Politechnika Warszawska

Instytut Fizyki

Laboratorium Fizyki I "Płd."

Sprawozdanie z ćwiczenia 9

BADANIE DRGAŃ HARMONICZNYCH TŁUMIONYCH

Artur Filipczak

Grupa: 25

Zespół: 10

1. Opis ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zbadanie zachowania się oscylatora harmonicznego tłumionego, wyznaczenie charakteryzujących go parametrów i porównanie ich z wartościami teoretycznymi. Pomiary zostały przeprowadzone dla urządzenia wychyłowego galwanometru (drgania mechaniczne) oraz dla obwodu RLC (drgania elektromagnetyczne).

2. Opis metody wykonanych obliczeń.

W wyniku wykonanych pomiarów podczas doświadczenia, otrzymane zostały pary wartości (najcześciej amplitudy oraz czasu) spełniające linową zależność:

ln A = ln X₀ - βt

Po podstawieniu:

ln A = y, ln X₀ = b oraz -β = a

otrzymujemy równanie prostej:

y = ax +b.

W tej sytuacji, korzystając z metody najmniejszej sumy kwadratów (patrz wzory poniżej), można oszacować parametr a i co za tym idzie - wartość β.

Parametr
, gdzie
oraz

średni błąd kwadratowy

3. Przebieg ćwiczenia

A. badanie drgań urządzenia wychyłowego galwanometru

B. badanie drgań elektromagnetycznych w obwodzie RLC

1. Badanie drgań urządzenia wychyłowego galwanometru.

Schemat układu:

Zasada działania:

Zasilacz ładuje kondensator C. Po zwarciu klucza K1 następuje automatyczne rozwarcie klucza K2, odłączającego zasilacz i kondensator C rozładowuje się przez opornik R i galwanometr. Ten krótkotrwały przepływ prądu rozładowania przez galwanometr spowoduje odchylenie jego urządzenia wychyłowego od położenia równowagi. Po rozładowaniu się kondensatora C, urządzenie wychyłowe galwanometru zacznie powracać do położenia równowagi w zależności od wartości oporu R ruchem harmonicznym tłumionym, krytycznym lub aperiodycznym. Po zwolnieniu klucza k2 kondensator C naładuje się ponownie.

Wyniki pomiarów:

A1 Słabe tłumienie

R = 1000 [kΩ] V=4 [V] T=1,67 [s]

Numer pomiaru	1	2	3	4	5	6	7	8
Liczba okresów	0	1	2	3	4	5	6	7
A [dz]	5,2	4,7	4,2	3,8	3,5	3,2	2,9	2,7
t [s]	0	1,6671	3,3342	5,0013	6,6684	8,3355	10,0026	11,6697

Lp.	t	t	t^2	lnA	t lnA	di	di^2
1	0,0000	-5,83235	34,01631	1,6487	-9,6158	0,014844	0,00022
2	1,6471	-4,18525	17,51632	1,5476	-6,47709	0,006601	4,36E-05
3	3,3342	-2,49815	6,240753	1,4351	-3,5851	-0,01079	0,000116
4	5,0013	-0,83105	0,690644	1,335	-1,10945	-0,0169	0,000286
5	6,6684	0,83605	0,69898	1,2528	1,047403	-0,00512	2,62E-05
6	8,3355	2,50315	6,26576	1,1632	2,911664	-0,00073	5,36E-07
7	10,0026	4,17025	17,39099	1,0647	4,440065	-0,00525	2,75E-05
8	11,6697	5,83735	34,07466	0,9933	5,79824	0,017338	0,000301
Σ	46,6588		116,8944	10,4404	-6,59006		0,001021
śr.	5,83235			1,30505		Śr. błąd	0,001206

współczynnik nachylenia prostych	a = - 0,05638
współczynnik tłumienia	β = 0,0564 ±
czas relaksacji	τ= 1/β = 17,7367 ± 0,009
logarytmiczny dekrement tłumienia	δ = β T = 0,0945 ± 0,006
częstość drgań tłumionych	ω = 2π/T = 3,764 ± 0,023
częstość drgań swobodnych	ω0= 3,7628 ± 0,033

