Modele ARMA

W obecnych czasach matematyka stanowi niezastąpione narzędzie dla każdego kto zajmuje się analizą zjawisk ekonomicznych - począwszy od statystycznego ujęcia trendów występujących w gospodarce a skończywszy na tworzeniu abstrakcyjnych teorii systemów ekonomicznych. W najprostszym przypadku matematyka stanowi podstawę formułowania zależności występujących pomiędzy zmiennymi ekonomicznymi.

Model matematyczny opisujący dane zjawisko zachodzące w ekonomii może mieć postać między innymi funkcji, równania, układu równań. Proste modele ekonomiści łączą w złożone systemy, dzięki którym jesteśmy w stanie odpowiedzieć na szereg istotnych pytań (przykładowo jak zmiana cen paliw wpłynie na produkcję innych dóbr, ceny produktów, które kupujemy w sklepach, strukturę handlu zagranicznego, itd.). Dzięki tak utworzonym modelom opisującym zjawiska zachodzące w gospodarce jesteśmy również w stanie analizować skutek podejmowanych decyzji nim zostaną one jeszcze podjęte.

Głównym zadaniem ekonomii matematycznej jest analiza gotowych już modeli ekonomicznych - może to polegać na próbie odpowiedzi na pytania "co się stanie jeżeli wartość jednej ze zmiennych ulegnie zmianie?", "dla jakich wartości zmiennych model będzie znajdował się w równowadze?", "ile powinniśmy produkować aby zysk całkowity osiągnął wartość maksymalną?", itd. Aby odpowiedzieć na te i podobne pytania ekonomia matematyczna wykorzystuje m.in. rachunek różniczkowy, rachunek całkowy oraz algebrę macierzy.

Ekonomia matematyczna stanowi uzupełnienie innych obszarów nauki, między innymi:

statystyki (gromadzenie oraz prezentacja obserwowanych danych a także weryfikowanie stopnia dokładności badań oraz stawianych hipotez)

prognozowania (tworzenie prognoz na przyszłość w oparciu o stworzone modele matematyczne)

badań operacyjnych (ustalanie reguł postępowania umożliwiających podejmowanie racjonalnych decyzji)

Rozpatrujemy rynek towarów konsumpcyjnych, na którym można kupić n różnych towarów. Towary numerujemy kolejno od l do n. Przez x_i, (i =1,..., n) oznaczamy ilość i-tego towaru. Koszykiem towarów nazywamy każdy nieujemny wektor postaci x = (x₁, x₂,..., x_n) gdzie x_i (x_i>0) oznacza ilość i-tego towaru.

Przestrzenią towarów (dóbr) nazywamy zbiór
wszystkich nieujemnych koszyków towarów.

Przykład. Narysować w przestrzeni dóbr wszystkie koszyki
, gdzie
oznacza ilość jaj,
ilość mąki. Obliczyć wielkość koszyka
i odległość pomiędzy koszykami
i
.

Zbiór
nazywa się otwarty, jeżeli każdy element x zbioru Y należy do niego razem z pewnym otoczeniem
.

Przykład. Narysować w przestrzeni dóbr (z poprzedniego przykładu) wszystkie koszyki należące do otoczenia
.

Punkt
nazywa się punktem brzegowym zboru A, gdy w każdym otoczeniu tego punktu znajdują się punkty należące i punkty nie należące do zbioru A.

Zbiór
nazywa się domknięty, jeżeli Y zawiera wszystkie swoje punkty brzegowe.

Zbiór
nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje taka dodatnia liczba M, że odległość między dwoma dowolnymi koszykami z tego zbioru nie przekracza M.

Liniową kombinacją wypukłą koszyków x, y należących do
nazywamy każdy koszyk z postaci
gdzie
są takimi dowolnymi liczbami rzeczywistymi, że
oraz
.

W teorii konsumpcji zakłada się, że każdy konsument ma własne preferencje na pewnym podzbiorze przestrzeni towarów (dóbr). To oznacza, że dla dwóch dowolnych koszyków
i
konsument potrafi je uszeregować według stopnia pożądania i zawsze mamy jedną z trzech relacji:

Mówimy, że x jest (słabo) preferowany nad y (x
y) gdy x jest silnie preferowany nad y albo koszyki x i y są indyferentne (obojętne).

O relacji (słabej) preferencji zakładamy, że ma następujące właściwości:

Aksjomat 3 wprowadza liniowy porządek w przestrzeni dóbr i daje możliwość konsumentowi zawsze dokonywać konkretnego wyboru, natomiast aksjomat 2 wyklucza istnienie sytuacji, gdy konsument nie jest w stanie powiedzieć, który z koszyków jest lepszy.

Relacja indyferentności jest relacją równoważności, zatem dzieli przestrzeń dóbr na zbiory elementów indyferentnych (równoważnych); oczywiście zbiory te nie mają wspólnych punktów. Zbiory takie nazywają się obszarami obojętności. Obszar obojętności w przypadku dwóch dóbr nazywamy linią obojętności.

