• CIMU - CABRI

CABRI steht für Cahier de Brouillon Interactiv pour l'apprentisage de la géomètrie und ist eines von zahlreichen Programmen zur Geometrie im Schulbereich. Eine (unvollständige) Liste finden Sie bei den Literaturangaben. CABRI ist das am weitesten verbreitete Programm. Daher findet man auch genügend Literatur bzw. Anwendungsvorschläge. Die weiteren Ausführungen beziehen sich im Wesentlichen auf [1], [5], [6] und das Handbuch zum Programm.

1. Ziele

Der klassische Unterricht über die euklidische Geometre basiert auf sicherem Umgang mit Zirkel und Lineal, weil die Geometrie ihre Geschlossenheit diesen Werkzeugen verdankt. Eine Übertragung auf den Computereinsatz muß dem Rechnung tragen.

Der Computer übernimmt die Vertiefung der gelernten (und beherrschten) Konstruktionen durch Bereitstellung von umfangreichem Material, das im Unterricht wegen des unvertretbaren Zeitaufwandes nicht zur Verfügung steht und an vielen Stellen „Erkenntnis“ von Zusammenhängen aus sehr speziell gewählten Beispielen erfordert.

Unverzichtbar ist die erste (konventionelle) Phase, in der der Schüler den Umgang mit Zirkel und Lineal, die Grundkonstruktionen und eine gewisse Sicherheit dabei erwirbt. In der zweiten Phase können die Grundkonstruktionen vom Programm als Bausteine zur Verfügung gestellt werden. Wir erhalten die Möglichkeit, uns auf das Problemlösen, das Erkennen von neuen Zusammenhängen und aus das Beweisen zu konzentrieren.

Ein Programm, das diesen Zielen Rechnung trägt, muß nach [1] folgende Eigenschaften aufweisen:

• Der Einsatz des Programms darf keine Kenntnisse des Betriebssystems oder anderer technischer Details beim Schüler voraussetzen.

• Die Oberfläche muß selbsterklärend und durchsichtig sein, so daß der Schüler ohne Handbuch und ohne viel Lehrerhilfe auskommt. Es muß vom Programm bei Bedarf Hilfestellung gegeben werden. Das Programm muß sehr tolerant gegenüber Fehlbedienung sein. (Man bedenke, daß ein Einsatz in Klasse 8 möglicherweise parallel zur ITG erfolgt und dort u.U. keine derartigen Kenntnisse bereit stehen.)

• Die geometrischen Grundkonstruktionen müssen als Module vorhanden oder erklärbar sein. Dabei sollte Konstruktions-Kompatibilität zu den Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen bestehen. Aus den Modulen der Grundkonstruktionen sollen dann kompliziertere Konstruktionen zusammengesetzt und wiederum als Module definiert werden können.

• Die graphische Darstellung muß möglichst weitgehend einer guten Zeichnung gleichen, längen- und winkeltreu sein. Kreise müssen wie Kreise, Geraden wie Geraden aussehen. Auch eine entsprechende Hardcopy muß möglich sein.

CABRI entspricht diesen Forderungen am ehesten, obwohl es als DOS-Programm in einer heute fast selbstverständlichen Windows-Umgebung einige Probleme bereitet. So ist die zwar gute Grafik aber keineswegs mit den Grafikfähigkeiten eines windowsbasierten Programms zu vergleichen. Eine Hardcopy ist unter Windows nicht möglich; allerdings lassen sich die Bildschirme über die Zwischenablage in andere Programme einfügen, bearbeiten und auf diesem Wege auch ausdrucken. Eine Ausdruck direkt aus CABRI ist bei mir wegen nicht vorhandener Ansteuerung eines Laserdruckers gescheitert. In der mir vorliegenden Version werden nur Nadeldrucker unterstützt. Das unter [1] genannte Programm ist eine Windows-Version und dürfte damit im Grafik- und Druckbereich problemlos sein. Die methodisch-didaktischen Möglichkeiten des Programms und seine Funktionalität sind mir aber unbekannt.

Im weiteren Verlauf sollen nun eine Einführung in CABRI erfolgen, an Hand von Beispielaufgaben eine gewisse Fertigkeit beim Benutzer (Lehrer) erreicht und zwei Unterrichtsbeispiele vorgestellt werden.

1. Einführung in CABRI

Eine vorhandene Installation auf Festplatte oder Diskette wird ebenso vorausgesetzt wie die Installation der Grafikkarte. Das Programm kann zwar ohne Maus bedient werden, sinnvoll ist das allerdings nicht. Deshalb wird ausschließlich auf die Bedienung mit der Maus eingegangen.

