Modele układów dynamicznych

Przystępując do budowy modelu matematycznego danego procesu (układu), czyli do napisania równań matematycznych opisujących ten proces, należy przede wszystkim sprecyzować wszystkie założenia upraszczające, określić za­kresy zmian poszczególnych parametrów i wielkości oraz dokonać wyboru zmien­nych opisujących ten proces. Należy podkreślić, że wybór tych zmiennych nie jest jednoznaczny, istnieje wiele równoważnych sposobów wyboru zmiennych opisujących rozpatrywany proces. Następnie korzystając z odpowiednich praw fizyki (takich jak podstawowe prawa mechaniki, prawa obwodów elektrycznych, równania bilansu masy i energii), chemii, biologii, ekonomii itd., piszemy rów­nania wiążące zmiany w czasie procesów, zachodzące pod wpływem zewnętrz­nych oddziaływań lub nagromadzonej w układzie energii (niezerowych warun­ków początkowych lub brzegowych). W przypadku układów złożonych z ele­mentów o różnej naturze fizycznej, np. układów elektromechanicznych, przy wypisywaniu równań dynamiki wygodnie jest skorzystać z zasady Hamiltona, zwanej również zasadą ekstremum działania. Sposoby układania równań dy­namiki opisujących układy o parametrach skupionych i rozłożonych objaśnimy na prostych przykładach tych układów o różnej naturze fizycznej występują­cych w technice (elektrycznej, mechanicznej, elektromechanicznej itp.), biologii i ekonomii.

Układy elektryczne

W układach (obwodach) elektrycznych nieliniowych za zmienne stanu wygodnie jest przyjąć ładunki na kondensatorach i strumienie skojarzone cewek, a w li­niowych — napięcia na kondensatorach i prądy w cewkach.

Rysunek 1. Obwód elektryczny: schemat elektryczny i schemat blokowy

Metodą bezpośrednią układania równań dynamiki układów elektrycznych jest metoda oparta na pierwszym i drugim prawie Kirchhoffa. Metoda ta polega na napisaniu na podstawie praw Kirchhoffa odpowiednich równań i przekształ­ceniu ich na postać równań stanu. Istotę tej metody objaśnimy na przykładzie obwodu elektrycznego, którego schemat podano na rysunku 1. Za zmienne stanu przyjmujemy napięcie U_C na kondensatorze i prąd Ul w cewce, a za odpowiedź ~ napięcie U na oporniku o rezystancji R₃. Wymuszeniami w tym obwodzie są napięcia źródłowe e₁ i e₂. Na podstawie pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa dla obwodu tego możemy napisać równania

	= 0 = 0 = 0	(1) (2) (3)

Biorąc pod uwagę, że

(4)

oraz korzystając z równania (1), rugujemy z równań (2) i (3) prądy i_C oraz i₃ Otrzymamy wówczas

	= 0	(5)
		= 0	(6)

Z równania (6) otrzymujemy

(7)

Podstawiając zależność (7) do równania (5) otrzymujemy

(8)

Zapisując równania (7), (8) w postaci jednego równania macierzowego otrzymujemy

(9)

Z porównania równania (9) z równaniem
wynika, że w tym przypadku
, macierze A i B są równe

Aby wyznaczyć równanie wyjścia y=Cx+Du oraz elementy macierzy C i D dla tego obwodu, na podstawie drugiego prawa Kirchohoffa, piszemy równanie

(10)

Podstawiając zależność (7) do równania (10), otrzymamy następujące równanie wyjścia

W tym przypadku macierze C i D są równe

W wielu przypadkach metodą wygodniejszą i szybszą od omówionej wyżej me­tody bezpośredniej, jest metoda włączania idealnych źródeł napięcia i prądu.

Układy mechaniczne

W układach mechanicznych za zmienne stanu wygodnie jest przyjąć współrzęd­ne określające położenia poszczególnych ciał oraz prędkości tych ciał. Metodą bezpośrednią układania równań dynamiki układów mechanicznych jest metoda oparta na prawach Newtona (lub na zasadzie d'Alamberta).

