TEORIA PREFERENCJI KONSUMENTA

1. Użyteczność kardynalna i porządkowa

2. Nowoczesna teoria preferencji konsumenta

3. Twierdzenia dotyczące funkcji użyteczności

4. Maksymalizacja użyteczności

WPROWADZENIE DO TEORII

KONSUMENTA I POPYTU RYNKOWEGO

1. Funkcje popytu konsumenta: przedstawienie graficzne

2. Funkcja popytu

3. Uogólnione funkcje popytu

4. Funkcje popytu Cobb-Douglasa

5. Funkcje popytu rynkowego

ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI POPYTU

INDYWIDUALNEGO I RYNKOWEGO

1. Definicja elastyczności

2. Elastyczność funkcji popytu liniowej i nieliniowej

3. Elastyczność i przychody całkowite

4. Przychody całkowite, przeciętne i krańcowe wzdłuż nieliniowych krzywych popytu

*

TEORIA PREFERENCJI KONSUMENTA

Użyteczność kardynalna i porządkowa

Użyteczność interpretowana jest jako pewien dający się zmierzyć poziom zadowolenia, jaki konsument osiąga dzięki konsumpcji dobra (Jeremi Bentham).

Użyteczność traktowano jako mierzalną zgodnie z przyjętymi standardami. Dzięki temu można porównywać ją między osobami i można również dodawać użyteczności poszczególnych jednostek.

Wskaźnik, podobnie do użyteczności, jeśli przypisuje wartości liczbowe określany jest mianem kardynalnego. Wskaźnik użyteczności kardynalnej umożliwia porównywanie użyteczności poszczególnych jednostek.

Koncepcja użyteczności jest użyteczna jako sposób przedstawienia preferencji konsumenta względem koszyków dóbr. Jedyne, czego potrzebujemy aby skonstruować wskaźnik użyteczności, to reguła przypisująca większe liczby do koszyków bardziej preferowanych. Wskaźnik jest porządkowy, jeśli przedstawia sposób uporządkowania koszyków konsumpcyjnych.

Nowoczesna teoria preferencji konsumenta

W nowoczesnej teorii wskaźnik użyteczności jest przedstawieniem porządkowych preferencji konsumenta.

Aby przyjrzeć się bliżej tej teorii przyjmijmy, że mamy tylko dwa dobra: X oraz Y. Konsumenci porządkują koszyki z dobrami konsumpcyjnymi i dokonują wyboru. Każdy koszyk zawiera x jednostek dobra X i y jednostek dobra Y.

Twierdzenia dotyczące preferencji konsumenta (zgodne z własnościami liczb rzeczywistych)

Aby przedstawić preferencje konsumenta dotyczące koszyków dóbr przy wykorzystaniu wskaźnika wyrażonego za pomocą liczb rzeczywistych, musimy przyjąć założenia dotyczące tych preferencji, które są zgodne z własnościami liczb rzeczywistych.

Twierdzenie 1: Preferencje są spójne (zupełne).

W odniesieniu do każdej pary koszyków A i B, konsument może dokonać każdego z następujących trzech porównań:

1. A jest preferowane względem B (A^PB).

2. B jest preferowane względem A (B^PA).

3. A jest obojętne względem B (A^IB).

Uporządkowanie koszyków zrobione przez konsumenta określamy mianem uporządkowania preferencji.

TWIERDZENIE 2: Preferencje są zwrotne

Jeżeli konsument ma do wyboru dwa identyczne koszyki, czyli A = B pod każdym względem, to jest mu obojętne, który z nich wybierze. Oznacza to, że jeśli A i B są takie same, to konsument oceni je tak samo.

TWIERDZENIE 3: Preferencje są przechodnie

Jeżeli konsument preferuje A względem B oraz B względem C, to konsument preferuje A względem C: A^PB i B^PC
A^PC.

Jeśli natomiast konsumentowi jest obojętne A czy B oraz B czy C, to konsumentowi jest obojętne A czy C:A^IB i B^IC
A^IC.

Z tego twierdzenia wynika, że preferencje konsumenta są wewnętrznie zgodne.

TWIERDZENIE 4: Preferencje są ciągłe.

Jeżeli koszyk A jest preferowany względem B, a koszyk C jest dostatecznie blisko koszyka B (B jest granicą C), to również A jest preferowany względem C:A^PB i C
B
A^PC.

Twierdzenia 1 - 4 wzięte razem stanowią podstawowe cechy liczb rzeczywistych, z których chcemy skorzystać przy konstruowaniu wskaźników użyteczności:

Twierdzenie 1 głosi, że każdemu punktowi na osi liczbowej przyporządkowana jest pewna wartość.