A2 Silne tłumienie

R = 30 [kΩ] V=4 [V] T=0,9773 [s]

Numer pomiaru	1	2	3	4	5	6
Liczba okresów	0	1	2	3	4	5
A [dz]	3,4	1,7	0,7	0,4	0,2	0,1
t [s]	0	0,9773	1,9546	2,9319	3,9092	4,8865

Lp.	t	t	t^2	lnA	t lnA	di	di^2
1	0	-2,44325	5,969471	1,2238	-2,99005	0,037595	0,001413
2	0,9773	-1,46595	2,149009	0,5306	-0,77783	0,047584	0,002264
3	1,9546	-0,48865	0,238779	-0,3567	0,174301	-0,13653	0,01864
4	2,9319	0,48865	0,238779	-0,9163	-0,44775	0,007061	4,99E-05
5	3,9092	1,46595	2,149009	-1,6094	-2,3593	0,01715	0,000294
6	4,8865	2,44325	5,969471	-2,3026	-5,62583	0,027138	0,000736
Σ	14,6595		16,71452	-3,4306	-12,0265		0,023398
śr.	2,44325			-0,57177		Śr. błąd	0,018707

współczynnik nachylenia prostych	a = -0,71952 ±
współczynnik tłumienia	β = 0,71952 ±
czas relaksacji	τ= 1/β = 1,3898 ±
logarytmiczny dekrement tłumienia	δ = β T = 0,7032 ±
częstość drgań tłumionych	ω = 2π/T = 6,4258 ±
częstość drgań swobodnych	ω0=

Zestawienie wyników części A

	β±Δβ	τ±Δτ	δ±Δδ	ω±Δω	ω0±Δω0
słabe tłumienie
silne tłumienie

Zestawiając wyniki przeprowadzonych pomiarów można wyciągnąć następujące wnioski:

• wraz ze wzrostem współczynnika tłumienia β wartość: ω - maleje; τ - maleje; δ - rośnie;

• wyznaczona doświadczalnie częstość ω jest różna dla różnych wartości współczynnika β;

2. Badanie drgań elektromagnetycznych w obwodzie RLC

Schemat układu:

Zasada działania:

Każda impulsowa zmiana napięcia na wyjściu generatora spowoduje powstanie drgań harmonicznych tłumionych napięcia na kondensatorze C. Napięcie to jest podawane na wejście Y oscyloskopu, gdzie po wzmocnieniu, powoduje odchylenie plamki na ekranie.

B1a. Drgania słabo tłumione

R = 50 + 64 = 114 [Ω] C= 9.99 [nF] L = 65,3 [mH]

Lp.	a[cm]	a[v]	t	~t	~t2	lnA	~t*lnA	~di	~di2
1	4	0,8	0	-0,0004	0,00000016	-0,22314	8,92574E-05	-0,01291	0,000166609
2	3,2	0,64	0,0002	-0,0002	0,00000004	-0,44629	8,92574E-05	0,007115	5,06226E-05
3	2,5	0,5	0,0004	0	0	-0,69315	0	0,003421	1,17039E-05
4	2	0,4	0,0006	0,0002	0,00000004	-0,91629	-0,000183258	0,023444	0,00054961
5	1,5	0,3	0,0008	0,0004	0,00000016	-1,20397	-0,000481589	-0,02107	0,000444034
Σ			0,002		0,0000004	-3,48284	-0,000486332		0,001222579
śr.			0,0004			-0,69657		Śr. błąd	31,91888878

B1b. Drgania silnie tłumione

R = 50 + 64 + 500 = 614 [Ω] C= 9.99 [nF] L = 65,3 [mH]

