TYCZENIE PROSTYCH I POMIAR DŁUGOŚCI

1. Metody tyczenia prostych

- Tyczenie w przód

Podczas tyczenia obserwator znajdujący się na jednym końcu tyczonego odcinka widzi tyczkę na jego drugim końcu umówionym sygnałom może naprowadzić na prosta, tyczkę swojego pomocnika. Tyczenie w przód jest najprostszym, a jednocześnie najczęściej stosowanym przypadkiem bezpośredniego tyczenia prostej. Pierwszą czynnością jest zasygnalizowanie tyczkami końców odcinka, wewnątrz którego wytycza się pewną liczbę punktów pośrednich w kolejności: od najdalszego do najbliższego w stosunku do obserwatora (tyczącego).

Znajduje się on w odległości 3 - 5 m od punktu A i patrząc na tyczki skrajne wskazuje pomocnikowi za pomocą rąk kierunek przesunięcia trzymanej przez niego tyczki do chwili jej pokrycia się z tyczkami A,B. Wyciągnięta ręka obserwatora stanowi sygnał przemieszczania tyczki pośredniej, zaś obie ręce w górze sygnalizują, że należy wbić tyczkę, bo znalazła się już na tyczonej prostej.

- Tyczenie wstecz

Tyczenie wstecz (przedłużenie prostej) polega na wyznaczeniu punktów pośrednich na zewnątrz danego odcinka AB. Obserwator ustawia się w odległości 3-5 m od tyczki skrajnej B i patrząc w kierunku tyczki A sprowadza tyczkę trzymaną przez pomocnika do pokrycia się z tyczkami A,B. Pomocnik może również samodzielnie ustawić swą tyczkę na przedłużeniu jeśli zgra ja z tyczkami linii AB. Po wbiciu tyczki pierwszej może jeszcze raz sprawdzić prawidłowość jej ustawienia po oddaleniu się od niej na odległość 3-5 m.

- Tyczenie ze środka

Istota metody ze środka polega na wykonaniu obserwacji i wskazań przesunięć tyczek z punktów pośrednich, a nie jak poprzednio z punktów skrajnych, tu wzajemnie niewidocznych. Ilość punktów pośrednich zależy od liczby osób, biorących udział w tyczeniu, długości odcinka AB i warunków terenowych, a zwłaszcza kształtu części szczytowej wzniesienia. Z tych względów mogą być wykorzystywane trzy warianty metody z środka z zastosowaniem: dwóch, trzech lub czterech punktów pośrednich. Jedna z nich opisano poniżej.

W wariancie najprostszych polegającym na wytyczeniu dwóch punktów pośrednich, po zasygnalizowaniu tyczkami skrajnych punktów na części wierzchołkowej wzgórza ustawia się dwóch pomocników z tyczkami 1 i 2 w pobliżu na prostej AB w odległości co najmniej 50 m. Ze swych stanowisk powinni sprawdzić czy z punktu 1 widać tyczki w punktach 2, B, zaś ze stanowiska 2 czy widoczne SA tyczki 1, A. Jeśli widoczność jest zapewniona wówczas pomocnik 1 wytycza pomocnika 2 na prostą 1b, następnie pomocnik 2 naprowadza go na linię 2A po czym opisane postępowanie powtarza się wielokrotnie. Naprowadzenie wzajemne trwa do czasu aż tyczki pośrednie przestana być przemieszczane co świadczy o ich usytuowaniu na prostej AB.

Opisany sposób prosty tyczenia prostej może byćrówniez wykorzystywany w sytuacji gdy punkty A,B znajduja się na ścianach budynków lub litych ogrodzeniach przez co nie da się zastosowac tyczenia w przód, ponieważ obserwator nie może się ustawić za punktem skrajnym.

