Wykład 6

Przepływ płynów ściśliwych

1. Wiadomości podstawowe

W termodynamice przepływów zakłada się, że przepływ jest jednowymiarowy, tj. parametry płynu zmieniają się tylko w kierunku przepływu. Przemiana płynu w układzie o przepływie ustalonym jest zbiorem stanów ustalonych w kolejnych przekrojach kanału przepływowego. Przekroje prostopadłe do ogólnego kierunku przepływu są oznaczane liczbami arabskimi, a wielkości z nimi związane są zaopatrzone w odpowiednie indeksy dolne. Podczas przepływu ustalonego parametry intensywne w dowolnych punktach płynu oraz działania na granicach układu nie zmieniają się.

Podstawowe równania przepływu ustalonego

1. średnie masowe natężenie przepływu (wydatek masowy):

stosunek przepływającej masy do czasu t, w którym ta masa przepłynęła

[kg/s] (1)

2. objętościowe natężenie przepływu (wydatek objętościowy)

stosunek objętości płynu V do czasu t, w którym ta objętość przepłynęła

[m³/s] (2)

gdzie: A - pole powierzchni przekroju prostopadłego do kierunku przepływu

[m²],

w - prędkość przepływu [m/s]

3. równanie zachowania masy (równanie ciągłości)

w każdym przekroju układu charakteryzującego się przepływem ustalonym

i jedną drogą przepływu (rys. 1) masowe i objętościowe natężenie przepływu

jest stałe

(3)

praktycznie: A₁w₁ = A₂w₂ lub A₁w₁ ρ₁ = A₂w₂ ρ₂

Rys. 1. Model strugi płynu z dwoma przekrojami obliczeniowymi 1-1 i 2-2

d) strumień pędu (ilość ruchu) - iloczyn masowego natężenia i prędkości

przepływu: SP =
[kg m/s²]

e) równanie zachowania pędu - przyrost strumienia pędu między przekrojami

jest równy wypadkowej F wszystkich sił zewnętrznych działających na

płyn zawarty między tymi przekrojami

(4)

f) równanie bilansu energetycznego dla układu o przepływie ustalonym

(5)

lub

(6)

gdzie: g - miejscowe przyspieszenie siły ciężkości

h - wysokość środka ciężkości przekroju przepływowego ponad umowny

poziom odniesienia PO

L_{e 1,2} - praca efektywna układu

Ciepło tarcia wewnętrznego i praca na pokonanie sił tarcia występujące po obydwu stronach znaku równości powyższego równania znoszą się (Q_w1,2=L_w1,2)

Dla gazów i par można praktycznie pominąć zmiany energii potencjalnej Mgh, a energię kinetyczną uwzględnia się przy prędkościach w>=40 m/s.

Jeżeli założymy, że brak jest wymiany ciepła i pracy z otoczeniem (przepływ adiabatyczny), wówczas powyższe równania można zapisać w następującej formie:

= const (7)

= const (8)

g) uogólnione równanie Bernoulliego

(9)

h) prędkość dźwięku dla gazów doskonałych

(10)

i) liczba Macha - stosunek prędkości płynu do miejscowej prędkości dźwięku

(11)

2. Parametry spiętrzenia

Parametry spoczynkowe strumienia płynu, który został wyhamowany do prędkości równej zeru bez wykonywania pracy efektywnej (przemiana

izentropowo-adiabatyczna). Oznaczamy je indeksem dolnym 0:

a) entalpia spiętrzenia

(12)

stanowi sumę entalpii statycznej oraz przyrostu entalpii dynamicznej przy założeniu, że całkowita energia kinetyczna zostanie zamieniona tylko w ciepło.

