1 Deterministycznymi nazywamy modele konstruowane przy założeniu że wszystkie informacje o własnościach sytemu i otoczenia są pewne. W modelach deterministycznych opis systemu i otoczenia nie zawiera zmiennych losowych. 2 Długością p-tej drogi p∈P^ab jest liczba węzłów albo liczba łuków w p-tej drodze. 3 Droga - Ciąg a,k...i,j,...l,b taki że a,k,i,j,l,b∈W tworzy drogę z a do b , gdy <a,k>, <k,.>, <.,i>, <i,j>, <j,.>, ... <.,l>, <l,b>∈L . 4 Drogą minimalną w sensie struktury w zbiorze P^ab nazywamy drogę p∈P^a^bo minimalnej liczbie węzłów (łuków) między a,b∈W. Dla P^ab≠Φ istnieje zawsze co najmniej jedna droga minimalna. 5 Dynamicznymi nazywamy modele odwzorowujące działanie systemu i otoczenie w czasie. 6 Jednorodny potok ruchu- potok ruchu spełniający warunek addytywności składowych przepływających łukami sieci transp nazywamy potokiem jednorodnym. Przy jednorodnym pr można zawsze rozszerzyć strukturę sieci transp do postaci w której liczność zbioru A jest równa liczności zbioru B. Przy jpr można dodawać składowe potoku płynące łukami i węzłami sieci transp w celu obliczenia obciążenia tych elementów. 7 Kongestia ruchu - sytuacje prowadzące do strat czasu wynikających ze wspólnego użytkowania drogi (ogólnie elementu , składnika sieci transportowej) przez wiele pojazdów tworzących potok ruchu nazywamy kongestią ruchu. 8 Koszt przewozu wiąże się kosztem przemieszczania ładunków i osób w systemie transp. Koszt przewozu odnosi się do odcinka drogi przewozu, całej drogi albo relacji przewozu ; może być wyrażony w jednostkach czasu , odległości albo pieniężnych ; jest uzależniony od intensywności potoku ruchu którym obciążony jest odpowiedni element systemu transportowego. Odwzorowaniem wyżej wymienionych własności są funkcje potoku ruchu określone na:-zbiorze łuków<i,j>∈L ,-zbiorze dróg p∈P^ab , P^ab⊂ P. -zbiorze relacji<a,b> gdzie a∈A , b∈B -zbiorze węzłów i∈W. Koszt przejścia potoku ruchu x : kij -koszt przejścia potoku ruchu xij łukiem <i,j> ; k^pab(x^pab)-koszt przejścia pr x^pab przez p.-tą drogę relacji<a,b> ; k^ab(x^ab)-koszt przejścia pr x^ab drogami relacji<a,b> ; ki(xi)-koszt przejścia pr xi przez i-ty węzeł. Składniki kosztu przewozu : -koszt ruchu pojazdów ; -koszt utrzymania elementu drogi , przez który przechodzi potok pojazdów -koszt budowy (zwrot nakładów na wyposażenie) elementu drogi Odwzorowanie kosztu przejścia potoku ruchu przy założeniu addytywności jej składników: kij(xij)=k^1ij(xij)+k^2ij(xij)+k^3ij 9 Pochodną kij(xij) względem xij nazywamy krańcowym kosztem przejścia jednostki potoku ruchu łukiem <i,j> przy obciążeniu tego łuku potokiem xij. mij=dkij(xij)/dxij . 10 Liniowymi nazywamy modele sys transp w których wszystkie warunki , ograniczenia i kryteria oceny są formami liniowymi względem zmiennych decyzyjnych. Zastosowania modeli liniowych : -zadania transportowe (jest modelem optymalnego organizowania ruchu w sposób minimalizujący koszt realizacji znp); -zadania przydziału (jest modelem optymalnego organizowania ruchu dla jednostkowego znp) ; -zadania wyznaczania minimalnej drogi (wyznacza minimalną drogę między wybraną parą węzłów sieci transp dla jednostkowego znp) ; -zadanie wyznaczania max przepływu o minimalnym koszcie (jest modelem optymalnego organizowania ruchu w sposób maksymalizujący wykorzystanie sieci transp) 12 Modele doboru środków do zadań - pierwszym krokiem konstruowania modeli jest ustalenie związków między wielkością zadań syst transp , wyposażeniem i kosztem realizacji ; drugim krokiem konstruowania modeli jest odwzorowanie rozłożenia środków (nakładów) w syst transp - modele takie nazywamy modelami rozłożenia środków. Problem