- Tyczenie przez przeszkody

Wyróżnić tu możemy:

a) tyczenie prostej przez wąska przeszkodę

jeśli prosta AB przechodzi przez niezbyt rozległą przeszkodę np. pojedynczy budynek, wówczas wytyczamy pomocniczą prostą AC omijającą przeszkodę lecz przechodzącą blisko niej. Na prostą AC rzutujemy AC rzutujemy prostopadłe węgielnicą punkt B i zaznaczamy punkt rzut B', zaś w trójkącie prostokątnym ABB' mierzymy długość przyprostokątnej BB'. Na prostej AC wybieramy punkty pośrednie 1' i 2', z których wystawiamy węgielnicą prostopadłe zaznaczając prowizorycznie ich końce. Prostopadłe powinny przechodzić po obu stronach przeszkody i przecinać się z prostą AB. Następnie mierzymy odległości: A1', A2', AB'. Szukane położenie punktów 1, 2 określimy po odmierzeniu na prostopadłych wyliczonych wczesnej odcinków: 11' i 22'.

Zgodnie z twierdzeniem Talesa lub na podstawie podobieństwa trójkątów można napisać:

Stąd długość szukanych odcinków 11' i 22' wyniesie: 11'= kA1' oraz 22' =A2'.

b) tyczenie prostej przez rozległa przeszkodę

Zastosowanie przedniego sposobu tyczenia prostej przez duże przeszkody prowadzi do znacznego odchylenia się prostej pomocniczej od linii AB, co bardzo obniża dokładność tyczenia. Obieramy punkt C z którego widać końce A,B tyczonej prostej i tak powstałym trójkącie ABC mierzymy długości ramion AC i BC. Dalsze czynności polegają na wyznaczaniu prostej DE równoległej do AB i położonej możliwie najbliżej niej. W tym celu odmierzamy odcinki AD i BE obliczone z zależności:

oraz

Jako liczbę n przyjmujemy najmniejszą liczbę całkowitą dobraną w taki sposób aby prosta DE ominęła przeszkodę.

Na tej prostej obieramy punkty Posernie: 1' i 2' tak, aby przedłużenia odcinków C1' oraz C2' minęły przeszkodę z obu stron i przecięły prostą AB w punktach 1, 2, których położenie mamy wyznaczyć. Punkty te uzyskamy po zmierzeniu długości: C1' i C2' i odłożeniu wyliczonych odległości 11' i 22' na przedłużeniach pomierzonych wcześniej odcinków.

Zgodnie z twierdzeniem Talesa można napisać:

11'= 1C : n oraz 22' = 2C : n

stąd : 11' = (11'+C1')1/n oraz 22'= (22'+C2')1/n

Po prostych przekształceniach otrzymamy ostatecznie:

oraz

Dokładność wyznaczania punktów pośrednich jest tym większa im bliżej prostej AB przebiega prosta równoległa DE. Z tych samych powodów należy dążyć do spełnienia warunków nieprzekraczania długości przedłużania ponad 1/3 długości odcinka przedłużanego.

- Tyczenie przecięcia się dwóch prostych

Zadanie to można wykonać następującymi sposobami:

a) pomocnik jest naprowadzany przez dwóch obserwatorów, których kolejne wskazania doprowadzają tyczkę pośrednią E do jednoczesnego pokrycia się tyczkami na prostych AB i CD.

b) na prostych AB i CD wytycza się przynajmniej po jednym punkcie pośrednim, po czym pomocnik, wykorzystując tyczenie wstecz, sam znajduje punkt przecięcia na przedłużeniach punktu skrajnego i pośredniego obu prostych.

c) na prostych AB i CD wytycza się po dwa punkty pośrednie położone blisko siebie, lecz po przeciwnych stronach punktu E. Pomiędzy wytyczonymi punktami rozciąga się sznurki i na ich przecięciu uzyskuje szukany punkt.

- Tyczenie za pomocą teodolitu

Pracę rozpoczynamy od centrycznego i poziomego ustawienia instrumentu nad punktem początkowym tyczonego odcinka. Po dokładnym wycelowaniu siatki celowniczej lunety na oś symetrii sygnału końcowego, blokujemy obrót alidady za pomocą jej śruby zaciskowej i utrzymujemy to ustawienie przez cały czas tyczenia. Dopuszczalne jest nato­miast pochylanie lunety. Dla pewności zachowania ustawienia początkowego można zano­tować aktualny odczyt na kole poziomym, określający dla tyczonej prostej orientację ali­dady względem limbusa i dający w razie potrzeby możliwość łatwego odtworzenia jej pierwotnej pozycji.

