m*a­_ρ=m*(ρ''-φ^'2ρ)=ΣP_ρ ρ- oznacza literę ro

m*a_φ=m*(ρ*φ''+2φ''*ρ)=ΣP_φ(ρ,φ,z)

m*a_z=m*z''=ΣP_z

To są równania różniczkowe w układzie walcowym.

W ogólnym przypadku siła może być funkcją P^→(t,r^→_,V^→)

P_x=ΣP_x=P_x(t,x,y,z,V_x,V_y,V_z)

P_y=ΣP_y=P_y(t,x,y,z,V_x,V_y,V_z)

P_z=ΣP_z=P_z (t,x,y,z,V_x,V_y,V_z)

W wyniku całkowania równań (α) otrzymuje się :

x=x(t,c₁,c₂,c₃,c₄,c₅,c₆)

y=y(t,c₁,c₂,c₃,c₄,c₅,c₆)

z=z(t,c₁,c₂,c₃,c₄,c₅,c₆)

Stałe całkowania wyznaczamy z warunków początkowych:

Np. x=x_o

r^→=r^→_o y=y_o

t=t_o V^→=V^→_o LUB z=z_o

V_x=V_xo

V_y=V_yo

V_z=V_zo

Szczególne przypadki ruchu punktu materialnego.

1.Ruch pod działaniem stałej siły (ruch jednostajnie przyspieszony).

RYSUNEK!!! P=const

m*a_x=m*x''=ΣP_x=P

1. Zasad d'Alamberta:

Rysunek!!! +Wzory!!!

2. Kręt układu punktów materialnych.

Rysunek!!! +Wzory!!!

Pochodna względem ciasnego krętu układu punktów materialnych obliczanego względem dowolnego nieruchomego bieguna O równa się sumie geometrycznej momentów wszystkich sił zewnętrznych względem tego bieguna np.:

dKz/dt = ΣMz

Jeżeli ΣMio^→ = 0 Ko^→ = const

Jeżeli ΣMz = 0 Kz = const

W przypadku bryły sztywnej suma prac wykonanych przez siły wewnętrzne równa się 0. T₂ - T₁ = Σ^z_1-2

DYNAMIKA!!!

Dynamika jest działem mechaniki badającym zależność pomiędzy ruchem punktu lub bryły a siłami działającymi na nie będącymi przyczyną ruchu.

_Vo∫^V dV/P(V)=1/m*₀∫^t dt=1/m*t

V=φ(t,V_o) V=dx/dt

dx/dt=φ(t,V_o)

4.Ruch pod działaniem siły zależnej od położenia.

P=P(x) RYSUNEK!!!

m*a_x=ΣP_x=P(x)

m*dV/dt=P(x)

a=dV/dt=dV/dx*dx/dt V=V(x(t))

dV/dt=V*dV/dx

m*V*dV/dx=P(x)

m*_Vo∫^V V*dV=_Xo∫^x P(x)*dx

Dynamika nieswobodnego punktu materialnego.

Rozpatrzmy ruch nieswobodnego punktu materialnego, który w skutek nałożonych na niego więzów może się poruszać po pewnej krzywej L. RYSUNEK!!!

R -reakcje więzów P^→=ΣP­i­^→

m*a^→=P^→+R^→ a_τ=s''=dV/dt

τ: m*a_τ=m*s''=m*dV/dt=P_τ+R_τ (1)

η: m*a_η=m*V²/ρ=P_η+R_η (2) ρ - oznacza literę ro

β: m*a_β=m*O=P_β+R_β (3)

niewiadome: V=ds./dt , R_τ , R_η , R_β

Gdy linia L jest chropowata, a więc gdy mamy do czynienia z tarciem ślizgowym, wówczas dochodzi czwarte równanie.

Ze względu na przyczyny wywołujące drgania możemy je podzielić na:

1. Własne (swobodne) są to drgania wywołane jednorazowym wytrąceniem punktu materialnego z położenia równowagi sprężystej, po czym punkt sam wykonuje drgania pod działaniem sił sprężystych.

2. Drgania wymuszone - są to drgania związane z siłami zewnętrznymi, związanymi w czasie.

3. Drgania parametryczne - wywołane okresową zmianą parametru (np. zmianą sztywności).

4. Drgania samo wzbudne - drgania wzbudzane poprzez siły spowodowane samym ruchem (np. przez siły tarcia).

Drgania mogą być dalej nietłumione (bez oporów) lub tłumione (wskutek występowania oporów ruchu).

Główne założenia dotyczące drgań są następujące:

1. siły sprężystości są proporcjonalne do wychylenia (jest to słuszne dla małych wychyleń)

2. siły oporu są proporcjonalne do pierwszej potęgi prędkości tzw. tłumione wiskotyczne (słuszne dla małych wychyleń)

3. w dalszym ciągu rozpatrujemy drgania podłużne, liniowe i skrętne o jednym stopniu swobody.

Dynamika ruchu względnego punktu materialnego.

RYSUNEK!!!

m*a^→=P^→+R^→

a^→=a_u^→+a_w^→+a_c^→

a_u^→=a_o^→+ω^→x(ω^→xρ^→)+ε^→xρ^→ x- w tych przypadkach oznacza iloczyn wektorowy

a_w^→=dw^→/dt a_c=2w^→xω^→

m*(a_u^→+a_w^→+a_c^→)=P^→+R^→

m*a_w^→=P^→+R^→-m*a_u^→-m*a_c^→

m*a_w^→=P^→+R^→+A_u^→+A_c^→

A_u^→= -m*a_u^→

A_c^→= -m*a_c^→

Drgania punktu materialnego.