rozkładania środków musi być rozpatrywany łącznie z problemem organizowania ruchu. Jest to powodem rozpatrywania problemu w dwóch ujęciach : -rozłożenia o minimalnym koszcie ; -rozłożenia równowagi. Układ rozwoju syst transp : s-nakłady na zakup , budowę i utrzymanie wyposażenia ; x-wielkość zadań ; y-średni jednostkowy koszt realizacji zadań : y=f(s,x)/x , f(s,x)-koszt realizacji zadań x przy środkach s. Średni koszt realizacji zadań : y=s/x + ϕ(s,x)/x ; ϕ(s,x)-straty ponoszone z powodu skończonej jakości realizacji zadań x przy wyposażeniu s. 13 Modele organizowania ruchu Założenia : -wyposażenie systemu transportowego , odwzorowane w sposób : G=<W,L> ; W-zbiór węzłów grafu ; L-zbiór łuków grafu , L⊂{<i,j>:i,j∈W} ; S=<G,Fw,FL> G-graf struktury sieci G=<W,L> Fw-zbiór funkcji określonych na zbiorze Fw:W→R , FL-zbiór funkcji określonych na zbiorze łuków grafu FL:L→R , R-zbiór liczb rzeczywistych ; - zapo -trzebowanie na przewóz (wydajność źródeł i chłonność ujść można nazwać zapotrzebowaniem na przewóz). Rozłożenie potoku ruchu w sieci transportowej : -rozłożenie o min koszcie (rezultatem działania jest rozwiązanie zadania rozłożenia potoku ruchu przy centralnym kryterium oceny jakości rozwiązania - ruch kolejowy) , -rozłożenie równowagi (brak w systemie transp organu planującego przewóz w sposób z centralizowany - ruch samochodów prywatnych). 14 Modelem obiektu jest taki opis obiektu , który podporządkowano celowi badań. Celem modelowania jest uzyskanie narzędzia umożliwiającego osiągnięcie celu badań. cel badań ↔ zadanie do rozwiązania , modelowanie obiektu ↔ konstruowanie modelu obiektu

32 Rozłożenie równowagi opisem organizacji ruchu jest rozłożenie potoku ruchu w drogach systemu transp. Jednocześnie przy założeniu potoku ruchu , ustalonym jako wynik wielu decyzji wielu niezależnych decydentów , żaden z tych decydentów nie może zwiększyć swojej korzyści zmieniając drogę. Tak ustalone rozłożenie potoku ruchu nazywamy rozłożeniem równowagi. Założenia rozłożenia potoku ruchu : -dane są koszty przewozu drogami systemu transp z dokładnością do funkcji wiążących koszt przewozu z intensywnością potoku ruchu ; -wybór drogi dokonywany jest niezależnie przez każdego z decydentów zgodnie z kryterium „max korzyści” , „minimum strat” przemieszczania ; -jednorodny potok ruchu pojazdów. Zasady WARDROPA : Zadanie rozłożenia potoku ruchu w sieci transportowej sformułujemy jak niżej : Dla danych <W,L> , [cij(•)] , [x^ab] obliczyć [xij]spełniające : -warunki realizacji znp 33 Ruch swobodny - ruch pojazdów z prędkością ograniczona charakterystykami trakcyjnymi oraz chwilową sytuacją na drodze nazywamy ruchem swobodnym. V=x(w)/w ; x(w)-intensywność potoku ; w-gęstość potoku ; v-średnia prędkość ruchu. 34 Ruch trasowany - ruch pojazdów według wcześniej ułożonego planu przydzielającego każdemu pojazdowi trasę w czasoprzestrzeni nazywamy ruchem trasowanym. 35 Siecią nazywamy graf , na zbiorach węzłów i łuków , którego są określone funkcje o wartościach rzeczywistych : S=<G,Fw,FL> G-graf struktury sieci G=<W,L> Fw-zbiór funkcji określonych na zbiorze Fw:W→R , FL-zbiór funkcji określonych na zbiorze łuków grafu FL:L→R , R-zbiór liczb rzeczywistych. 36 Siecią transportową nazywamy sieć o strukturze <W,L> w której wyróżniono dwa podzbiory węzłów A,B⊂W. Węzłom a∈A nadajemy interpretację źródeł potoku ruchu , a węzłem b∈B nadajemy interpretację ujść potoku ruchu. 