Tyczenie punktów pośrednich rozpoczynamy od punktu najdalszego po czym stopniowo zbliżając się do stanowiska instrumentu, wyznaczamy położenie pozostałych punktów na prostej. W trakcie tyczenia za pomocą umówionych sygnałów wizual­nych lub głosowych podawanych przez radiotelefon naprowadzamy pomocnika trzymają­cego tyczkę, palik lub szpilkę do położenia, w którym widziany w lunecie obraz osi przedmiotu celowania pokryje się z kreską pionową siatki celowniczej.

W terenie poziomym opisane czynności wykonuje się przeważnie tylko w jednym położeniu lunety, lecz jeśli końce odcinka znajdują się na różnych wysokościach, to wynik tyczenia może być obarczony błędami instrumentalnymi teodolitu (kolimacji, inklinacji, mimośrodu osi celowej). W tym przypadku każdy punkt pośredni trzeba tyczyć w dwóch położeniach lunety z jednoczesnym zaznaczaniem szpilkami obu pozycji punktu pośred­niego otrzymanych z l oraz II położenia, zaś jako ostateczne usytuowanie punktu przyj­mować środek odcinka odchyłki poprzecznej. Wytyczone punkty utrwalamy palikami, na których dokładny przebieg prostej powinien być zaznaczony poprzez wbicie gwoździa.

2. Tyczenie kąta 90 i 180

- z wykorzystaniem przymiarów liniowych

Wytyczenie kąta prostego z danego punktu P' na prostej AB polega na wystawie­niu z niego prostopadłej i zaznaczeniu na niej punktu P. Zadanie to można wykonać w te­renie za pomocą samych przymiarów liniowych poprzez zbudowanie następujących figur:

1) trójkąta równoramiennego, w którym odcinek PP' stanowi wysokość,

2) trójkąta prostokątnego, w którym odcinek PP' stanowi przyprostokątną,

3) dwóch trójkątów: równoramiennego i prostokątnego.

Realizacja tych figur opiera się na konstrukcjach stosowanych w geometrii ele­mentarnej.

W pierwszym przypadku na prostej AB po obu stronach punktu P' odmierzamy równe odcinki o długości a , uzyskując punkty C,D, aż nich zataczamy taśmą łuki o jed­nakowym promieniu b, przy czym b>a . W przecięciu łuków otrzymamy szukany punkt P, położony na prostopadłej do prostej AB. Wygodniejsze od zataczania łuków jest przyło­żenie do punktów C,D zer dwóch ruletek i uzyskanie punktu P na styku końców jednako­wych miar równych założonej długości odcinka b na obu przymiarach.

Drugi sposób polega na odmierzeniu od punktu P' wzdłuż prostej AB znanej odle­głości b, stanowiącej jedną z przyprostokątnych P'Q trójkąta prostokątnego PP'Q. Po przy­jęciu długości a drugiej przyprostokątnej P'P, obliczamy na podstawie twierdzenia Pitagorasa długość c przeciwprostokątnej PQ trójkąta.

Następnie za pomocą dwóch ruletek odmierzamy zaplanowane odcinki: a z punktu P' i c z punktu Q, otrzymując szukany punkt P na zetknięciu się końców powyż­szych miar.

Do tyczenia bez korzystania z węgielnicy dłuższych prostopa­dłych można zbudować w terenie konstrukcję złożoną z dwóch trójką­tów. Początek zadania realizujemy tak jak przy wy­znaczaniu trójkąta równobocznego, a więc po obu stronach punktu P' odmierzamy równe długości a, znaj­dując na prostej AB punkty C,D. Na­stępnie z punktu C odmierzamy od­cinek CE = 2a, tworzący z prostą AB kąt około 45°, przez co otrzymujemy położenie kolejnego punktu E. Utwo­rzony w ten sposób trójkąt równora­mienny CDE, którego ramiona mają jednakową długość 2a, posiada pod­stawę DE - 2b, którą należy teraz zmierzyć i obliczyć jej połowę, czyli pojedynczą dłu­gość b. Dla określenia położenia punktu P znajdującego się na prostopadłej PP' do prostej AB, należy od znanego punktu D wzdłuż prostej DE odłożyć odcinek: c = DP, obliczony w oparciu o wzór:

Powyższa zależność pochodzi z proporcji: c:2a = a:b wynikającej z podobieństwa trójkątów: CFD i PP'D.

