1) Zdaniem nazywamy ciąg znaków, któremu można przy­pisać wartość logiczną 0 lub 1 (to znaczy stwierdzić czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe).

Operacje na zdaniach:

1. negacja ~ -nie ...,

2. koniunkcja
   -…i…,

3. alternatywa
   -…lub ...,

4. implikacja =>- jeżeli ..., to ...,

5. równoważność <=> -…wtedy i tylko wtedy, gdy

2) Zbiory określane są aksjomatycznie, to znaczy podawane są pewne ich własności uznane za pewne. Zapis x
A oznacza element x należy do zbioru A, podczas gdy x
A oznacza element x nie należy do zbioru A.

Operacje na zbiorach:

1. inkluzja (zawieranie)
-

2. suma
- x
A
B
(x
A
x
B)

3. część wspólna (iloczyn)

4.. różnica \ -

5.. dopełnienie '

6. iloczyn kartezjański x — A x B jest zbiorem wszyst­kich par uporządkowanych (x, y) takich, że
oraz

3) Relacją pomiędzy elementami zbioru X
Ø i zbioru Y
O nazywamy podzbiór R iloczynu kartezjańskiego X
Y. Zamiast pisać (x,y)
R piszemy często xRy. Jeżeli X =Y, to relację taka nazywamy relacją w zbio­rze X.Własności relacji:Relacja w zbiorze X jest

1. zwrotna, jeżeli
xRx

2.symetryczna, jeżeli

3. przechodnia, jeżeli

4. quasi-symetryczna,


5. spójna, jeżeli

Typy relacji: Relacje w zbiorze X nazywamy

1.relacją równoważności, jeżeli jest zwrotna, syme­tryczna i przechodnia.

2.częściowym porządkiem, jeżeli jest zwrotna, quasi-symetryczna i przechodnia.

3.porządkiem liniowym, jeżeli jest zwrotna, symetryczna,przechodnia i spójna.

4) Funkcją(lub odwzorowaniem) działającą ze zbioru X w zbiór Y nazywamy takie przyporządkowanie elementom zbioru X elementów zbioru Y, że każdemu elementowi zbioru X jest przypisany dokładnie jeden element zbioru Y.Precyzyjniej, funkcja działająca ze zbioru X w zbiór Y jest relacja
taką, że

1.

xRy

2.

Jeżeli funkcja f działa ze zbioru X w zbiór Y, to piszemy f: X
Y. Jedyny element zbioru Y przypisany ele­mentowi x
X (obraz elementu x) oznaczamy przez f(x). Niech f : X
Y. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez Df, a zbiór Y — przeciwdziedziną funkcji f.

Własności funkcji: Mówimy, że funkcja f : X
Y odwzorowuje zbiór X `na' zbiór Y(lub: jest surjekcją), jeżeli f(X) = Y(tzn. każdy element ze zbioru Y jest obrazem pewnego elementu ze zbioru X).

Funkcja f : X
Y jest różnowartościowa (lub: jest iniekcją), jeżeli

tzn. jeżeli f dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości.

Funkcje, która jest jednocześnie różnowartościowa i 'na' nazywamy bijekcją (lub odwzorowaniem wzajemnie jed­noznacznym).

Jeżeli funkcja f : X
Y jest różnowartościowa, to funkcję
daną wzorem
, gdy y= f(x), nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f.

5) Niech dla zbioru
f(A) =
. f(A) nazywamy obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f, a zbiór f(X)—zbiorem wartości funkcji f.

Niech dla zbioru

f-1(B) nazywamy przeciwobrazem zbioru B przy od­wzorowaniu f.

Własności obrazów i przeciwobrazów

Jeżeli
oraz
, to

1.

2.

3.

4.

6)Niech
R. Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry, jeżeli

x
K. Zbiór A jest ograniczony z dołu, jeżeli

x
K. Zbiór jest ograniczony, jeżeli jest ograniczony z góry i z dołu.

Kresem górnym zbioru A nazywamy najmniejszą z liczb ograniczających zbiór A z góry. Kres górny zbioru A oznaczamy przez sup A.

Kresem dolnym zbioru A nazywamy największą z liczb ograniczających zbiór A z dołu. Kres dolny zbioru A oznaczamy przez inf A.

Każdy zbiór ograniczony z góry posiada kres górny. Każdy zbiór ograniczony z dołu posiada kres dolny

7) Ciągiem (liczbowym) nazywamy funkcje a : N
R. Jej wartość dla liczby n
N oznaczamy tradycyjnie przez an.

Ciąg jest monotoniczny, jeżeli jest rosnący lub malejący (w słabszym sensie).

Ciąg (an) nazywamy rosnącym, jeżeli

.

Ciąg (an) nazywamy malejącym, jeżeli

Ciąg (an) nazywamy nierosnącym, jeżeli

Ciąg (an) nazywamy niemalejącym, jeżeli

Ciąg (an) nazywamy stałym, jeżeli

8) Mówimy, że ciąg (an) ma granicę g
R, co zapisujemy
gdy



. Inaczej mówimy, że ciąg an jest zbieżny do g, co zapisu­jemy
.O ciągu, który nie ma granicy mówimy, że jest rozbieżny.

9) Liczbę e (tj. liczbę Eulera) można określić jako granicę pewnego ciągu liczbowego. Otóż można udowodnić, że ciąg o wyrazie ogólnym
jest rosnący i ograniczony z góry, a więc ma granicę. Liczba e wynosi e≈2,718 i jest nazywana stalą Eulera lub podstawą logarytmów naturalnych.

10) Oznaczmy sumę liczb a1,..., an symbolem
. Dokładniej
,
dla n
N. Niech (an) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem o wy­razach a1, a2,... nazywamy sumę formalną
Dokładniej szeregiem jest ciąg sum częściowych
ciągu (an). Jeżeli istnieje skończona granica ciągu (sn), to szereg
nazywamy szeregiem zbieżnym, a w prze­ciwnym przypadku - szeregiem rozbieżnym. Granicę ciągu (sn) nazywamy sumą szeregu.

11) Szereg geometryczny
pochodzi od ciągu geometrycznego a_n = qⁿ, gdzie q
R. Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy |q| < 1 i rozbieżny gdy |q|
1.

Szereg harmoniczny rzędu s > 0
pochodzi od ciągu a_n = 1/n^s. Szereg harmoniczny rzędu s jest zbieżny, gdy s > 1 i rozbieżny gdy s
1.

12) Mówimy że funkcja f: Df
R jest

1.rosnąca, jeżeli

.