Nach dem Start des Programms (Auf DOS-Ebene erfolgt die Eingabe von: cabri ; auf der Windows-Ebene wird man sich ein Icon zum Start einrichten) zeigt sich das Programm so:

Das Menü folgt den üblichen Programmkonventionen. Zunächst kommen die Punkte zur Dateiverwaltung [Ablage], dann zum Editieren von Zeichnungen [Bearbeiten], zum Generieren von geome-trischen Objekten [Erzeugen], zum Erzeugen von weiteren Objekten aus schon bekannten [Konstruieren] und verschie-denen Einzelaufgaben [Ver-schiedenes].

Die Titelzeile zeigt den Namen der Konstruktion an. Am Anfang ist das der neutrale Begriff „Figur“.

Das Menü im Einzelnen

Die Bilder zeigen die aufgeklappten Menüpunkte von links nach rechts. Menüpunkte werden in Zukunft mit folgender Schreibweise angegeben: [Ablage] [Neu] und sind in dieser Reihenfolge mit der Maus anzuklicken.

Auf die Speicherung und das Laden einer Figur wird nicht eingegangen, weil die Vorgänge denen aller Programme entsprechen. Notwendige Verzeichnisse müssen vorher angelegt sein. Es gelten die Beschränkungen auf 8 Zeichen für Namen. Die Endung .FIG wird automatisch angehängt.

Unter Windows läuft CABRI nur als Vollbild. Zwar ist eine Umschaltung auf ein Fenster möglich, die Anwendung wird aber angehalten. Eine Konstruktion ist dann nicht möglich. Im Vollbildmodus befördert
den gesamten Bildschirm in die Zwischenablage. Dieser kann mit [Bearbeiten] [Einfügen] oder
+
in eine andere Anwendung eingefügt werden. Benötigt man nur Teile des Bildes, bearbeitet man das Bild zuvor in einem Grafikprogramm wie z.B. PAINT (von Windows 95 oder Paintbrush von Windows 3.1).

2. Ein Konstruktionsbeispiel

Wir konstruieren schrittweise den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks und lernen CABRI dabei kennen. Wir gehen vom leeren Zeichenblatt aus und folgen den Arbeitsschritten.

* [Erzeugen] [Dreieck]. Wir erhalten

Der Mauszeiger verwandelt sich in einen Zeichenstift. Führt man ihn zum Wort „Dreieck“ in der Titelzeile, so verwandelt er sich in ein Fragezeichen und liefert nach Klick eine Hilfe. In dieser Zeit und während der weiteren Zeichnung ist [Erzeugen] invertiert und bleibt so, bis Sie oder [Verlassen] (in Titelzeile) anklicken.

Setzen Sie die drei Punkte für das Dreieck.

* Das Dreieck wird gezeichnet. [Bearbeiten] [Objektname]. Führen Sie nun den Mauszeiger in die Nähe eines Eckpunktes. Sie erhalten dann das Bild rechts.

Klickt man diesen Punkt an, so erscheint ein gerundetes Rechteck, und Sie können dem Punkt einen Namen aus höchstens 4 Zeichen geben. Benennen Sie das Dreieck wie abgebildet. Die Buchstaben lassen sich mit dem Mauszeiger an Handform an eine andere Stelle (in der Nähe) verschieben, so daß die Lesbarkeit gewährleistet ist.

Hinweis:

1. Eine Verschiebung weiter vom Objekt (hier Punkt) weg ist wegen der Objektbindung nicht unbegrenzt möglich.

2. Eine Figur kann mit [Bearbeiten] [Alles löschen] gelöscht und die Aktion mit [Bearbeiten] [Widerrufen] rückgängig gemacht werden.

* Wir zeichnen nun mit [Konstruktionen] [Lot/Senkrechte] die erste Höhe ein. Nach Aktivierung des Menüpunkts bringen wir den Mauszeiger zum Punkt A, er beginnt zu blinken. Wir ziehen (linke Maustaste gedrückt halten) den Punkt zur gegenüberliegenden Strecke bis „diese Strecke“ erscheint und lassen dann die Maustaste los. Die erste Höhe wird gezeichnet.

* Wiederholen Sie die Arbeitsgänge mit den anderen Höhen und benennen Sie die Höhen. Sie erhalten dann etwa folgendes Bild:

Hinweis:

Möglicherweise erscheint manchmal die Mitteilung „mehrdeutig“. Dann ist es nicht möglich den Mauszeiger einem bestimmten Objekt zuzuordnen. Im Fall des Höhenschnittpunkts liegt das Problem tiefer. Für CABRI existiert dieser „Schnittpunkt“ erst, wenn er ausdrücklich konstruiert wurde!

* [Konstruktionen] [Schnitt]. Führen Sie den Mauszeiger zu einer Dreieckseite, klicken Sie sie an und verfahren Sie ebenso mit der zugehörigen Höhe. Jetzt wird der Schnittpunkt mit der Höhe markiert.

Wiederholen Sie den Arbeitsgang mit den anderen Seiten und Höhen und konstruieren Sie auch den Höhenschnittpunkt. Benennen Sie die Punkte mit D, E, F und H. Das Ergebnis zeigt das Bild.