Rozpatrzmy rynek, na którym handluje się dwoma towarami, a więc przestrzeń towarów to zbiór R
. Zdefiniujmy relację preferencji w następujący sposób:

Zgodnie z definicją, krzywa obojętności względem danego koszyka
ma postać:
. Z twierdzenia l.l(b) wynika, że:

Ponieważ y jest dany, zatem znamy wartość iloczynu
. Niech
. Krzywa obojętności względem danego koszyka
jest w tym przypadku zbiorem postaci

Mając daną krzywą obojętności
, zastanówmy się teraz, gdzie są położone koszyki lepsze od koszyka y. W przypadku naszej relacji preferencji koszyki lepsze niż y są położone powyżej krzywej obojętności
. Naturalnie poniżej tej krzywej znajdują się koszyki gorsze niż y . Generalnie, im wyżej położona jest krzywa obojętności, tym lepsze są należące do niej koszyki towarów.

Powracając do rozważań ogólnych, załóżmy, że dana jest relacja preferencji konsumenta P oraz niepusty podzbiór M przestrzeni towarów R

Definicja. Koszyk
nazywamy optymalnym koszykiem w zbiorze M, jeżeli jest nie gorszy od każdego innego koszyka z tego zbioru, co zapisujemy:

Przytoczona definicja nie przesądza, czy koszyk
jest jedynym optymalnym koszykiem w zbiorze M.

W zależności od własności relacji preferencji P oraz własności zbioru M w zbiorze tym może istnieć wiele optymalnych koszyków, mogą w ogóle nie istnieć optymalne koszyki, wreszcie może istnieć dokładnie jeden optymalny koszyk. Z ekonomicznego punktu widzenia ostatni z wymienionych przypadków jest szczególnie interesujący, oznacza bowiem, że konsument potrafi jednoznacznie wskazać koszyk, którym jest najbardziej zainteresowany.

Definicja. Relację preferencji konsumenta
nazywamy ciągłą na przestrzeni towarów R
jeżeli dla dowolnych x, y ∈ R
takich, że
istnieją takie otoczenia
,
że, jeśli
i
, to
.

Mówiąc obrazowo, można powiedzieć, że jeżeli dla konsumenta kierującego się ciągłą relacją preferencji pewien koszyk x jest lepszy od koszyka y, to każdy koszyk x' „niewiele" różniący się od koszyka x jest lepszy od koszyka y' „niewiele" różniącego się od koszyka y.

Definicja. Relację preferencji P określoną na wypukłej przestrzeni towarów R
nazywamy silnie wypukłą na R
, jeżeli dla dowolnych α, β > 0 takich, że α + β = 1 i dla dowolnych x, y ∈ R
spełniony jest warunek:

Twierdzenie. Jeżeli relacja preferencji P jest silnie wypukła, to dla dowolnych α, β > 0 takich, że α + β = 1 i dla dowolnych x, y ∈ R
spełnione są warunki:

Twierdzenie to odsłania ekonomiczny sens definicji silnej wypukłości relacji preferencji. Wynika z niego, że jeżeli konsument kierujący się silnie wypukłą relacją preferencji uzna, że koszyk x jest lepszy od koszyka y, to uzna także, że każda kombinacja koszyków x i y jest lepsza od koszyka y. Jeżeli natomiast stwierdzi, że koszyki x i y są dla niego jednakowo dobre, to każda kombinacja tych koszyków będzie dla niego lepsza zarówno od samego koszyka x, jak też od samego koszyka y.

Twierdzenie. Niech
. Jeżeli relacja preferencji P jest ciągła i silnie wypukła, a zbiór M jest domknięty, ograniczony i wypukły, to w zbiorze M istnieje dokładnie jeden optymalny koszyk towarów
.

Z przykładu wiemy, że krzywe obojętności w tym przypadku mają kształt hiperboli. Ponadto im wyżej położona jest krzywa obojętności, tym lepsze są należące do niej koszyki towarów. Optymalny koszyk towarów
w zbiorze M jest zatem punktem wspólnym zbioru M i możliwie najwyżej położonej krzywej obojętności.

Jeżeli przez l > 0 oznaczymy dochód konsumenta, a przez
wektor cen poszczególnych towarów, to konsumenta stać jedynie na te koszyki x ∈ R
, których wartość
nie przekracza l. zbiór wszystkich koszyków dostępnych dla konsumenta dysponującego dochodem I przy cenach
oznaczamy symbolem D(p, I). jest to zbiór o następującej postaci:

Definicja. Linią (płaszczyzną) budżetową nazywamy zbiór wszystkich tych koszyków, których kupno wymaga wydania całego dochodu, tj. zbiór

W przypadku dwóch towarów zbiór koszyków dostępnych konsumentowi ma postać
.

Nachylenie linii budżetu ma jasną interpretacje ekonomiczną: mierzy ono stopę według której konsument jest skłonny zamienić dobro pierwsze na dobro drugie :

Linia budżetu ma 3 parametry
, które mogą się zmienić. Z równania wynika, że wzrost dochodu (budżetu) przesunie równolegle do góry linię budżetu i nie zmieni kont nachylenia. Zmniejszenie ceny dobra pierwszego powoduje przesunięcie punktu przecięcia linii budżetu z poziomą osią na prawo. To znaczy, prosta staje się mniej stroma.