2.malejąca, jeżeli

3.niemalejąca, jeżeli

4.nierosnąca, jeżeli

5.stała, jeżeli

6.monotoniczna, jeżeli jest niemalejąca lub nierosnąca.

13) Dla
R i a>0 przedział (x0-a,x0+a) nazywamy otoczeniem punktu x0, a zbiór
sąsiedztwem punktu x0. Przedział (x0-a,x0) nazywamy otoczeniem lewostronnym, a przedział(x0,x0+a)-otoczeniem prawostronnym.

14) Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0. Mówimy, że f ma maksi­mum lokalne w punkcie x0, gdy


. Funkcja f ma minimum lokalne w punkcie x0, gdy


. Ekstremum lokalne to minimum lokalne lub maksimum lokalne.

15) Funkcja f jest wypukła w przedziale [a,b]
, gdy

Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a,b]
, gdy

16) Funkcję f nazywamy parzystą, gdy

, a nieparzystą, gdy

. Funkcja f jest funkcją okresową w okresie T>0, gdy

17) Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu
R, to liczbę g
R nazywamy granicą funkcji f w punkcie x0, gdy



i piszemy wtedy
. Warunek 0<|x-x0|<
oznacza, że x należy do sąsiedztwa (x0-
, x0)
(x0,x0+
) punktu x0.

Warunek |f(x)-g|<
oznacza, że f(x) należy do otoczenia (g-
, g+
)punktu g.

Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie lewostronnym punktu
R , to liczbę
R nazywamy granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0, gdy

i piszemy wtedy
. Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie pra­wostronnym punktu
R, to liczbę
R nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0, gdy

i piszemy wtedy
.

Warunek
oznacza, że x0 należy do sąsiedztwa lewostronnego
punktu x0, podczas gdy waru­nek 0<x-x0<
oznacza przynależność x do otoczenia prawostronnego
punktu x0.

18) (ogólna definicja Cauchy'ego granicy funk­cji) Mówimy, że funkcja f określona w pewnym sąsiedztwie punktu
R
ma w punkcie x0 gra­nicę (odpowiednio: lewostronną, pra­wostronną)
R
, gdy dla każdego otoczenia V punktu g istnieje takie sąsiedztwo U (odpowiednio sąsiedztwo lewostronne, sąsiedztwo pra­wostronne) punktu x0, że
. Piszemy wówczas
(odpowiednio
,
).

19) (ogólna definicja Heinego granicy funkcji) Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu
R
. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x₀ granicę (odpowiednio: granicę lewo­stronna, prawostronną)
R
,gdy dla każdego ciągu (x_n), którego wszystkie wyrazy należą do Df\{x₀} zachodzi warunek
(odpowiednio - warunek ten zachodzi dla ciągów o wy­razach: mniejszych od x₀, większych od x₀).

20)Ciągłość funkcji. Funkcja f, określona w pewnym otoczeniu punktu x0, jest ciągła w x₀, jeżeli lim f(x) = f(x₀). Innymi słowy f jest ciągła w x₀, gdy


f ([x-x0] <
[f(x) - f(x0)] <
. Jeżeli funkcja f jest ciągła w każdym punkcie swojej dzie­dziny, to mówimy, że f jest ciągła.

21) Pochodna funkcji. Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 oraz istnieje granica
to granice te nazywamy pochodna funkcji f w punkcie X0 i oznaczamy przez f'(x_o). Funkcje, która przypisuje każdemu x
D_f pochodna funkcji f w punkcie x, nazywamy pochodna funkcji f. Funkcje, która posiada pochodna w punkcie x0, nazy­wamy różniczkowalną w x0. Jeżeli funkcja f ma po­chodna o dziedzinie D_f, to mówimy, że f jest różniczkowalną.

22)Asymptoty. Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym sąsiedztwie punktu x_o którakolwiek z granic jednostron­nych funkcji f w punkcie x0 jest nieskończona, to prostą o równaniu x = x_o nazywamy asymptotą pionową wy­kresu funkcji f.

Załóżmy, że funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu +
i że granice a =
b =
(f(x) - ax) są skończone. Wówczas prosta o równaniu y=x+b nazywamy asymptota ukośną wykresu funkcji f w +
.

Jeżeli funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu -
i granice ã=
b =
(f(x) - ax) są skończone, to prosta o równaniu y =ãx + b nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji f w -
. W szczególnym przypadku, gdy a = 0 (odpowiednio ã = 0), tzn. jeżeli istnieje g
R takie, że
f(x) = g (
f(x) = g) to prosta o równaniu y = g nazywamy asymptota po­zioma wykresu funkcji f w +
(-
).

23) Dla danej funkcji różniczkowalnej f i x
Df takiego, że f(x)
0 liczbę Exf =
. f '(x) nazywamy elastycznością funkcji f w punkcie x.

24) Krzywe Tornquista Krzywe Tornquista są wykresami niektórych funkcji opisujących popyt na dane dobro w zależności od dochodów konsumentów. Krzywe Tornquista opisują popyt na dobra:podstawowe, wyższego rzędu, luksusowe. Niech a, b, c > 0

Krzywa Tornquista I rodzaju D1(x) =a .
, x
R+ . Funkcja D1 jest rosnąca i wklęsła, ma asymp­totę pozioma y = a, a jej elastyczność wyraża się wzorem ExD1 =
i dąży do 0 przy x —>
.

Krzywa Tornquista II rodzaju D2(x) = a.
, x>b. Funkcja D2 jest rosnąca i wklęsła, ma asymp­totę pozioma y = a, a jej elastyczność wyraża się wzorem ExD2 =
i dąży do 0 przy x —>
.

Krzywa Tornquista III rodzaju D3(x) = ax .
, x > b. Funkcja D3 jest rosnąca i wypukła, ma asymp­totę ukośną y = ax+ a(b+c), a jej elastyczność wyraża się wzorem ExD3 =
i dąży do 1 przy x —>
.

25) Krzywa logistyczna. Funkcja logistyczna opisuje popyt na pewne dobro w zależności od czasu, który upłynął : od wprowadzenia go do sprzedaży. Niech a, c > 0, b > 1 oraz D(t) =
, x>0. Jej pochodne wyrażają się wzorami: D'(t)=
D''(t)=abc²e-ct
. Funkcja D jest rosnąca dla t > 0. Funkcja D jest wypukła dla 0 < t <
i wklęsła dla t >
. W t=
jej wykres ma punkt przegięcia. Stopa wzrostu funkcji D wyraża się wzorem S_tD =
i dąży do 0 przy t —>
.