37 Stackelberg'a - pojęcie równowagi w sensie Stackelberg'a , założenia : -system składa się z podsystemów , -każdy z podsystemów maksymalizuje swoje korzyści , -jeden z podsystemów jest wyróżniony co oznacza że : lider podejmuje decyzje jako pierwszy , lider zna funkcje korzyści innych podsystemów , lider narzuca ograniczenie pozostałym podsystemom , -pozostałe podsystemy nie tworzą koalicji. System znajduje się w stanie równowagi w sensie Stackelberg'a gdy każdy z podsystemów osiąga dodatkową korzyść wynikającą z uwzględnienia decyzji lidera. 38 Stanem systemu transportowego w chwili t nazywamy stan elementów zbioru A w chwili t. Ilustracją pojęcia stanu systemu transportowego może być stan elementów tworzących drogi sysu oraz stan pojazdów tworzących potok ruchu ,przepływający przez te elementy. 39 Statycznymi nazywamy modele odwzorowujące system i otoczenie w ustalonym stanie. Modele statyczne nie zawierają odwzorowania upływu czasu. 40 Statycznym modelem organizacji ruchu w systemie tarnsp jest rozłożenie potoku ruchu sieci transp przy określonym znp , skierowanym do tego systemu z otoczenia. Statycznym modelm organizowania ruchu w systemie transportowym jest zadanie rozłożenia potoku ruchu w sieci transp. 41 Stochastycznymi nazywamy modele w których odwzorowano niepewność informacji o własnościach systemu i otoczenia. W modelach stochastycznych opis systemu i otoczenia zawiera zmienne losowe . 42 Struktura modelu systemu transportowego G=<W,L> ; W-zbiór węzłów grafu ; L-zbiór łuków grafu , L⊂{<i,j>:i,j∈W} ; 43 Systemem nazywamy obiekt którego opis ma postać zbioru elementów powiązanych między sobą i otoczeniem w sposób umożliwiający osiągnięcie określonego celu. Cel działania systemu : -stopień realizacji celu działania , -koszt celu działania ,-ocena jakości syst 44 Systemem transportowym nazywamy system którego celem działania jest transport (przemieszczanie , przewóz) ludzi i ładunków. W systemie transp wyróżniamy następujące elementy : - elementy infrastruktury jako zbiór I przy czym I={I1,I2....In} I1-zbiór dróg kołowych w ST ; -elementy odpowiadające jednostkom transportowym jak zbiór J przy czym J={J1,J2,...Jn} J1-zbiór pojazdów samochodowych w ST a zatem , zbiór elementów A jest równy A=I∪J. 45 Stosunek kij(xij) nazywamy średnim kosztem przejścia jednostki potoku ruchu łukiem <i,j> przy obciążeniu tego łuku potokiem xij. cij=kij(xij)/xij Pochodną kij(xij) względem xij nazywamy krańcowym kosztem przejścia jednostki potoku ruchu łukiem <i,j> przy obciążeniu tego łuku potokiem xij. mij=dkij(xij)/dxij . 46 Warune nieujemność i addytywności potoku ruchu Potok płynący łukami sieci transp spełnia warunek nieujemności-NP. Warunek ten można odnieść do łuków w sieci , dróg w sieci oraz składowych potoku ruchu płynącego łukami sieci transportowej. Na składowych potoku ruchu o wartościach wyrażonych w takich samych jednostkach może być wykonywana operacja dodawania. O takim potoku mówimy że spełnia on warunek addytywności- AP. Wykorzystanie zasad nieujemności i addytywności potoku ruchu pozwala na wyznaczenie wielkości potoku ruchu przepływającego przez węzły sieci transp.Równania zachowania potoku : 47 Własności modelu sys transportowego:-struktura wiążąca , pkty powstania , przetwarzania i zanikania potoku ruchu,-charakterystyki techniczne,-potok ruchu wynikający z przemieszczania osób , ładunków ,-organizację wiążącą potok ruchu z elementami struktury systemu Model sys transp zawiera opis : -struktury sieci transport ,-charakterystyk węzłów i łuków sieci ,-potok ruchu przepływającego węzłami i łukami sieci , napływającego z otoczenia do i wypływającego z otoczenia ,-sposób organizowania ruchu w sieci transportowej. 48 Zapotrzebowanie na przewóz źródła i ujścia odwzorowują powiązania sys transp z otoczeniem w przepływie potoku. Wydajność źródeł i chłonność ujść można nadać interpretacją zapotrzebowania na przewóz.