Twierdzenie 2 głosi, że dwa identyczne punkty na osi liczbowej mają identyczną wartość.

Twierdzenie 3 głosi, że jeżeli x jest większe od y i y jest większe od z, to x musi być większe od z.

Twierdzenie 4 głosi, że jeżeli x > y na osi liczbowej, to istnieje liczba y' (między x I y), taka, że x > y'.

Jeżeli preferencje nie spełniają pierwszych trzech warunków, to nie możemy ich przedstawić za pomocą liczb rzeczywistych, nawet porządkowo.

Wszystkie cztery twierdzenia są konieczne I wystarczające dla istnienia liczbowej reprezentacji.

Taką funkcyjną zależność przypisującą liczby koszykom nazywamy funkcją użyteczności. Dla dwóch dóbr można ją zapisać w postaci: U = U(x, y).

Nienasycenie i malejąca krańcowa stopa substytucji (MRS)

Następne dwa założenia umożliwiają ekonomistom korzystać z rachunku optymalizacyjnego przy ograniczeniu w celu analizowania wyboru konsumenta.

TWIERDZENIE 5: Preferencje charakteryzuje nienasycenie.

Konsument ma dwa koszyki, A i B, takie że X w A równa się X w B, ale Y w A jest większe od Y w B. W takiej sytuacji konsument zawsze preferuje A względem B. Podobnie, jeżeli Y w A równa się Y w B, ale X w A jest większe niż X w B, to konsument preferuje A względem B.

Innymi słowy, jeżeli A równa się B w jednym wymiarze, ale jest większe od B w innym wymiarze, to A jest preferowane względem B („więcej znaczy lepiej”).

Twierdzenie 6 można sformułować na wiele sposobów. Podstawą jest to, że krzywe obojętności są gładkie i wypukłe względem początku układu współrzędnych.

Aby wprowadzić to twierdzenie, zdefiniujemy pojęcie określane mianem krańcowej stopy substytucji wzdłuż krzywej obojętności.

Pojedynczą krzywą obojętności można opisać funkcją:

y = f(x,
). Nachylenie krzywej obojętności definiujemy więc:
.

Natomiast krańcową stopę substytucji Y na X definiujemy jako ujemne nachylenie krzywej obojętności:

MRS_yx

.

Wiemy, że warunkiem wystarczającym przy optymalizacji przy liniowym ograniczeniu jest to aby powierzchnia funkcji celu była wypukła względem początku układu współrzędnych. Aby krzywe obojętności miały ten kształt muszą mieć ujemne nachylenie (pierwsze pochodne) i dodatnie drugie pochodne:

,
.

Tłumacząc to na MRS możemy powiedzieć, że jeżeli nachylenie jest ujemne, to MRS jest dodatnie. Jeżeli druga pochodna jest dodatnia, to nachylenie MRS musi być ujemne:

,
.

Tak więc MRS jest malejące.

TWIERDZENIE 6: Krzywe obojętności charakteryzują malejące krańcowe stopy substytucji.

MRS i użyteczność krańcowa (MU)

MRS możemy również przedstawić jako stosunek MUs. Po pierwsze, rozważmy ogólną postać funkcji użyteczności

U(x, y) i zapiszmy jej różniczkę zupełną:

,

gdzie:
= użyteczność krańcowa X (MU_x)

= użyteczność krańcowa Y (MU_y).

Wiemy, że wzdłuż krzywej obojętności użyteczność jest stała, czyli dU = 0:

.

Dlatego:

.

Maksymalizacja użyteczności

Zbiór osiągalny koszyków konsumpcyjnych jest to zbiór, który nie jest zbyt drogi przy danym ograniczeniu budżetowym konsumenta (rys. 5.7).

p_x = cena dobra X

p_y = cena dobra Y

M = dochód konsumenta.

Wydatki na konsumpcję muszą być mniejsze lub równe dochodowi konsumenta: p_xx + p_yy ≤ M.

Przyjmujemy, że cały dochód jest wydawany na dwa dobra:

p_xx + p_yy = M.

Dlatego:
nazywamy ograniczeniem budżetowym.

Nachylenie linii ograniczenia budżetowego wynosi:
.

Problem konsumenta maksymalizacji przy ograniczeniu

Uogólniając problem konsumenta polega na (rys. 5.8):

maksymalizacji U = U(x, y) : funkcja celu

przy ograniczeniu: M ≥ p_xx + p_yy : ograniczenie budżetowe

Przyjmując, że ograniczenie przyjmuje postać równania możemy zapisać Lagrangian:

.

Warunki pierwszego rzędu:

.

Rozwiązujemy dla
z pierwszych dwóch warunków pierwszego rzędu:

.

