POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA

Katedra Fizyki Ciała Stałego

Laboratorium z Fizyki

Ćwiczenie nr. 3

Wyznaczanie grubości cienkiej folii aluminiowej metodą

pochłaniania promieni β.

Wykonali :

Świtała Witold

Berkowicz Robert

Terlicki Jacek

Kasprzyk Adam

Częstochowa 2000

1. CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Natura fizyczna promieniowania

Masa jądra zawierającego określoną liczbę nukleonów, zależy od kombinacji liczby protonów i neutronów zawartych w jądrze. Każde jądro, w którym liczba protonów i neutronów nie odpowiadają kombinacji dających najmniejszą masę jądra podlega przemianom jądrowym w wyniku których jądro osiąga najmniejszą masę. Wyróżniany dwa rodzaje przemian β w jądrze atomu. W przemianie β^- jeden neutron w jądrze przekształca się w jądrze przekształca się proton, a z jądra wysyłany jest wówczas elektron antyneutrino elektronowe (masa spoczynkowa, ładunek , moment magnetyczny neutrino i antyneutrino jest równy zero).

Podczas przemiany β⁺ jeden z protonów wchodzących w skład jądra przekształcony zostaje w neutron, emitowany jest wówczas pozyton i neutrino elektronowe.

Rozpad protonu wchodzącego w skład jądra jest jednak możliwy gdy masa powstałego w wyniku rozpadu jądra jest mniejsza od masy jądra ulegającego rozpadowi o wielkość przewyższającego masę spoczynkową pozytonu. Przekształcenie protonu w neutron może nastąpić na drodze wychwytu elektronu z równoczesnym wysłaniem neutrina elektronowego.

p+e^--> n+v_e

Proton znajdujący się w jądrze może wychwycić jeden z elektronów orbitalnych jeśli tylko suma mas jądra początkowego i elektronu jest większa od masy jądra końcowego. Należy dodać, że trzeba brać pod uwagę nie masę spoczynkową elektronu, lecz masę elektronu w atomie. Masa ta jest mniejsza od masy spoczynkowej o wielkość równoważną energii wiązania elektronu w atomie.

Oddziaływanie promieniowania β z materią

Oddziaływanie promieniowania β z materią ma - przede wszystkim ze względu na małą masę elektronów - nieco odmienny charakter niż oddziaływanie ciężkich cząstek naładowanych. Przy zderzeniach cząstek β z elektronami i jądrami atomów absorbenta w przeciwieństwie do ciężkich cząstek silnie zmienia się ich kierunek ruchu. Cząstki β zderzając się z elektronami mogą znikać, powstają wówczas dwa kwanty promieniowania γ. Zjawisko to nosi nazwę anihilacji. Gdy grubość absorbenta jest mniejsza od zasięgu ciężkich cząstek naładowanych, to praktycznie wszystkie cząstki przez taką warstwę przechodzą. Tory cząstek są liniami łamanymi i łączna długość toru jest większa do odległości między punktem wniknięcia cząstki a punktem jej zatrzymania. Dlatego też nawet przy grubościach absorbenta mniejszej do łącznej długości toru cząstek β, ich część zostaje zatrzymana w absorbencie. Dalsze zwiększanie grubości absorbenta powoduje zatrzymanie coraz większej liczby cząstek.

Cząstki β nie są monoenergetyczne ale mają widmo ciągłe.

Liniowy współczynnik absorbcji

Okazuje się, że dla cząstek o takim widmie wykres przedstawiający zależność ln(I/I₀) od grubości absorbenta x jest linią prostą wynika stąd, że natężenie wiązki cząstek β przez absorbent można przedstawić zależnością:

I₀ - natężenie wiązki cząstek β padających na absorbent,

I - natężenie wiązki cząstek po przejściu przez absorbent,

x - grubość absorbenta,

μ - współczynnik absorbcji.

Masowy współczynnik absorbcji

Masowym współczynnikiem absorpcji nazywamy iloraz współczynnika absorpcji μ i gęstości ρ absorbenta. Jest on w przybliżeniu niezależny od absorbenta i wyraża się wzorem:

Oddziaływanie promieniowania β to jest oddziaływaniem kulomboskim z jądrami bądź z elektronami absorbenta. Oddziaływania te można podzielić na:

a). Jonizacja i wzbudzanie atomów

Proces jonizacji polega na wybijaniu przez padające cząstki podobnie jak w przypadku ciężkich cząstek naładowanych. Proces wzbudzenia zaś polega na przechodzeniu elektronów na dalsze powłoki elektronowe co wiąże się ze wzrostem energii atomu.

b). Zderzenia sprężyste z jądrami i elektronami.