26)Krzywa rozkładu normalnego Gaussa. Funkcja gęstości rozkładu normalnego zmiennej losowej g(x) =
. e-
. Funkcja g jest parzysta. Jej pochodne wyrażają się wzorami: g'(x) =
. (-x)e-
g''(x) = -
. (1-x²)e-
. Funkcja g jest rosnąca dla x < 0 i malejąca dla x < 0. W zerze ma maksimum (globalne) równe
. Funkcja g jest wypukła w przedziałach (-
, 1).

oraz (l,+
), a wklęsła w przedziale (-1,1). W - 1 i 1 jej wykres ma punkty przegięcia.

27) Dla danej funkcji f każdą funkcje F taka, że F' = f nazywamy funkcją pierwotną funkcji f. Dla danej funkcji f: (a, b)—>R, po­siadającej funkcje pierwotna F, zbiór wszystkich funk­cji pierwotnych funkcji f nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy przez
.

28) Całka oznaczona. Dla funkcji f określonej na przedziale [a, b] i podziału a=x₀<x₁<x₂<...<x_n-1<x_n=b tego przedziału rozważmy sumę
gdzie
(x_i,x_i+1) oraz liczbę
(x_i+1 - x_i). Jeżeli istnieje skończona granica sum postaci
przy
0, to nazywamy ja całką oznaczoną funkcji f po przedziale [a, b] i oznaczamy przez
Funkcje f nazywamy wtedy całkowalną na przedziale [a, b].

29) Jeżeli funkcja f jest ciągła na prze­dziale (a, b], jej granica prawostronna w punkcie a jest nieskończona oraz istnieje granica
to te granice nazywamy całką niewłaściwą prawostronną funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy przez
. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale [c, a), jej granica lewostronna w punkcie a jest nieskończona oraz istnieje granica
to te granice nazywamy całką niewłaściwą lewostronna funkcji f na przedziale [a, b] i oznaczamy przez
.Jeżeli f jest funkcja ciągłą na przedziale [a, +
) i istnieje granica
to nazywamy ja całką na przedziale (prawostronnie) niewłaściwym funkcji f i oznaczamy przez
. Jeżeli f jest funkcja ciągłą na przedziale (-
, a] i istnieje granica
to nazywamy ja całką na przedziale (lewostronnie) nie­właściwym funkcji f i oznaczamy przez
. Podobnie
dla funkcji ciągłej f : R —>R.

30) Układ wektorów (v₁,..., v_k) z przestrzeni V nazywamy liniowo niezależnym, gdy żadna z jego kombinacji liniowych, (poza taką o wszystkich współczynnikach równych zero) nie jest równa
.

Układ wektorów jest liniowo zależny, gdy nie jest liniowo niezależny..

31) Podprzestrzenią liniową prze­strzeni liniowej V nazywamy niepusty podzbiór U przestrzeni liniowej V taki, że a • x + b • y
U dla x, y
U, a, b
R.

Podprzestrzenią afiniczną prze­strzeni liniowej V nazywamy dowolny zbiór H postaci H=p+U = {p+u;u
U} gdzie U jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V. Elementy podprzestrzeni afinicznej nazywamy często punktami. Wymiarem podprzestrzeni afinicznej nazywamy wymiar jej przestrzeni nośnej. Podprzestrzeń afiniczna wymiaru 1 nazywamy prostą, a pod­przestrzeń afiniczną wymiaru 2 — płaszczyzną.

32)Bazą przestrzeni liniowej V na­zywamy układ wektorów (v₁,..., v_n) z przestrzeni V, który jest liniowo niezależny i przestrzeń V jest przez niego generowana.

Wymiarem przestrzeni linio­wej V nazywamy liczbę dim V równą ilości ele­mentów bazy przestrzeni V. Przestrzeń Rⁿ ma wymiar n.

33)Odcinkiem o końcach p,q
V nazywamy zbiór
={a•p+b•q;a,b
0,a+b=1}.

Otoczką wypukłą układu punktów (p1,... ,pk) nazywamy zbiór

conv(p₁,...,p_k) = {a₁• p₁+…a_k•p_k;a₁,…,a_n
0, a₁…a_n=1}.

34)Iloczynem skalarnym w prze­strzeni liniowej V nazywamy funkcje
:
R spełniającą warunki:

1. (a • u + b • v)
w = a u
w + bv
w dla v,w,u
V i a,b
R.

2. u
v = v
u dla u, v
V.

3. v
v > 0 dla v
V, v
.

Standardowym iloczynem skalarnym w przestrzeni Rⁿ nazywamy funkcje daną wzorem

x
y =
dla x,y
Rⁿ

Norma w przestrzeni liniowej V nazywamy funkcje ||.|| : V —> R spełniającą warunki:

1. ||v|| =0
v =
dla v
V

2 ||a
v|| = |a| ||v|| dla v
V i dla a
R.

3. ||u + v||
||v||+||v|| dla v,u
R

standardową normą w przestrzeni Rn nazy­wamy funkcje dana wzorem

||x|| =

Odległością w zbiorze X na­zywamy funkcje d : X
X —>R. spełniającą warunki:

1. d(x,y) = 0
x = y dla x,y
X

2. d(y, x) = d(x, y) dla x,y
X

3. d(x, z)
d(x,y)+d(y, z) dla x,y,z
X

35)Załóżmy, że w zbiorze X jest określona odległość d. Wówczas dla x
l oraz r>0 zbiór B(x,r) = {y
X ; d(x,y) < r} nazywamy kulą (otwartą) o środku x i promie­niu r, a zbiór
(x,r) = {y
X ; d(x,y)
r} nazywamy kulą domkniętą o środku x i pro­mieniu r.

36)Macierzą o m wierszach i n kolumnach (gdzie m,n
R) lub krótko macierzą m
n nazywamy każde odwzorowanie A : {1,..., m}
{1,..., n}
R.

Piszemy wówczas A = [aij]1
i
m,1
j
n lub

A =
Wektor
nazywamy i-tym wierszem macierzy A, a wektor
j-tą kolumna macierzy A.

Zbiór wszystkich macierzy m
n oznaczamy przez M_mn.

Macierz o równej liczbie wierszy i kolumn (m = n) nazy­wamy macierzą kwadratową, a układ (a₁₁, a₂₂, . . ., a_mn) jej główną przekątną.

Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną jeżeli A^T=A(tzn. gdy macierz A jest symetryczna względem głównej przekątnej), a antysymetryczną gdy A^T=-A.

Niech A
M_mn. Jeżeli poza główną przekątną w macierzy A są same zera (tzn. a_ij=0 dla i
j)to macierz tę nazywamy diagonalną.