Dlatego:
.

Ale:
.

A więc:
.

WPROWADZENIE DO TEORII

KONSUMENTA I POPYTU RYNKOWEGO

Funkcje popytu konsumenta:

przedstawienie graficzne

W teorii konsumenta warunek jednakowych nachyleń zrównuje MRS ze stosunkiem cen. Z tego warunku możemy wyprowadzić funkcję w przestrzeni xy opisującą wybór konsumenta maksymalizujący użyteczność przy każdym poziomie dochodu i stałych cenach. Ekonomiści nazywają tę funkcję krzywą ekspansji dochodowej (rys. 6.1).

Wielkość popytu jako funkcja dochodu

Aby wyznaczyć wielkość popytu jako funkcję dochodu przy stałych cenach, bierzemy punkty z krzywej ekspansji dochodowej i streszczamy zależność między dochodem i x* (y*) jako zmienną zależną. Dochód jest zmienną niezależną.

Na przykład, wyprowadźmy wykres y jako funkcji dochodu przy założeniu, że x jest zawsze wybrany optymalnie:

.

Ekonomiści nazywają ten wykres krzywą Engla (rys.6.2).

Dobra normalne i niższego rzędu

Rys. 6.3

Krzywa ekspansji cenowej

Rys. 6.5: zbiór linii ograniczenia budżetowego.

Jeżeli określimy wybór maksymalizujący użyteczność dla każdej linii ograniczenia budżetowego, to będziemy mogli wyznaczyć jeszcze jedną funkcję y* i x* przy zmieniającej się p_x i stałym dochodzie i stałej p_y:

.

Ekonomiści nazywają tą funkcję krzywą ekspansji cenowej. (Rys. 6.6).

Normalna krzywa popytu

Mając wyznaczoną krzywą ekspansji cenowej możemy określić wielkość popytu X jako funkcję ceny tego dobra. Bierzemy punkty krzywej i przenosimy je na wykres, na którym x jest zmienną zależną a p_x jest zmienną niezależną przy p_y i dochodzie stałym:

.

Otrzymaną funkcję nazywamy funkcją popytu zwyczajnego na X. Przekształćmy jednak otrzymany wykres w taki sposób aby cena znalazła się na osi pionowej, a wielkość popytu na poziomej, otrzymamy wtedy funkcję popytu odwrotnego:

.

Rys. 6.7.

Krzywa popytu opadająca i wznosząca się

Rys. 6.8.

Funkcje popytu mieszanego: dobra substytucyjne i komplementarne

Funkcja popytu mieszanego:

Substytuty brutto (rys. 6.9) - gdy dochód jest stały, a użyteczność zmienia się.

Dobra komplementarne brutto (rys. 6.10)

Uogólnione funkcje popytu

Aby matematycznie wyprowadzić wyrażenia na funkcje popytu, które przedstawiliśmy graficznie, zaczynamy od maksymalizacji użyteczności:

(U = xy + x + y , x, y ≥ 0)

przy ograniczeniu budżetowym:

(M = p_xx + p_yy ).

Z problemu maksymalizacji możemy wyprowadzić wyrażenie na wielkość popytu jako funkcję wszystkich cen i dochodu. Nazywamy ją uogólnioną funkcją popytu. Z tej funkcji możemy wyprowadzić funkcję popytu zwyczajnego, krzywą Engla, funkcje popytu mieszanego dzięki uczynieniu poszczególnych cen i dochodu zmienną.

Wyprowadzenie uogólnionej funkcji popytu

Funkcja użyteczności konsumenta:

U = xy + x + y, x, y ≥ 0.

Problem maksymalizacji użyteczności konsumenta:

max U = xy + x + y

p.w. M - p_xx - p_yy = 0

Funkcja Lagrange'a:

L = xy + x + y + λ( M - p_xx - p_yy)

Warunki pierwszego rzędu:

Zrównujemy wartośćλ* z pierwszych dwóch warunków pierwszego rzędu:

Możemy teraz wyprowadzić krzywą ekspansji dochodowej rozwiązując powyższe wyrażenie dla y:

Wstawiamy je do trzeciego warunku pierwszego rzędu:

Tym sposobem otrzymujemy uogólnioną postać funkcji popytu:

Aby wyznaczyć uogólnioną funkcję popytu na Y, wstawiamy wyrażenie na x* do wyrażenia na krzywą ekspansji dochodowej:

(8)

Wyprowadzenie funkcji popytu jednej zmiennej

Aby teraz wyprowadzić funkcje popytu będące funkcjami jednej zmiennej zaczynamy od przyjęcia jako stałe, (parametry) wszystkie zmienne niezależne, a następnie pojedynczo pozwalamy im się zmieniać. A więc z uogólnionych funkcji popytu:

i

Krzywe Engla:

i

Funkcje popytu zwyczajnego:

i

Funkcje popytu mieszanego:

i

Funkcje popytu Cobb-Douglasa

Ważne jest aby posługiwać się funkcjami popytu, które są homogeniczne stopnia 0 względem wszystkich cen i dochodu. Szczególną funkcją użyteczności, z której można wyprowadzić bardzo proste funkcje popytu jest uogólniona funkcja użyteczności Cobb-Douglasa.

