Efektywność i wymiana

Zastosowanie teorii popytu konsumpcyjnego

1. Efektywność

2. Wymiana w Skrzynce Edgeworth'a

3. Równowaga doskonale konkurencyjna w gospodarce z dwoma osobami i dwoma dobrami

4. Problem dystrybucyjny

5. Inny proces alokacji zasobów i optymalność w sensie Pareta

*

Efektywność

Efektywna alokacja = alokacja optymalna w sensie Pareta: nie można polepszyć sytuacji jednej osoby bez pogorszenia położenia co najmniej jednej, innej osoby.

Konstruowanie skrzynki Edgeworth'a

Rysunki: 9.1, 9.2 i 9.3.

Wyznaczanie optymalności Pareto w Skrzynce Edgeworth'a

Zaczynamy od punktu (x_A, y_A), (x_B, y_B) na rys. 9.4. Obszar zacieniowany zawiera punkty należące do wyższych krzywych obojętności obu osób - pokazuje więc potencjalne korzyści z wymiany.

Wyznaczenie punktu styczności - rys. 9.5: Najwyższy poziom użyteczności konsumenta A bez obniżania użyteczności konsumenta B poniżej zadanego poziomu
wynosi: U*_A, co określa alokację: (x*_A, y*_A) dla osoby A oraz (
- x*_A,
- y*_A) dla osoby B.

Rys. 9.6: jednakowe nachylenie krzywych obojętności obu konsumentów w punkcje styczności.

Rys. 9.7: wyznaczenie krzywej kontraktowej.

Matematyczne własności optimum w sensie Pareta

max U_A(x_A, y_A)

p. w.: U_B(x_B, y_B) =

x_A + x_B =
⇒ x_B =
- x_A

y_A + y_B =
⇒ y_B =
- y_A

Po wstawieniu dwóch ostatnich warunków ograniczających do funkcji użyteczności osoby B konstruujemy funkcję Lagrange'a:

Warunki konieczne:

ale:
i:

Po dokonaniu podstawień:

Rozwiązanie dla λ:

Dlatego:
.

Warunek zrównania MRS osoby A z MRS osoby B charakteryzuje alokację optymalną w sensie Paret'a dóbr X i Y w dwuosobowej gospodarce.

Uogólnienie dla n konsumentów i m dóbr: max użyteczności jednej osoby przy ograniczeniu użyteczności wszystkich pozostałych osób. Rozwiązanie warunków pierwszego rzędu głosi, że MRSy równają się sobie dla wszystkich osób dla wszystkich par dóbr:

MRS_1,ij = ... = MRS n,ij i, j = 1, ... , m, i ≠ j.

Wymiana w Skrzynce Edgeworth'a

Każdy konsument zaczyna od swojego wyposażenia początkowego w każde z dwóch dóbr. Obaj konsumenci mogą dokonywać wymiany.

Zał.: obaj konsumenci zachowują się konkurencyjnie, czyli są cenobiorcami.

Oznaczenia: X i Y = dobra w gospodarce

A i B = konsumenci

(
,
) = wyposażenie początkowe A w dobro X i Y

(
,
) = wyposażenie początkowe B w dobro X i Y

+
=
= dostępna wielkość X

+
=
= dostępna wielkość Y

Wyposażenia początkowe i korzyści z wymiany w Skrzynce Edgeworth'a

Rys. 9.8: punkt wyposażenia początkowego IE, poza krzywą kontraktową, czyli konsumenci mogą dokonać wymiany i wejść na wyższe krzywe obojętności realizując potencjalne korzyści z wymiany.

Handel i określanie cen przez licytatora

Licytator ogłasza konsumentom ceny obu dóbr. Przyjmując te ceny jako parametry konsumenci mogą obliczyć swoje dochody dzięki obliczeniu wartości wyposażeń początkowych. Następnie mogą oni max ich użyteczności przy ograniczeniach budżetowych zdefiniowanych przy wykorzystaniu obliczonych dochodów i podanych cen. (Np. konsumenci sprzedają swoje wyposażenia początkowe po cenach rynkowych i następnie za uzyskane dochody kupują koszyki dóbr max ich użyteczność przy tych samych cenach.)