Drganiem lub ruchem drgającym nazywamy ruch w dostatecznie małym otoczeniu położenia swojej równowagi stałej tego punktu. Jeżeli ruch ten ma charakter okresowy to jest w pewnym odstępie czasu T zwanym okresem, punkt materialny doznaje tego samego wychylenia i ma tą samą amplitudę to ruch drgający nazywamy okresowym. Dalsze rozważania dotyczą drgań mechanicznych o jednym stopniu swobody.

Typy drgań;

-podłużne

-poprzeczne (gięte)

-skrętne RYSUNKI!!!

T= -μ*N

N=√R²_η+R²_β

Rozważmy przypadek gdy torem jest ruch koła o promieniu r załóżmy że linia koła jest idealnie gładka:

P^→=0 R_τ=0

1) m*dV/dt=0 V=const

2) ρ=r m*V²/r=R_η - jest to siła dośrodkowa

3) O=0 R_β=0

Zasada d'Alemberta dla punktu swobodnego.
m*a^→=P^→ P^→=ΣP_i^→

m*a^→=ΣP_i^→

ΣP_i^→-m*a^→=0 A^→= -m*a^→

ΣP_i­^→+A^→=0 siłę A^→ nazywamy siłą d'Alemberta lub bezwładności

P^→+A^→=0 - równowaga dynamiczna

Siły rzeczywiste działające na punkt materialny równoważą się w każdej chwili siłą bezwładności tzw. równowaga dynamiczna. Dla punktu nieswobodnego:

P^→+R^→+A^→=0

Gdy punkt porusza się po torze krzywoliniowym płaskim wówczas:

a^→=a_η^→+a_τ^→

a_η=V²/ρ a_τ=dV/dt

A^→= -m*a^→= -m*(a_η^→+a_τ^→)

A^→=A_η^→+A_τ^→

A_η^→= -m*a_η^→ - siła odśrodkowa

A_τ^→= -m*a_τ^→ A_η=m*V²/ρ

m*a_x=P V_x=V

a_x=dV/dt m*dV/dt=P

∫dV=∫P/m*dt

V=P/m*t +c V=dx/dt

dx/dt=P/m*t+c₁/dt

∫dx=P/m∫t*dt+c₁∫dt

x=P/2m*t²+c₁*t+c₂

dla t=0 x=x_o

V=V_o

_­­­­V­­­_o=P/m*0+c₁

V_o=c₁

x_o=P/2m*0+c₁*0+c₂

x_o=c₂

V=P/m*t+V_o

x=P/2m*t²+V_o*t+x_o

2.Ruch pod działaniem siły.

P=P(t) RYSUNEK!!!

m*a_x=ΣP_x=P(t)

m*dV/dt=P(t)

dV=1/m*P(t)*dt

_Vo∫^V dV=1/m*₀∫^t P(t)*dt

V-V­_o=1/m*φ(t)

V=V_o+1/m*φ(t) V=dx/dt

dx=(V_­o+1/m*φ(t))*dt

3.Ruch punktu pod działaniem siły zależnym od prędkości.

P=P(V) RYSUNEK!!!

m*a_x=ΣP_x=P(V)

m*dV/dt=P(V)

m*a^→=P^→

Zasada niezależności działania sił.

W przypadku gdy na punkt działa więcej niż jedna siła to przyspieszenie tego punktu znajdujemy w oparciu o zasadę niezależności działania sił.

Zasada niezależności działania sił.

Przyspieszenie punktu materialnego na który działają siły P₁, P₂ ,..., P_n jest równa sumie geometrycznej przyspieszeń, które miałyby ten punkt gdyby na niego każda z sił działała osobno.

m*a^→=P^→ P^→=ΣP_i^→ a^→=Σa_i^→

Bezwładnościowy układ odniesienia.

Taki układ w którym są słuszne prawa Newtona nazywamy układem bezwładności lub inercjalnym. Jest to układ mający przyspieszenie równe zero, a więc poruszający się ruchem jednostajnie prostoliniowym bądź będący w spoczynku.

Dynamika swobodnego punktu materialnego.

Równania różniczkowe ruchu.

m*a^→=P^→ a^→= r''^→

m*r''^→=P^→=ΣP_i^→

a^→(a_x,a_y,a_z)

a_x=x'' a_y=y'' a_z=z''

m*x''=ΣP_x RYSUNEK!!!

(α) m*y''=ΣP_y - dynamiczne równania różniczkowe na współrzędnych prostokątnych

m*z''=ΣP_z

RYSUNEK!!!

DYNAMIKA UKŁADÓW PUNKTÓW MATERIALNYCH:

Układem punktów materialnych nazywamy zbiór punktów materialnych, w którym położenie każdego punktu jest zależne od położenia innych punktow.

3. Pęd układu punktów materialnych.

Rozważmy układ n punktów materialnych m₁, m₂,..., m_i,...., m_n

Oznaczmy przez Pi^→ wypadkową sił działających na i - ty punkt, a przez Pi^→' wypadkową sił wewnętrznych działających na i - ty punkt.

S_i,k^→ - siła działająca na punkt i punkt k

Rysunek !!! + wzory

Pochodna względem czasu pędu ukladu punktów materialnych rowna jest sumie geometrycznej wszystkich sił zewnetrznych działających na punkty tego układu.

WZORY!!!

Przyrost pędu układu punktów materialnych w skończonym przedziale czasu rowny jest sumie geometrycznej impulsów sił zewnętrznych.

1. Twierdzenie o ruchu rodka masy

Wzory!!!

Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak jakby w tym punkcie skupiona była cała masa ukladu i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie siły zewnetrzne.

Wnioski:

1. Siły wewnętrzne układu nie mają wpływu na ruch jego środka masy.

2. Gdy na układ punktow materialnych nie działają siły zewnętrzne, to środek masy porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej, liniowym lub pozostaje w spoczynku.

---