KONDENSATORY (zad.1-14)

Zadanie 1

Treść:
Okładki kondensatora płaskiego o powierzchni S=200cm² rozsunięto z odległości d₁=0.1cm na d₂=0.4cm. Oblicz jak zmieni się energia kondensatora, jeżeli był on cały czas podłączony do baterii o różnicy potencjałów U=300V.

Dane:
S = 200 cm² = 0.02 m²
d₁ = 0.1 cm = 0.001 m

d₂ = 0.4 cm = 0.004 m
U = 300 V
Szukane:
ΔE = ?

Wzory:
1. Pojemność kondensatora w próżni:

2. Energia kondensatora
Rozwiązanie:
Najpierw policzymy pojemności kondensatorów przed (C₁) i po (C₂) rozsunięciu okładek kondensatora. Mamy więc

Teraz policzymy energie kondensatorów przed i po rozsunięciu okładek. Ponieważ kondensator podłączony jest stale do napięcia, to w takim razie U = const. Z trzech wzorów na energię musimy wybrać ten najlepszy, z którego najłatwiej nam się policzy. Na pewno w tym wzorze musi być pojemność C. A ponieważ mamy stałe napięcie U, skorzystamy też właśnie z niego. Wybieramy więc wzór

Zatem

Naszym zadaniem jest znaleźć zmianę energii

Sprawdźmy jednostkę

Zmiana energii kondensatora wynosi około 5.97 µJ.

Zadanie 2

Treść: Dwie równoległe płytki ustawiono w odległości d=10cm od siebie i naładowano do potencjałów +1000V i +200V. Jaka jest wartość i kierunek natężenia pola w punkcie P odległym o Δs=2cm od płytki o potencjale +1000V? Jaki jest potencjał w tym punkcie?

Dane: d = 10 cm = 0.1 m V1 = 1000 V V2 = 200 V Δs = 2 cm = 0.02 m

Szukane: E = ? V = ?

Wzory: 1. Natężenie pola w polu jednorodnym:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Mamy dwie płyty tworzące kondensator oddalone o d naładowane do zadanych potencjałów. Napięcie to różnica potencjałów kondensatora, a więc

Linie sił pola wewnątrz kondensatora skierowane są od potencjału wyższego do potencjału niższego i taki będzie kierunek wektora natężenia pola w punkcie P, podobnie jak w innych punktach. Ponieważ jest to pole jednorodne, to wartość natężenia będzie w każdym punkcie pola taka sama, a jej wartość wynosi

Jak obliczyć potencjał w punkcie P?
Korzystamy z tego samego wzoru, z tym że zamiast d przyjmujemy Δs

A więc pomiędzy płytą o potencjale 1000 V a punktem P panuje napięcie 160 V Korzystamy znów z definicji napięcia

Oznacza to, że w punkcie P jest potencjał 840 V.

Zadanie 3

Treść: Odległość między okładkami kondensatora płaskiego o pojemności C zwiększono czterokrotnie, zmniejszając równocześnie trzykrotnie powierzchnię czynną okładek. Między okładki kondensatora wprowadzono dielektryk. Jaką powinien on mieć względną przenikalność elektryczną, aby pojemność kondensatora nie zmieniła się?

Dane: C 4 d1 = d2 S1 = 3 S2

Szukane: εR = ?

Wzory: 1. Pojemność kondensatora

Rozwiązanie:
Pojemność kondensatora wyrażamy wzorem

gdzie:
d - odległość między okładkami,
S - powierzchnia czynna okładek,
ε₀ - przenikalność elektryczna próżni (stała),
ε_R - przenikalność elektryczna środowiska (liczba niemianowana, w próżni jej wartość wynosi 1).

Policzymy najpierw pojemność kondensatora przed zmianami

Dla wygody zakładamy, że ów kondensator był próżniowy, zatem

Teraz dokonujemy zmian, rozsuwamy okładki, zmniejszamy ich powierzchnię i wsuwamy dielektryk

Z treści zadania wiemy, że kondensatory mają ciągle tę samą pojemność

Podstawiamy pod pojemności to, co wyliczyliśmy wcześniej

Aby pojemność kondensatora nie zmieniła się, dielektryk powinien posiadać względną przenikalność elektryczną równą 12.