Ponieważ funkcje popytu są homogeniczne stopnia 0 względem cen i dochodu, to wszystkie zbiory cen zachowujące relacje cen podanych przez licytatora są równoważne przy określaniu zachowania konsumenta w tym modelu. Np.: licytator ogłosił ceny: p_x i p_y.

Dochód konsumenta A: M_A = p_x
+ p_y
.

Wiadomo, że pomnożenie wszystkich cen i dochodu przez dowolną dodatnią stałą np. 1/p_y, nie zmienia linii ograniczenia budżetowego, czyli:
jest tym samym ograniczeniem budżetowym, co M_A = p_x
+ p_y
. Pomnożenie obu cen przez 1/p_y oznacza pomnożenie dochodu przez 1/p_y.

Dochód konsumenta B jest wyznaczany w ten sam sposób:
.

Ponieważ możemy podzielić każde wyrażenie w równaniu budżetowym przez p_y i nie zmienimy położenia linii ograniczenia, to oznacza, że liczą się tylko ceny względne. Ceny p_x i p_y i dochód M są równoważne cenom p_x/p_y, 1 i dochodowi M/p_y. Obydwa zbiory cen i dochodu prowadzą do tego samego zbioru dostępnego i dlatego do tych samych wyborów.

Normalizacja - wyrażenie dochodu i cen jako stosunków względem jednej ceny równej dodatniej stałej np. dla p_y = 1: problemy przyjmują postać:

A : maxU_A(x_A, y_A) p.w.: p_xx_A + y_A = p_x
+

B : maxU_B(x_B, y_B) p.w.: p_xx_B + y_B = p_x
+
.

Znormalizowany budżet konsumenta i proponowana wymiana

Po normalizacji równanie ograniczenia budżetowego konsumenta A: M_A = p_x
+
= p_xx_A + y_A,

a dla konsumenta B: M_B = p_x
+
= p_xx_B + y_B.

Przy cenach i dochodach przedstawionych w ten sposób dla każdego konsumenta, wyposażenie początkowe (
,
) i każdy punkt satysfakcjonujący równanie budżetowe należą do linii ograniczenia budżetowego. Dlatego dla każdego konsumenta dokonującego wymiany w skrzynce Edgeworth'a przyjmujemy, że linia ograniczenia budżetowego przechodzi przez punkt wyposażenia początkowego i ma nachylenie równe stosunkowi cen. (rys. 9.9: A; rys. 9.10: B)

Każdy konsument dąży do maxU przy ograniczeniu w postaci własnego ograniczenia budżetowego i anonsuje alokację, jaką chciałby nabyć. Rys. 9.11: różnica między wyposażeniem początkowym i koszykiem maxU osoby A.

Wielkość x*_A >
, czyli osoba A chce dokupić x*_A -
do wyposażenia początkowego. Przy dodatnich cenach linia nachylenia budżetowego ma nachylenie ujemne. Jeżeli więc x*_A >
, to y*_A musi być mniejsze od
aby konsument pozostał na swej linii ograniczenia budżetowego. Oznacza to, że osoba A chce dla równowagi sprzedać:
- y*_A . Mówimy, że proponuje wymianę (
- y*_A) za (x*_A -
). Ten sposób wymiany jest równoważny sprzedaży całego wyposażenia początkowego (
,
) i zakupowi koszyka maxU: (x*_A, y*_A). Z punktu widzenia konsumenta A ta wymiana to kupno netto dobra X oraz sprzedaż netto dobra Y.

Dla osoby B x*_B musi być mniejsze od
i y*_B musi być większe od
, czyli B chce sprzedać: (
- x*_B) i kupić: (y*_B -
), a więc chce on zamienić (
- x*_B) za (y*_B -
). Rys. 9.12.

