1. Definicja drgań

Drganiem nazywamy ruch okresowy jakiejkolwiek wielkości fizycznej

Wykres wychylenia prędkości przyspieszenia na jednym układzie współ.

x(t) = x_osin (ωt )

x(t) = ωx_ocos(ωt )

x(t) = - ω²_oxsin(ωt )

a) Drgania liniowe o 1 stopniu swobody

Jeżeli na układ wstępnie wprowadzony z położenia równowagi nie działają żadne wymuszenia to drgania tego układu nazywamy swobodnymi.

Równanie ruchu drgań swobodnych tłumionych

mx + Cx + kx = 0

jeżeli pominiemy tłumienie to uzyskamy ulepszone równanie drgań swobodnych nietłumionych.

mx + kx = 0

rozwiązaniem ogólnym tego równania jest funkcja w postaci sygnału harmonicznego:

x(t) = x_osin(ω_ot + φ)

ω_o - częstość kołowa sygnału

φ - faza sygnału harmonicznego

częstość własna układu - częstość kołowa nietłumionych drgań własnych:

Okres drgań własnych:

Ogólne rozwiązanie ma ostateczną postać:

x_o, φ - stałe całkowania, zależne od war początkowych

h - współ. tłumienia

Jeżeli występuje tłumienie wiskotyczne ( C ≠ 0), to r - nie drgań w wyniku podzielono obustronnie przez m przyjmuje postać:

x + 2hx + ω_o²x = 0

h = C/2m - jednostkowy współ tłumienia wiskotycznego.

Rozwiązanie równania jest funkcją wykładniczą:

x(t) = e^rt

↓

(r² + 2hr + ω_o² ) e^rt = 0

↔ r² + 2hr + ω_o² = 0

Pierwiastkami r-nia charakterystycznego są:

∆ = 4(h² - ω_o²) - wyróżnik r- nia char

Ostatecznym rozwiązaniem jest superpozycja funkcji wykładniczych

x(t) = D₁e^r1t + D₂e^r2t

D₁,D₂-stałe całkowanie zależne od warunków początkowych

∆< 0 - tłumienie jest niewielkie, mniejsze od krytycznego, pierwiastki są zespolone

x = e^-htxsin(ω_*t + φ_*) ω_* = √( ω_o² - h²)

W wypadku liniowego tłumienia niskotycznego szybkość zanikania amplitudy jest zdeterminowana szybkością zmiany funkcji:

x = ± x_*e^-ht, zależy od współ tłumienia h

Miarą szybkości zanikania amplitudy jest logarytmiczny dekrement tłumienia

Δ = hT_* = const

• ∆ = 0 -tłumienie jest równe tłumieniu krytycznemu pierw. są równe: r₁= r₂= - h

Rozwiązanie r-nia ma postać

x(t) = e^-ht[s_o - (h s_o + ν_o)t]

• ∆ >0 - Tłumienie jest większe od krytycznego, pierwiastki są rzeczywiste.

Rozwiązanie r-nia ma postać

x(t) = e^-ht[s_ocosh (ω_*t) + hs_o+ ν_o/ ω_* sinh(ω_*t)]

b) Drgania wymuszone

Jeżeli w równaniu ruchu mx + cx+ kx= P (t ) przyjmujemy wymuszenie o stałej amplitudzie i zerowej fazie, to przyjmie ono postać:

x + 2hx + ω_o ² x = Psinωt

Rozwiązaniem równania jest funkcja złożona z sygnału zanikającego o zanikającej amplitudzie x_*e^-ht stałym okresie T_* = 2π/ ω_* oraz sygnału wymuszonego o stałej amplitudzie i stałym okresie równym okresowi siły wymuszającej.

λ = P/k -odkształcenie statyczne układu wywołane max. siła wymuszającą

mx+ Cx+ kx= Psin ω t

x= Asinωt+ Bcosωt= C cos (ωt + φ)

x=x₁+x₂

2. Zależność pomiędzy ω T, f.

ω T i f

ω - częstość kołowa

T- okus

f- częstotliwość

x = x(t)

x(t) = x(t -T)

x_śr = ∫^t │x(t)│dt

3. Dodawanie dwóch ruchów harmonicznych w zależności od ω.

a) jeżeli sumujemy sygnały o równych cząstkach kołowych ω₁= ω₂ = … ω_n to wypadkowy jest sygnałem harmonicznym

b) Jeżeli n_{1 *} T₁ = n_{2 *} T₂

k₁, k₂ n₁ …… T(1,2,3…

sygnałem wypadkowym jest sygnał okresowy (tzw. poliharmoniczny )

c) Jeżeli

n₁, n₂ ,…..,√2, 2, √20, 20

n₁ T₁ = n₂ T₂

sygnałem wypadkowym jest sygnał pseudookresowy

d) ω₁≈ ω₂ wypadkowy sygnał jest sygnałem okresowym (T₁ ≈ T₂) zwanym dudnieniem o okresie 1/Td = │1/ T₁ - 1/ T₂│