Zadanie 4

Treść: Do płaskiego kondensatora wypełnionego dielektrykiem o εR=5 doprowadzono ładunek Q, wywołując na nim różnicę potencjałów U. Jak zmieni się ładunek Q' zgromadzony na kondensatorze i napięcie U' pomiędzy jego okładkami, jeżeli usuniemy dielektryk?

Dane: εR = 5 Q U

Szukane: Q' = ? U' = ?

Wzory: 1. Pojemność kondensatora 2. Pojemność kondensatora

Rozwiązanie:
Liczymy najpierw pojemność kondensatora przed (C) i po (C') wyjęciu dielektryka, korzystając oczywiście ze wzoru pierwszego.

Mamy wyrazić zmianę ładunku i napięcia po wyjęciu dielektryka z kondensatora.
Z zasady zachowania ładunku, wiemy, że ładunek nigdy "nie ginie". Oznacza to, że ładunek kondensatora po wyjęciu dielektryka jest równy ładunkowi przed wyjęciem dielektryka (zakładamy, że kondensator nie jest podłączony do źródła napięcia - w przeciwnym wypadku, zamiast ładunku byłoby stałe napięcie)

Czas zająć się napięciem, które w tym przypadku musiało się zmienić. Wyjęcie dielektryka, zmniejsza pojemność kondensatora, a co za tym idzie - zwiększa napięcie między jego okładkami. Skąd ten wniosek? Wystarczy spojrzeć na wzór

Sprawdzimy więc, o ile się zwiększy. Liczymy napięcie przed (U) i po (U') wyjęciu dielektryka z kondensatora (przekształciłem powyższy wzór oraz uwzględniłem to, że Q = const)

To teraz musimy jakoś porównać te napięcia. Proponuję taki sposób

Zatem po wysunięciu dielektryka z kondensatora napięcie zwiększy się pięć razy, a ładunek nie zmieni się.

Zadanie 5

Treść: Jakie będą ładunki zgromadzone na poszczególnych kondensatorach, jeśli do układu trzech jednakowych kondensatorów połączonych tak, jak na rysunku, zostanie doprowadzony ładunek Q?

Dane: Q

Szukane: Q1 = ? Q2 = ? Q3 = ?

Wzory: 1. Szeregowe i równoległe łączenie kondensatorów 2. Pojemność kondensatora

Rysunek:

Rozwiązanie:
Ponieważ mamy połączenie równoległe, to w węźle zaznaczonym na niebiesko (którymkolwiek - zależy to od kierunku prądu) całkowity ładunek ulega podzieleniu wg zasady

natomiast napięcie pozostaje stałe:

Trzeba więc wyliczyć, w jakich proporcjach dzieli się ładunek całkowity, w tym celu skorzystamy ze wzoru

który przekształcimy do postaci

Mamy więc:

Potrzebujemy znaleźć pojemności układów kondensatorów, z których każdy pojedynczy ma wartość C.
C₁ to po prostu C. C₂₃ to pojemność układu szeregowego kondensatorów, zaznaczonego czerwoną linią na rysunku; jego pojemność

C_Z to pojemność zastępcza wszystkich trzech kondensatorów wyliczana w sposób następujący:

Kontynuujemy więc nasze równanie:

Z tej równości możemy wyliczyć, że

Gdy kondensatory połączone są szeregowo, oznacza to, że ładunek się nie zmienia, czyli

Tak więc ładunki zgromadzone na poszczególnych kondensatorach wynoszą:

Zadanie 6

Treść: Kondensator płaski o pojemności C naładowano ładunkiem Q i odłączono od źródła prądu. Jaką należy wykonać pracę, aby zwiększyć trzykrotnie odległość między okładkami tego kondensatora?

Dane: Q C d' = 3 d

Szukane: W = ?

Wzory: 1. Pojemność kondensatora 2. Wzory na energię kondensatora

Rozwiązanie:
Aby znaleźć wartość wykonanej pracy, należy obliczyć różnicę energii kondensatora przed (E) i po (E') rozsunięciu okładek. Potrzebne nam będą również pojemności kondensatorów w obu przypadkach; aby je znaleźć, korzystamy z pierwszego wzoru:

Aby wyliczyć energię kondensatora, będziemy korzystać ze wzoru, w którym oczywiście występuje pojemność oraz ładunek, ponieważ ten przed i po rozsunięciu okładek ma wartość stałą (Q = const).
Teraz wyliczamy energię przed rozsunięciem okładek...