Wyznaczanie równowagi

Przy danych, ogłoszonych cenach osoba A chce kupić X i sprzedać Y, a osoba B chce kupić Y i sprzedać X. Nie ma powodu aby uważać, że przy podanych przez licytatora cenach A będzie chciał kupić X dokładnie tyle, co B będzie chciał sprzedać oraz, że B będzie chciał kupić Y dokładnie tyle, co A będzie chciał sprzedać. Aby osiągnąć równowagę podaż netto i popyt netto muszą być sobie równe na obu rynkach:

popyt netto (x_A) = (x*_A -
) = (
- x*_B) = podaż netto (x_B)

popyt netto (y_B) = (y*_B -
) = (
- y*_A) = podaż netto (y_A).

Jeżeli podaż netto nie równa się popytowi netto, to licytator musi zaproponować inny stosunek cen. Rys. 9.13: stosunek cen prowadzi do nadwyżki Y i niedoboru X.

Przy tych znormalizowanych cenach osoba A chce sprzedać więcej Y niż osoba B chce kupić. Natomiast B nie chce sprzedać dostatecznie dużo X aby wystarczyło dla A. Linia GG' przedstawia ograniczenie budżetowe o nachyleniu (-p_x/p_y) przechodzące przez punkt wyposażenia początkowego. Osoba A maxU w punkcie (x*_A, y*_A), a osoba B: (x*_B, y*_B). Ta alokacja nie jest osiągalna, gdyż popyt na X jest większy niż dostępna podaż oraz jest nadwyżka podaży Y przy bieżących cenach.

Jeśli przyjmiemy, że konsumenci sprzedają swoje wyposażenia początkowe i następnie wyrażają popyty wyznaczone przez budżety, to możemy sprawdzić czy alokacja jest w równowadze dzięki porównaniu całkowitej podaży i całkowitego popytu na obu rynkach. Na każdym rynku popyt jest sumą popytów indywidualnych i podaż rynkowa jest sumą podaży zgłaszanych przez wszystkie jednostki. Równowaga na każdym rynku wyznaczona jest w punkcie przecięcia opadającej krzywej popytu z pionową krzywą podaży. Jeżeli popyt przewyższa podaż, to mamy nadwyżkę popytu i licytator powinien obniżyć cenę. Przy większej podaży od popytu mamy nadwyżkę podaży i licytator powinien obniżyć cenę. Rys. 9.14 przedstawia sytuację z rysunku 9.13.

Lewy wykres: p_x jest zbyt niska powodując nadwyżkowy popyt i niedobór X; Prawy wykres: p_y jest zbyt wysoka powodując nadwyżkową podaż i nadwyżkę Y. Aby ceny osiągnęły poziom równowagowy licytator musi podnieść cenę X względem ceny Y, czyli podnieść p_x.

Zaanonsowana zostaje wyższa cena X i popyt zrównuje się z podażą na rynku X. Rys. 9.15: bardzo ważny wynik: przy dwóch dobrach równowaga na rynku X automatycznie określa równowagę na rynku Y.

Dzieje się tak, gdyż równowaga na rynku X wymaga aby krzywe obojętności konsumentów były styczne. W punkcie styczności rynek Y musi osiągnąć równowagę (prawo Walras'a). Warunki równowagi można przedstawić w postaci:

x*_A + x*_B =
oraz y*_A + y*_B =
.

Tâtonnement i równowaga doskonale konkurencyjna

Proces dochodzenia do równowagi (opisany) nosi nazwę tâtonnement (próby i błędy). Licytator próbuje dostosować ceny na podstawie nadwyżek popytu i podaży. Przy nadwyżce popytu cena względna musi być zwiększona, a przy nadwyżce podaży - obniżona. Proces kończy się gdy popyt równa się podaży na wszystkich rynkach. Tak osiągniętą równowagę nazywamy równowagą ogólną. W równowadze ogólnej istniejący zbiór cen względnych i alokację dóbr między konsumentami charakteryzuje:

1. Zrównanie popytu i podaży na wszystkich rynkach;

2. Maksymalizacja użyteczności przy ograniczeniach budżetowych wyznaczonych przy tych stosunkach cen.

Z drugiej cechy wynika, że MRSy są równe dla wszystkich konsumentów i jednocześnie są one równe stosunkowi cen, gdyż wszyscy konsumenci napotykają ten sam stosunek cen: MRS_A = MRS_B = p_x/p_y.