Dla przepływu energetycznie odosobnionego entalpia spiętrzenia jest wielkością

stałą (i₀=const).

b) temperatura spiętrzenia dla gazów doskonałych

(13)

c) ciśnienie spiętrzenia dla płynu nieściśliwego

(14)

Prędkość przepływu płynu nieściśliwego jest równa:

(15)

Pomiary dokonuje się za pomocą rurki Prandtla mierząc manometrem różnicowym różnicę ciśnień spiętrzenia p₀ i statycznego p

Rys. 2. Schemat pomiaru prędkości przy pomocy rurki Prandtla

3. Parametry krytyczne

Przekrój, w którym prędkość przepływu staje się równa miejscowej prędkości dźwięku. Parametry określające stan gazu w tym przekroju są nazywane parametrami krytycznymi i oznaczane wskaźnikiem * (indeks górny).

Dla gazu doskonałego prędkość dźwięku jest największa, gdy w=0 (gaz

nieruchomy). Wynosi ona wtedy:
. Prędkość dźwięku jest równa

zeru (a=0) przy rozprężaniu gazu aż do próżni (p=0, T=0, i=0).

Prędkość gazu osiąga wówczas wartość maksymalną równą:

(16)

W przypadku gazów doskonałych:

(17)

gdzie:
dla jednoatomowych α=1,118, dla dwuatomowych α=1,08,

da pary wodnej przegrzanej α=1,063

Prędkość krytyczna w gazach doskonałych:

(18)

Dla liczby Macha Ma<1 przepływ jest poddźwiękowy (w<a - podkrytyczny).

Dla Ma=1 (w=a) przepływ jest krytyczny. Dla Ma>1 (w>a) przepływ jest naddźwiękowy (nadkrytyczny). Jeżeli Ma<0,6, to na ogół gazy można traktować

jako nieściśliwe.

Temperatura krytyczna dla gazów doskonałych:

lub
(19)

dla gazów jednoatomowych θ_k = 0,75 (κ=1,667), dla dwuatomowych

θ_k = 0,833 (κ=1,4), dla pary wodnej przegrzanej θ_k = 0,87 (κ=1,3)

Ciśnienie krytyczne dla gazów doskonałych:

lub
(20)

dla gazów jednoatomowych β_k = 0,482 (κ=1,667), dla dwuatomowych

β_k = 0,528 (κ=1,4), dla pary wodnej przegrzanej β_k = 0,546 (κ=1,3)

Gęstość krytyczna:

lub
(21)

dla gazów jednoatomowych γ_k = 0,65 (κ=1,667), dla dwuatomowych

γ_k = 0,62 (κ=1,4), dla pary wodnej przegrzanej γ_k = 0,63 (κ=1,3)

Współczynnik prędkości (liczba Lavala) - stosunek prędkości przepływu do

prędkości krytycznej:

(22)

dla gazów doskonałych:

(23)

4. Przepływ izentropowy energetycznie odosobniony

Przepływ adiabatyczny bez wykonywania pracy efektywnej płynu nielepkiego i nieprzewodzącego jest przepływem izentropowym, w którym

Q_{z 1,2} = 0, L_{e 1,2} = 0, Q_{w 1,2} = 0 i S = const.

Zależność różniczkowa między polem przekroju kanału przepływowego

a prędkością przepływu dla gazów doskonałych ma postać:

(24)

Wyprowadzenie:

Po zlogarytmowaniu i zróżniczkowaniu równania ciągłości przepływu otrzymujemy:

(25)

Z kolei z postaci różniczkowej równania Bernoulliego wynika, że:

skąd
a więc

Po podstawieniu otrzymujemy:

Z równania izentropy mamy:
. Po podstawieniu i odpowiednich

przekształceniach otrzymamy wzór wyjściowy.

Dyszą nazywamy kanał przepływowy, w którym wzrasta prędkość (dw>0).

Kanał o zmiennym przekroju pracuje jako dysza, jeżeli jego przekrój zmniejsza

się w kierunku przepływu (dA<0) w zakresie prędkości poddźwiękowych (Ma<1), a zwiększa się (dA>0) w zakresie prędkości naddźwiękowych.

Wartość Ma=1 może być osiągnięta tylko w przekroju minimalnym dyszy (dA=0), który staje się wówczas przekrojem krytycznym.