Macierz dolna trójkątna ma same zera nad główną przekątną (a_ij=0 dla i<j), a macierz górna trójkątna- same zera pod główną przekątną (a_ij=0 dla i>j).

37) Wyznacznikiem nazywamy funkcję det przypisującą macierzy kwadratowej liczbę rzeczywistą w następujący sposób:

1. Jeżeli A = [a₁₁]
M₁₁, to det A = a₁₁.

2. Jeżeli n
2 i A
M_nn, to

Wyznacznik det [a_ij] zapisujemy często

38)Macierzą odwrotną do macierzy A
M_nn nazywamy taką macierz A^-1
M_nn, że A ∙ A^-1 = A^-1 ∙ A = I.

39) Dla macierzy A
M_mn jej minorem stopnia k ≤ min(m, n) nazywamy wyznacznik macierzy k × k powstałej z macierzy A przez skreślenie m - k wierszy i n — k kolumn. Rzędem macierzy A nazywamy najwyższy stopień jej minora różnego od zera. Rząd macierzy A oznaczamy przez r A.

40) Operacją elementarną na (wierszach) macierzy A nazywamy każde z poniższych przekształceń:

1. Zamianę miejscami pewnych dwóch wierszy macierzy A

2. Pomnożenie pewnego wiersza macierzy A przez liczbę różną od zera.

3. Dodanie do pewnego wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę.

41) Układem m równań liniowych o n niewiadomych x₁, x₂, . . ., x_n nazywamy koniunkcję równań postaci

gdzie a_ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n (współczynniki przy niewiadomych) oraz b_i, i = 1,..., m (wyrazy wolne) są liczbami rzeczywistymi.

42)Jeżeli rozwiązaniem układu równań jest zbiór pusty (czyli gdy układ nie ma rozwiązania), to nazywamy go układem sprzecznym. Jeżeli układ równań liniowych jest niesprzeczny i jego rozwiązaniem jest podprzestrzeń afiniczna postaci p+U, to wektor p nazywamy rozwiązaniem szczególnym, a bazę podprzestrzeni liniowej U — układem fundamentalnym rozwiązań.

43) Nierównością liniową o n niewiadomych nazywamy zależność a₁x₁+...+a_nx_n ≤b,

gdzie a₁,..., a_n, b
r. Nierówność liniową nazywamy trywialną, jeżeli a₁=...=a_n=0.

44) Niech dany będzie układ m nierówności liniowych A ∙ x ≤ B o n niewiadomych i funkcja liniowa Z zmiennych x₁, . . ., x_n Z(x₁,...,x_n)=c₁x₁+...c_nx_n, gdzie c₁,...,c_n
r.

Zadaniem programowania liniowego nazywamy układ nierówności A ∙ x ≤ B,
wraz z warunkiem, że funkcja Z przyjmuje wartość ekstremalną tzn. najmniejszą lub największą).

45) Załóżmy, że zużycie produktu gałęzi i-tej przez gałąź j-tą jest proporcjonalne do produkcji gałęzi j-tej, tzn. gałąź j-ta zużywa b_ijX_j produktu gałęzi z tej, gdzie b_ij, i, j = 1,..., n są stałe (nazywamy je współczynnikami bezpośrednich kosztów). Układ równań liniowych
,I =1, . . .,n nazywamy statycznym modelem przepływów międzygałęziowych Leontiewa. Statyczny model Leontiewa możemy przedstawić w postaci macierzowej (I_n - B)∙X = Y, a jeżeli macierz (I_n — B) posiada macierz odwrotną, to także w postaci X = (I_n - B)^-1∙Y.

Załóżmy, że wartość produkcji i tej gałęzi zużywanej na inwestycje w j-tej gałęzi w okresie t + 1 jest proporcjonalna do przyrostu produkcji globalnej, tzn. równa z_ij(X_j(t + 1) — X_j(t)). Oznaczając przez C_j(t) czysty produkt końcowy i-tej gałęzi (po odliczeniu inwestycji), otrzymujemy układ równań (I_n-B)∙X(t)-Z∙(X(t+1)-X(t))=C(t)

zwany dynamicznym modelem przepływów międzygałęziowych Leontiewa.

46)Mówimy, że ciąg (x_n)
punktów przestrzeni r ^k jest zbieżny do punktu
(lub: ma granice x), jeżeli
I piszemy wówczas

. Ciąg (x_n) ma granicę x, wtedy i tylko wtedy, gdy
.

47) Podzbiór U przestrzeni
nazywamy otwartym (w przestrzeni
), jeżeli dla każdego punktu
x G U istnieje taka liczba ε>0, że kula otwarta B_ε(x) zawiera się w zbiorze U.

Podzbiór przestrzeni
nazywamy domknietym, jeżeli jest dopełnieniem zbioru otwartego (tzn. jest postaci
\U, gdzie U jest zbiorem otwartym).

Podzbiór K przestrzeni
nazywamy zwartym, jeżeli każdy ciąg punktów ze zbioru K zawiera podciąg zbieżny do pewnego punktu ze zbioru K.

Podzbiór S przestrzeni
nazywamy spójnym, jeżeli nie jest możliwe przedstawienie go w postaci
, gdzie V₁∩V₂=ø oraz V₁=S∩U₁, V₂=S∩U₂ i zbiory U₁, U₂ są otwarte w przestrzeni
.

Zbiór, który jest jednocześnie otwarty i spójny nazywamy obszarem.

48) Mówimy, że funkcja k zmiennych f : D →
ma w punkcie
x₀ G D granicę
, jeżeli istnieje ciąg (x_n) punktów z U\{x₀} zbieżny do x₀ i dla każdego takiego ciągu granicą ciągu (liczbowego) (f(x_n)) jest g. Piszemy wówczas

.

49) Jeżeli istnieje granica
, to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji f w punkcie X₀ w kierunku wektora
i oznaczamy przez
.

Przejście graniczne odbywa się po rzeczywistych wartościach h, a sam iloraz jest także liczbą rzeczywistą.

Pochodną kierunkową funkcji f w kierunku wektora e_i nazywamy pochodną cząstkową funkcji po i-tej zmiennej i oznaczamy przez
.

Jeżeli
jest funkcją k zmiennych i jej pochodna cząstkowa
posiada pochodną cząstkową po j-tej zmiennej, to nazywamy ją drugą pochodną cząstkową po i-tej i j-tej zmiennej i oznaczamy przez
, a gdy i=j po prostu
.

50)Dla funkcji f k zmiennych i punktu x₀ z dziedziny funkcji f, macierz

nazywamy różniczką (lub gradientem) funkcji f w punkcie x₀.