Przy zderzeniach z jądrami cząstki β zmieniają kierunek swego ruchu prawie bez straty energii. Przy zderzeniach z elektronami, oprócz zmiany kierunku cząstki β mogą przekazywać znaczną część energii elektronom.

c). Zderzenia niesprężyste z jądrami.

Proces ten polega na odchylaniu toru padającej cząstki β w polu elektrycznym jądra, będące przyczyną emisji przez nie promieniowania elektromagnetycznego zwanego promieniowaniem hamowania.

Wszystkie wymienione procesy powodują usuwanie cząstek β z padającej wiązki. Udział poszczególnych procesów w absorbcji cząstek zależy od ich energii oraz od liczby masowej absorbenta. Przy małych energiach cząstek β przeważają straty energii na jonizację, przy energiach dużych straty na promieniowanie hamowania.

Gdy absorbentem jest pierwiastek lekki to przeważnie jonizacja, w pierwiastkach ciężkich procesy jonizacji i zderzenia z jądrami odgrywają prawie jednakową rolę.

Detekcja promieniowania jądrowego

Istnieje bardzo wiele metod detekcji promieniowania jądrowego, które umożliwiają określenie rodzaju cząstki, jej pędu, energii, ładunku, masy i innych wielkości.

Licznik Geigera-Mullera należy do grupy detektorów jonizujących. Zasada działania tych detektorów polega na rejestracji prądu jonowego, wytworzonego w przestrzeni detektora.

Licznik G -M ma kształt cylindrycznej rurki metalowej wewnątrz której, wzdłuż jej osi symetrii, jest umieszczony cienki drut wolframowy. Cylindryczna rurka jest napełniona odpowiednią mieszaniną gazów i zamknięta w naczyniu próżniowym. Cylindryczna rura nosi nazwę katody gdyż zawsze pracuje na niższym potencjale względem drutu który jest anodą. Przechodzące przez licznik G-M cząstki powodują wyładowania elektryczne w gazie zawartym w detektorze. Przepływające impulsy prądu między anodą i katodą, zasilaczem i oporem R wytwarzają na oporze R krótkie impulsy napięcia. Impulsy te są doprowadzane na siatkę lampy wzmaczniacza impulsów, wzmocnione i policzone przez układ zliczający.

Komory jonizujące.

Komora jonizująca składa się z dwu elektrod różnego kształtu i rozmiarów, między którymi zostałą wytworzona różnica potencjałów rzędu kilkuset wolt. Najczęściej są stosowane komory jonizacyjne w formie płaskiego kondensatora lub w formie cylindra o przewodzących ściankach na osi którego osadzony jest metalowy pręt odizolowany od ścianek. Szybka cząstka naładowana wytwarza w gazie wypełniającym komorę jony które pod wpływem pola elektrycznego dążą do elektrod, jny dodatnie do katodym ujemne do anody. W rezultacie w obwodzie utworzonym przez przestrzeń między elektrodami, baterię i przewody płynie tzw. prąd jonizacyjny o bardzo małym natężeniu. Z natężenia tego prądu można określić jonizację wytworzoną w objętości komory zawartej między elektrodami.

CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia było wyznaczenie grubości cienkiej folii aluminiowej oznaczonej jako próbka X, liczonej ze wzoru G=d/p, gdzie p=2,67 g/cm³ , natomiast d wyznaczamy z wykresu y(k)=A - Bk otrzymanego na podstawie wyników pomiarów 10 próbek o znanej grubości (parametry A i B wyznaczamy korzystając z metody najmniejszych kwadratów).

PRZEBIEG ĆWICZENIA

1. Sprawdzenie nastaw na zasilaczu oraz przeliczniku wchodzących w skład aparatury pomiarowej.

2. Pomiar liczby zliczeń licznika bez próbki

3. Pomiar liczby zliczeń licznika dla kolejnych 10 próbek o znanej grubości oraz dla próbki X której grubość mamy wyznaczyć. Wyniki pomiarów zapisać w odpowiedniej tabeli.

4. Wyznaczyć gęstość powierzchniową folii do . Dla poszczególnych krążków d=kd₀ gdzie k= 0, l, 2, 3, ..,9. W tym celu ważymy 10 przygotowanych w zestawie pomiarowym płatków folii na wadze torsyjnej. Powierzchnia płatków S jest stała i wynosi 4.0 cm². Wyniki pomiarów umieszczono w odpowiedniej tabeli.