* Nun folgt der absolute Clou des Programms. Allein diese Möglichkeit macht den Einsatz von CABRI überhaupt interessant. Bisher wurde ja nur der Arbeitsgang auf dem Papier nachgebildet und damit keinerlei neue Situation geschaffen oder besondere methodische oder didaktische Möglichkeit eröffnet.

Zur Wiederholung:

Die Punkte A, B und C waren frei gewählt. Alle anderen Elemente der Figur (Seite, Höhe, Lotfußpunkte, Höhenschnittpunkt) sind durch die Lage der Eckpunkte festgelegt.

Objektvariation:

Nähern Sie den Mauszeiger einem Eckpunkt. Er nimmt folgende Form an:

Klicken Sie links und halten Sie die Maustaste fest. Ziehen Sie nun an dem Punkt.

Ich hoffe, die Überraschung ist geglückt. Hier kann „jede“ Dreieckslage durchgespielt, angesehen, verglichen und auf Besonderheiten untersucht werden. Entdeckungen sind möglich!

* Testen Sie einige Variationen wie z.B.

1. Schieben Sie den Punkt A auf die Strecke BC.

2. Verschieben Sie einen Eckpunkt so, daß der Höhenschnittpunkt mit ihm zusammenfällt.

3. Lassen Sie Punkt A mit Punkt D zusammenfallen.

Hinweis:

Bei gedrückter -Taste nimmt der Zeiger bei gleichzeitig gedrückter linker Maustaste die Form einer flachen Hand an, das ganze Bild wird beweglich, aus dem Bild „verschwundene“ Punkte können so wiedergefunden werden.

6. Zeigerformen und deren Bedeutung

Der klassische Mauszeiger, mit dem Felder in Dialogboxen anklickt.

Das Kreuz, das erscheint, wenn im Zeichenfenster nichts passiert.

Die zugreifende Hand (Zughand), mit der man das angegebene Objekt verschieben kann. Drücken Sie die Maustaste. Solange Sie nicht loslassen, bleibt das Objekt an die Bewegungen der Maus gebunden.

Der nach unten gerichtete Pfeil (Objektwahlzeiger), mit dem man Objekte zum Messen, Löschen, Spiegeln usw. anwählt (anklickt). Anwählen können Sie nur solche Objekte, auf die die laufende Operation angewendet werden kann. Das Blinken eines Objekts zeigt Ihnen, daß das ganze Objekt angewählt ist und daß das Programm die Anwahl weiterer Objekte von Ihnen erwartet.

Die flache Hand (Patschhand). Sie erscheint, wenn man die festhält, und ermöglicht es, mit der Maus- oder Pfeiltasten die ganze Figur auf dem Bildschirm oder den Bezeichnungs- bzw. den Meßdatenrahmen zu verschieben.

Der Stiftzeiger (Positionszeiger), mit dem man Punkte positioniert und erzeugt.

Das Fragezeichen (Hilfezeiger) über dem Namen der laufenden Operation. Wenn Sie jetzt die Maustaste oder die Leertaste drücken, erhalten Sie einen Hilfetext.

Das Radiergummi aus dem Menüpunkt [Objektdarstellung]. Damit können Sie einzelne Elemente Ihrer Figur (z.B. Hilfslinien) unsichtbar machen.

Der Pinsel aus dem Menüpunkt [Objektdarstellung]. Damit können Sie einzelne Elemente Ihrer Figur durch Fettdruck oder Farbe hervorheben.

7. Übungen

* Machen Sie sich im Menü [Erzeugen] vertraut mit den vorhandenen Möglichkeiten, in dem Sie eine Gerade, einen Kreis, eine Gerade durch zwei Punkte, einen Kreis aus Mittelpunkt und Kreispunkt, einen Punkt, eine Strecke und ein Dreieck im gleichen Bild erzeugen.

* Speichern Sie das Bild unter UEBUNG01 auf Ihrer Diskette ab.

* Nähern Sie nun den Mauszeiger dem zuerst gezeichneten Kreis. Wenn „dieser Kreis“ erscheint, klicken Sie und ziehen Sie an dem Kreis. Wiederholen Sie das Vorgehen an Kreis, der mit der anderen Methode gezeichnet wurde. Was ist der Unterschied?

* Blenden Sie mit [Verschiedenes] [Bearbeiten Menüs] den Menüpunkt [Erzeugen] [Gerade] aus und wieder ein.

* Erzeugen Sie in einem neuen Bild einen Kreis aus Mittelpunkt und Kreispunkt. Wählen Sie dann [Konstruktion] [Punkt auf Objekt] und setzen Sie 3 Punkte auf der Kreislinie. Erzeugen Sie nun ein Dreieck, die Höhen und den Höhenschnittpunkt. Anschließend wählen Sie [Konstruieren] [Ortslinie], klicken Sie auf den Höhenschnittpunkt und auf den Punkt C des Dreiecks, den Sie auf dem Kreis wandern lassen. Die Ortslinie von H wird gezeichnet und bildet einen Kreis. Welche Eigenschaften hat die Ortslinie? Speichern Sie das Bild unter UEBUNG02 ab. Wenn CABRI piepst, müssen Sie die Ortslinie zuerst entfernen.