Rysunek 2. Układ mechaniczny złożony z dwóch ciał o masach m₁ oraz m₂ i dwóch sprężyn

Metoda ta polega na napisaniu na podstawie praw Newtona odpowiednich równań i przekształceniu tych równań w postać równań zmiennych stanu. Istotę tej metody obrazuje prosty przykład układu mechanicznego, złożo­nego z dwóch ciał o masach odpowiednio m₁ i m₂ i dwóch sprężyn o współ­czynnikach sprężystości k₁ i k₂ (rys. 2). Zakładamy, że na ciało o masie m₂ działa siła zewnętrzna f(t), a opory tarcia ciał są proporcjonalne do prędkości, przy czym r₁ i r₂ są współczynnikami tarcia odpowiednio ciała o masie m₁ i m₂. Wymuszeniem w tym przypadku jest siła zewnętrzna f(t), a za zmienne stanu przyjmujemy:

x₁ - współrzędną określającą położenie ciała o masie m₁

x₂ - prędkość ciała o masie m₁ (x₂=
);

x₃ - współrzędną określającą położenie ciała o masie m₂;

x₄ - prędkość ciała o masie m₂ (x₄ =
);

Niech wektorem odpowiedzi y będzie

Biorąc pod uwagę siły działające na poszczególne ciała, na podstawie drugiego prawa Newtona (lub zasady d'Alamberta) można zapisać równaniami:

= 0 = f(t)

(11) (12)

Uwzględniając, że
=x₂ i
=x₄, oraz przekształcając równania (11), (12) w równania zmiennych stanu, otrzymamy

W tym przypadku macierze A i B są równe

Równanie wyjścia ma postać

a macierze C i D są równe

Układy elektromechaniczne

Układając równania dynamiki układów złożonych, wygodnie jest skorzystać z zasady Hamiltona. Zgodnie z tą zasadą układ holonomiczny i zachowawczy (układ, w którym nie występuje rozpraszanie energii oraz energia nie jest dostarczana do układu) jest określony funkcją skalarną L, zwaną funkcją Lagrange'a, współrzędnych uogólnionych q₁, q₂, …, q_n, prędkości uogólnionych
i czasu t

Funkcja ta jest różnicą energii kinetycznej T i energii potencjalnej U układu

L= T - U

W myśl zasady Hamiltona ruchu układu (przejście z jednego położenia w drugie) przebiega tak, aby funkcjonał

(13)

przyjmował wartość ekstremalną, zwykle minimalną. Funkcjonał (13) osiąga ekstremum wtedy, gdy są spełnione równania Lagrange'a w postaci

(14)

lub

przy czym q jest wektorem o składowych q₁,q₂,…,q_n, a T oznacza transpozycje wektora.

W przypadku ogólnym, gdy do układu jest dostarczona energia i występuje rozpraszanie energii, układ jest określany dwiema funkcjami skalarnymi: funkcją Lagrange'a i funkcją Rayleigh F, będącą różnicą energii rozproszonej w układzie F_r i energii F_d dostarczonej do układu.

F = F_r - F_d

W tym przypadku równania Lagrange'a przyjmują postać

Sposób korzystania z równań Lagrange'a przy układaniu równań dynamiki układu obrazuje przykład przetwornika elektromechanicznego, przed­stawionego schematycznie na rysunku 3. Na rdzeń ruchomy o masie m i przekroju A, osadzony w rdzeniu nieruchomym, działa siła przyciągania elektromagne­tycznego, zależna od natężenia prądu z, oraz siła sprężyny o współczynniku sprężystości k. Przyjmujemy następujące założenia upraszczające:

• pomijamy opór magnetyczny rdzeni jako wielokrotnie mniejszy niż opór szczeliny,

• pomijamy tarcie statyczne,

• zakładamy, że siła tarcia jest wprost proporcjonalna do prędkości.

Obliczamy energię kinetyczną i potencjalną dla obwodu elektrycznego i me­chanicznego. Energia kinetyczna obwodu elektrycznego

przy czym indukcyjność uzwojenia przetwornika jest określana zależnością

gdzie:

D - stała zależna od przekroju rdzenia, liczby zwojów oraz przenikalności magnetycznej powietrza;

d - grubość przekładki antymagnetycznej,

x = x(t) -odległość rdzenia ruchomego od rdzenia nieruchomego;

i =
- natężenie prądu w uzwojeniu przetwornika;

q - ładunek elektryczny.