Wyjaśnienie:

Prędkość w wzrasta kosztem spadku ciśnienia (dw>0,dp<0). Prędkości wlotowe są mniejsze od prędkości dźwięku w<a, wobec czego a²-w²>0 i prawa strona równania (10) ma znak ujemny. Znak dA będzie zgodny ze znakiem prawej strony, czyli dA<0. Oznacza to, że przy prędkościach poddźwiękowych przepływu dysza powinna być zbieżna. W miarę wzrostu prędkości w zbieżnym kanale dochodzimy do przekroju, w którym prędkość osiąga wartość prędkości dźwięku (a=w,Ma=1). Jeżeli spadek ciśnienia dp będzie dostatecznie duży (dalsze rozprężanie gazu), wówczas dla uzyskania prędkości większej od dźwięku, na podstawie równania (10) musi być spełniony warunek zmiany kształtu na rozbieżny (dA>0). Kanał o odpowiednim ukształtowaniu oraz odpowiadające mu przebiegi ciśnienia, prędkości przepływu i prędkości dźwięku zostały pokazane na rys. 3.

Rys. 3. Przebiegi ciśnienia, prędkości i prędkości dźwięku w dyszy de Lavala

Bardzo istotny jest fakt zachowania wielkości kąta rozwarcia kanału w granicach ϕ = 8^o - 12^o. Gdy kąt ten przekracza 12^o, następuje zerwanie strugi,

zaś kąty mniejsze od 6^o powodują znaczny wzrost oporów tarcia podczas

przepływu strumienia przez kanał. Spadek lokalnej wartości dźwięku podczas

przepływu przez kanał jest spowodowany maleniem temperatury gazu w miarę

rozprężania izentropowego.

Dyfuzorem nazywamy kanał przepływowy, w którym maleje prędkość (dw<0).

Kanał o zmiennym przekroju pracuje jako dyfuzor, jeżeli jego przekrój wzrasta

(dA>0) w kierunku przepływu w zakresie prędkości poddźwiękowych (Ma<1),

a maleje (dA<0) w zakresie prędkości naddźwiękowych (Ma>1)

Przy ujemnym przyroście prędkości (dw<0) następuje wzrost ciśnienia (dp>0),

co przy prędkościach poddźwiękowych (w<a) daje w wyniku wartość dodatnią

prawej strony równania (10), a co za tym idzie również wartość dodatnią lewej

strony czyli dA>0. Dyfuzor poddźwiękowy musi być kanałem rozbieżnym.

Optymalny kąt rozbieżności nie powinien przekraczać 12^o (zazwyczaj 6^o - 7^o).

Na poniższym rysunku zostały przedstawione kształty dysz i dyfuzorów dla

przepływu izentropowego energetycznie odosobnionego.

	dw>0 Dysza dp<0 dρ<0	dw<0 Dyfuzor dp>0 dρ<0
Ma<1 w<a
Ma>1 w>a

Rys. 4. Kształty dysz i dyfuzorów dla przepływu izentropowego energetycznie

odosobnionego

5. Dysza zbieżna (Bendemana)

Dysza o polu przekroju malejącym w kierunku przepływu (przepływ beztarciowy, izentropowo-adiabatyczny). Warunki pracy dyszy zależą od ciśnienia ośrodka za dyszą.

a) ciśnienie p_a za dyszą jest większe od ciśnienia krytycznego p^* (p_a > p^*)

Prędkość wypływu z dyszy

(26)

a dla gazów doskonałych

(27)

równanie Saint Vananta

Masowe natężenie wypływu z dyszy:

[kg/s] (28)

a dla gazów doskonałych

[kg/s] (29)

b) ciśnienie za dyszą p_a jest równe lub mniejsze od ciśnienia krytycznego p^*

(p₂ = p^* ≥ p_a). Prędkość wypływu jest prędkością krytyczną (wzór podany

wcześniej.

Masowe natężenie wypływu:

[kg/s] (30)

dla gazów doskonałych

[kg/s] (31)

Rys. 5. Przebieg ciśnień czynnika w różnych przypadkach przepływu przez

dyszę zbieżną.

Jeżeli ciśnienie ośrodka za dyszą jest niższe od ciśnienia krytycznego (p_a<p^*),

wówczas strumień płynu wypływającego z dyszy gwałtownie się rozpręża.