* Die folgende äußere Form bietet sich für die Aufgabenstellung für die Schüler an. Sie sollten für Aufgabenstellungen immer die gleiche und damit einprägsame Form wählen:

Anfangsobjekt: Punktepaar A, B; A ≠ B

Zielobjekt: Mitte von A, B.

Führen Sie die Aufgabe aus.

* Hier noch einige Übungen für Sie oder für Ihre Schüler zum Kennenlernen des Programms in dieser Form der Aufgabenstellung

Anfangsobjekt: Zielobjekt:	Strecke AB Mittelpunkt der Strecke AB	Anfangsobjekt: Zielobjekt:	Punkt P und Gerade g (P ∉ g) Parallel durch P zu g.
Anfangsobjekt: Zielobjekt:	Strecke AB Mittelsenkrechte der Strecke AB	Anfangsobjekt: Zielobjekt:	Punkt P und Gerade g Spiegelpunkt P' von P bezüglich g.
Anfangsobjekt: Zielobjekt:	Zwei Punkte A und B Mittelsenkrechte der Strecke, die durch die beiden Punkte festgelegt ist.	Anfangsobjekt: Zielobjekt:	Punkte P und Z Spiegelpunkt P' von P bezüglich Z.
Anfangsobjekt:	Drei Punkte A, B und C, die den Winkel ABC mit Scheitel B definieren.
Zielobjekt:	Winkelhalbierende des Winkels ABC

* Entfernen eines Objekts

[Verschiedenes] [Objekt löschen] löscht das angeklickte Objekt. Hat man zuviel entfernt, weil man die Verbindungen zu anderen Objekten übersehen hat, stellt [Bearbeiten] [Widerrufen] den alten Zustand wieder her. Probieren Sie beide Aktionen aus.

* Experimentieren Sie ein wenig mit [Verschiedenes] [Verbindung aufheben] und [Verschiedenes] [Objektanbindung eines Punktes]

* Makrokonstruktion

Ein Makro ist wie in anderen Programmen auch ein Folge von Befehlen, die komplett nacheinander ausgeführt werden, wenn das Makro aufgerufen wird. Wie wollen ein Makro namens „Gleichseitiges Dreieck“ erstellen, das nach Konstruktion einer Strecke diese zu einem gleichseitigen Dreieck ergänzt.

1. Musterdreieck konstruieren
   [Erzeugen] [Strecke] Die Strecke AB (auch beschriften)
   [Erzeugen] [Kreis aus Mittelpunkt...] Kreis um A mit r =
   [Erzeugen] [Kreis aus Mittelpunkt...] Kreis um B mit r =
   [Konstruktion] [Schnitt] C als Schnittpunkt der zwei Kreise
   [Erzeugen] [Strecke] Dreieckseite AC
   [Erzeugen] [Strecke] Dreieckseite BC

2. [Verschiedenes] [Makrokonstruktion] [Neu],
   anklicken der Seite AB als Anfangsobjekt,
   beenden mit Klick auf „Kein Anfangsobjekt mehr“,
   anklicken von AC und BC,
   beenden mit Klick auf „Kein Zielobjekt mehr,
   Klick auf das Namensfeld, Löschen der Vorgabe, Eingabe von „Gleichseitiges Dreieck“,
   bestätigen mit [OK], Eingabe einer Hilfe, wenn gewünscht, ebenfalls mit [OK] bestätigen,
   Speichern auf Diskette mit A:\GLEIDREI

3. Testen des Makros
   Eine Strecke AB erzeugen,
   [Konstruktion] [Gleichseitiges Dreieck] aufrufen und Strecke anklicken.

Das Makro wurde automatisch im Menü [Konstruieren] eingebaut. Beim nächsten Programmstart muß es wieder von Diskette geladen werden und steht dann für die ganze Sitzung zur Verfügung. Der Name eines Makros kann mehr als 8 Zeichen enthalten (auch Leerzeichen), die Speicherung auf Diskette erfolgt wieder mit den DOS-Beschränkungen. Die Endung .MAC wird automatisch angefügt.