Rysunek 3. Schemat przetwor­nika elektromechanicznego

Obwód elektryczny nie zawiera elementów pojemnościowych, wobec tego energia potencjalna równa się zeru

U_e= 0

Energia kinetyczna obwodu mechanicznego

a energia potencjalna

przy czym x₀ jest odległością rdzenia ruchomego od nieruchomego w położeniu naturalnym sprężyny (siła sprężyny równa zeru). Funkcja Lagrange'a w tym przypadku jest równa

Aby z kolei wyznaczyć funkcje Rayleigh, obliczamy różnice energii rozproszonej i dostarczonej do układu dla obwodu elektrycznego i mechanicznego. Dla obwodu elektrycznego

przy czym R jest rezystancją uzwojenia, a u=u(t) napięciem doprowadzonym do uzwojenia. Z kolei dla obwodu mechanicznego mamy

przy czym R_m jest oporem mechanicznym. Funkcja Rayleigh w tym przypadku równa się więc

Za składowe wektora q przyjmujemy ładunek elektryczny q oraz odległość rdzenia ruchomego x

Na podstawie (14) dla i=1 oraz i=2 otrzymujemy

(15)

(16)

Przyjmując za zmienne stanu x₁=q; x₂=
=i, x₃=x, x₄=
, równania (15), (16) możemy napisać w postaci

W tym przypadku równania stanu układu są równaniami nieliniowymi. Przyjmując za składowe wektora odpowiedzi y natężenie prądu w uzwojeniu przetwornika i oraz odległość x rdzenia ruchomego od nieruchomego, otrzymamy równanie wyjścia w postaci

Powyższe przykłady podane dla układów elektromechanicznych, można uwzględnić również jako układy elektropneumatyczne, elektrohydrauliczne, elektroakustyczne itp.

Charakterystyki czasowe członów dynamicznych

Teoria automatycznego sterowania klasyfikuje układy sterowania pod względem właściwości dynamicznych, opisanych równaniami różniczkowymi. Te same równania mogą opisywać układy o różnej strukturze fizycznej (np. układ masa - sprężyna z tłumieniem drgań i obwód elektryczny RLC) - mówi się wówczas o analogii pomiędzy tymi układami. Analogie pozwalają na budowę i badanie modeli układów zamiast samych układów.

Układy opisane liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach nazywają się układami liniowymi stacjonarnymi. Jeżeli współczynniki te zmieniają się w czasie, lecz nie są zależne od wielkości wejściowych ani wyjściowych układ nazywany jest niestacjonarnym. Układy opisane równaniami nieliniowymi noszą nazwę układów nieliniowych.

Dla układu liniowego, stacjonarnego i jednowymiarowego, tj. o jednym wejściu i jednym wyjściu zależność pomiędzy sygnałem wyjściowym y(t) (odpowiedzią układu) i wejściowym x(t) (wymuszeniem) określona jest ogólnym równaniem:

(17)

gdzie:

- stałe współczynniki, zależne od struktury i od wartości parametrów układu;

- stałe współczynniki, zależne od źródła sygnału wejściowego oraz od wartości parametrów układu i jego struktury.

Rząd n najwyższej pochodnej sygnału wyjściowego występującej w równaniu nazywamy rzędem układu.

Poddając obie strony równania różniczkowego (17) przekształceniu Laplace'a dla zerowych warunków początkowych dostaniemy:

(1.2)

gdzie
(1.3)

(1.4)

Stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego Y(s) układu do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego X(s), przy zerowych warunkach początkowych nazywamy transmitancją operatorową układu.

(1.5)

Transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s. Ma ona postać ilorazu dwóch wielomianów stopnia m oraz n, przy czym dla układów realizowalnych fizycznie zawsze stopień wielomianu licznika m jest niższy lub co najwyżej równy stopniowi wielomianu mianownika n. Transmitancja operatorowa układu nie zależy od transformat wielkości wejściowej i wyjściowej. Dla danego układu jest ona wielkością stałą, zależną jedynie od natury fizycznej układu, a więc od równania różniczkowego i parametrów układu (współczynniki wielomianów N(s) i M(s) są przeważnie prostymi funkcjami parametrów - pojemności, indukcyjności, rezystancji, masy itp.). Można zatem powiedzieć, że transmitancja operatorowa określa właściwości dynamiczne układu. Znając transmitancję układu można wyznaczyć odpowiedź układu na dowolny sygnał wejściowy x(t):

(1.6)

gdzie L^-1 - operator odwrotnego przekształcenia Laplace'a.

Najważniejsze charakterystyki czasowe

Charakterystyką czasową układu nazywamy przebieg w czasie odpowiedzi układu na określony sygnał wejściowy, podany na wejście układu będącego w stanie równowagi.