Pierwsze Twierdzenie Teorii Dobrobytu

Z równań:

MRS_1,ij = ... = MRS n,ij i, j = 1, ... , m, i ≠ j oraz:

MRS_A = MRS_B = p_x/p_y wynika, że zarówno optimum Pareta, jak i równowaga doskonale konkurencyjna posiadają cechę polegającą na tym, że MRS równają się dla wszystkich konsumentów. Wynika z tego, że równowaga doskonale konkurencyjna jest optymalna w sensie Pareta. Jest to prawda zawsze, gdy preferencje konsumentów spełniają warunki 1-6 oraz gdy preferencje lub konsumpcja żadnego konsumenta nie wchodzą do funkcji użyteczności jakiegokolwiek innego konsumenta. Nie ma wtedy efektów zewnętrznych w konsumpcji: nie żadnego altruizmu, żadnych fizycznych efektów zewnętrznych jak np. oddziaływanie palenia papierosów na niepalących. Ten wynik określany jest mianem pierwszego fundamentalnego twierdzenia ekonomii dobrobytu. W sytuacji czystej wymiany, jeżeli preferencje konsumentów są complete, refexiv, transitive, continuous, charakteryzują się nienasyceniem malejącymi MRSami i nie ma efektów zewnętrznych w konsumpcji, to każda równowaga czystej wymiany jest optymalna w sensie Pareta. Przy tych warunkach rezultat ten jest prawdziwy dla wielu konsumentów i wielu dóbr.

Równowaga doskonale konkurencyjna w gospodarce z dwoma osobami i dwoma dobrami

Użyteczność konsumentów opisują funkcje:

U_A = x_Ay_A i U_B = x_By_B .

Wyposażenia początkowe wynoszą:

= 90;
= 35;
= 30;
= 25.

Całkowite ilości dostępne w gospodarce:

+
= 120 = podaż X

+
= 60 = podaż Y.

W równowadze wielkość popytu musi równać się wielkości podaży, czyli popyt równa się podaży:

x*_A + x*_B =
=
+

y*_A + y*_B =
=
+
.

Powyższe warunki oczyszczania rynku określamy mianem warunków równowagi doskonale konkurencyjnej. Po normalizacji, czyli dla p_y = 1, równania budżetowe można zapisać:

A: p_xx_A + y_A = 90p_x + 35

B: p_xx_B + y_B = 30p_x + 25.

Wyznaczanie cen względnych w równowadze

Problem konsumenta A:

maxU_A = x_Ay_A

p.w. p_xx_A + y_A = 90p_x + 35

Lagrancgian:

Warunki pierwszego rzędu:

Rozwiązanie dla λ_A:

λ_A = x_A = y_A(1/p_x).

Po wstawieniu rozwiązania dla λ_A do ostatniego warunku koniecznego:

90p_x + 35 - p_xy_A(1/p_x) - y_A = 0

⇒ y_A = 45p_x + 17,5 : funkcja popytu na Y.

Po wstawieniu wzoru funkcji popytu na Y do rozwiązania dla λ_A:

X_A = (1/p_x)(45p_x + 17,5)

⇒ x_A = 45 + 17,5(1/p_x) : funkcja popytu na X.

Problem konsumenta B:

MaxU_B = x_By_B

p.w. p_xx_B + y_B = 30p_x + 25

Lagrancgian:

Warunki pierwszego rzędu:

Rozwiązanie dla λ_B:

λ_B = x_B = y_B(1/p_x).

Po wstawieniu rozwiązania dla λ_B do ostatniego warunku koniecznego:

30p_x + 25 - p_xy_B(1/p_x) - y_B = 0

⇒ y_B = 15p_x + 12,5 : funkcja popytu na Y.