Lp.	a[cm]	a[v]	t	~t	~t2	lnA	~t*lnA	~di	~di2
1	3,3	0,66	0	-0,00035	1,225E-07	-0,41552	0,00014543	0,014765	0,000218008
2	1,7	0,34	0,000175	-0,00018	3,0625E-08	-1,07881	0,000188792	0,070188	0,004926354
3	0,7	0,14	0,00035	0	0	-1,96611	0	-0,0984	0,009682184
4	0,35	0,07	0,000525	0,000175	3,0625E-08	-2,65926	-0,000465371	-0,07283	0,005303941
5	0,2	0,04	0,0007	0,00035	1,225E-07	-3,21888	-0,001126607	0,086273	0,007443059
Σ			suma		suma	suma	suma		suma
			0,00175		3,0625E-07	-9,33857	-0,001257755		0,027573546
śr.
			srednia			srednia
			0,00035			-1,86771		Sa blad	173,2397855

B2a Drgania słabo tłumione

R = 50 + 64 = 114 [Ω] C= 1 [nF] L = 65,3 [mH]

Lp.	a[cm]	a[v]	t	~t	~t2	lnA	~t*lnA	~di	~di2
1	4,5	0,9	0	-0,00021	4,41E-08	-0,10536	2,21257E-05	-0,01004	0,000100833
2	4,1	0,82	0,000105	-0,00011	1,1025E-08	-0,19845	2,08373E-05	-0,00332	1,1008E-05
3	3,8	0,76	0,00021	0	0	-0,27444	0	0,02051	0,000420678
4	3,4	0,68	0,000315	0,000105	1,1025E-08	-0,38566	-4,04946E-05	0,009099	8,27914E-05
5	3	0,6	0,00042	0,00021	4,41E-08	-0,51083	-0,000107273	-0,01625	0,000264062
Σ			0,00105		1,1025E-07	-1,47474	-0,000104805		0,000879373
śr.			0,00021			-0,29495		Śr. błąd	51,56281735

B2b Drgania silnie tłumione

R = 114 + 500 = 614 [Ω] C= 1 [nF] L = 65,3 [mH]

Lp.	a[cm]	a[v]	t	~t	~t2	lnA	~t*lnA	~di	~di2
1	4,5	0,9	0	-0,00021	4,41E-08	-0,10536	2,21257E-05	0,006253	3,91015E-05
2	3,2	0,64	0,000105	-0,00011	1,1025E-08	-0,44629	4,68601E-05	-0,00101	1,01522E-06
3	2,3	0,46	0,00021	0	0	-0,77653	0	0,002417	5,84005E-06
4	1,6	0,32	0,000315	0,000105	1,1025E-08	-1,13943	-0,000119641	-0,02682	0,000719473
5	1,2	0,24	0,00042	0,00021	4,41E-08	-1,42712	-0,000299694	0,019161	0,000367137
Σ			0,00105		1,1025E-07	-3,89473	-0,000350349		0,001132567
śr.			0,00021			-0,77895		Śr. błąd	58,51698894

B6. Przypadek krytyczny

R = 15 [kΩ] C= 1 [nF] L = 65,3 [mH]

Lp.	a[cm]	a[v]	t	~t	~t2	lnA	~t*lnA	~di	~di2
1	5	1	0	-4,5E-05	2,025E-09	0	0	-0,1834	0,033634381
2	2,8	0,56	0,000015	-0,00003	9E-10	-0,57982	1,73946E-05	-0,00327	1,07024E-05
3	1,5	0,3	0,00003	-1,5E-05	2,25E-10	-1,20397	1,80596E-05	0,132518	0,01756104
4	0,7	0,14	0,000045	0	0	-1,96611	0	0,130322	0,016983785
5	0,3	0,06	0,00006	0,000015	2,25E-10	-2,81341	-4,22012E-05	0,042968	0,001846234
7	0,15	0,03	0,000075	0,00003	9E-10	-3,50656	-0,000105197	0,109764	0,01204824
8	0,05	0,01	0,00009	0,000045	2,025E-09	-4,60517	-0,000207233	-0,2289	0,052397034
Σ			0,000315		6,3E-09	-14,675	-0,000319176		0,134481415
śr.			0,000045			-2,09643		Śr. błąd	2066,216658

