcowy. Jego działanie opiera się na zjawisku piezoelektryczności.
Zjawisko piezoelektryczności polega na powstawaniu nieskompensowanych ładunków elektrycznych na ściankach kryształów pod wpływem siły wywołującej odkształcenie materiału, z którego jest on zbudowany. Odwrotny efekt piezoelektryczny powstaje jako reakcja na umieszczenie piezoelektryka (np. kwarcu) w zewnętrznym polu elektrycznym i polega na odkształceniu się kryształu. Kryształ taki może być więc użyty do wykonania rezonatora elektrycznego. Opis teoretyczny tego zjawiska jest dość skomplikowany (konieczna jest znajomość rachunku tensorowego), nie wydaje się więc koniecznym zamieszczanie go tutaj.
DRGANIA WYMUSZONE.
Równanie ruchu ciała oscylującego o masie m ma postać:
Powyższe równanie różniczkowe stanowi bilans sił działających na oscylującą masę m. Znaczenie poszczególnych składników w równaniu (od lewej):
- siła bezwładności (proporcjonalna do przyspieszenia)
- siła tłumiąca drgania (proporcjonalna do prędkości)
- siła sprężystości (proporcjonalna do położenia)
- siła wymuszająca drgania.
Γ - współczynnik tłumienia
F - amplituda siły wymuszającej drgania
ω - częstotliwość siły wymuszającej
Częstotliwość drgań własnych oscylatora jest to częstotliwość drgań tego układu poddanego działaniu jedynie siły sprężystości wprost proporcjonalnej do chwilowej wartości wychylenia ciała z położenia równowagi. Po rozwiązaniu powyższego równania możnazauważyć, że oscylator nim opisany będzie drgał z amplitudą A, której kwadrat wynosi :
Widać stąd, że maksymalna amplituda drgań oscylatora wynosi A0 i odpowiada częstości siły wymuszającej równej jego częstości drgań własnych ω = ω0. Jeżeli warunek ten jest spełniony, w układzie drgającym występuje zjawisko rezonansu.
Zależność A2 od częstotliwości siły wymuszającej przedstawiono na wykresie. Można wykazać, że szerokość połówkowa Δω wykreślonej krzywej rezonansowej (czyli szerokość krzywej w połowie jej wysokości) równa jest współczynnikowi tłumienia Γ. Dobroć rezonatora wynosi :
DRGANIA SWOBODNE.
Jeżeli siła wymuszająca nie działa na układ, wówczas ogólne rozwiązanie w. w. równania różniczkowego sprowadza się do postaci :
x = A0 exp (-Γ t/2) sinω1t
gdzie : ω1 = ω02 - (Γ/2)2 ≅ ω02
Obwiednia sinusoidy jest krzywą wykładniczą, której równanie opisuje zanik amplitudy drgań w funkcji czasu
Ma ono postać :
A = A0 exp (-t/τ)
Jak można dowieść - gdy narysujemy styczną do krzywej wykładniczej w dowolnym punkcie, wtedy odległość od tego punktu do punktu przecięcia prostej z osią poziomą jest równa stałej czasowej zaniku amplitudy drgań tłumionych.
2. OPIS PRZEBIEGU ĆWICZENIA I OPRACOWANIE WYNIKÓW.
Badany układ drgający stanowi rezonator kwarcowy o nominalnej częstości 100kHz. Jest on pobudzany sygnałem o przebiegu sinusoidalnym z generatora RLC o regulowanej częstotliwości. Częstotliwość mierzona jest za pomocą częstościomierza z dokładnością 1Hz. Drgania rezonatora obserwowane są na ekranie oscyloskopu. Generator można wyłączyć z układu za pomocą wyłącznika.
- Zdejmowanie krzywej rezonansowej :
Za pomocą oscyloskopu wykonaliśmy ponad 20 pomiarów amplitudy drgań generatora oraz kwarcu zmieniając częstotliwość wokół częstotliwości rezonansowej w takim zakresie, by osiągnąć małe amplitudy z obydwu stron częstotliwości rezonansowej.
Wyniki znajdują się na kacie pomiarowej.
Odczytana z podczas pomiarów częstotliwość rezonansowa wynosi:
f0 = (100.0300 ±0.001) kHz
Szerokość połówkowa krzywej rezonansowej wynosi:
Δf = (4.0 ±0.5) Hz
- Dobroć generatora :
a) Liczona według wzoru Q = f0/Δf :
Błąd liczymy ze wzoru
Q=(25 ±4)*103
b) Liczona według wzoru Q = π τ f0
Błąd liczymy ze wzoru
Q=(22 ±3)*103
Z powyższych obliczeń wynika że obie wartości są równe w granicach błędów.
3. ANALIZA BŁĘDÓW I DYSKUSJA OTRZYMANYCH WYNIKÓW.
W czasie wykonywania pomiarów największą trudność sprawiała duża niestabilność i wrażliwość całego układu pomiarowego. Skutkiem były nagłe skoki amplitudy obserwowanych przebiegów co uniemożliwiało dokładny odczyt pomiarów. Spowodowało to wystąpienie dużej ilości błędów przypadkowych, co widać na wykresach. Powodem wystąpienia błędów był również generator, gdyż sygnał na jego wyjściu zawierał dużą liczbę składowych harmonicznych. Było to zauważalne na oscyloskopie, a więc zawartość harmonicznych wahała się w granicach kilkunastu procent.
Obliczona dobroć rezonatora jest rzędu 103. Nie jest to najlepszy wynik gdyż rezonatory takie powinny mieć dobroć rzędu 104÷105. Wpływ na takie parametry układu miało przede wszystkim jego podłączenie. Podłączone nieekranowane kable wprowadziły do układu dodatkową pojemność oraz indukcyjność, a także uzależniły jego działanie od różnych czynników zewnętrznych (np. pól elektromagnetycznych). Na błędy pomiarów stałej zaniku miał wpływ sposób przeprowadzenia tego pomiaru tzn. obserwacja zaniku drgań na oscyloskopie o zbyt krótkiej poświacie.
4. UWAGI KOŃCOWE.
Przeprowadzenie doświadczenia nie sprawiło większych trudności. Zauważyć jedynie należy, że wystąpienie względnie dużych błędów pomiarowych spowodowane było (jak już wspomniano wyżej) niestabilnością i wrażliwością układu pomiarowego. Czasami wystarczyło potrząsnąć stołem, na którym znajdował się zestaw doświadczalny, by zmieniły się wskazania instrumentów pomiarowych.