4. Co to jest dudnienie?

Dudnienie powstaje przy nakładaniu się sygnałów harmonicznych o zbliżonych cząsteczkach kołowych ω₂ ≈ ω₁

x_o^max = √x_o1² + x_o2² +2 x_o1x_o2

x_o^min = √x_o1² + x_o2² -2 x_o1x_o2

1/Td =│1/T₁ - 1/T₂│

Drgania nieharmoniczne które otrzymujemy w wyniku nałożenia się dwóch jednakowo skierowanych drgań harmonicznych o zbliżonych częstościach (│ω₂ - ω₁│≤ ω₁) nazywamy dudnieniem. W takim przypadku jako początek skali czasu t uzasadnione jest, przyjęcie takiej chwili, w której fazy obu składników drgań y₁ i y₂

są jednakowe i równe φ ₀. Wtedy :

y₁ =A₁ sin( ω ₁t + φ ₀)

y₂ = A₂ sin (ω₂ t + φ ₀) = A₂ sin[ω ₁t + φ ₀ + ψ (t)]; gdzie

φ (t) = (ω₂ - ω₁)t

Drgania wypadkowe y = y₁ + y₂ spełniają zależność:

y = A(t) sin [ω ₁t + φ ₀ + φ (t)] gdzie;

[A(t)]² = A₁² + A₂² + 2A₁ A₂ cos φ(t)

i tg ψ(t) = A₂sin φ/A₁+ A₂ cos φ(t)

W szczególności, jeśli A₁ = A₂ = A_0, to

i

wtedy:

Wielkość │A(t)│, opisująca amplitudę drgań wypadkowych, zmienia się w granicach od

│A₁ - A₂│ do A₁ + A₂ z częstością kołową ω_D

ω_D = │ω₂ - ω ₁ │zwaną wartością kołową dudnień. Ponieważ częstość dudnień jest wielokrotnie mniejsza od częstości drgań (ω_D << ω ₁),

5.Sprężyny połączone szeregowo.

Przy łączeniu szeregowym odwrotność sztywności zastępczej jest równa sumie odwrotności sztywności poszczególnych sprężyn.

P₁ = P₂ = P

f = f₁ ≠ f₂

k = P/f

k = P/ f₁ + f₂

1/k = f₁ + f₂/P

1/k = f₁/P + f₂/P

1/ k_z = 1/ k₁ + 1/ k₂

6. Sprężyny połączone równolegle.

Przy połączeniu równoległym sprężyn sztywność zastępcza jest równa sumie sztywności poszczególnych sprężyn.

f = f₁ = f₂

P = P₁ + P₂

k = P/f = P₁ + P₂/ f = P₁/f + P₂/f

k_z = k₁ + k₂

7.Oblicz częstość drgań dla różnych połączeń sprężyn.

mx + kz _* x = 0

k = k₂ + k₃ + k ₁

8.Określić wszystkie jednostki mx + cx + kx = P sin ωt

m [kg]; x [m/s²]; c [kg/s]; x [m/s]; k [N/m]; x [m]; P [N]; ω [rad/s]; t [s].

9. Co to jest rezonans-wykres.

Szybki przyrost amplitudy wymuszonych drgań mechanicznych przy zbliżaniu się częstości kołowej siły wymuszającej do wartości częstości drgań własnych układu nazywamy zjawiskiem rezonansu mechanicznego.

Rezonans jest największy jeżeli częstość drgań wymuszonych ω jest równa częstotliwości drgań własnych ω₀.

