Ogrodnik

Zasadź 10 drzew, w pięciu rzędach po 4 drzewa.

Rozwiązaniem jest następujący układ doniczek (doniczką jest żółte kółko z czarnym okręgiem):

Jest to pentagram, co ilustruje poniższy rysunek:

Pentagram z kolei tworzą przekątne pięciokąta foremnego:

4 litry wody

Jak dysponując dwoma naczyniami o pojemności 5 litrów i 3 litry odmierzyć dokładnie 4 litry wody?

Rozwiązanie zadania

Sposób I

Nalewamy do naczynia 5-litrowego do pełna. Przelewamy z naczynia 5-litrowego do naczynia 3-litrowego tak, że w 5-litrowym zostaje nam dokładnie 2 litry. Wylewamy wodę z naczynia 3-litrowego. 2 litry będące w naczyniu 5-litrowym przelewamy do naczynia 3-litrowego. Do naczynia 5-litrowego nalewamy pełno wody i przelwamy ile sie da wody do naczynia 3-litrowego - a da sie 1 litr, czyli w naczyniu 5-litrowym zostaje 1 litr wody.

Sposób I

Nalewamy 3 litry do naczynia 3-litrowego. Przelewamy całośc do naczynia 5-litrowego. Znowu napełniamy naczynie 3-litrowe. Przelewamy ile się da do naczynia 5-litrowego. Da się 2 litry więc w 3 litrowym zostanie litr a 5-litrowy jest pełny. Orpóżniamy 5-litrowy, przelewamy litrt z naczynia 3-ltriowego do naczynia 5-litrowego. Nalewamy do naczynia 3-litrowego pełno i przelewamy do naczynia 5-litrowego (gdzie jest litr). Otrzymujemy 4 litry.

Owieczki starego bacy

Stary baca miał 3 synów. Gdy czuł, że zbliża się jego śmierć, rzekł do synów:

"Jestem biedny, zostało mi tylko tych 19 owiec. Ty Andrzeju weź połowę owiec, Ty Bartłomieju czwartą część, zaś Tobie Czarku - mój najmłodszy, daruję piątą część moich owiec." Stary baca zmarł. Jego synowie głowili się zaś jak podzielić spadek po ojcu. Nie chcieli przecież zabijać owieczek i dzielić je na kawałeczki. Udali się więc do sąsiada po radę. Następnego dnia przyszedł sąsiad do trzech braci i szybko rozwiązał ich problem. Potrafisz się wcielić w rolę sąsiada i rozwiązać problem trzech braci?

Rozwiązanie zadania

Co zrobił sąsiad?

Sąsiad przyprowadził ze sobą jeszcze jedną owieczkę i podarował ją braciom. Wówczas dysponowali oni 20 owieczkami, zaś 20 dzieli się przez 2 oraz 4 i 5.

Ile owieczek otrzymał Andrzej

(1/2) * 20 = 10 (owieczek)

Ile owieczek otrzymał Bartłomiej

(1/4) * 20 = 5 (owieczek)

Ile owieczek otrzymał Czarek

(1/5) * 20 = 4 (owieczek)

Sąsiad nie traci swojej owieczki

Łącznie więc bracia rozdzielili między siebie 10 + 5 + 4 = 19 owieczek.
Została jeszcze jedna owieczka, którą sąsiad mógł odebrać - zabrał ze sobą i wyszedł bez straty.

Gdzie tkwi tajemnica?

Ojciec nie dzieli całego majątku

Przed wszystkim zauważmy, że ojciec nie rozdysponował całego majątku. Rozdzielił on tylko (1/2) + (1/4) + (1/5) = 0,95 swojego majątku.
Zatem oryginalnie - przyjmując 19 owieczek i przyjmując możliwość krajania owieczek - bracia nie mogli podzielić wszystkich 19 owieczek tylko między siebie. Cos musiało zostać.

Nie krójmy owieczek!

Drugi problem to fakt, że 19 nie dzieli się przez 2, 4 oraz 5. Natomiast liczba 20 dzieli się przez wszystkie te liczby (2, 4, 5) i ten fakt wykorzystał sąsiad.

0,05 z 20 daje 1

Ponieważ synowie otrzymali w sumie (1/2) + (1/4) + (1/5) = 0,95 z 20 owieczek, więc pozostałe 0,05 z 20 (równe jeden) zostało dla sąsiada - mógł on odebrać swoją jedną owieczka.