- z wykorzystaniem węgielnicy

Elementami optycznymi węgielnicy zwierciadlanej są zamocowane we wspólnej oprawie dwa podłużne zwiercia­dła płaskie, tworzące z sobą kąt 45°. Przednia część oprawy jest otwarta, zaś na jej bokach, nad zwierciadłami wycięte są okienka, umożliwiające wchodzenie promieni świetlnych do wnętrza wę­gielnicy. Do spodniej ścianki oprawy przymocowana jest rączka do trzymania węgielnicy w palcach i zaczep do zawieszenia pionu sznurkowego.

Zasada działania tej węgielnicy opiera się prawie odbicia, według którego promień padający i promień odbi­ty leżą w jednej płaszczyźnie, prostopadłej do powierzchni zwier­ciadła, zaś kąty padania i odbicia są sobie równe.

Powyższy rysunek przedstawiający bieg promienia w węgielnicy zwierciadlanej zawiera dwa trójkąty CDE i CDP', których sumy kątów wynoszą:

Suma kątów trójkąta CDE: 45° +(90°-α)+(90º- β) = 180°,

skąd: α + β=45°

Suma kątów trójkąta CDP': 2α + 2β + φ = 180°

stąd: 2(α + β) + φ = 180°

po wprowadzeniu końcowych zależności z obu trójkątów do jednego równania otrzymamy:

2 x 45° + φ = 180° wiec ostatecznie φ = 90°

Wynika stąd, że kierunki promienia: wchodzącego do węgielnicy i wychodzącego z niej, tworzą ze sobą kąt ę równy kątowi prostemu, a więc tak skonstruowany przyrząd może być wykorzystany do tyczenia kątów prostych.

- z wykorzystaniem teodolitu

Do tyczenia bardzo długich odcinków, przekraczających 2 km, stosuje się inne postępowanie. Odcinek AB dzielimy w przybliżeniu na połowę wytyczając punkt pośredni S, na którym ustawiamy teodolit i bardzo starannie mierzymy kąt ASB, któ­rego lewe ramię wyznacza punkt początkowy A, zaś prawe ramię - punkt końcowy B. Jeśli wynik pomiaru jest różny od wartości wynoszącej dokładnie 180° (200^g), wówczas punkt S nie leży na prostej AB, lecz znajduje się poza nią w odległości d. Przesunięcie z punktu S do S'o odcinek d nastąpi w prawo (patrząc od strony punktu A), jeśli kąt ASB jest większy od 180°, zaś w lewo, gdy kąt ten jest mniejszy od 180°.

Z twierdzenia sinusowego w trójkącie ASB, po uwzględnieniu przybliżenia c = a+b, wynikają następujące związki:

;

Kąt γ jest mały toteż można przyjąć ze
zaś zgodnie z wcześniejszymi zależnościami możemy napisać :

Odległość d obliczona ze wzoru powyższego odkładamy wzdłuż dwusiecznej kąta ASB uzyskując w ten sposób położenia punktu pośredniego S''. Opisaną konstrukcję można również zastosować w przypadku gdy punkty A,B są wzajemnie niewidoczne wskutek przesłonięcia przez przeszkodę lub wzniesienia

3. Pomiar długości

- bezpośredni pomiar długości za pomocą taśmy stalowej i kompletu szpilek

Pomiar bezpośredni Olega na przyłożeniu wzorca odległości jakim jest przymiar o znanej długości l mierzonego boku i odczytu na podziałce przymiaru jego długości. Jeśli dany jest dłuższy od przymiaru wtedy wynik pomiaru odległości d składa się z całkowitej liczby n pełnych odłożeń przymiaru wewnątrz mierzonego odcinka oraz końcówki (reszty) r, będącej odcinkiem mniejszym od przymiaru, odczytywanym na jego podziałce.

d = nl + r

Podstawowy zestaw sprzętu do pomiaru długości składa się z: taśmy, kompletu szpilek, pionu, tyczek i stojaków do nich, szkicownika z założonym dziennikiem pomiaru bloczków. Dla uniknięcia później przykrych niespodzianek należy przed udaninem się w teren dokładnie skontrolować zabierany sprzęt, a zwłaszcza przymiary. W skład zespołu pomiarowego wchodzą: kierownik i dwóch lub trzech pomiarowych.