15 Modelowania celem jest uzyskanie narzędzia pozwalającego na rozwiązanie postawionego zadania . Modelowanie obejmuje działania : -konstruowanie modelu , -eksperymentowanie z model. Celem m.: -uzyskanie informacji o rzeczywistym obiekcie , -budowa modelu pozwala na osiągnięcie celu. (na podst przeprowadzonych experyme) 16 Nash - równowaga w sensie NASH'A założenia : -system składa się z podsystemów ; -każdy z podsyst stara się maksymalizować własną korzyść ; -podsystemy nie tworzą koalicji. System znajduje się w stanie równowagi w sensie Nash'a gdy każdy z podsystemów znajduje się w stanie z którego wyjście nie zwiększa korzyści podsystemu. Oznacz to że żaden z podsystemów zmieniając swoje działanie nie może poprawić swojej sytuacji. Stan równowagi jest stabilnym stanem systemu. Stan równowagi systemu jest określony przez : -funkcje korzyści podsystemów , -więzy łączące podsystemy , -ograniczenia stanów podsystemów. Z def. Nash'a wynika że : w stanie równowagi dla każdej relacji przewozu czas jazdy wszystkimi wykorzystanymi drogami jest taki sam tzn że jest równy pewnej stałej wartości charakterystycznej dla układu sieci transp. 17 Nieliniowymi nazywamy modele sys transp zawierające jakiekolwiek nieliniowe względem zmiennych decyzyjnych odwzorowania własności sys transportowych. 18 Nieliniowym modelem organizowani ruchu nazywamy model rozłożenia potoku w sieci transp w którym zbiór równań określających zależności między zmiennymi decyzyjnymi (warunki , ograniczenia) zawiera równania nieliniowe. Nieliniowość związku kij(xij) jest odwzorowaniem ograniczeń sieci transp przy określonych własnościach potoku ruchu przepływającego przez tę sieć. Kryterium optymalnej organizacji ruchu jest wyrażone w postaci minimum kosztu ponoszonego przez : -system transportowy jako całość dla przypadku rozłożenia o minimalnym koszcie ; -każdego z dysponentów pojazdów tworzących potok ruchu dla przypadku rozłożenia równowagi. W wielu zastosowaniach nieliniowy związek y=f(x) można aproksymować funkcjami liniowymi. Czyni się to odcinając obszar rosnących strat ograniczeniami nałożonymi na wielkość potoku ruchu. W ten sposób dla każdego elementu sys transp może być określony obszar wykorzystywanej przepustowości i odwzorowany w modelu sys transpgo. 19 Organizacją ruchu plan przejścia potoku ruchu przez sieć transp spełniający warunek realizacji znp nazywamy organizacja ruchu. 20 Potok ściśle jednorodny -potok ruchu spełniający warunek addytywności w odniesieniu do źródeł i ujść sieci transp nazywamy pśj. Przy śjp ruchu można zawsze rozszerzyć strukturę sieci transp do postaci o jednym źródle i jednym ujściu. Nie jest potrzebne adresowanie potoku wypływającego ze źródła. Dla śjp ruchu wystarczy badanie modeli transp o jednej realizacji przewozu. 21 Potok ruchu - odwzorowaniem prze - mieszczania ładunków i osób w sys transp jest potok ruchu , przepływający przez węzły W i łuki L sieci o strukturze <W,L>. Potok ruchu możemy wyrazić w liczbie pojazdów na jednostkę czasu albo w liczbie jednostek potoku na jednostkę czasu. Węzeł-gdzie powst. potok ruchu to źródło,węzeł gdzie uchodzi pr - to ujście.