Początkowo jego ciśnienie spada poniżej ciśnienia otoczenia, a następnie jest

on sprężany przez ciśnienie otoczenia. Zjawisko to powtarza się okresowo

wywołując efekt akustyczny.

6. Dysza naddźwiękowa (de Lavala)

Dysza zbieżno-rozbieżna. Kąt rozwarcia części zbieżnej dyszy wynosi 6^o÷12^° i nie ma większego wpływu na pracę dyszy. Kąt rozwarcia części rozbieżnej dyszy zależy od przeznaczenia dyszy i wynosi np. 8÷12° - dla dysz turbin parowych, 25÷30° - dla dysz silników rakietowych. Zwiększenie tego kąta sprzyja odrywaniu się strumienia od ścianek dyszy i powstawaniu dużych

strat przepływu. Przy przepływie izentropowym energetycznie odosobnionym

przekrojem krytycznym jest przekrój minimalny dyszy de Lavala. Maksymalne masowe natężenie wypływu jest równe wówczas:

(32)

a dla gazów doskonałych

(33)

gdzie:
dla gazów jednoatomowych ψ=0,731, dla dwuatomowych ψ=0,683, dla pary wodnej przegrzanej ψ=1,063

Stosunek pola przekroju minimalnego do pola przekroju wylotowego:

(34)

Rys. 6. Przebieg ciśnienia w dyszy de Lavala

7. Obliczanie dysz

Przy ustalonym przepływie izentropowym zakładamy stałe ciśnienia otoczenia p₁ w przekroju wlotowym 1-1 i p₂ w przekroju wylotowym 2-2. Dla zadanych ciśnień p₁ i p₂ wyznaczamy p^*=β_k p₁, a następnie sprawdzamy czy p₂>p^*. Jeżeli tak, to mamy do czynienia z dyszą poddźwiękową. Jeżeli p₂<p^*, to mamy do czynienia z dyszą naddźwiekową.

Dysza poddźwiękowa

a) Przy znanych parametrach dolotowych i wylotowych określa się entalpię oraz

wylicza się prędkość wypływu w₂ ze wzoru:

lub
[m/s] (35)

b) ze wzoru na ciągłość strugi przy znanym natężeniu przepływu
jest liczony

przekrój i średnica otworu wylotowego:

(36)

Dysza naddźwiękowa

a) przy znanych parametrach wlotowych (p₁, ρ₁, T₁) i znanym natężeniu

przepływu
ze wzoru (51) obliczamy powierzchnię i średnicę minimalną:

(37)

b) następnie obliczamy prędkość krytyczną w^* i temperaturę krytyczną T^*

(38)

c) następnie obliczamy gęstość krytyczną wg wzoru:

(39)

d) z kolei obliczamy prędkość wylotową w₂ przy pomocy wzoru:

(40)

e) obliczamy gęstość gazu czynnika w przekroju wylotowym:

(41)

f) obliczamy przekrój wylotowy F₂ i średnica wylotowa d₂ dyszy:

i
(42)

g) obliczamy długość części rozbieżnej dyszy ze wzoru:

przy czym kąt rozwarcia α=4°-6° (43)

Niewłaściwy dobór dysz wiąże się ze znacznymi stratami i uniemożliwia

uzyskanie obliczeniowej prędkości wypływu

Przypadek 1.

Zastosowano dyszę poddźwiękową, gdy warunki panują dla dyszy naddźwiękowej tj. ciśnienie u wylotu jest mniejsze od krytycznego p₂ < p^*_. Nie zachowano właściwego kształtu - W części zbieżnej ustalą się parametry krytyczne a nadwyżka ciśnienia (strugi wobec otoczenia) będzie tracona na poprzeczne rozprężanie gazu bez wzrostu prędkości jego w kierunku wypływu.

Przypadek 2.