Kto zyskuje, kto traci?

Przy nowym podziale ktoś mógł zyskać, ktoś mógł stracić:

Andrzej

Oryginalnie otrzymywał 1/2 z 19 owieczek czyli 9,5 owieczki
W myśl sposobu sąsiada otrzymał 1/2 z 20 owieczek czyli 10 owieczek
Zyskał 0,5 owieczki

Bartłomiej

Oryginalnie otrzymywał 1/4 z 19 owieczek czyli 4,75 owieczki
W myśl sposobu sąsiada otrzymał 1/4 z 20 owieczek czyli 5 owieczek
Zyskał 0,25 owieczki

Czarek

Oryginalnie otrzymywał 1/5 z 19 owieczek czyli 3,8 owieczki
W myśl sposobu sąsiada otrzymał 1/5 z 20 owieczek czyli 4 owieczki
Zyskał 0,2 owieczki

Czy możliwe by wszyscy zyskali?

Jak więc to możliwe, że każdy z synów zyskał na podziale według pomysłu sąsiada i podzielono tylko 19 owieczek?

Ojciec nie podzielił całego swojego majątku

Pamiętajmy, że baca nie rozdysponował całego majątku.
Baca rozdysponował tylko 0,95 swoich 19 owieczek. 0,05 z 19 owieczek zostało nie rozdysponowane.

Sąsiad dzieli to, czego nie podzielił ojciec

Sąsiad rozdzielił niedopowiedziane przez ojca 0,05 z 19 owieczek między synów, tak aby wszystkie owieczki zostały w całości. Stąd każdy z synów dostał trochę więcej - tyle ile brakowało mu do pełnej owieczki.

Sąsiad nie rozdaje ze swojego

Sąsiad dawał nie ze swojego - tylko z tego czego nie rozdał ojciec - z 0,05 majątku.

Genialny psycholog-dobrodziej czy matematyczny szarlatan?

Tak więc dodatkowa owieczka nie była darem dla synów - była tylko trikiem który pozwalał mu uniknąć powyższych skomplikowanych rachunków i być może rodzinnej kłótni. Dzięki temu, wszyscy rozstali się w pięknej przyjacielskiej atmosferze, zaś sąsiad wyszedł na tego, który bezinteresownie podarował trzem braciom owieczkę...

Córki matematyka

Po wielu latach spotkało w pewnej kawiarni dwóch studentów matematyki. Gdy rozmowa zeszła na temat dzieci, jeden z nich pochwalił się, że ma trzy córki. Wieku nie podał wprost, lecz jak przystało na matematyka z poczuciem humoru rzekł:
- Iloczyn wieku moich córek wynosi 36.
- Za mało danych bym odgadł wiek Twoich córek - odrzekł kolega.
- Suma wieku moich córek jest równa liczbie stolików w tej kawiarni - dodał tata matematyk.
- Ciągle za mało danych - odpowiedział kolega;
- Masz rację. Wiedz zatem, że najstarsza nie jest blondynką - dopowiedział ojciec trzech córek.
I wówczas jego kolega bezbłędnie wymienił wiek 3 córek swojego przyjaciela ze studenckiej ławy.
Ile lat mają córki matematyka?

Rozwiązanie zadania

Czy dyskusja była bezsensowna?

Dyskusja wydaje się na pierwszy rzut oka bezsensowna. Jednak jest pewien konkret, od którego możemy zacząć. Iloczyn lat córek wynosi 36.

Ile lat mogą mieć córki?

Trójek liczb, które pomnożone przez siebie dają 36 jest niebyt dużo. Możemy je wypisać. Ponieważ w dalszej części rozmowy przyjaciół występuje również suma wieku córek, więc wypiszemy również dla każdej trójki liczb ich sumę.
Dla ustalenia uwagi przyjmiemy, że córka I jest najmłodsza, zaś córka III najstarsza. Wówczas córki mogą mieć następującą liczbę lat:

L.P.	Wiek I córki	Wiek II córki	Wiek III córki	Iloczyn lat córek	Suma lat córek
1)	1	1	36	36	38
2)	1	2	18	36	21
3)	1	3	12	36	16
4)	1	4	9	36	14
5)	1	6	6	36	13
6)	2	2	9	36	13
7)	2	3	6	36	11
8)	3	3	4	36	10

Czy iloczyn liczby lat córek jest wystarczającą informacją ?

