Rezonator

Kwarcowy

Informatyka

sem. II

gr II

sekcja IX

Skład sekcji:

Michał Koziara

Grzegorz Podskarbi

Krzysztof Grochla

1. WSTĘP.

Współczynnikiem dobroci nazywamy parametr, który charakteryzuje zdolność oscylatora do wykonywania drgań niewymuszonych. Dobroć rezonatora definiujemy jako stosunek energii posiadanej przez drgający oscylator do energii traconej w jednym okresie drgań. Z definicji wynika, że oscylator o dużej dobroci raz pobudzony do drgań wykona wiele wahnięć zanim się zatrzyma. Taki oscylator nazywamy rezonatorem, gdyż przyjmuje on energię tylko w zjawisku rezonansu. Przy pobudzaniu do drgań oscylatora za pomocą okresowo przykładanej małej siły, w przypadku oscylatora o dużej dobroci musi być przykładana siła o okresie dokładnie równym okresowi drgań własnych oscylatora. Względna różnica okresów nie może być dużo większa od odwrotności dobroci Q:

Jak widać dobroć jest z jednej strony równa ilości wahnięć jaką wykona wahadło swobodne zanim amplituda nie zmaleje mniej więcej dwukrotnie, a z drugiej strony jest odwrotności dopuszczalnych względnych odchyleń okresu drgań, czyli dokładności rezonatora. W ćwiczeniu badanym oscylatorem jest rezonator kwarcowy.

Drgania wymuszone

Równanie ruchu ciała oscylującego o masie m ma postać:

Powyższe równanie różniczkowe jest bilansem sił działających na oscylującą masę m. Znaczenie składników (od lewej):

- siła bezwładności

- siła tłumiąca drgania (proporcjonalna do prędkości)

- siła sprężystości

- siła wymuszająca drgania.

Γ - współczynnik tłumienia

F - amplituda siły wymuszającej drgania

ω - częstotliwość siły F

Częstotliwość drgań własnych oscylatora jest to częstotliwość, z jaką ciało to wykonuje drgania, poddane działaniu jedynie siły sprężystości proporcjonalnej do chwilowej wartości wychylenia ciała z położenia równowagi. Oscylator opisany powyższym równaniem będzie drgał z amplitudą A, której kwadrat wynosi :

Maksymalna amplituda drgań oscylatora wynosi A₀ i odpowiada częstości siły wymuszającej równej jego częstości drgań własnych ω = ω₀. Jeżeli warunek ten jest spełniony, w układzie drgającym występuje zjawisko rezonansu.

Zależność A² od częstotliwości siły wymuszającej przedstawiono na wykresie. Szerokość połówkowa Δω wykreślonej krzywej rezonansowej (czyli szerokość krzywej w połowie jej wysokości) równa jest współczynnikowi tłumienia Γ. Dobroć rezonatora wynosi :

Drgania swobodne

Jeżeli brak siły wymuszającej ogólne równanie sprowadza się do postaci :

x = A₀ exp (-Γ t/2) sinω₁t

gdzie : ω₁ = ω₀² - (Γ/2)² ≅ ω₀²

Obwiednia sinusoidy jest krzywą wykładniczą, której równanie opisującą zanik amplitudy drgań w funkcji czasu ma postać :

A = A₀ exp (-t/τ)

Jeżeli narysujemy styczną do krzywej wykładniczej w dowolnym punkcie, to odległość od tego punktu do punktu przecięcia prostej z osią poziomą jest równa stałej czasowej zaniku amplitudy drgań tłumionych.

2. OPIS PRZEBIEGU ĆWICZENIA I OPRACOWANIE WYNIKÓW

Badany układ drgający stanowi rezonator kwarcowy o nominalnej częstości 100kHz. Jest on pobudzany przebiegiem sinusoidalnym z generatora o regulowanej częstotliwości. Częstotliwość mierzona jest za pomocą częstościomierza z dokładnością 0.1Hz. Drgania rezonatora obserwowane są na ekranie oscyloskopu. Generator można wyłączyć z układu za pomocą wyłącznika.

Zdejmowanie krzywej rezonansowej :

Za pomocą oscyloskopu wykonaliśmy trzydzieści pomiarów amplitudy drgań oraz różnicy faz przebiegu z generatora oraz kwarcu zmieniając częstotliwość wokół częstotliwości rezonansowej w takim zakresie, by osiągnąć małe amplitudy z obydwu stron częstotliwości rezonansowej.

Wyniki znajdują się na poniższym wykresie:

Odczytana z pomiarów częstotliwość rezonansowa wynosi:

f₀ = (100.040 ±0.0002) kHz

Szerokość połówkowa krzywej rezonansowej wynosi:

Δf = (10.0 ±0.5) Hz

Dobroć generatora :

a) Liczona według wzoru Q = f₀/Δf :

Błąd liczymy ze wzoru

Q=(10 ±4)*10³

b) Liczona według wzoru Q = π τ f₀

Błąd liczymy ze wzoru

Q=(22 ±3)*10³

Z powyższych obliczeń wynika że obie wartości znacznie się różnią. Przyczyny tego wyjaśniliśmy w kolejnym rozdziale.

3. ANALIZA BŁĘDÓW I DYSKUSJA OTRZYMANYCH WYNIKÓW

Pomiary zostały wykonane niedokładnie ze względu na awarię miernika częstotliwości. Jego wskazania wahały się w zakresię ok. 5Hz, co uniemożliwiało dokładne określenie aktualnej częstotliwości, a tym samym utrudniało przyporządkowanie odczytanej z oscyloskopu amplitudy do odpowiedniej częstotliwości. Można to wyraźnie dostrzec na wykresie. Odczytana z niego szerokość połówkowa jest dwa razy większa niż wynikająca z obliczeń.

Podczas pomiarów najwięcej trudności sprawiała niestabilność całego układu pomiarowego. Powodowało to nagłe skoki amplitudy obserwowanych przebiegów co uniemożliwiało dokładny odczyt pomiarów. Skutkiem tego jest duża ilość błędów przypadkowych co widać na wykresach. Błędy wprowadzał także generator, którego przebieg zawierał dużo harmonicznych. Było to zauważalne na oscyloskopie, a więc zawartość harmonicznych wahała się w granicach kilkunastu procent.

Obliczona dobroć rezonatora jest rzędu 10³. Nie jest to najlepszy wynik gdyż rezonatory takie powinien mieć dobroć rzędu 10⁴÷10⁵. Wpływ na takie parametry rezonatora miało przede wszystkim jego podłączenie. Podłączone nieekranowane kable wpłynęły zarówno na jego niestabilność jak i wprowadziły do układu dodatkową pojemność oraz indukcyjność. Można to zauważyć także na wykresie fazowym rezonatora. Dla częstotliwości rezonansowej różnica faz między przebiegami: pobudzającym i generowanym powinna wynosić 0. W układzie pomiarowym występowało przesunięcie ok. 7°.

Na błędy pomiarów stałej zaniku miał wpływ sposób przeprowadzenia tego pomiaru tzn. obserwacja zaniku drgań na oscyloskopie o zbyt krótkiej poświacie.

---