ω/ω₀ = 1 → A → ∞

11. Częstość drgań swobodnych nietłumionych.

mx +kx = 0/:m

x + k/m∙x = 0

x +ω₀²x = 0

12. Tłumienie krytyczne.

h = ω₀ mx + cx + kx = 0

c/m = 2h ; k/m = ω₀²

x + 2hx + ω₀²x = 0

x = e^st

równanie charakterystyczne s² + 2hs + ω₀² = 0 dla h = ω₀ jeden pierwiastek podwójny

s = s₁ = s₂ = − h

x = e^−ht (c₁t + c₂)

h = ω₀

ω₀² = k/m

2h = c/m

h = c/ 2m

c = √4mk c = 2√km c² = 4m² ∙ k/m ∙ ω₀ c² = 4m² ω₀² c =√ 4m² ω₀² c_kr = 2ω₀ m

13. Ruch swobodny nietłumiony dla różnych warunków początkowych.

mx + kx = 0 → x + ω₀² x = 0 ; ω₀ = √k/m

x = A cos ω₀t + B sin ω₀t

x = −A ω₀ sin ω₀t + ω₀ B cos ω₀t

1° t = 0 ; x =a ; x = 0

a = A + 0 → A = a

0 = B ω₀ → B = 0

x = a cos ω₀t

2° t = 0 ; x = 0 ; x = V₀

0 = A + 0 → A = 0

V₀ = B ω₀ = B = V₀/ ω₀

x = V₀/ ω₀ sin ω₀t

3° t = 0 ; x =a ; x = V₀

a = A → A =a

V₀ = B ω₀ → B = V₀/ ω₀

x = a cos ω₀t + V₀/ ω₀ ∙ sin ω₀t

x = c cos (ω₀t + φ)

tgφ = V₀/ ω₀a

14. Drgania wymuszone. Z jakich składników się składają.

mx + kx = P sin ωt − równanie drgań wymuszonych nietłumionych

↓ ↓

drgania siła wymuszająca

swobodne

mx + kx = Psinω₀t/:m

x + k/m*x = Psinω₀t/m

x + ω₀²x = q sin ωt

x = Asinωt

x = Aω₀cosωt

x = - Aω₀²sinωt

ω₀²= k/m

q = P/m

k = P/f

A = q/ ω_o² - ω²

↓

Z jakich składników składa się ruch wymuszony ?

Drgania wymuszone nie tłumione: mx + kx = P sin(ωt) równanie siła ruchu wymuszona

drgania wymuszone tłumione : mx + cx + kx = P sin(ωt) ↓ ↓ równanie siła uchu wymuszona tłumionego

15. Okres początkowy drgań wymuszonych tłumionych.

16. Rodzaje wibroizolacji.

a) siłowa ( wyizolowania układu od środowiska)

b) przemieszczeniowa (odizolowanie środowiska od układu)

17. Współczynnik przenoszenia siły (izolacja).

18. Płaszczyzna fazowa - warunek stabilności.

20. Podatność dynamiczna - co to jest?

Podatność dynamiczna jest to szczególny przypadek transmitancji, gdzie sygnałem wejściowym jest siła, a wyjściowym przemieszczenie.

Transmitancja jest to stosunek wielkości sygnału wyjściowego do wielkości sygnału wejściowego w stanie ustalonym.

Interpretacja geometryczna komunikacji.

21. Jak znaleźć doświadczalnie podatność.

Dla zadanego wymuszenia mierzy się wielkość przemieszczenia.

22. Interpretacja wektorowa drgań.

Dwa sygnały prostopadłe

x₁ = A₁ sin(ωt)

x₂ = A₂ cos(ωt)

x = x₁ − x₂

A₁ < A₂

Dwa sygnały równoległe.

x₁ = A₁ sin(ωt)

x₂ = A₂ sin(ωt)

x = x₁ + x₂

23. Równanie Lagrange'a.

E − energia kinetyczna układu

V − energia potencjalna układu

q − współczynnik

24. Charakterystyka fazowo-częstotliwościowa.

Charakterystyka fazowo - częstotliwościowa przedstswia zależność fazy początkowej układu

od jego częstości kołowej.

25. Sztywność „k” w przypadku prętów: ściskanych, skręcanych, zginanych.

ściskamy

ΔL = P*l/ EF

K = P/ ΔL = EF/L

zginamy

f = Pl³/3EI

k = P/f = 3EI/l³

skręcamy

k = M/φ

φ = Ml /GI_o

k = GI_o/l

26. Co to jest ruch o dwóch stopniach swobody-podać kilka przykładów.

Układ mechaniczny o 2 stopniach swobody może być układem prostym (jeden element) o dwóch elementach mechanicznych przemiennych lub układem złożonym (dwa elementy), którego każdy element realizuje jeden przemienny ruch prosty.

Przykład

27. Zapisać równanie ruchu układów

28. Jak zmierzyć współczynnik tłumienia ?.

Linia pierwiastkowa - są to miejsca geometryczne pierwiastków w funkcji parametrów (tłumienia).

Można zmierzyć przy linii pierwiastkowej wyznaczonej metodą Ruth'a.

29. Co to jest wymuszenie kinetyczne?

---