Dla funkcji f k zmiennych i punktu x₀ z dziedziny funkcji f, macierz

nazywamy drugą różniczką (lub hesjanem) funkcji f w punkcie x₀.

51)Niech A = [a_ij]
będzie macierzą symetryczną. Odwzorowanie
dane wzorem

nazywamy formą kwadratową związaną z macierzą A.

52)Mówimy, że forma A jest dodatnio (odp. ujemnie) określona, jeżeli dla każdego
spełniony jest warunek
.

Jeżeli forma A przyjmuje wartości ujemne oraz dodatnie, to mówimy, że jest nieokreślona.

53)Załóżmy, że funkcja f jest określona na zbiorze o otwar­tym U w przestrzeni
i jej zmiennymi są x¹,..., x^k.Poziomicą (warstwicą) funkcji f na poziomie
nazywamy przeciwobraz liczby c przy odwzorowaniu f, tzn. zbiór

54)(warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f posiada różniczkę w punkcie x0 i ma ekstremum w x0, to macierz df(x0) jest zerowa (czyli df(x₀) = 0).

Punkt, w którym różniczka jest zerowa nazywamy punk­tem stacjonarnym lub krytycznym.

Jeżeli c
R jest wartością regu­larną funkcji f, tzn. żaden x
f ^-1(c) nie jest punktem krytycznym funkcji f.

55)warunek dostateczny istnienia ekstremum warunkowego: Załóżmy, że (x_o,
_o) jest punktem krytycznym funkcji Lagrange'a F pochodzącej od funkcji
i warunku
i niech ogólne rozwiązanie jed­norodnego układu równań

zależy od niezależnych parametrów x^j1,..., x^jl. Niech A oznacza hesjan d²F(x0,
0) po skreśleniu wierszy i ko­lumn odpowiadających pozostałym zmiennym.

Jeżeli forma kwadratowa
związana z macierzą A jest

1. dodatnio określona, to w punkcie x₀ funkcja f ma
   lokalne minimum warunkowe.

2. ujemnie określona, to w punkcie x₀ funkcja f ma
   lokalne maksimum warunkowe.

3. nieokreślona, to w punkcie x₀ funkcja f nie ma lo­kalnego ekstremum warunkowego

56) Dla funkcji f i warunku
funkcję F
daną wzorem:

F(x¹,…,x^k,
)=f(x¹,…,x^k)+

(x¹,…,x^k) nazywamy funkcją Lagrange^'a funkcji f przy warunku
, a zmienną
— mnożnikiem Lagrange^'a

57) Równanie postaci F(x¹,...,x^k,y) = 0, gdzie F jest funkcja ciągłą k + 1 zmiennych, nazywamy równaniem uwikłanym ze zmiennymi x¹,..., x^k, y.

Jeżeli dla pewnego zbioru

istnieje dokładnie jedna funkcja f zmiennych x¹,..., x^k taka, że F(x¹,...,x^k,f(x¹,...,x^k)) = 0, to mówimy, że równanie uwikłane określa funkcję uwikłaną na zbiorze U.

58) Niech Q oznacza wielkość produkcji, K -nakład kapitału, a L - nakład pracy. Funkcję F uzależniającą Q od K i L nazywamy funkcja produkcji, jej pochodne cząstkowe
i
odpowiednio - krańcową produkcyjnością kapitału i krańcową wydajnością pracy.

59) Izokwantą produkcji nazywamy poziomice funkcji produkcji, tzn. zbiór rozwiązań równania Q(K,L) =Q₀ przy ustalonym Q₀.Wyrażenie
nazywamy przeciętną stopą substytucji, a wyrażenie:
/

krańcową stopą substytucji.

60) Funkcją Cobba-Douglasa nazywamy funkcje k zmiennych dana wzorem f(x¹,…,x^k)=a∙(x¹)^α1∙...∙ (x^k)^αk gdzie a,α₁,…, α_k > 0.

Do opisu produkcji używa się często funkcji Cobba-Douglasa postaci P(x,y)=ax^α y^1-α

61)Rozważmy zbiory E i V, gdzie V
. Niech
= {{v1,v₂} : v1,v₂
V, v1
v₂}
{{vi} : v₁
V}

Grafem nazywamy trójkę uporządkowaną (E,V,
), gdzie
jest funkcją działającą z E w
.

Elementy zbioru E nazywamy krawędziami, a elementy zbioru V — wierzchołkami grafu.

62) Graf N_n, dla którego #V = n i E =
, nazywamy grafem pustym o n wierzchołkach.

Graf K_n prosty i taki, że #V = n i każde dwa jego wierzchołki są sąsiednie, nazywamy grafem pełnym o n wierzchołkach.

Grafem regularnym stopnia r nazywamy graf, którego każdy wierzchołek ma stopień r. Graf regularny stopnia 3 nazywamy kubicznym

Grafem spójnym, nazywamy graf G nie dający się przedstawić w postaci sumy dwóch grafów G1, G2 o rozłącznym zbiorach wierzchołków (w takiej sumie

V = V_l
V₂₎ E = E₁
E₂). Składową spójności grafu G nazywamy każdy graf spójny zawarty w grafie G. Graf jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy każde dwa jego punkty można połączyć drogą.

63) Łańcuchem w grafie nazywamy ciąg krawędzi, z których każde dwie sąsiednie maja wspólny wierzchołek, a wierzchołki te (być może z wyjątkiem pierw­szego i ostatniego) są różne. Innymi słowy łańcuch jest ciągiem krawędzi (e1,... , e_n) takich, że
(e_i)={v_i-1,v_i} oraz vi
vj dla i
j o ile (i,j)
(0,n).

Drogą nazywamy łańcuch, w którym wszystkie krawędzie są różne.

Łańcuch lub drogę nazywamy zamkniętymi, w której pierwszy wierzchołek v0 pokrywa się z ostatnim v_n.

64) Graf spójny G nazywamy grafem eulerowskim, jeżeli istnieje łańcuch zamknięty zawierający każdą krawędź grafu G. Graf spójny jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy stopień każdego z jego wierzchołków jest parzysty.

Graf spójny G nazywamy grafem hamil­tonowskim, jeżeli istnieje łańcuch zamknięty przechodzący przez każdy wierzchołek grafu G dokładnie jeden raz.

65) Drzewem nazywamy graf spójny, który nie zawiera zamkniętych dróg.

Graf, którego każda składowa spójności jest drzewem, na­zywamy lasem.