Po wstawieniu wzoru funkcji popytu na Y do rozwiązania dla λ_B:

x_B = (1/p_x)(15p_x + 12,5)

⇒ x_B = 15 + 12,5(1/p_x) : funkcja popytu na X.

Aby wyznaczyć wielkości w równowadze i znormalizowaną cenę X możemy zsumować oba równania popytu na Y i zrównać tę sumę z całkowitą ilością Y dostępną w gospodarce. Otrzymane równanie opisuje równowagę na rynku Y: popyt konsumentów = dostępnej podaży.

y_A = 45p_x + 17,5

y_B = 15p_x + 12,5

y_A + y_B = 45p_x + 17,5 + 15p_x + 12,5 =
+
.

Dlatego: 60p_x + 30 = 60 ⇒ p_x = ½ .

Alokacja w równowadze doskonale konkurencyjnej

Cenę p_x = ½ wstawiamy do czterech funkcji popytu:

y_A = 45 ½ + 17,5 = 40

y_B = 15 ½ + 12,5 = 20

x_A = 45 + 17,5 (2) = 80

x_B = 15 + 12,5 (2) = 40.

Możemy sprawdzić uzyskane odpowiedzi aby przekonać się, czy spełniają one warunki równowagi:

x_A + x_B = 80 + 40 = 120

y_A + y_B = 40 + 20 = 60.

Sprawdzamy zrównanie się MRSów ze stosunkiem cen:

MRS = MU_x/MU_y = y/x

MRS_A = y_A/x_A = 40/80 = ½

MRS_B = y_B/x_B = 20/40 = ½

Dlatego: MRS_A = MRS_B = p_x/p_y = ½ .

Problem dystrybucyjny

Prawdą jest, że każda równowaga doskonale konkurencyjna jest optymalna w sensie Pareta. Istnieje wiele optimów w sensie Pareta, z których tylko niektóre polepszają sytuację obu konsumentów w porównaniu do ich punktów wyposażenia początkowego. W Skrzynce Edgeworth'a krzywą kontraktową tworzą punkty, w których zrównują się MRSy obu konsumentów, czyli są one efektywne w sensie Pareta. Intuicyjnie możemy stwierdzić, że konsumenci będą handlować aby skonsumować korzyści z wymiany dochodząc do porozumienia na krzywej kontraktowej.

Optymalność Pareta i rozwiązania korzystniejsze w sensie Pareta (Pareto superiority)

Rys. 9.16: wszystkie punkty krzywej kontraktowej między
i
reprezentują alokacje optymalne w sensie Pareta. Jednocześnie sytuacja obu konsumentów poprawi się jeśli znajdą się w którymś z nich w porównaniu do punktu wyposażenia początkowego.

Punkty, w których sytuacja co najmniej jednej osoby polepszy się i niczyja się nie pogorszy, określamy mianem punktów korzystniejszych w sensie Pareta (zacieniony obszar). Po dokonaniu alokacji początkowej każdy punkt na krzywej kontraktowej z obszaru zacienionego (np. równowaga doskonale konkurencyjna) jest jednocześnie optymalny w sensie Pareta i korzystniejszy w sensie Pareta. Alokacje są efektywne i niczyja sytuacja nie pogorszyła się po wymianie. Punkty z krzywej kontraktowej poza obszarem zacieniowanym są optymalne w sensie Pareta, a le nie są korzystniejsze w sensie Pareta. W takim punkcie - optymalnym w sensie Pareta - co najmniej jeden uczestnik wymiany pogorszy swoje położenie w stosunku do punktu wyposażenia początkowego.

Dochodzenie do równowagi doskonale konkurencyjnej i dystrybucja wyposażenia początkowego

Rys. 9.17: punkty C i D są optymalne w sensie Pareta.

