Terma2009-zad. III.27- Kamil Szymczewski [e-mail]

Dla wnęki reprezentujące ciało doskonale czarne o określonej temperaturze, długość fali równa jest
. Jaka będzie długość fali jeżeli wartość temperatury ścianki wnęki wzrośnie tak, że wartość funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania zwiększy się dwukrotnie. Oblicz ponadto temperatury ciała doskonale czarnego dla długości fal
i
wiedząc, że stała Wiena
.

DANE: SZUKANE:

1.Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Średni zasób energii promieniowania w przedziale całego pola dozwolonych poziomów energetycznych (stopni swobody) ma postać:

-w funkcji długości fali

Ē(λ)=
[J]

-w funkcji częstotliwości

Ē(ν)=
[J]

Elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale długości fal od λ do λ+dλ określany jest zależnością:

dn(λ)=
dλ

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu długości fal określona jest związkiem

Uwzględniając związek między długości fali, a jej częstotliwością w próżni

Otrzymano elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale częstotliwości fal od

dn(ν)=
d
=
dν

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal określana jest związkiem

Objętościowa gęstość zasobu ilości oscylatorów jest równa

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal:

2.Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania

gdzie:

stąd

3.Wyznaczenie maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal określona jest zależnością:

Przyrównując pochodną powyższej funkcji po długości fali do zera:

otrzymano

przyjmując oznaczenie

powyższe równanie przyjmie postać

z którego wyznaczono wartość

Dla tej wartości x funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania osiąga maksimum, zaś długość fali osiąga wartość

4.Prawo przesunięć Wiena

Uwzględniając wyrażenie

dla
otrzymano

stąd

Powyższa zależność definiuje prawo przesunięć Wiena, które głosi, że odwrotnie proporcjonalna zależność długości fal
od temperatury T opisuje ilościowo mechanizm przesuwania się maksimum funkcji rozkładu widmowego objętościowego zasobu……………..

5.Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania dla długości fal
i
.

Uwzględniając prawo o przesunięć Wiena

otrzymano

(

oraz

(

6.Wyznaczenie długości fali

Dzieląc stronami zależności określające funkcje rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania dla długości fal
i
oraz uwzględniając, iż

(
=2
(

otrzymano

=
=

stąd

=

i ostatecznie

=

7.Obliczenie wartości długości fali

=
=0,870531*0,65*
=0,565858*
[m]=

=565,858 [nm]

8.Obliczenie wartości temperatur
i
.

Uwzględniając prawo przesunięć Wiena otrzymano

=
=4458,46 [K]

=
=5121,93 [K]

---