...oraz po ich rozsunięciu:

Szukana praca to różnica tych energii (większa minus mniejsza), zatem:

Aby rozsunąć trzykrotnie okładki kondensatora należy wykonać pracę Q² / C.

Zadanie 7

Treść: Płaski kondensator próżniowy o pojemności C=5^.10^-3µF naładowano do napięcia U=100V i odłączono. Oblicz zmianę energii kondensatora wskutek zbliżenia jego okładek na k=5 razy mniejszą odległość.

Dane: C = 5 ^. 10^-3 µF U = 100 V k = 5

Szukane: ΔE = ?

Wzory: 1. Pojemność kondensatora w próżni: 2. Wzory na energię kondensatora

Rozwiązanie:
Ponieważ kondensator najpierw naładowano do napięcia U, a potem to napięcie odłączono, oznacza to, że ładunek Q w kondensatorze będzie stały przed i po zmianach (Q = const).
Policzmy pojemność kondensatora przed rozsunięciem okładek (C) oraz po rozsunięciu okładek (C')

Policzymy teraz energię kondensatora przed rozsunięciem okładek (E) i po rozsunięciu okładek (E'). Mamy do wykorzystania trzy wzory na energię. Który najbardziej będzie nam odpowiadać? Na pewno ten, który posiada wartość Q, ponieważ jest ona stała. A ponieważ przesunięcie okładek wpływa na zmianę pojemności (patrz wzory powyżej), to właśnie skorzystamy z pojemności:

Policzymy teraz zmianę energii ΔE

Nie mamy danej energii przed rozsunięciem okładek E, ale mamy napięcie przed rozsunięciem okładek i pojemność kondensatora przed rozsunięciem okładek, korzystamy więc z innego wzoru na energię

Zatem

Zmiana energii kondensatora wskutek zbliżenia okładek wynosi 0.02 milidżuli.

Zadanie 8

Treść: Dwa płaskie kondensatory, jeden próżniowy, a drugi wypełniony dielektrykiem o przenikalności ε=2 połączono szeregowo, naładowano do napięcia U=80V i odłączono od baterii. Wyznacz pojemność zastępczą układu kondensatorów, jeżeli kondensatory te mają jednakowe powierzchnie okładek S=2^.10^-6m^2 i odległości między okładkami d=3mm. Jakie będzie napięcie na zaciskach zewnętrznych tego połączenia kondensatorów, jeżeli okładki kondensatora próżniowego rozsunie się na n=2 razy większą odległość?

Dane: ε = 2 U = 80 V S = 2 ^. 10^-6m^2 d = 3 mm = 0.003 m n = 2 ε0 = 8.85 ^. 10^-12 F/m (stała)

Szukane: C = ? U' = ?

Wzory: 1. Kondensatory połączone szeregowo 2. Pojemność kondensatora: 3. Pojemność elektryczna:

Rysunek:

Rozwiązanie:
Powyższy rysunek przedstawia sytuację przed odłączeniem napięcia od kondensatorów.
Kondensatory te są połączone szeregowo, co oznacza, że:

Pojemność C jest pojemnością zastępczą, czyli taką, jaką należy przyłożyć zamiast dwóch danych kondensatorów, by otrzymać identyczny efekt.

Zajmiemy się pierwszą częścią zadania, czyli znajdziemy pojemność zastępczą układu. Zgodnie ze wzorem musimy znaleźć pojemności poszczególnych kondensatorów. Zgodnie z treścią zadania:

Szukana pojemność zastępcza C wynosi

Zamieniamy licznik z mianownikiem i liczymy dalej:

Zatem pojemność zastępcza wynosi około 3.93 femtofaradów (fF).

Szukamy teraz napięcia na zaciskach zewnętrznych naszego połączenia kondensatorów, jeżeli w kondensatorze próżniowym zwiększymy odległość okładek dwa razy. Wtedy pojemność kondensatorów wynosi

Zatem pojemność zastępcza C':

Znów zamieniamy licznik z mianownikiem...