TWIERDZENIA

1)Zasada abstrakcji. Zbiór
,w którym określona jest relacja równoważności R można przedstawić w postaci sumy niepustych rozłącznych podzbiorów takich, że w każdym z nich dowolne dwa ele­menty są ze sobą w relacji R. Każdy z tych zbiorów nazywamy klasa abstrakcji relacji R. Można je przedstawić w postaci: [x] = {y
X; yRx}, gdzie x
X

2)Zasada indukcji matematycznej Jeżeli podzbiór A
N jest taki, że 1
A oraz dla każdego k
N z faktu że k
A wynika, że k+1
A, to A = N.

Inaczej mówiąc, jeżeli T(n) oznacza formę zdaniową zmien­nej naturalnej n, to koniunkcja warunków T(l)

k
N (T(k)
T(k + 1)) implikuje T(n) dla dowolnego n
N.

3)Własności arytmetyczne granicy. Dla ciągów zbieżnych (a_n) i (b_n):

(an
bn)=
an

bn

(an∙bn)=
an ∙
bn

Jeżeli
n
N bn
0 i
bn
0 ,to:

(
)=
an /
bn

4)Twierdzenie o trzech ciągach:

Jeżeli
n
N bn ≤ an ≤ cn oraz
bn =
cn = g to

an = g

Wniosek: Ciąg o wyrazach nieujemnych nieprzekraczający ciągu zbieżnego do zera jest sam zbieżny do zera.

Ciąg jest ograniczony (z góry, z dołu), jeżeli jego zbiór wartości jest ograniczony (z góry, z dołu). Ciąg zbieżny jest ograniczony. Ciąg ograniczony z góry i rosnący ma granice. Ciąg ograniczony z dołu i malejący ma granice. Ciąg ograniczony i monotoniczny ma granice. Podciągiem ciągu (a_n) nazywamy złożenie ciągu (a_n) z rosnącym ciągiem o wyrazach naturalnych.

5)Twierdzenie (Bolzano-Weierstrassa): Ciąg, którego wszystkie wyrazy leżą w przedziale domkniętym, posiada podciąg zbieżny.

6.Warunki zbieżności szeregu geometrycznego, harmonicznego.

Szereg geometryczny
pochodzi od ciągu geometrycznego an = qn, gdzie q
R.

Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy |q| < 1i rozbieżny gdy |q| > 1.

Szereg harmoniczny rzedu s > 0

pochodzi od ciagu an = 1/ns.

Szereg harmoniczny rzedu s jest zbieżny, gdy s > 1 i rozbieżny gdy s < 1.

7.Kryteria zbieżności, rozbieżności szeregów: porównawcze, d'Alemberta,Cauchy'ego.

Kryterium porównawcze. Niech szereg

bedzie także szeregiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas jeżeli 0 < an < bn i szereg
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny. Jeżeli 0<bn<an i szereg
jest rozbieżny, to szereg
jest rozbieżny.

Kryterium d'Alemberta. Niech szereg
ma wszystkie wyrazy dodatnie. Wówczas

1. Jeżeli
to szereg
jest zbieżny.

2. Jeżeli
to szereg
jest rozbieżny.

Kryterium Cauchy'ego.

Jeżeli
to szereg
jest zbieżny.

Jeżeli
to jest szereg
rozbieżny.

8.O arytmetycznych własnościach granicy funkcji

Dla ciagów zbierznych
i

Jeżeli

i

,to

9.Weierstrassa. Funkcja f ciągła na przedziale domknietym [a, b] przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą i najwieksza, tzn.

10.Darboux. Funkcja f ciągła na prze­dziale domknietym [a, b] przyjmuje w tym przedziale wszyst­kie wartości pośrednie pomiedzy f(a) i f(b), tzn. jeżeli np. f(a) < f(b), to

11.Równanie stycznej do wykresu funkcji. Jeżeli funkcja f ma pochodna f'(x_o) w punkcie x₀, to prosta o równaniu y = f'(x₀) • x + f(x0) - f'(x_o) • x0 jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x₀, f(x₀)).

12.Tablica pochodnych.

(1)'=0;

a<>0

(x)'=1

13.O arytmetycznych własnościach pochodnych. Niech funkcje f i g beda określone w otoczeniu punktu X0 i niech maja w X0 pochodne. Wtedy:

(a • f)'(xo) = a • f'(xo) dla ustalonego a
R

4.Jeżeli ponadto g(x0) = 0, to

14.Reguła łańcucha. Jeżeli istnieje złożenie funkcji g z funkcja f oraz f ma pochodna w punkcie x0, a g pochodna w punkcie f(x0), to

(gof)'(x0) = g'(f(x0))-f'(x0).

15.O pochodnej funkcji odwrotnej. Jeżeli funkcja f posiada funkcje od­wrotna
i pochodna w punkcie x0 oraz f'(xo)<> 0, to
gdzie y0 = f(x0).

16.Reguła de l'Hospitala dla nieoznaczoności typu
. Jeżeli funkcje f i g są określone i różniczkowalne w pew­nym sasiedztwie punktu
oraz
to

o ile druga granica istnieje.

17. (Rolle'a)Niech f : [a, b] -> R bedzie funkcja ciągłą. Jeżeli f jest rożniczkowałna w przedziale (a, b) oraz f(a) = f(b), to istnieje taki punkt

(Lagrange'a) Niech f : [a,b] -> R bedzie funkcja ciągłą. Jeżeli f jest rożniczkowałna w prze­dziale (a, b), to istnieje taki punkt
, że

18.Warunek konieczny istnienia ekstremum. Jeżeli funkcja f : (a, b) -> R ma w punkcie
(a, b) ekstremum lokalne oraz jest rożniczkowałna w punkcie x0, to f'(xo) = 0.

19.Związek pochodnej z monotonicznością.

Załóżmy, że f : (a, b) ->R jest funkcja rożniczkowałna. Jeżeli w całym przedziale (a, b) pochodna f' funkcji f jest

1.dodatnia, to funkcja f jest rosnaca.

2.ujemna, to funkcja f jest malejaca.

3.nieujemna, to funkcja f jest niemalejaca.

4.niedodatnia, to funkcja f jest nierosnaca.

5.równa zeru, to funkcja f jest stała.

20.I warunek dostateczny istnienia maksimum, minimum.

Niech f : (a, b) -> R bedzie funkcja różniczkowalną oraz
(a, b). Jeżeli f'(xo) = 0 i f' zmienia znak przy przejściu przez punkt x0, to funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne.

Dokładniej, jeżeli f'(xo) = 0 oraz

istnieje takie

oraz
to f ma w punkcie x0 maksimum lokalne.

istnieje takie

oraz, to f ma w
punkcie x0 minimum lokalne.