Oczywiste jest, że iloczyn wieku córek nie wystarcza do zgadnięcia ile lat ma każda z nich. Różnych kombinacji wieku córek jest 8, dlatego też kolega stwierdził oczywistą rzecz: "Za mało danych!".

Czy dodatkowa informacja w postaci sumy liczby lat córek wystarcza?

Ojciec córek wymienił wówczas nie-wprost sumę wieku swoich córek (dowcipnie wskazał na liczbę stolików w kawiarni). Nie zmienia to postaci rzeczy - my nie znamy sumy wieku córek. Jednak na szczęście dla nas ta informacja jest również niewystarczająca dla kolegi ojca córek.

Dlaczego kolega nie może odgadnąć wieku córek znając także sumę lat córek?

Zauważmy, że informacja o sumie lat córek byłaby wystarczająca w każdym przypadku oprócz sumy wieku dziewczynek równej 13. Dzieje się tak dlatego, że mamy dwie kombinacje wieku dziewczynek dające sumę 13: 1 6 6 (wiersz 5) oraz 2 2 9 (wiersz 6). Skoro kolega powiedział do ojca dziewczynek "Ciągle za mało danych" to oznacza, że musiał to być ten przypadek - tylko wówczas kolega mógł mieć za mało danych by odgadnąć wiek córek.

Ile lat mają córki?

Tata-matematyk wyznaje wówczas, że najstarsza córka nie jest blondynką. Oznacza to, że wyklucza sytuację, gdy dwie córki są najstarsze (są bliźniaczkami), a więc wyklucza sytuację, gdy wiek córek wynosi 1 6 6 (wiersz 5). Zostaje nam juz tylko jedna kombinacja wieku córek z wiersza 6): 2 2 9.
Tak więc, córki dowcipnego taty-matematyka mają 2 latka, 2 latka i 9 lat.

Brakująca złotówka

Staszek, Tadek i Wiktor postanowili wspólnie kupić prezent urodzinowy dla swojego kolegi Zenka. Wybrali klocki, które kosztowały w sklepie 55 złotych. Każdy z nich dał Pani ekspedientce banknot 20-złotowy. Pani miała bardzo mało monet - dysponowała tylko trzema monetami 1-złotowymi. Chłopcy zrezygnowali z pozostałych 2 złotych reszty i każdy z nich wziął złotówkę reszty.
Jednak po wyjściu ze sklepu chłopcy się zreflektowali, że coś jest nie tak: Każdy z nich miał banknot 20-złotowy, czyli razem wszystkich pieniążków powinno być 60 złotych. Licząc te 60 złotych chłopcy stwierdzili, że każdy z nich zapłacił 19 złotych za prezent (dał banknot 20 złotowy i otrzymał złotówkę reszty) - czyli razem trzej chłopcy wyłożyli 57 złotych na prezent. Pani ekspedientka zatrzymała sobie 2 złote, co daje 59 złotych. Gdzie więc podziała się ostatnia złotówka z 60 złotych?

Rozwiązanie zadania

Policzmy jeszcze raz

Każdy z chłopców wyłożył 19 złotych, czyli razem prezent kosztował ich 57 złotych.
Z tych 57 złotych, 55 złotych to prezent, zaś 2 złote to darowana reszta Pani ekspedientce.

Jak rozkłada się 60 złotych?

55 złotych - prezent
2 złote - darowana reszta dla Pani ekspedientki
3 złote - reszta wydana chłopcom

Gdzie jest błąd w rozumowaniu chłopców?

Prześledźmy jeszcze raz rozumowanie chłopców. W treści zadania jest powiedziane:
-------------------
Każdy z nich miał banknot 20-złotowy, czyli razem wszystkich pieniążków powinno być 60 złotych. Licząc te 60 złotych chłopcy stwierdzili, że każdy z nich zapłacił 19 złotych za prezent (dał banknot 20 złotowy i otrzymał złotówkę reszty) - czyli razem trzej chłopcy wyłożyli 57 złotych na prezent. Pani ekspedientka zatrzymała sobie 2 złote, co daje 59 złotych. //Tu jest błąd.//
-------------------

Dodawali zamiast odejmować

Błędem jest dodanie 2 złotych do 57 złotych, bo to nie ma żadnego sensu. 57 złotych to kwota wydana na prezent (55 złotych) i darowana reszta Pani ekspedientce (2 złote). Sens mogłoby mieć odjęcie 2 złotych (darowanej reszty) od 57 złotych (wyłożonych pieniążków) by obliczyć cenę prezentu.