Przekształcając wzór na pojemność elektryczną, a dokładnie wyprowadzając z niego napięcie U otrzymujemy (stan po rozsunięciu okładek)

Nie mamy wartości ładunku Q. Ponieważ wartość ładunku jest stała (odłączono napięcie), to ładunek możemy obliczyć jako iloczyn pojemności zastępczej i napięcia przed rozsunięciem okładek kondensatora. Napięcie mamy dane, pojemność wyliczyliśmy w pierwszej części zadania, czyli

Szukane napięcie wynosi około 133 V.

Zadanie 9

Treść: Dwa kondensatory o jednakowych pojemnościach C - próżniowy i wypełniony dielektrykiem o stałej εR - połączono równolegle, naładowano do napięcia U i odłączono od baterii. Oblicz wartość napięcia na obu kondensatorach po przełożeniu dielektryka do kondensatora próżniowego. Ile wynosi wtedy energia każdego z kondensatorów?

Dane: C εR U

Szukane: U1' = ? U2' = ? E1' = ? E2' = ?

Wzory: 1. Równoległe połączenie kondensatorów 2. Pojemność kondensatora: 3. Pojemność elektryczna: 4. Energia kondensatora

Rysunek:

Rozwiązanie:
Rysunek przedstawia sytuację przed odłączeniem napięcia. Kondensatory połączone są równolegle, zatem każdy kondensator naładował się do napięcia U. Odłączamy napięcie. Najpierw policzymy pojemności kondensatorów przed przełożeniem dielektryka, zakładamy, że najpierw dielektryk był w kondensatorze o indeksie 2:

Kondensatory mają wtedy jednakowe pojemności, a ponieważ w jednym z nich jest dielektryk, zatem parametry S i d są różne.
Przekładamy dielektryk (teraz znajduje się on w kondensatorze o indeksie 1)

Oczywiście pojemności C₁' i C₂' nie są sobie teraz równe.

Policzymy teraz wartość napięcia na obu kondensatorach po przełożeniu dielektryka. Pamiętamy, że przed przełożeniem dielektryka oba kondensatory miały napięcie U. Korzystamy ze wzoru na pojemność elektryczną, który przekształcamy do postaci:

Oczywiście zarówno przed i po przełożeniu ładunek Q w kondensatorze jest stały, ponieważ odłączyliśmy napięcie (Q = const) i wynosi on Q = CU. Liczymy napięcia dla poszczególnych kondensatorów, po przełożeniu dielektryka:

Teraz szukamy energii każdego z kondensatorów po przełożeniu dielektryka. Korzystamy z jednego ze wzorów na energię, a mianowicie tego, w którym jest ładunek (u nas stała) i oczywiście pojemność

Teraz liczymy energie po przełożeniu dielektryka

Zadanie 10

Treść: Pomiędzy okładki kondensatora próżniowego wsunięto dielektryk o stałej dielektrycznej εR w ten sposób, że wypełnił on połowę wnętrza tego kondensatora. Oblicz stosunek pojemności kondensatora z wsuniętym dielektrykiem do pojemności kondensatora próżniowego.

Dane: εR

Szukane: C' / C = ?

Wzory: 1. Pojemność kondensatora 2. Równoległe łączenie kondensatorów

Rozwiązanie:
Policzmy na samym początku pojemność kondensatora przed włożeniem dielektryka

Ponieważ jest to kondensator próżniowy, to przenikalność dielektryczna ε_R wynosi 1 i została pominięta.
Czas zająć się kondensatorem po włożeniu dielektryka. Jak policzyć jego pojemność? Trzeba wpaść na pewien pomysł, spójrzmy na rysunek.

Kondensator z częściowym wypełnieniem dielektrykiem został podzielony na dwa kondensatory - jeden próżniowy, drugi z dielektrykiem (to tak, jakbyśmy je "przecięli" na dwie połowy). Dwa nowe kondensatory te połączone są równolegle, gdyż przecinamy na pół powierzchnie okładek. Teraz wynoszą one S / 2 a odległość między okładkami nadal wynosi d.
Oznaczmy przez C₁' pojemność kondensatora próżniowego, a przez C₂' pojemność kondensatora z dielektrykiem (oba kondensatory są oczywiście efektem powyższego podzielenia). Mamy więc

Szukaną pojemnością C' będzie oczywiście pojemność zastępcza równoległego układu kondensatorów C₁' i C₂'

Nasz szukany stosunek wynosi

Zadanie 11

Treść: Kondensator próżniowy o pojemności C=1µF wypełniono dielektrykiem o εR=4 i grubości d2=d/3, umieszczonym równolegle do okładek. Ile wynosi pojemność kondensatora po włożeniu dielektryka?