Pierwszą czynnością poprzedzającą właściwy pomiar taśmą jest z reguły sygnalizacja końców mierzonego odcinka prostej tyczkami oraz jej wytyczenie w taki sposób aby sąsiednie punkty były rozmieszczone w odległości nie większej niż 50 m. Należy przy tym zwracać uwagę na pionowe ustawienie wszystkich tyczek. Dalszy tok to czynności zależy od nachylenia i stopnia trudności terenu.

- poprawki i redukcje bezpośredniego pomiaru długości

Nominalna długość taśmy wynosząca np. 20 m może różnic się od jej długości rzeczywistej. Dodatkowo temperatura przymiaru podczas prac pomiarowych na ogół rożni się od tej, przy której badano laboratoryjnie rzeczywista długość przymiaru, czyli dokonywano komparacji taśmy. Z tych powodów wyniki dokładniejszych pomiarów muszą być poprawiane na: komparację, temperaturę taśmy oraz podczas pomiaru w terenie o stałym spadku także i na pochylnie mierzonego boku.

- pośredni pomiar długości

Pośredni pomiar liniowy polega na utworzeniu pewnej konstrukcji geometrycznej której znane lub bezpośrednio mierzone inne elementy (długości i kąty) pozwalają one na wyznaczenie szukającej odległości. Do metod pośrednich zaliczyć można też pomiar paralaktyczny oraz pomiary liniowe wykonywane przy użyciu dalmierzy optycznych i elektromagnetycznych.

Cechę charakterystyczną pośredniego pomiaru długości stanowi to, że szukana odległość nie jest przedmiotem obserwacji, lecz wyznacza się ją jako funkcję innych wiel­kości bezpośrednio mierzonych. Mogą nimi być pewne odległości lub kąty w figurach geometrycznych albo czas przebiegu fali elektromagnetycznej z punktu początkowego do punktu końcowego mierzonego odcinka i z powrotem. Wybór metody pomiaru pośrednie­go zależy od warunków terenowych, posiadanego sprzętu geodezyjnego i wymaganej do­kładności pomiaru.

Wobec wysokiej dokładności określenia długości dalmierzami elektromagnetycz­nymi, łatwości ich obsługi i dużego zasięgu oraz upowszechnienia techniki GPS nastąpiło ostatnio niemal całkowite zaprzestanie bezpośrednich pomiarów liniowych dla wyznacza­nia długich odległości np. boków poziomych osnów geodezyjnych. Przymiary taśmowe i drutowe są do tych celów używane coraz rzadziej, głównie ze względu na pracochłon­ność i uciążliwość pomiaru bezpośredniego, wzrastającą szczególnie przy dużych odległo­ściach i stromych nachyleniach. Rezultaty osiągane za pomocą dalmierzy i ich wbudowa­nie w zintegrowane tachimetry elektroniczne, zwane total station z automatyczną rejestracją danych zmieniły także tradycyjne sposoby pracy geodetów, umożliwiając na wszystkich etapach znaczne przyspieszenie robót i wzrost ich jakości, dzięki utworzeniu jednego zautomatyzowanego ciągu technologicznego przebiegającego od założenia osnowy pomiarowej, pomiaru sytuacyjno-wysokościowego z rejestracją ob­serwacji do ich komputerowego przetworzenia i wykonania mapy numerycznej oraz wy­kreślenia mapy graficznej na ploterze.

Przykład:

lo = 30 m w temperaturze +20ºC

ln = 30 m + dk

dk - poprawka komparacyjna

Tk = +20ºC

Tp = - 5ºC

n = 8 (ilość odłożeń)

r₁ = 21,36 m

r₂= 21,43 m

L₁ = 261,36 m

dk=+0,008

Długość po uwzględnieniu poprawki termicznej

---