Zastosowano dyszę naddźwiękową, gdy warunki panujące są dla dyszy poddźwiękowej p₂>p^*. Nie ma wtedy możliwości osiągnięcia prędkości krytycznej w najmniejszym przekroju, a w takim przypadku rozwarta część dyszy spełnia funkcję dyfuzora poddźwiękowego sprężającego. Tego typu dyszy są wykorzystywane przy pomiarze wydatku (dysza Venturiego), gdy chodzi nam o możliwie mały spadek ciśnienia czynnika.

8. Uwzględnienie tarcia przy przepływie

Przepływ rzeczywistego czynnika lepkiego w dyszy bez wymiany ciepła

z otoczeniem traktujemy jako adiabatyczny (κ=const), ale nie izentropowy

(s≠const), ponieważ wskutek występowania tarcia o ścianki podczas przepływu

następuje podwyższenie temperatury, entalpii i entropii (praca tarcia zamienia

się w ciepło pochłaniane przez gaz). Przykładowe wykresy rozprężania w dyszy

i sprężania w dyfuzorze zostały przedstawione poniżej w układzie współrzędnych i-s.

Rys. 7. Wykresy i-s dla rozprężania w dyszy i sprężania w dyfuzorze

Na wykresie o współrzędnych i-s przyrosty energii kinetycznej właściwej dla

przepływu energetycznie odosobnionego lub izentropowego, bez wykonywania

pracy, są równe odpowiednim spadkom entalpii właściwej.

Prędkość wypływu z kanału energetycznie odosobnionego:

gdzie:
(44)

Posługując się stosunkiem temperatur, sprawność dyszy można wyrazić wzorem:
, zaś sprawność dyfuzora:

Gdy w zależnościach występują energie kinetyczne, wtedy wygodnie jest posługiwać się współczynnikiem strat energii kinetycznej:

(45)

Prędkość wypływu gazów doskonałych o stałym cieple właściwym

(46)

Jeżeli przyjmiemy, że przepływ adiabatyczny jest politropowy, to wykładnik

politropy m można zapisać w następującej postaci:

(47) gdzie:

W przypadku, kiedy prędkość dopływu jest pomijalna (w₁=0), wtedy δ=1

a wykładnik politropy m jest równy:

(48)

Przy rozprężaniu m<κ, przy sprężaniu m>κ.

Prędkość wypływu przy przepływie adiabatycznym politropowym przez dysze

(49)

masowe natężenie wypływu:

(50)

sprawność adiabatyczna rozprężania

(51)

sprawność adiabatyczna sprężania

(52)

9. Przepływ adiabatyczny z wykonywaniem pracy

Zależność różniczkowa pomiędzy pracą efektywną a prędkością przepływu dla gazów doskonałych:

(53)

Wykonanie pracy efektywnej dl_e>0 przez strumień poddźwiękowy Ma<1

powoduje wzrost prędkości dw>0, przy jednoczesnym spadku gęstości dρ<0

i temperatury dT<0. Liczba Macha wzrasta do jedności. Dla prędkości naddźwiękowych Ma>1 wzrost prędkości osiąga się przez doprowadzenie pracy

czyli dl_e<0.

Praca efektywna właściwa przepływu adiabatycznego jest równa spadkowi

entalpii właściwej spiętrzenia:

(54)

dla gazów doskonałych o stałym cieple właściwym

(55)

dla przepływu adiabatycznego izentropowego

(56)

Jeżeli prędkości przepływu są małe, to można przejść z parametrów spiętrzenia

na parametry spoczynkowe. W takim przypadku praca efektywna staje się

równa zewnętrznej pracy technicznej (zmniejszonej o pracę na pokonanie

sił tarcia wewnętrznego).

Praca techniczna właściwa przepływu adiabatycznego politropowego

(57)

właściwa zewnętrzna praca techniczna

(58)

praca właściwa zużyta na pokonanie sił tarcia wewnętrznego

(59)

Ponieważ l_{w 1,3}>0 więc w przypadku rozprężania jest m>κ, a w przypadku prężania m<κ. Temperatura końca przemiany adiabatycznej politropowej jest wyższa od temperatury końca przemiany izentropowej o tym samym stanie początkowym i ciśnieniu końcowym, zarówno w przypadku rozprężania jak

i sprężania.