Dane: d2 = d / 3 C = 1 µF εR = 4

Szukane: C' = ?

Wzory: 1. Pojemność kondensatora 2. Szeregowe łączenie kondensatorów

Rysunek:

Rozwiązanie:
Najpierw wyprowadzamy wzór na pojemność kondensatora próżniowego przed włożeniem dielektryka

Zadanie jest podobne do poprzedniego, z tym że teraz inaczej wsuwamy dielektryk. Teraz nie przecinamy powierzchnię okładek, tylko ich odległość, powstanie zatem układ szeregowy kondensatorów.
Oznaczmy przez C₁' pojemność kondensatora próżniowego

Natomiast przez C₂' oznaczymy pojemność kondensatora z dielektrykiem o szczelinie d₂

Szukaną pojemnością C' będzie pojemność szeregowego układu kondensatorów

Pojemność kondensatora po włożeniu dielektryka wynosi 4 / 3 mikrofaradów.

Zadanie 12

Treść: Kondensator o pojemności C naładowano do napięcia U i połączono równolegle z drugim, nienaładowanym kondensatorem o pojemności nC. Ile wynosi napięcie na okładkach pierwszego kondensatora po połączeniu? Ile wynosi energia układu połączonych kondensatorów, jeżeli energia kondensatora przed połączeniem wynosi W?

Dane: C nC U W

Szukane: U1 = ? W' = ?

Wzory: 1. Równoległe połączenie kondensatorów 2. Pojemność kondensatora 3. Wzory na energię kondensatora

Rysunek:

Rozwiązanie:
Na rysunku po lewo mamy naładowany kondensator o pojemności C, a po prawo ten sam kondensator połączony równolegle z kondensatorem o pojemności nC (liczba n oznacza tu jakąkolwiek dodatnią wielokrotność wartości C).
W połączeniu równoległym parametry obu kondensatorów oznaczyłem na czarno, natomiast parametry całego układu kondensatorów zaznaczyłem na czerwono.
Zauważmy że w kondensatorze po lewo i w układzie kondensatorów po prawo całkowity ładunek Q nie ulega zmianie i zgodnie z tym (ze wzoru na pojemność kondensatora wyprowadziłem ładunek Q)

Napięcie U' układu równoległego kondensatorów, będzie również napięciem każdego z kondensatora, ponieważ w połączeniach równoległych

Musimy znaleźć jeszcze pojemność C', która jest tu pojemnością zastępczą połączenia szeregowego i zgodnie z regułami tego typu połączeń

Możemy więc wyliczyć szukane napięcie

Czas na drugą część zadania dotyczącą energii kondensatorów.
Korzystamy z jednego ze wzorów na energię, a mianowicie z tego, w którym jest pojemność oraz stały ładunek.
Sytuację na rysunku po lewo możemy opisać wzorem (przez W oznaczamy energię)

Gdy dołączymy szeregowo kondensator o pojemności nC energia układu przyjmie postać

I w ten sposób rozwiązaliśmy całe zadanie. :)

Zadanie 13

Treść: Elektron poruszając się prostopadle do okładek kondensatora płaskiego, po przebyciu odległości d=5mm, uzyskał szybkość v=10^5m/s. Jaka jest różnica potencjałów między okładkami kondensatora i natężenie pola elektrostatycznego wewnątrz kondensatora?

Dane: v = 10^5 m/s d = 5 mm = 0.005 m

Szukane: ΔV = U = ? E = ?