Osoba A preferuje D, a osoba B - C. Nawet po wprowadzeniu równej alokacji w E, A będzie preferować D, a B - C. Równowaga doskonale konkurencyjna jest jedynym optimum w sensie Pareta, które zarówno jest korzystniejsze w sensie Pareta w stosunku do wyposażenia początkowego, jak i zgodne z linią ograniczenia budżetowego przechodzącą przez punkt wyposażenia początkowego. (W niektórych szczególnych przypadkach może istnieć więcej niż jedna równowaga doskonale konkurencyjna dla danego wyposażenia początkowego.) Istnieje jednak nieskończenie wiele optimów w sensie Pareta wzdłuż krzywej kontraktowej, które jednocześnie są korzystniejsze względem wyposażenia początkowego, ale nie są równowagami doskonale konkurencyjnymi. Dlatego ostateczna alokacja powinna być osiągnięta w punkcie równowagi doskonale konkurencyjnej.

Optimum Pareto wybrane w procesie dochodzenia do równowagi doskonale konkurencyjnej zależy od wyposażenia początkowego. Jeżeli jedna osoba jest względnie „bogata” a druga „biedna” w wyposażenie początkowe, to proces dochodzenia do równowagi doskonale konkurencyjnej poprawi sytuację obu osób w porównaniu do punktu wyposażenia początkowego i osiągnie optimum w sensie Pareta. Ale nierówność (niesprawiedliwość) siły nabywczej nie ulegnie zmianie pod działaniem sił rynkowych doskonale konkurencyjnych. Rys. 9.18: w punkcie wyposażenia początkowego osoba A posiada więcej obu dóbr.

W punkcie równowagi doskonale konkurencyjnej sytuacja obu osób polepszyła się w porównaniu do wyposażenia początkowego, ale A w dalszym ciągu konsumuje większą część obu dóbr.

Inny proces alokacji zasobów

i optymalność w sensie Pareta

Dochodzenie do równowagi doskonale konkurencyjnej prowadzi gospodarkę do optimum w sensie Pareta. Jednocześnie w optimum Pareta niektórzy konsumenci mogą być bardzo biedni, a inni bardzo bogaci w zależności od wyposażenia początkowego. Ekonomiści nie oceniają sprawiedliwości dystrybucji wyposażenia początkowego, ale politycy i obywatele robią to. Jednym z celów ekonomii dobrobyt jest oddziaływanie na efektywną dystrybucję zasobów gwarantującą równiejszą dystrybucję konsumpcji końcowej. Jeżeli osoba planująca zna preferencje wszystkich członków społeczeństwa i całkowite zasoby dóbr, to można znaleźć takie optimum w sensie Pareta, w którym osiągana jest pożądana dystrybucja roszczeń dotyczących konsumpcji i dobra są rozprowadzane do konsumpcji. Wtedy jeśli jacyś konsumenci zdecydowaliby się na dokonanie wymiany, to nie byłoby punktu do zrobienia tego, gdyż oryginalna dystrybucja wyczerpała już korzyści z wymiany.

Drugie fundamentalne twierdzenie ekonomii dobrobytu

Przedstawione rozwiązanie wymaga aby planista miał więcej informacji na temat preferencji konsumentów niż można posiąść. Prostym rozwiązaniem redystrybucji jest zmiana wyposażeń początkowych w kierunku wyrównania posiadania. Po dokonaniu transferu wyposażeń początkowych jednostki handlują między sobą uruchamiając proces dochodzenia do równowagi doskonale konkurencyjnej, będącej optimum w sensie Pareta.

Przy tych samych założeniach, jak te poczynione dla pierwszego fundamentalnego twierdzenia ekonomii dobrobytu, każdy punkt na krzywej kontraktowej może być punktem równowagi doskonale konkurencyjnej dzięki zręcznej zmianie wyposażeń początkowych. Jest to drugie fundamentalne twierdzenie ekonomii dobrobytu przy czystej wymianie.

Rys. 9.19: ilustruje drugie fundamentalne twierdzenie ekonomii dobrobytu: dla pierwotnego wyposażenia początkowego równowaga doskonale konkurencyjna zostałaby osiągnięta w punkcie D i osoba A byłaby względnie bogata, a B - biedna. Nowa równowaga doskonale konkurencyjna w punkcie F może być osiągnięta po przekazaniu części obu dóbr osobie B i rozpoczęciu wymiany.

---