Rys. 8. Wykresy p-v i T-s dla przepływu adiabatycznego uwzględniającego

wykonywanie pracy

W przypadku sprężania adiabatycznego nie tylko brak jest odzyskiwania ciepła

tarcia lecz przeciwnie - bezwzględna wartość zewnętrznej pracy technicznej wzrasta na skutek przebiegu sprężania przy większych objętościach niż przy

braku tarcia.

10. Przepływ z wymianą ciepła

Zależność różniczkowa pomiędzy ciepłem wymienianym z otoczeniem

a prędkością przepływu gazów doskonałych

(60)

Doprowadzenie ciepła dq_z>0 wywołuje wzrost prędkości dw>0 strumienia

poddźwiękowego Ma<1, a spadek prędkości dw<0 - strumienia naddźwiękowego Ma>1. Przy przepływie przyspieszonym gazu doskonałego

temperatura początkowo wzrasta, aż do osiągnięcia przez strumień liczby Macha
, a następnie maleje. Ciepło doprowadzone do strumienia

nie wykonującego pracy jest równe przyrostowi entalpii spiętrzenia

(61)

Maksymalna ilość ciepła, jaka może być doprowadzona do strumienia

gazu doskonałego przepływającego przez kanał o stałym polu przekroju

bez wykonywania pracy wynosi:

(62)

a wtedy zarówno strumień poddźwiękowy jak i naddźwiękowy osiąga

prędkość dźwięku Ma₂=1.

Z równania zachowania pędu i równania zachowania masy dla przepływu przez kanał o stałym polu przekroju wynika:

(63)

Przy stałych wartościach masowego natężenia przepływu na jednostkę pola

powierzchni
otrzymujemy równanie Rayleigha. Linia Rayleigha określa

stany przepływu przez kanał o stałym polu przekroju bez wykonywania pracy.

11. Zwężki pomiarowe

Zjawisko rozprężania przy małym spadku ciśnień jest wykorzystywane w praktyce do pomiaru natężenia przepływu w urządzeniach zwanych zwężkami pomiarowymi. Podstawowe typy stosowanych zwężek pomiarowych zostały

pokazane na rys. 9.

a) b) c)

a) dysza pomiarowa b) kryza c) dysza Venturiego

Rys. 9. Podstawowe typy zwężek pomiarowych

W wyniku całkowania równania Bernoulliego przy założeniu, że ρ₁=ρ₂=const otrzymujemy wyrażenie:

(64)

gdzie: Δp=p₂-p₁

Jeżeli spadek ciśnienia Δp został wywołany zwężeniem przekroju przepływu

z wartości A₁ do A₂, to może ono być scharakteryzowane wielkością m

zwaną przewężeniem:

(65)

gdzie: d₁ i d₂ oznaczają średnice przekrojów 1 i 2.

Z równania ciągłości przy ρ=const wynika, że:

(66)

skąd:

Podstawiając tę wartość do równania (64) otrzymujemy:

(67)

skąd:

Natężenie przepływu jest równe:

(68)

Wzór (68) jest wykorzystywany w zwężkach pomiarowych, które mogą

być wykonywane jako dysze, kryzy lub zwężki Venturiego

Najtańsza i najprostsza jest kryza, ale daje największe straty ciśnienia.

Pozostałe rozwiązania nie dają dużych strat, są jednak droższe i trudniejsze

w wykonaniu. Największą dokładność wyników osiąga się przy zastosowaniu

zwężki Venturiego. Ze względu na różnego rodzaju straty i poprawki wzór (66) musi być skorygowany.

Zgodnie z normami PN-M/53950 ma on postać:

(69)

gdzie: α - współczynnik przepływu uwzględniający przewężenie przekroju oraz

zwężenie strumienia, którego przekrój może być mniejszy od

przekroju kryzy,

β - współczynnik uwzględniający temperaturę pomiaru, ewentualną

nieostrość krawędzi oraz chropowatość przewodu,

ε - współczynnik uwzględniający ściśliwość przepływającego czynnika

34

19

---