Wzory: 1. Praca w polu elektrostatycznym 2. Natężenie pola jednorodnego 3. Energia kinetyczna

Rozwiązanie:
Mamy do czynienia z elektronem, w takim razie więc możemy jeszcze uzyskać dwie wartości, które będą potrzebne nam w zadaniu - są nimi ładunek elektronu e oraz masa elektronu m. Wartości te znajdziesz w każdych tablicach fizycznych:

Szukamy różnicy potencjałów ΔV pomiędzy okładkami kondensatora, czyli inaczej mówiąc napięcia U.
Jeden ze wzorów na pracę w polu elektrostatycznym mówi, że

Wykonana praca jest równa energii kinetycznej, jaką uzyskał elektron po przebyciu odległości d

Ładunkiem q jest wartość ładunku elektronu e, a z otrzymanego wzoru wyliczamy szukane napięcie

Sprawdzamy jednostkę

Teraz liczymy natężenie pola elektrostatycznego E (w polu jednorodnym wewnątrz kondensatora natężenie pola jest w każdym punkcie takie samo) - nie jest to trudne, korzystamy ze wzoru

Tak więc:

Różnica potencjałów (napięcie) między okładkami kondensatora wynosi około 0.0285 V, a natężenie pola elektrostatycznego wewnątrz kondensatora ma wartość 5.7 V/m.

Zadanie 14

Treść: Pomiędzy okładki kondensatora próżniowego, równolegle do jego okładek, zostaje wstrzelony proton o szybkości v0=10000m/s. Oblicz przyrost energii kinetycznej protonu po przejściu przez kondensator, jeżeli odległość między okładkami wynosi d=5mm, napięcie między nimi U=1200V, a długość okładek l=0.05m.

Dane: v0 = 10000 m/s d = 5 mm = 0.005 m U = 1200 V l = 0.05 m

Szukane: ΔEK = ?

Wzory: 1. Energia kinetyczna 2. Natężenie pola jednorodnego 3. Natężenia pola elektrostatycznego 4. Ruch jednostajny prostoliniowy 5. II zasada dynamiki 6. Przyspieszenie

Rysunek:

Rozwiązanie:
Cząstką, którą wstrzeliwujemy do kondensatora, jest proton, którego masę m oraz ładunek q podajemy z tablic fizycznych

Sytuacja z zadania przedstawiona jest na powyższym rysunku.
Otóż proton wchodzi do kondensatora z prędkością v₀. Ponieważ proton ma ładunek dodatni, to wewnątrz kondensatora jest on przyciągany przez okładkę ujemną i tor ruchu zakrzywia się (sytuacja podobna do rzutu poziomego).
Gdy proton wyjdzie z kondensatora porusza się on z prędkością v, którą możemy rozłożyć na składowe:
- w kierunku poziomym proton porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością v₀,
- w kierunku pionowym proton porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z prędkością v_y.

W zadaniu mamy policzyć zmianę energii kinetycznej

Musimy zatem znaleźć prędkość v, która jest wypadkową prędkości v₀ i v_y (patrz rysunek)

Wzór na zmianę energii przybierze postać:

Jak się okazuje, naszym głównym zadaniem jest znalezienie prędkości v_y.
Prędkość ta pojawia się wskutek działania pola elektrostatycznego jednorodnego wewnątrz kondensatora, które wyrazić możemy na dwa sposoby. Pole elektrostatyczne jednorodne to stosunek napięcia U panującego pomiędzy okładkami do odległości d tych okładek

Jednocześnie pole elektrostatyczne to stosunek siły działającej wzdłuż linii sił pola na ładunek do wartości tego ładunku

Porównujemy nasze wzory; siłą F będzie siła powodująca przyciąganie protonu do okładki ujemnej

Ponieważ w kierunku pionowym mamy do czynienia z ruchem jednostajnie przyspieszonym, to siłę tę możemy wyrazić poprzez drugą zasadę dynamiki:

Przyspieszenie to stosunek prędkości do czasu

No tak, ale nie mamy jeszcze czasu t. Aby znaleźć ten czas, skorzystamy z ruchu poziomego (ruch jednostajny prostoliniowy). Po tym samym czasie t wartość drogi w tym ruchu wynosi

stąd czas t:

Czyli nasze równanie przybiera postać:

Wszystko już mamy dane, możemy w takim razie wyprowadzić wzór na v_y...

...i znaleźć wartość szukanej zmiany energii kinetycznej:

Przy tak wyrafinowanym wzorze warto sprawdzić poprawność jednostki

Przyrost energii kinetycznej wynosi około 1.105 ^. 10^-11 J.

---