Stosowanie tych samych sygnałów wejściowych do badania różnych układów pozwala na porównanie właściwości dynamicznych tych układów. Do opisywania i porównywania własności dynamicznych układów oprócz charakterystyk czasowych stosuje się także charakterystyki częstotliwościowe, będące tematem innego ćwiczenia.

W zależności od rodzaju zastosowanego sygnału wejściowego wśród charakterystyk czasowych można rozróżnić następujące:

Charakterystyka skokowa jest to odpowiedź y(t)=h(t) układu, na którego wejście doprowadzony został sygnał skokowy x(t) (rys.1.1.a) opisany równaniem:

(1.7)

gdzie funkcja skoku jednostkowego:
(1.8)

Transformata wymuszenia skokowego ma postać
(1.9)

więc odpowiedź skokowa członu
(1.10)

Charakterystyka impulsowa układu jest to odpowiedź y(t)=k(t) układu, na którego wejście doprowadzony został sygnał w postaci impulsu Diraca x(t)=δ(t) (impuls o jednostkowej energii, nieskończonej amplitudzie i nieskończenie krótkim czasie trwania):

(1.11)

Ponieważ
(1.12)

więc odpowiedź impulsowa członu:
(1.13)

Z zależności (1.13) wynika, że charakterystyka impulsowa układu, zwana także funkcją wagi, jest odwrotną transformatą Laplace'a transmitancji układu. Impuls Diraca przedstawia rys.1.1.b.

Charakterystyka liniowo-czasowa jest to odpowiedź y(t)=v(t) układu, na którego wejście doprowadzony został sygnał x(t) liniowo zależny od czasu (rys.1.1.c):

(1.14)

Ponieważ
(1.15)

więc charakterystyka liniowo-czasowa członu:

(1.16)

Rys. 1.1 Sygnał x(t) podawany na wejście układu w celu uzyskania charakterystyki:

a) skokowej b) impulsowej c) liniowo-czasowej

Charakterystyki czasowe członów podstawowych

Członem układu automatyki nazywamy urządzenie lub układ o wyodrębnionym wejściu i wyjściu będący częścią składową tego układu. Okazuje się, że istnieje ograniczona ilość liniowych członów podstawowych, a wszystkie inne układy liniowe można przedstawić jako ich połączenie; schemat układu przedstawiający te połączenia nazywa się schematem strukturalnym (blokowym).

Poniżej podano transmitancje oraz charakterystyki skokowe wszystkich członów podstawowych, oraz charakterystyki impulsowe i liniowo-czasowe dla niektórych członów.

Człon bezinercyjny (proporcjonalny) P

Transmitancja członu ma postać
(1.17)

gdzie k - współczynnik wzmocnienia, określony jako stosunek odpowiedzi do wymuszenia.

W członie bezinercyjnym w każdej chwili czasu sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do sygnału wejściowego.

Odpowiednie charakterystyki czasowe dane są wzorami:

- skokowa
,
(1.18)

- impulsowa
,
(1.19)

- liniowo-czasowa
,
(1.20)

Rys.1.2. Charakterystyki czasowe członu proporcjonalnego

a) skokowa b) impulsowa c) liniowo-czasowa

Przykładem realizacji członu proporcjonalnego jest rezystancyjny dzielnik napięcia z rys.1.3.

Transmitancja czwórnika:

(1.21)

Rys.1.3. Czwórnik proporcjonalny

Człon inercyjny pierwszego rzędu

Transmitancja członu:
(1.22)

gdzie T - stała czasowa

Odpowiedź czasowa członu na skutek pewnej bezwładności (inercji) charakteryzuje się występowaniem stanu przejściowego, po zaniknięciu którego sygnał wyjściowy staje się proporcjonalny do sygnału wejściowego (ze współczynnikiem proporcjonalności k).

Dla odpowiedzi skokowej członu mamy:

,
(1.23)

Stała czasowa T charakteryzuje prędkość zmian przebiegu przejściowego. Jest to czas, po upływie którego odpowiedź skokowa osiąga wartość (1-1/e)⋅k⋅a=0.632⋅k⋅a. Interpretację geometryczną stałej czasowej przedstawia rys.1.4

Rys.1.4. Charakterystyka skokowa członu inercyjnego I-go rzędu

Pozostałe charakterystyki czasowe:

- impulsowa
,
(1.24)

- liniowo-czasowa
,
(1.25)

Rys.1.5. Charakterystyki czasowe członu inercyjnego I-go rzędu

a) impulsowa b) liniowo-czasowa

Transmitancja czwórnika

(1.26)

(k=1, T=RC)

Rys.1.6. Czwórnik RC inercyjny.