Gdzie jest 60 złotych?

Jeśli chcemy dodać coś do wyłożonych pieniążków (57 złotych) to, możemy dodać resztę, jaką otrzymali chłopcy (3 złote) i wówczas otrzymamy 60 złotych - całość kwoty, jaką dysponowali początkowo chłopcy i jakiej to kwoty próbowali się doliczyć.

Troje dzieci

Pewien matematyk siedząc na ławce w parku, mimowolnie był świadkiem rozmowy dwóch mężczyzn:
- Ile masz dzieci - pyta pierwszy rozmówca?
- Trójkę - odpowiada drugi rozmówca.
- Ładna liczba. Powiedz mi, ile maja lat? - dopytuje się pierwszy mężczyzna?
- Najmłodsze dziecko to śliczna Ania. W sumie mają...

Niestety, matematyk nie usłyszał ile lat łącznie mają dzieci drugiego mężczyzny. Słowa zagłuszył krzyk jednego z bawiących się dzieci. Gdy nastała cisza, pierwszy mężczyzna przemyślawszy sprawę stwierdził:

- Za mało danych by odgadnąć wiek Twoich dzieci.
- A rzeczywiście, masz rację - ze skruchą przyznał ojciec. - Powiem Ci zatem, że mój najstarszy syn uwielbia grejpfruty.

I w tym momencie rozległ się niemiłosierny wrzask kolejnego dziecka zagłuszając kompletnie dalszą rozmowę. Matematyk wstał z ławki i wolnym krokiem skierował się w głąb parku. Wiedział już, ile lat ma każde z dzieci drugiego mężczyzny. Czy Ty również potrafisz wymienić ich wiek?

Rozwiązanie zadania

Zwariowana rozmowa

Rozmowa jest zwariowana i nie ma na pozór sensu. Przynajmniej dla nas. Nie znamy żadnej liczby, nie mamy żadnej danej od której moglibyśmy zacząć.

Sprawdzamy wszystkie przypadki

Skoro nic nie wiemy, spróbujmy sprawdzić wszystkie możliwe przypadki począwszy do najmniejszej sumy. Będziemy sprawdzać, czy kolejne liczby oznaczające sumę lat dzieci spełniają warunki zadania.
Dodatkowo, wiek dzieci musi być liczbą całkowitą i każde z dzieci musi mieć przynajmniej rok (jest już na świecie). Z tego wynika, że najmniejsza sensowna suma lat trójki dzieci to 3 (mniejsze suma lat oznaczałyby wiek któregoś z dzieci równy 0)

Suma lat dzieci równa 3

Możliwe kombinacje:
    1+1+1 = 3
Odrzucamy gdyż istnieje najmłodsze dziecko (śliczna Ania) więc nie mogą to być trojaczki.

Suma lat dzieci równa 4

Możliwe kombinacje:
    1+1+2 = 4
Odrzucamy gdyż istnieje najmłodsze dziecko (śliczna Ania), więc dwójka młodszych dzieci nie może być bliźniakami w wieku 1 rok.

Suma lat dzieci równa 5

Możliwe kombinacje:
    1+2+2 = 4
    1+1+3 = 4
Kombinację wieku dzieci 1 rok, 1rok, 2 lata odrzucamy od razu gdyż istnieje najmłodsze dziecko (śliczna Ania), więc dwójka młodszych dzieci nie może być bliźniakami w wieku 1 rok.
Zostaje nam kombinacja 1 rok, 2 lata, 2 lata. Ta kombinacja wieku dzieci na pierwszy rzut oka pasuje. Jednak jest to jedna jedyna możliwość. Więc gdyby drugi rozmówca wymienił sumę swoich lat równą 5 to wówczas pierwszy mężczyzna nie zadawałby dodatkowego pytania, tylko od razu podał ile lat ma każde z dzieci.
Tak więc możliwości rozkładu wieku trójki dzieci dla podanej sumy (po wyeliminowaniu młodszych bliźniaków) musi być więcej niż jedna.