B7. Przypadek aperiodyczny

R = 20 [kΩ] C= 1 [nF] L = 65,3 [mH]

Lp.	a[cm]	a[v]	t	~t	~t2	lnA	~t*lnA	~di	~di2
1	5	1	0	-0,00025	6,25E-08	0	0	-2,9E-06	8,55434E-12
2	3	0,6	0,0001	-0,00015	2,25E-08	-0,51083	7,66238E-05	0,002012	4,04978E-06
3	1,8	0,36	0,0002	-0,00005	2,5E-09	-1,02165	5,10826E-05	0,004028	1,62227E-05
4	1,1	0,22	0,0003	0,00005	2,5E-09	-1,51413	-7,57064E-05	0,024392	0,00059498
5	0,6	0,12	0,0004	0,00015	2,25E-08	-2,12026	-0,00031804	-0,0689	0,004747574
7	0,4	0,08	0,0005	0,00025	6,25E-08	-2,52573	-0,000631432	0,038473	0,001480188
Σ			0,0015		0,000000175	-7,6926	-0,000897472		0,006843014
śr.			0,00025			-1,2821		Śr. błąd	98,87231129

Zestawienie wartości doświadczalnych z teoretycznymi

dla B1a. Drgania słabo tłumione

	β±Δβ [s^-1]	τ±Δτ [s]	δ±Δδ	ω±Δω [s^-1]
Wart. Doświadcz.	1220±100	0,000820±0,000067	0,244±0,142
Wart. Teoret.	873±9	0,001146±0,000012	0,17±0,09

dla B1b. Drgania silnie tłumione

	β±Δβ [s^-1]	τ±Δτ [s]	δ±Δδ
Wart. Doświadcz.	4100±550	0,000244±0,000033	0,7±0,5
Wart. Teoret.	4700±15	0,0002132±0,0000006	0,8±0,5

dla B2a. Drgania słabo tłumione

	β±Δβ [s^-1]	τ±Δτ [s]	δ±Δδ
Wart. Doświadcz.	950±160	0,00105±0,00018	0,09±0,11
Wart. Teoret.	873±9	0,001146±0,000012	0,17±0,09

dla B2b Drgania silnie tłumione

	β±Δβ [s^-1]	τ±Δτ [s]	δ±Δδ
Wart. Doświadcz.	3200±200	0,00031±0,00002	0,34±0,34
Wart. Teoret.	4700±15	0,0002132±0,0000006	0,8±0,5

Dla B6 - przypadek krytyczny

Z doświadczenia wynika, iż opór krytyczny wynosi około 15kΩ, co pozwala obliczyć teoretyczną wartość β = 115000 [s^-1]. Niestety, jest to ponad 2-krotnie więcej niż wynosi wartość doświadczalna. Przypuszczalnie jest to spowodowane błędem w doświadczeniu, wynikającym z zakłóceń na ekranie i niemożnością poprawnego odczytu danych, lub też złym odczytaniem skali na oscyloskopie.

Wnioski końcowe

• Na podstawie przedstawionych danych widoczna jest tendencja do pokrywania się wartości eksperymentalnych z teoretycznymi.

• Czasami dane nie pokrywają się w granicach błędu, lecz jednak mieszczą się w tym samym rzędzie wielkości.

• Rozbieżności w wynikach można wytłumaczyć popełnieniem błędów przypadkowych, w niektórych przypadkach niewystarczającą dokładnością odczytu danych z ekranu oscyloskopu.

---