Człon całkujący idealny I

Transmitancja członu:
(1.27)

gdzie T_i - czas całkowania

W członie całkującym idealnym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do całki sygnału wejściowego.

Odpowiedź skokowa ma postać:
,
(1.28)

Jeżeli na wejściu członu całkującego idealnego pojawi się sygnał stały to sygnał wyjściowy będzie narastał w funkcji czasu liniowo. Współczynnik k reprezentuje stosunek pochodnej względem czasu (prędkości) odpowiedzi do wartości wymuszenia, stąd też nazywany jest wzmocnieniem prędkościowym.

Pozostałe charakterystyki czasowe:

- impulsowa
,
(1.29)

- liniowo-czasowa
,
(1.30)

Rys.1.7. Charakterystyki czasowe członu całkującego idealnego

a) skokowa b) impulsowa

Człon całkujący z inercją

Ściśle rzecz biorąc nie jest to człon podstawowy, gdyż można go zrealizować jako szeregowe połączenie członów całkującego idealnego i inercyjnego. Ze względu na praktyczne znaczenie jest on jednak tutaj przedstawiony. Transmitancja członu:

(1.31)

Charakterystyki czasowe:

- skokowa
,
(1.32)

- impulsowa
,
(1.33)

- liniowo-czasowa
,
(1.34)

Rys.1.8. Charakterystyki czasowe członu całkującego rzeczywistego

a) skokowa b) impulsowa

Człon różniczkujący idealny D

Transmitancja układu ma postać:
(1.35)

gdzie T_d - czas różniczkowania

W członie różniczkującym idealnym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do pochodnej sygnału wejściowego względem czasu.

Ponieważ stopień licznika transmitancji jest wyższy od stopnia mianownika człon ten jest niemożliwy do zrealizowania w praktyce i może być modelowany jedynie w przybliżeniu.

Charakterystyki czasowe: skokowa i liniowo-czasowa są postaci:

,
(1.36)

,
(1.37)

Rys.1.9. Charakterystyki czasowe członu różniczkującego idealnego

a) skokowa b) liniowo-czasowa

2.2.6 Człon różniczkujący z inercją

Człon różniczkujący rzeczywisty jest układem złożonym z szeregowo połączonych członów: inercyjnego i różniczkującego idealnego. Ma on duże znaczenie praktyczne, gdyż każdy fizycznie realizowalny człon różniczkujący posiada pewną inercję.

Transmitancja członu:
(1.38)

Charakterystyki czasowe:

- skokowa
,
(1.39)

- liniowo-czasowa
,
(1.40)

Rys.1.10. Charakterystyki czasowe członu różniczkującego rzeczywistego

a) skokowa b) liniowo-czasowa

Przykładem realizacji członu różniczkującego rzeczywistego jest czwórnik z rys.1.11.

Transmitancja czwórnika:

(1.41)

(k=RC, T=RC)

Rys.1.11. Czwórnik RC różniczkujący rzeczywisty

Człon opóźniający (opóźnienie transportowe)

Transmitancja:
(1.42)

Sygnał na wyjściu członu opóźniającego pojawia się nie w chwili doprowadzenia sygnału wejściowego, lecz po upływie czasu oznaczonego przez τ_0.

Charakterystyki czasowe:

- skokowa

(1.43)

- impulsowa

(1.44)

- liniowo-czasowa

(1.45)

Rys.1.12. Charakterystyki czasowe członu opóźniającego

1. skokowa b) impulsowa

Człon oscylacyjny drugiego rzędu

Transmitancja członu jest postaci:
(1.46)

gdzie ω_n - pulsacja drgań nietłumionych

ζ - współczynnik tłumienia

Odpowiedź skokowa członu:
(1.47)

(1.48)

gdzie wielkość
jest tzw. pulsacją drgań tłumionych.

Przebieg czasowy odpowiedzi skokowej członu jest przebiegiem oscylacyjnym o pulsacji ω_d.

O charakterze oscylacji decyduje współczynnik tłumienia drgań ζ (w zależności od wartości ζ wykładnik potęgi funkcji wykładniczej we wzorze (1.48) jest ujemny, dodatni lub równy zeru).