6. Unterrichtsbeispiel: Klasse 8 LPE 2 (nach LEU C 102.3)

Kongruenzabbildungen durch Verkettung von Geradenspiegelungen

Begründung des Computereinsetzes

Das vorgeschlagene Thema stammt aus dem Zusatzstoff. Die bis dahin gut bekannten Abbildungen Verschiebung, Punktspiegelung und Drehung lassen sich durch Verkettungen von Achsenspiegelungen darstellen. Im herkömmlichen Unterricht ist die Entdeckung für den Schüler nur möglich, wenn das meist einzige Einführungsbeispiel geschickt gewählt wird. Um die mathematischen Zusammenhänge induktiv zu finden, ist eigentlich eine Konstruktion von genügend vielen Konfigurationen zu den drei Fällen
,
und
nötig. Selbst wenn man im einfachsten Fall der Doppelspiegelung an zwei parallelen Geraden die Schüler mehrere Paare Dreieck - Bilddreieck konstruieren läßt, werden nur wenige Schüler den mathematischen Satz entdecken Auf Grund mangelnder Zeichenfertigkeit und -genauigkeit wird i.a. die Zeichnung zu unübersichtlich werden. Die Konstruktion vieler Figuren ist zudem zeitaufwendig und hier kein Lernziel. Man beschränkt sich meist auf eine Lage des Ausgangsdreiecks bezüglich der beiden Geraden und verlangt vom Schüler dabei den gedanklichen Nachvollzug, daß der Beweis für alle möglichen Fälle gilt. Dies ist Selbstbetrug.

Die Vorteile des „Zugmodus“ von CABRI sind hier unübersehbar. Der Schüler konstruiert mit dem Computer (genauso wie sonst im Heft) eine Figur. Dies ist jetzt aber Repräsentant für die Aussage des Satzes. Nebenbei können Fehler bei der Blatteinteilung und im Entwurf leicht korrigiert werden. Mit dem Zugmodus hat man beliebig viele analoge Konstruktionen zur Verfügung und kann sich auf die Suche nach allgemeingültigen Zusammenhänge konzentrieren und Vermutungen aufstellen. Der explorativen Phase muß die analytische Phase, in der die Beweise geführt werden, natürlich folgen. Ein Schüler, der an der Entdeckung Teil hatte, wird die Beweise ebenfalls eher finden und verstehen.

Zeitbedarf	Voraussetzung
8 Stunden	Beherrschung von CABRI, Makrotechnik

Verlaufsplanung

1. und 2. Stunde (im Klassenzimmer)

1. Wiederholung der aus Klasse 5 - 7 bekannten Konguenzabbildungen (Bezeichnungen, Konstruktion von Bildpunkten und eines Bilddreiecks, Auflistung der Eigenschaften).
   Geradenspiegelung S_g an der Geraden g, Punktspiegelung S_P am Punkt P, Verschiebung
   um den Vektor
   , Drehung
   um den Drehpunkt M mit Drehwinkel α.

2. Einführung der Verkettung von Abbildungen durch Hintereinanderausführung, Bezeichnungen und Sprechweise wie z.B.
   
   Diese Verkettung der Punktspiegelung und der nachfolgenden Geradenspiegelung bezeichnen wir kurz als S_g nach S_P. Entsprechende Hausaufgaben.

3. Stunde (Computerraum

Ziel ist die Untersuchung der Verkettung von zwei Geradenspiegelungen. Mit dem Arbeitsblatt 1 (s.u.) sollen die Schüler zunächst das Makro Geradenspiegelung erstellen mit einem Dreieck ABC und einer Geraden g als Anfangsobjekten und mit dem an g gespiegelten Dreieck A'B'C' als Zielobjekt. Danach sollen 2 verschiedene Geraden g, h (jeweils durch zwei Punkte und ein Dreieck ABC erzeugt werden. Dieses Dreieck soll mit Hilfe des Makros zuerst an g in ΔA'B'C', dann in ΔA“B“C“ gespiegelt werden. Beim Bewegen der beiden Spiegelachsen und des Ausgangsdreiecks mit Hilfe des Zugmodus sollen erste Beobachtungen gemacht werden.

Ein zweites Makro Doppelspiegelung hat als Anfangsobjekte ein Dreieck ABC und zwei Spiegelachsen g, h, als Zielobjekt das Dreieck, das aus ΔABC bei der Verkettung S_h ° S_g entsteht. Beim Testen und Anwenden des Makros soll die Nichtkommutativität der Verkettung erkannt werden mit der einzigen Ausnahme, daß die beiden Achsen senkrecht zueinander sind.

4. bis 6. Stunde

Heuristische Phase im Computerraum

Ziel ist die Untersuchung von Doppelspiegelungen in den drei Fällen für die beiden Spiegelachsen
. Anhand von Arbeitsblatt 2 (s.u.) sollen die Schüler entdecken, welche schon bekannten Kongruenzabbildungen durch die Doppelspiegelung dargestellt werden und in den Aufgaben 3 - 5 zu den folgenden Vermutungen kommen:

Aufgabe 3:

Aufgabe 4:
, wobei
ein Vektor senkrecht zu g ist, der doppelt so lang ist, wie der Abstand von g und h, und der von g nach h gerichtet ist.