Suma lat dzieci równa 6

Możliwe kombinacje:
    1+1+4 = 6 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być dwoje młodszych bliźniaków - najmłodsza jest jedna Ania)
    1+2+3 = 6
    2+2+2 = 6 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być trojaczków - najmłodsza jest jedna Ania)
Znów zostaje nam tylko jedna kombinacja (rok, dwa lata, trzy lata). Gdyby to był szukany wiek dzieci, to wówczas nie było powodów by pierwszy rozmówca stwierdzał, że za mało danych. Skoro nie mógł zgadnąć wieku dzieci, to musi być więcej niż jedna kombinacja wieku dzieci o danej sumie lat i najmłodszym dziecku nie będącym bliźniakiem.

Suma lat dzieci równa 7

Możliwe kombinacje:
    1+1+5 = 7 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być dwoje młodszych bliźniaków - najmłodsza jest jedna Ania)
    1+2+4 = 7
    1+3+3 = 7
    2+2+3 = 7 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być dwoje młodszych bliźniaków - najmłodsza jest jedna Ania)
Ta sytuacja pasuje do zadania. Po wyeliminowaniu wieku dzieci 1,1,5 oraz 2,2,3 (nie pasują do faktu, że najmłodszym dzieckiem jest Ania) zostają nam 2 kombinacje: 1,2,4 oraz 1,3,3. Pierwszy rozmówca stwierdza "Za mało danych by odgadnąć wiek Twoich dzieci." co oznacza, że nie wie którą z dwóch możliwości wybrać. I tu drugi mężczyzna dopowiada, że najstarszy syn uwielbia grejpfruty, a więc dwójka najstarszych dzieci nie jest bliźniakami czyli odrzucamy kombinacje wieku dzieci 1,3,3.
Zostaje nam następująca kombinacja wieku dzieci: rok (śliczna Ania), dwa lata, cztery lata (wielbiciel grejpfrutów) - co stanowi rozwiązanie zadania.

Czy suma lat dzieci może być 8?

Wówczas otrzymamy następujące kombinacje wieku dzieci:
    1+1+6 = 8 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być dwoje młodszych bliźniaków - najmłodsza jest jedna Ania)
    1+2+5 = 8
    1+3+4 = 8
    2+2+4 = 8 (odrzucamy od razu, gdyż nie może być dwoje młodszych bliźniaków - najmłodsza jest jedna Ania)
    2+3+3 = 8
Jak widać, po eliminacji najmłodszych (1,1,6 oraz 2,2,4) i najstarszych (2,3,3) bliźniaków zostają nam 2 pary spełniające wszystkie warunki zadania: 1,2,5 oraz 1,3,4. W tej sytuacji pierwszy rozmówca nie mógłby wskazać wieku dzieci drugiego mężczyzny.

Czy suma lat dzieci może być 9 lub więcej?

Podobnie otrzymujemy, gdyby podana przez drugiego rozmówcę suma lat dzieci była 9 lub więcej. wówczas kombinacji wieku dzieci spełniających warunki zadania byłoby jeszcze więcej i pierwszy rozmówca nie podałby wieku dzieci.

Wiek dzieci drugiego rozmówcy

Tak więc drugi rozmówca musiał wymienić jako sumę wieku swoich dzieci liczbę 7, zaś wiek dzieci wynosi rok, 2 lata i 4 lata.

Sznurki

Masz dwa sznurki. Każdy sznurek spala się w ciągu godziny choć nierównomiernie - niektóre części sznurka palą się szybciej inne wolniej.
Jak odmierzyć przy ich pomocy 15 minut?

Rozwiązanie zadania

Nazwijmy pierwszy sznurek sznurkiem A, zaś drugi sznurek sznurkiem B.

1. Zapalamy obydwa końce sznurka A oraz jeden koniec sznurka B

2. Sznurek A wypali się po 30 minutach gdyż pala się oba końce na raz

1. W tym czasie wypali się 30 minut (połowa czasu) sznurka B

3. W chwili gdy sznurek A się wypali zapalamy drugi koniec sznurka B.

4. Ponieważ palą się oba końce sznurka B więc będą się palić nie 30 minut tylko 15 minut. Właśnie te 15 minut które odmierzamy.

1

---