Możemy wyróżnić trzy przypadki:

• dla 0<ζ<1 i amplituda oscylacji maleje tzw. drgania tłumione (rys.1.13.a,b),

• dla ζ=0 występują oscylacje o stałej amplitudzie (rys.1.13.c),

• dla -1<ζ<0 amplituda oscylacji rośnie do nieskończoności (rys.1.13.d).

Dla ζ²>1 człon przestaje być oscylacyjnym i staje się członem inercyjnym drugiego rzędu (szeregowe połączenie dwóch członów inercyjnych pierwszego rzędu).

Rys.1.13.Charakterystyka skokowa członu oscylacyjnego drugiego rzędu dla różnych wartości

współczynnika tłumienia ζ.

Odpowiedź impulsowa członu:

(1.49)

(1.50)

Człony korekcyjne pierwszego rzędu

Ogólna postać transmitancji członów korekcyjnych jest następująca:

(1.51)

gdzie k - współczynnik wzmocnienia

T₁, T₂ - stałe czasowe

Zależnie od tego, która stała czasowa jest większa, człon korekcyjny przyspiesza lub opóźnia fazę w układzie korygowanym.

Człon opóźniający fazę

Jeżeli w wyrażeniu na transmitancję członu korekcyjnego dwie stałe czasowe zastąpi się jedną i współczynnikiem α równym stosunkowi T₁/T₂, to transmitancja członu opóźniającego przyjmie następującą postać:

(1.52)

Przebieg odpowiedzi skokowej członu opisany jest wyrażeniem

(1.53)

i przedstawiony jest na rys.1.14.a.

Rys.1.14. Człon korekcyjny opóźniający fazę

1. charakterystyka skokowa b) realizacja fizyczna

Przykładem członu korekcyjnego opóźniającego fazę jest czwórnik RC z rys.1.14.b.

Dla przedstawionego układu parametry T i α określone są wzorami

,
(1.54)

Człon przyspieszający fazę (forsujący)

W przypadku, gdy w ogólnym wyrażeniu na transmitancję członu korekcyjnego stała czasowa T₂ jest większa od stałej czasowej T₁ tzn. α<1 człon korekcyjny przyspiesza fazę, a jego transmitancję określa się następująco:

(1.55)

Przebieg odpowiedzi skokowej członu wyrażony jest równaniem:

(1.56)

Przykładową realizację członu przyspieszającego fazę przedstawia rys.1.15.b.

Parametry czwórnika oblicza się następująco

,
(1.57)

Rys. 1.15. Człon korekcyjny przyspieszający fazę

a) charakterystyka skokowa b) realizacja fizyczna

Człon korekcyjny drugiego rzędu opóźniająco - przyspieszający fazę

W pewnych przypadkach zachodzi potrzeba stosowania korekcji zapewniającej przy niższych częstotliwościach opóźnienie, a przy wyższych przyspieszenie fazy. Można wtedy zastosować korektor, którego działanie jest analogiczne do szeregowego połączenia członu opóźniającego i członu przyspieszającego fazę. Transmitancja takiego członu jest następująca

(1.58)

Odpowiedź skokowa członu

gdzie
(1.59)

Przykładem opisanego członu jest czwórnik RC z rys.1.16.b.

Transmitancja członu ma postać:

(1.60)

Po wprowadzeniu następujących oznaczeń :

,
(1.61)

wyrażenie na transmitancję przyjmie postać ogólną (1.58).

(Wartość liczbowa stałej α jest w przybliżeniu równa
).

Rys.1.16. Człon korekcyjny opóźniająco - przyspieszający fazę

a) charakterystyka skokowa b) realizacja fizyczna

Literatura

1. J. Mazurek: Podstawy automatyki, PWN, Warszawa 1996.

2. T. Kaczorek: Podstawy teorii sterowania WNT 2005;

3. W. Pełczewski: Teoria sterowania, WNT, Warszawa, 1980.

4. S.Węgrzyn: Podstawy automatyki, PWN, Warszawa 1972.

Laboratorium Teorii Sterowania

- 4 -

Ćwiczenie 1 (CS) - Charakterystyki czasowe członów dynamicznych

Laboratorium Teorii Sterowania

4

Ćwiczenie 1 - Charakterystyki czasowe członów dynamicznych - 13 -

- 6 - Ćwiczenie 1 (CS) - Charakterystyki czasowe członów dynamicznych

- 14 -

Ćwiczenie 1 (CS) - Charakterystyki czasowe członów dynamicznych

---