Aufgabe 5:
, wobei der Drehwinkel von g nach h gerichtet ist. Diese Darstellung stimmt auch im Spezialfall
mit der Punktspiegelung als spezieller Drehung überein.

Analytische Phase im Klassenzimmer

Beweis der in der induktiven Phase entdeckten Eigenschaften der Doppelspiegelungen.

7. und 8. Stunde

a) Darstellung einer vorgegebenen Kongruenzabbildung (Punktspiegelung, Verschiebung, Drehung) durch Verkettung zweier Achsenspiegelungen. Herstellung zugehöriger Makros (vergl. Arbeitsblatt 3). Damit Makros definierbar sind, müssen die Achsen der Achsenspiegelungen, in die die jeweilige Abbildung zerlegt wird, aus den Punkten der Anfangsobjekte konstruiert sein. Je nach Makro-Definition ist die Konstruktion nicht für alle möglichen Anfangsobjekte ausführbar.

Beispiel Beim Makro Punktspiegelung sind das Dreieck ABC und der Spiegelpunkt P die Anfangsobjekte. Die erste Spiegelgerade ist dann z.B. die Gerade PC, die zweite das Lot zu PC in P. Das Makro kann dann für beliebige Dreiecke ABC und für jeden Spiegelpunkt P ≠ C ausgeführt werden. Für P = C würde die Konstruktion des Makros versagen.

2. Das nächste Ziel ist es, bei zwei vorgegebenen kongruenten Dreiecken die Kongruenzabbildungen zu finden, die das erste Dreieck auf das zweite abbilden. Hierzu müssen vom Lehrer Figuren vorbereitet und auf die Schülerdisketten kopiert werden. Auf diesen Figuren sind jeweils zwei kongruente Dreiecke zu sehen.

Anleitung zum Herstellen einer solchen Datei KONGR_1.FIG: ΔABC zeichnen, mit Hilfe des Makros Achsenspiegelung an 2 bis 3 Achsen so spiegeln und im Zugmodus zurechtziehen, bis das gewünschte Bilddreieck ΔA'B'C' entsteht. Mit Hilfe des Menüpunkts [Bearbeiten] [Objekt­darstellung] kann man das erste Dreieck grün, das zweite rot zeichnen. Mit Hilfe des selben Menüpunkts werden dann alle Hilfslinien versteckt, so daß nur noch die beiden Dreiecke zu sehen sind. Dann speichert man das Bild ab.

Die Schüler lesen zunächst ihre in der letzten Stunde erstellten Makros Achsenspiegelung, Punktspiegelung und Drehung für die entsprechenden Abbildungen ein. Dann werden die vom Lehrer vorbereiteten Figuren der Reihe bearbeitet, indem das erste Dreieck ABC durch geeignete Abbildungen auf das zweite abgebildet wird (vergl. Arbeitsblatt 3). Falls die Schüler bei dieser für sie neuen Aufgabe anfangs planlos probieren, sollte der Lehrer den Tip geben, zunächst das erste Dreieck durch eine geeignete Verschiebung abzubilden (die z.B. A auf A' abbildet).

3. Für besonders schnelle Schüler befindet sich eine weitere Aufgabe 5 auf Arbeitsblatt 3, bei der mit Hilfe des Reflexionsgesetzes das Billardspiel simuliert wird. Will man diese Aufgabe stellen, so muß die Datei BILLARD.FIG vorbereitet und auf die Schülerdisketten kopiert werden.

Literatur:

Nr.	Autor	Titel	Verlag	Best.-Nr.
[1]		Geometrie mit CABRI	LEU Stuttgart 1992	C 102.3
[2]	Niederdrenk-Felgner, Cornelia	Entdeckungsreise im Dreieck	Computer und Unterricht Heft 1 (1991), S. 64 - 70
[3]	Schuhmann, Heinz	Schulgeometrisches Konstruieren mit dem Computer	Metzler + Teubner, Stuttgart 1991
[4]	Ziegler, Theodor	Was kann ein computergestützter Mathematikunterricht leisten?	MNU 44/5 (1991), S. 300 - 302
[5]	Lugon, e.a.	Cabriolages, Expeditionen in die Welt der ebenen Geometrie	Comet 1993
[6]	Ziegler, Theodor	Computergestützter Geometrie­unterricht mit Cabri Géomètre	Comet 1993
[7]	Elschenbroich, Hans-J.	Geometrie beweglich mit GEOLOG	Dümmler 1996	4557
[8]	Elschenbroich, Hans-J.	Geometrie beweglich mit EUKLID	Dümmler 1998	4555
[9]	Weth, Thomas	Arbeitsbuch GEOLOG	Dümmler 1996	4582
[10]	Henn, H.-W./Jock, W.	Schülerarbeitsbuch GELOG-WIN	Dümmler 1998	4562
[11]	Neidhardt/Wurm	Arbeitsbuch THALES	Dümmler 1998	4551