21.II warunek dostateczny istnienia maksimum, minimum.

Załóżmy, że f : (a, b) -> R jest funkcja ciągłą i
(a, b). Jeżeli f'(xo) = 0 oraz

f"(xo) < 0, to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne.

f"(xo) > 0, to funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne.

22.Ogólny II warunek dostateczny istnienia maksimum, minimum.

Załóżmy, że f : (a, b) -> R jest funkcja ciągłą,
(a, b) oraz

i
Wówczas jeżeli

n jest liczba nieparzysta, to (x0, f(x0)) jest punktem przegiecia wykresu funkcji f.

n jest liczba parzysta i f(n)(x0) < 0, to funkcja f ma w x0 maksimum lokalne.

n jest liczba parzysta i f(n)(x0) > 0, to funkcja f ma w X0 minimum lokalne.

23) Związek drugiej pochodnej z wypukłością.

24) wzór Taylora Załóżmy, że funkcja f: (a,b)->R jest gładka i x₀
(a, b). Wówczas dla n
N oraz x
(a,b)
, gdzie
.

25) Rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy. Załóżmy, że funkcja f(a,b)->R jest gładka i x₀
(a,b) oraz pochodne funkcji f są wspólnie ograniczone, tzn.



. Wówczas istnieje takie
, że jeżeli
, to
.

26) Tablica całek

dla

dla a>0 i

27) całkowanie przez części. Jeżeli funkcje f: (a,b)->R i g: (a,b)->R są różniczkowalne oraz ich pochodne f' i g' są ciągłe, to
. Przyjmując oznaczenia u=f(x) i du=f'(x)dx oraz analogicznie v=g(x) i dv=g'(x) powyższy wzór można zapisać w posaci

Całkowanie przez podstawianie. Jeżeli funkcja f: (a,b)->R jest różniczkowalna i ma ciągłą pochodną f', a funkcja g: (a,b)->R jest ciągła oraz f(a,b)
(czyli istnieje założenie
to
. Przy oznaczeniu f(x)=t powyższy wzór przyjmuje postać

28)Interpretacja geometryczna całki oznaczonej. Jeżeli funkcja f: [a,b]-> R jest ciągła i przyjmuje tylko wartości nieujemne, to całka
jest równa polu figury ograniczonej przez proste x=a, x=b, y=0 oraz krzywą y=f(x).

29) (podstawowe twierdzenie rachunku całkowego) Jeżeli funkcja f : [a, b] —> R posiada funkcję pierwotną F (to znaczy F' = f), o
Wyrażenie F(b) — F(a) zapisujemy tradycyjnie [F(x)]
.

30) (całkowanie oznaczone przez części) Jeżeli funkcje f : [a, b] —> R i g : [a, b] —► R są różniczkowalne oraz maja ciągle pochodne, to

(całkowanie oznaczone przez podstawienie) Jeżeli g : [a₁,b₁ ]> R jest funkcją ciągłą, f : [a, b] —► R funkcją różniczkowalną rosnącą o ciągłej pochodnej oraz f ([a, b])
[a₁, b₁] , to
gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g.

31) Związek iloczynu skalarnego z normą.Jeżeli o jest iloczynem ska­larnym w przestrzeni V, to funkcja
określona wzorem ||v|| =
dla v
V jest norma w przestrzeni V.

Ponadto dla tak określonej normy zachodzi związek u
v
dla u,v
V

32) wzór na macierz odwrotną. Macierz A
M_nn posiada macierz odwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy det A
0.

Wówczas

33) (Własności wyznacznika) Dla macierzy
zachodzą równości:

1. det (A^T) = det A,

2. det (A·B) = det A · det B,

3. jeżeli det A
   0, to det (A^-1) =
   ,

4. Jeżeli A jest macierzą diagonalną (odpowiednio górną trójkątną), to det A jest równy iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej, czyli
   

34) (Operacje na wyznaczniku) Niech
.

1. Zamiana miejscami dwóch wierszy macierzy A zmienia znak wyznacznika na przeciwny.
   = -
   

Pomnożenie wiersza macierzy A przez liczbę powoduje pomnożenie wyznacznika przez tę samą liczbę
= a det

Dodanie do wiersza macierzy A kombinacji liniowej pozostałych wierszy nie zmienia wyznacznika
=

Analogicznie stwierdzenia jak 1., 2., 3. są prawdziwe dla operacji na kolumnach.

35) (Operacje zachowujące rząd macierzy)zamiana miejscami dwóch wierszy, pomnożenie wiersza macierzy przez liczbę różną od zera, dodanie do wiersza kombinacji liniowej pozostałych wierszy.

36)zależność rozwi.układu równań liniowych od rozw.układu jednorodnego

37) (Cramera) Jeżeli w układzie (*) m = n (tzn. równań jest tyle samo co niewiadomych) oraz detA
0, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie
, gdzie A_j oznacza macierz powstałą z macierzy A przez zastąpienie w niej j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych B.

38) (Kroneckera-Capellego) Rozważmy układ równań postaci (*).

1. Układ jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy r A_u = r A.

2. Jeżeli układ jest niesprzeczny, to wymiar przestrzeni rozwiązań wynosi (n - r A) (tzn. zależy ono od (n - r A) parametrów).

3. Jeżeli układ jest niesprzeczny oraz M jest minorem macierzy A stopnia równego r A rożnym od zera i powstał przez skreślenie kolumn o numerach j₁, ..., j_k (oraz pewnych wierszy), to jako parametry od których zależy rozwiązanie układu można przyjąć niewiadome
.

39) Zbiorem rozwiązań nierówności liniowej jest zbiór pusty, gdy a₁ = . . . = a_n = 0 i b < 0. cała przestrzeń Rⁿ, gdy a₁ = . . . = a_n = 0 i b
0. półprzestrzeń, tzn. jeden z dwóch zbiorów ograniczonych hiperpłaszczyzną a₁x₁ +. . .:+a_nx_n = b, gdy co najmniej jeden ze współczynników a_i
0.

40)Rozwiązanie układu nierówności liniowych typu 1,2,3,4

41)Rozwiązanie zadania programowania liniowego. Rozważmy zbiór X wszystkich nieujemnych rozwiązań bazowych kanonicznego układu równań liniowych odpowiadającego zadaniu programowania liniowego. Jeżeli zbiór X jest pusty, to zadanie nie posiada decyzji dopuszczalnej. Jeżeli zbiór X jest jednopunktowy, to jego jedyny element jest decyzją optymalną. Jeżeli wśród elementów zbioru X jest tylko jeden maksymalizujący (odp. minimalizujący) funkcję celu, to jest on decyzją optymalną. Jeżeli w zbiorze X są co najmniej 2 elementy maksymalizujące (odp. minimalizujące) funkcję celu, to zbiór decyzji optymalnych jest otoczką wypukłą wszystkich takich punktów.