22 Procesem nazywamy zjawisko , którego opis ma postać związków między stanami systemu w czasie. Zapis formalny : P.:X×T→X×T' gdzie X - zbiór którego elementami są wszystkie cechy Xa elementów a∈A ; T,T'- zbiór chwil (momentów). 23 Procesem transportowym nazywamy proces którego opis ma postać związków między stanami system transportowego w czasie. 24 Dla ruchu swobodnego przepustowością elementu sieci jest wartość xm , charakteryzująca układ „element sieci - potok ruchu”. 25 Dla ruchu trasowanego przepustowością elementu sieci jest wartość dr , charakteryzująca wykres ruchu konstruowany dla układu „element sieci - potok ruchu”. Przy liczbie tras równej dr oczekiwana liczba sytuacji kolizyjnych w wykresie ruchu jest największa. 26 Przepustowością elementu sieci nazywamy największą intensywność potoku ruchu którą możemy ten element obciążyć. Miarą przepustowości jest intensywność potoku ruchu , tzn liczba jednostek ruchu która może przejść przez element sieci w jednostce czasu. 27 Realizacją procesu nazywamy przebieg zmian stanu systemu w określonym przedziale czasu. 28 Realizacją procesu transport nazywamy przebieg zmian stanu syst transport w określonym przedziale czasu. Jeżeli X jest zbiorem wszystkich możliwych stanów systemu S w chwili t, to funkcja P:T→X dla t ∈ T opisuje proces ,czyli zmiany stanu systemu w czasie T, a X(t) jest stanem systemu S w chwili t. Ilustracją pojęcia procesu transportowego może być zbiór formuł ,opisujących działanie systemu w czasie. Realizacją będzie wtedy działanie sys wg wymienionych formuł w określonym przedziale czasu , a opisem tej realizacji ,opis ciągu zmian stanu dróg i pojazdów od stanu początkowego w chwili początkowej do stanu końcowego w chwili końcowej przedziału czasu. 29 Realizacja przewozu -związek między dwoma węzłami sieci poprzez potok ruchu płynący między tymi węzłami. Jeżeli dopuścimy istnienie potoku ruchu o wielkości zerowej to każda para węzłów a,b∈W może tworzyć relację przewozu. Realizacją przewozu nazywamy uporządkowaną parę <a,b> której elementy są nazwami węzłów sieci transp a,b∈W a≠b. Pierwszy element pary nazywamy początkiem relacji , a drugi element pary nazywamy końcem przewozu.Zapotrzebowanie na przewóz znp , nazywamy potok ruchu który należy przeprowadzić przez sieć transp ze źródła do ujścia. 30 Rozłożenie o minimalnym koszcie : Statycznym modelem organizowania ruchu w systemie transportowym jest zadanie rozłożenia potoku ruchu w sieci transportowej. Dla kryterium prezentującego centralny dla całego systemu transp punkt widzenia optymalnym rozłożeniem potoku ruchu jest rozłożenie o minimalnym koszcie realizacji zapotrzebowania na przewóz. Rozłożenia potoku ruchu o min koszcie w ogólnej postaci sformułujemy przy założeniach :-dane jest zapotrzebowanie na przewóz z dokładnością do wartości liczbowych ; -dane są koszty przewozu drogami systemu transp ; -ruch pojaz. odbywa się drogami systemu transp wyznaczonymi przez plan ruchu ; -wybór dróg przewozu jest działaniem centralnym „maksimum korzyści” lub „minimum kosztu” systemu transp jako całości ; -jednorodny potok ruchu pojazdów ładownych ; -ściśle jednorodny potok ruchu pojazdów próżnych ; -zapotrzebnie na przewóz wyrażone bezpośrednio w liczbie pojazdów. Ogólna postać zadania rozłożenia potoku ruchu sformułujemy : Dla danych <W,L>, [cij(•)] , [x^ab] obliczyć [xij]spełniające: -warunki realizacji znp 31 Rozłożenie potoku ruchu w sieci transportowej :-rozłożenie dopuszczalne tzn spełniające • warunki realizacji znp • ograniczenia sieci transp -rozłożenie optymalne tzn spełniające • warunki i ograniczenia znp • minimalizujące koszt realizacji znp. Dla każdego znp istnieje rozwiązanie dopuszczalne rozłożenia ruchu w sieci transp dla danej struktury i charakterystyk tej sieci. Zadanie rozłożenia potoku ruchu w sieci transp jest liniowe lub nieliniowe względem zmiennych decyzyjnych zadania.

---