Programme

Nr.	Autor	Titel	Verlag	Bezugsbedingungen
[1]		Geometer's Sketchpad	Cornelsen	(EL 228 DM, SL 598 DM)
[2]		Thales	Klett	(EL 98 DM, SL 418 DM)
[3]		Symmetrie	Comet	(EL 128 DM, SL 338 DM)
[4]		Kubus	Comet	(EL 128 DM, SL 338 DM)
[5]	CUM	Kobesch	Päd.Zentrum,	Bad Kreuznach
[6]	Treffeisen, W.	Mathcad Geometrie	PC Software Düsseldorf	(EL 79 DM, SL 119 DM)
[7]	Käse K.H.	Analytische Geometrie	Ueteren	(EL = SL 99 DM)
[8]	Schultheiß, B.	Matheass	Wiesloch	(EL 30 DM, SL 50 DM)
[9]	CUM	Kegel 32	Päd.Zentrum	Bad Kreuznach
[10]	Schupp/Berg	Pro Geo	Dümmler	50 DM
[11]	Geo-Beweis, Tricon	Holland, G.	Institut für Didaktik der Mathematik, Uni Gießen
[12]	Holland, G.	GEOLOG-WIN	Dümmler	45762 und 45773(EL) oder 45774(SL) (Handbuch 36 DM, EL 168 DM, SL 398 DM, EWSL zusätzlich 234 DM)
[13]	Mechling, R.	EUKLID	Fuchshaldeweg 24a, 77654 Offenburg	EL 49 DM, SL 149 DM, EWSL 249 DM)

Arbeitsblatt 1:

1. Erstelle ein Makro Geradenspiegelung (wie immer mit Hilfetext).

Anfangsobjekt: ΔABC, Gerade g.

Zielobjekt: Das an g gespiegelte Dreieck ΔA'B'C'.

2. Konstruiere ein Dreieck ABC und zwei geraden g und h (jeweils durch 2 eigene Punkte). Bezeichne das Dreieck und die Geraden. Spiegle mit Hilfe des Makros von Aufgabe 1 das Dreieck zuerst an g in ΔA'B'C', spiegle dann dieses erste Bilddreieck weiter an h in ΔA“B“C“. Bezeichne auch die beiden Bilddreiecke (siehe Abbildung).

Beobachte, wie sich die Bilddreiecke verändern, wenn Du mit Hilfe des Zugmodus

• an den Ecken A, B oder C des Ausgangsdreiecks,

• an einem Punkt der ersten Spiegelachse g,

• an einem Punkt der zweiten Spiegelachse h

ziehst.

3. Erstelle das Makro Doppelspiegelung

Anfangsobjekt: ΔABC, Geraden g, h.

Zielobjekt: Das an g und anschließend an h gespiegelte Dreieck ΔA“B“C“.

4. Konstruiere ein Dreieck ABC und 2 Geraden g, h (jeweils durch 2 eigene Punkte). Bilde mit Hilfe des Makros aus Aufgabe 3 das Ausgangsdreieck ABC einmal durch die Verkettung , danach durch die Verkettung ab. Was stellst Du fest?

5. Die beiden Bilddreiecke in Aufgabe 4 sind sicher verschieden gewesen. Woran lag das? Laß jetzt das Ausgangsdreieck und die erste Gerade fest und variiere die Gerade h mit Hilfe des Zugmodus. Gibt es eine Stellung von h, bei der die beiden Bilder aufeinanderfallen? Was bedeutet das jetzt für die Reihenfolge der Achsenspiegelungen? Prüfe durch Verändern der anderen Anfangsobjekte nach, ob Deine Vermutung richtig ist.

Arbeitsblatt 2:

1. Lade mit [Verschiedenes] [Makros] die in der letzten Stunde erstellten Makros Geradenspiegelung und Doppelspieglung.

1. Zur genaueren Untersuchung der Doppelspiegelungen unterscheiden wir drei Fälle für g und h:

(1)
(2)
(3)
. Diese drei Fälle sollst Du jetzt einzeln untersuchen und Deine Beobachtungen und Vermutungen notieren.

3. Doppelspiegelung
   im Falle senkrechter Geraden
   .

Erzeuge ein Dreieck ABC, eine Gerade g durch 2 Punkte P, Q und die Gerade h als Lot zu g in P (vergl. Skizze). Erzeuge mit Hilfe des Makros Doppelspieglung das Bilddreieck A'B'C'.

Bezeichne die Objekte. Hast Du eine Vermutung, welche schon bekannte Abbildung genauso wirkt, also auch ΔABC in ΔA'B'C' abbildet?

Ändere die Lage der beiden Spiegelachsen durch Ziehen

• an den Ecken A, B, C des Ausgangsdreiecks,

• am Punkt Q,

• am Punkt P, um Deine Vermutung zu erhärten.