42) (Heinego-Borela) Każda kula domknięta jest zbiorem zwartym.

43) Funkcja k zmiennych f określona na zbiorze otwartym U jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbioru V otwartego w R jego przeciwobraz f ^-1(V ) jest zbiorem otwartym w R^k.

44) (Stone'a - Weierstrassa) Funkcja k zmiennych f określona i ciągła w zbiorze zwartym K przyjmuje swoją wartość największą i najmniejszą. Innym słowy, istnieją liczby m i M takie, że

oraz punkty
₁,
₂
takie, że f(x₁) = m, f(x₂) = M.

45) (Darboux) Niech f będzie funkcją k zmiennych określoną i ciągłą w zbiorze spójnym S i niech f(x₁) = a, f(x₁) = b, a < b dla pewnych punktów x_1, x₂
S.

Wówczas dla każdej liczby c
[a, b] istnieje taki punkt x
S, że f(x) = c.

46) (Schwarza) Jeżeli drugie pochodne cząstkowe
oraz
funkcji f są ciągłe, to
=
. Podobnie można określić pochodne cząstkowe wyższych rzędów (n-ta pochodna to pochodna cząstkowa pochodnej rzędu n - 1) i sformułować twierdzenie analogiczne do twierdzenia Schwarza (jeżeli odpowiednie pochodne cząstkowe są ciągłe, to kolejność różniczkowania nie ma znaczenia).

47) (reguła łańcucha) Niech f : U R będzie funkcją k zmiennych, a u_i : [a, b] R, i = 1,..., k - funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej oraz niech [a, b]^k = [a, b]
[a, b]
U. Określmy funkcję g: [a, b] R jednej zmiennej wzorem g(t) = f(u₁(t), ..., u_k(t)) dla t
[a, b]. Pochodna funkcji g w punkcie t₀ wyraża się wzorem


=
, gdzie

48) (warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli funkcja f posiada różniczkę w punkcie x₀ i ma ekstremum w x₀, to macierz df(x₀) jest zerowa (czyli df(x₀) = 0).

Punkt, w którym różniczka jest zerowa nazywamy punktem stacjonarnym lub krytycznym.

49)O określoności formy kwadratowej. Niech A = [a_ij ]
będzie macierzą symetryczną. Określmy liczby
, jako minory macierzy A stopnia i powstałe przez skreślenie ostatnich k - i wierszy i kolumn, tzn.

, itd. Wówczas: jeżeli
dla i = 1, ..., k, to forma kwadratowa
związana z macierzą A jest dodatnio określona. Jeżeli (- 1)
dla i = 1, ..., k, to forma kwadratowa
związana z macierzą A jest ujemnie określona.

50) (warunek dostateczny istnienia ekstremum) Jeżeli punkt x₀ jest punktem krytycznym funkcji f (tzn. df(x₀) = 0) oraz
formą kwadratową związaną z hesjanem d²f(x₀), to jeżeli forma
jest dodatnio określona, to funkcja f ma minimum lokalne w punkcie x₀. Jeżeli forma
jest ujemnie określona, to funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie x₀. Jeżeli forma
jest nieokreślona, to funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie x₀.

51) (warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego) Jeżeli funkcja f ma lokalne ekstremum warunkowe przy warunku φ w punkcie x₀, to istnieje takie
, że dF(x₀,
) = 0, gdzie F jest funkcją Lagrange'a funkcji f przy warunku φ.

52) (warunek dostateczny istnienia ekstremum warunkowego) Załóżmy, że (x₀,
) jest punktem krytycznym funkcji Lagrange'a F pochodzącej od funkcji f : U R i warunku φ i niech ogólne rozwiązanie jednorodnego układu równań
= 0 zależy od niezależnych parametrów x^j1,...,x^jl. Niech A oznacza hesjan d²F(x₀,
)po skreśleniu wierszy i kolumn odpowiadających pozostałym zmiennym. Jeżeli forma kwadratowa
związana z macierzą A jest dodatnio określona, to w punkcie x₀ funkcja f ma lokalne minimum warunkowe. ujemnie określona, to w punkcie x₀ funkcja f ma lokalne maksimum warunkowe. nieokreślona, to w punkcie x₀ funkcja f nie ma lokalnego ekstremum warunkowego.

53)O istnieniu fukknnnkcji uwikłanej. Jeżeli funkcja F jest ciągła w pewnym otwartym zbiorze V przestrzeni R ^k+1 i
, wszystkie pochodne cząstkowe funkcji F istnieją i są ciągłe w V oraz F(x_0, y₀) = 0 i
, to równanie F(x¹,..., x^k , y) = 0 określa w pewnym otoczeniu punktu x₀ funkcję uwikłaną f ciągłą i o ciągłych wszystkich pochodnych cząstkowych.

54) (pochodna funkcji uwikłanej) Jeżeli F : V R jest ciągłą funkcją dwóch zmiennych x i y, (x_0, y₀)
V , F(x₀, y₀) = 0 oraz obie pochodne cząstkowe są ciągłe i
, to pochodna funkcji uwikłanej f określonej równaniem F(x,y)=0 w punkcie (x₀, y₀) wynosi

55) (Eulera) Jeżeli funkcja produkcji jest jednorodna, to

.

56) (o uściskach dłoni) Suma stopni wszystkich wierzchołków grafu jest parzysta.

57)Warunek równoważny byciu grafem eserowskim. Graf spójny jest eulerowski wtedy i tylko wtedy, gdy stopień każdego z jego wierzchołków jest parzysty.

58) (Dirac) Jeżeli G jest grafem prostym o n
3 krawędziach i stopień każdego jego wierzchołka jest nie mniejszy niż
, to G jest grafem hamiltonowskim.

59)Warunki równoważne byciu drzewem. Niech T będzie grafem o n wierzchołkach. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1)T jest drzewem.

2)T nie zawiera zamkniętych dróg i ma n - 1 krawędzi.

3)T jest spójny i zawiera n - 1 krawędzi.

4)Dowolne dwa wierzchołki grafu T można połączyć drogą w T.

5)T nie zawiera zamkniętych dróg, ale dokładnie jedną zamkniętą drogę.

3

www.wkuwanko.pl

---