U = x^αy^β , x, y > 0

Wyprowadzenie funkcji popytu

max U = x^αy^β

p.w.: M - p_xy - p_yy ≥ 0.

Nie musimy stosować ograniczeń nieujemnych, gdyż krzywe obojętności są hiperbolami równoosiowymi asymptotycznymi względem osi. To eliminuje możliwość rozwiązań brzegowych. Przyjmując więc, że ograniczenie budżetowe ma postać równania, Lagrangian jest następujący:

L = x^αy^β + λ( M - p_xx - p_yy)

Warunki pierwszego rzędu:

Rozwiązując dla ၬ*:

Krzywa ekspansji dochodowej:

Wstawiając
trzeciego warunku pierwszego rzędu:

Czyli,

Przekształcając:
aby otrzymać
I odwracając otrzymane wyrażenie otrzymujemy uogólnioną funkcję popytu na X:

Wstawiając
do równania
, uogólniona funkcja popytu na Y:

Odnotujmy interesujące cechy charakterystyczne otrzymanych funkcji popytu. Po pierwsze, wykładnik każdego z dóbr podzielony przez sumę wykładników przedstawia udział w dochodzie wydatków na każde z dóbr:

ၡ/(ၡ+ၢ) udział w dochodzie wydatków na x*

ၢ/(ၡ+ၢ) udział w dochodzie wydatków na y*

Ponadto funkcje popytu mogą być przekształcone do postaci liniowych dzięki wykorzystaniu logarytmów.

Rynkowe funkcje popytu

Funkcja popytu rynkowego przedstawia całkowite wielkości popytu na danym rynku zgłaszane przez wszystkich konsumentów przy każdej cenie. Otrzymujemy ją dzięki zsumowaniu funkcji indywidualnych popytów. Jeżeli więc
jest funkcją popytu zwyczajnego na X osoby i's, to funkcję popytu rynkowego otrzymujemy sumując wszystkie funkcje popytu indywidualnego dla wszystkich n osób:

(Rys.6.13).

ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI POPYTU

INDYWIDUALNEGO I RYNKOWEGO

Definicja elastyczności

Elastyczność cenowa popytu, elastyczność dochodowa popytu, mieszana elastyczność cenowa popytu.

Elastyczność funkcji popytu liniowej i nieliniowej

Rys. 7.1, Rys. 7.2.

Popyt doskonale elastyczny i doskonale nieelastyczny

Rys. 7.3

Funkcje popytu o stałej elastyczności

Wzdłuż nieliniowych funkcji popytu elastyczność może być stała lub różna w każdym punkcie wykresu. Zaczniemy od funkcji funkcje o stałej elastyczności, w przypadku której w każdym punkcie wykresu elastyczność jest taka sama. Dzieje się tak, gdyż zmiana nachylenia wykresu zawsze równa się zmianie stosunku p_x/x. Uogólniona postać funkcji popytu o stałej elastyczności jest następująca:

x = A(p_x)^-k

gdzie A i k są dodatnimi stałymi.

Dlatego pomnożenie przez p_x/x:

.

Z tego równania wynika, że:

k > 1, popyt jest wszędzie elastyczny;

k = 1, popyt jest wszędzie jednostkowo elastyczny;

k < 1, popyt jest wszędzie nieelastyczny;

Inne nieliniowe funkcje popytu mają różne elastyczności w poszczególnych punktach wykresów.

Elastyczność i przychody całkowite

Rys. 7.4

Przychody całkowite, przeciętne i krańcowe wzdłuż nieliniowych krzywych popytu

Nieliniowe krzywe popytu mogą mieć stałe lub zmieniające się elastyczności. W przypadku funkcji popytu o stałej elastyczności MR mogą być dodatnie, 0, lub ujemne. Z tego wynika, że TR albo rosną, są stałe, albo maleją wraz ze wzrostem x.

.

Z ostatniego równania wynika, że jeżeli k > 1 (popyt elastyczny), MR są dodatnie; jeżeli k = 1 (jednostkowo elastyczny) MR wynoszą 0; i jeżeli k < 1 (nieelastyczny), MR są ujemne.

1

---