4. Doppelspiegelung im Falle paralleler Geraden .

Erzeuge ein Dreieck ABC, eine Gerade g durch zwei Punkte P, Q, einen Punkt R, die Parallele h zu g durch R (vergl. Skizze). Erzeuge mit Hilfe des Makros Doppelspieglung das Bilddreieck A'B'C'. Bezeichne die Objekte.

Hast Du eine Vermutung, welche schon bekannte Abbildung genauso wirkt, also auch ΔABC in ΔA'B'C' abbildet?

Ändere die Lage der beiden Spiegelachsen durch Ziehen

• an den Ecken A, B, C des Ausgangs-dreiecks,

• am Punkt R (hierdurch ändert sich der Abstand der Geraden; messe gegebenen-falls mit Hilfe Deines Geodreiecks nach),

• an den Punkten P, Q, um Deine Vermutung zu erhärten.

5. Doppelspiegelung
   im allgemeinen Fall
   

Erzeuge ein Dreieck ABC, eine Gerade g durch zwei Punkte P, Q, eine zweite Gerade h durch P und einen dritten Punkt R /vergl. Skizze) Erzeuge mit Hilfe des Makros Doppelspieglung das Bilddreieck A'B'C'. Bezeichne die Objekte. Falls Du jetz noch nicht ahnst, welche schon bekannte Abbildung genauso wirkt, so mache folgende Experimente, um zu Vermutungen zu kommen.

• Ändere den Geradenwinkel α, indem Du den Punkt R etwa kreisförmig um den Geradenschnittpunkt P herumführst,

• ändere jetzt α, indem Du den Punkt Q etwa kreisförmig um P herumführst.

Sicherlich hast Du jetzt eine Vermutung, die Du durch weitere Tests (Ziehen an den Ecken oder an P) überprüfen kannst. Ggf. kannst Du den Winkel auf dem Bildschirm mit dem Geodreieck oder mit [Verschiedenes] [Winkelmessen] messen. Du kannst auch den Kreis
oder entsprechende Kreise durch B, C zeichnen und wieder den α durch Ziehen an R oder Q ändern.

Arbeitsblatt 3:

Stelle die Kongruenzabbildungen in Aufgabe 1 - 3 durch die Verkettung zweier Geradenspiegelungen dar. Erstelle hierzu jeweils ein Makro. Beachte, daß bei einem makro nur Hilfsgrößen verwendet werden dürfen, die Anfangsobjekte sind oder aus Anfangsobjekten konstruiert werden können. Versuche so vorzugehen, daß das Makro bei möglichst vielen Anfangskonstruktionen durchführbar ist. Untersuche, ob gewisse Anfangskonfigurationen (z.B. beim Zusammenfallen von Punkten) auszuschließen sind.

1. Makro Verschiebung.

Anfangsobjekt: ΔABC, 2 Punkte P, Q für den Verschiebungsvektor
.

Zielobjekt: Das um
verschobene ΔA'B'C'.

2. Makro Punktspiegelung.

Anfangsobjekt: ΔABC, Spiegelpunkt P

Zielobjekt: Das am P gespiegelte ΔA'B'C'.

3. Makro Drehung.

Anfangsobjekt: ΔABC, 3 Punkte R, P, Q für Drehpunkt P und Drehwinkel

Zielobjekt: Das um P mit (orientiertem) Winkel α gedrehte Bilddreieck ΔA'B'C'.

Lade zur Brabeitung der nächsten Aufgabe die von Dir erstellten Makros Geradenspiegelung, Punktspiegelung, Verschiebung und Drehung.

4. Lies die Figur KONG1 ein. Es erscheinen 2 Dreiecke ΔABC und ΔA'B'C', die kongruent sind. Versuche, durch Verkettung geeigneter Kongruenzabbildungen das erste Dreieck auf das zweite abzubilden. Notiere jeweils genau die verwendeten Abbildungen.

Wiederhole die Aufgaben für die Figuren KONG_2 und KONG_3.

5. Lade die Figur Billard. Es erscheint das folgende Bild, das einen Billardtisch mit zwei Kugeln A und B darstellen soll. A und B können durch Zugmodus verändert werden, um andere Aufgaben zu stellen. Ziel ist es, die Kugel A so anzustoßen, daß sie nach einer (zwei, drei) Bandenberührungen so reflektiert werden, daß Einfalls- und Ausfallswinkel gleich sind.

Wähle als Anstoßrichtung eine Gerade durch A. Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der jeweiligen Rechteckseite als Bande ergibt den Reflexionspunkt. Konstruiere dann die reflektierte Richtung. Variiere die Anstoßrichtung, bis die Kugel B getroffen wird. Welches Konstruktionsprinzip steckt dahinter? Mache die entsprechende Konstruktion mit Zirkel und Lineal auf einem Blatt Papier.

Seminar für Schulpädagogik Diemer

5.12

CIMU Lehr- und Lernprogramme

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