WYNIKI POMIARÓW

Tab.l

Folia nr.	Ilość impulsów m [imp]	Ilość impulsów/s z=m/t [imp/s]
Bez folii	7224	36,12
l	7347	36,73
2	6930	34,65
3	6650	33,25
4	6395	31,97
5	6195	30,97
6	6134	30,67
7	5806	29,03
8	5642	28,21
9	5526	27,63
10	5393	26,96
X	6669	33,34

t = 200 [s]

Wyznaczenie d₀ dla poszczególnych próbek

Tab.2

N	G [mg]	M. [g]	S [cm^2]	d0=m/s [g/cm^2]
l	10,02	1,002	4	0,25
2	10	1,0	4	0,25
3	10,06	1,006	4	0,25
4	10,02	1,002	4	0,25
5	10,02	1,002	4	0,25
6	10,01	1,001	4	0,25
7	10,02	1,002	4	0,25
8	10,04	1,004	4	0,25
9	10,02	1,002	4	0,25
10	10,04	1,004	4	0,25

d₀ śr.=0.25 [g/cm²]

OPRACOWANIE WYNIKÓW

Jak wiemy pochłanianie promieniowania jądrowe w materii spełnia z dobrym przybliżeniem prawo wykładnicze:

(l)

z(x) = z(0) e^-μx

Po odpowiednich przekształceniach oraz zlogarytmowaniu otrzymujemy zależność:

(2) In z(d) = In z(0) - (μ/p)d₀k

powyższą zależność możemy przedstawić w postaci funkcji liniowej

(3) y=A-Bk

której wykresem jest linia prosta. Jej parametry możemy wyznaczyć posługując się metodą najmniej szych kwadratów. Zgodnie z tą metodą:

oznaczamy: Y = A - Bk jako prostą regresji. Jeśli podstawimy do tego równania zmierzoną wartość k_i, to otrzymujemy wartość:

y_i = A - Bk_i, która na ogół odbiega od wartości zmierzonej Y_i. Oznaczamy przez ε_i odchylenie wartości doświadczalnej Y_i od obliczonej y_i:

(4) ε_i -Y_i-y_i=Y_i-A-Bk_i

Parametry prostej, nazywane również współczynnikami regresji liniowej, należy tak dobrać, aby suma kwadratów różnic ε_i między wartościami zmierzonymi Y_i i obliczonymi y_i była jak najmniejsza, to znaczy:

(5)

χ^{2 =} ε₁ ⁺ ε₂ +...= (y₁ + Bk₁ - A)² + (y₂ + Bk₂ - A)² +... = Σ(y_i + Bk_i - A)² = min

Warunkiem koniecznym istnienia extremum tego wyrażenia jest zerowanie się pochodnych cząstkowych względem A i B, to znaczy:

(6)

(7)

δ(χ²) / δB = 2Σk_i (y_i + Bk_i - A) = 0

δ (χ²) / δA =2Σ (-l)(y_i + Bk_i - A) = 0

Po wykonaniu przekształceń układu zależności, otrzymujemy układ równań liniowych względem niewiadomych A i B, w postaci:

(8)

(9)

NA-BΣk_i =Σln z_i

AΣk_i -BΣk²_i =Σk_i In z_i

Dla ułatwienia obliczeń wygodnie jest sporządzić tabelę:

Tab.3

n	k	z	In z	k^2	klnz
l	0	36,12	3,586846729	0	0
2	1	36,73	3,60359386	1	3,603594
3	2	34,65	3,545297726	4	7,090595
4	3	33,25	3,504054767	9	10,51216
5	4	31,97	3,464797963	16	13,85919
6	5	30,97	3,433018994	25	17,16509
7	6	30,67	3,423284978	36	20,53971
8	7	29,03	3,368329778	49	23,57831
9	8	28,21	3,339676525	64	26,71741
10	9	27,63	3,318902139	81	29,87012
11	10	26,96	3,294354286	100	32,94354
	Σki = 55		Σlnzi=38,30194205	Σk^2i = 385	Σki ln zi = 184,27832

Dla próbki X

12

-

33,34

3,506757877

-

-

Po przeprowadzeniu obliczeń otrzymaliśmy wartości:

A= 3,80

B =0,065.

Równanie prostej będzie więc miało postać:

y(k) = 3,80 - 0,065k Wykres dla k = 0,1,2,...,11 przedstawiony na rys. l.

Masowy współczynnik pochłaniania dla glinu:

(μ/p)_Al = B/d_-0 [cm²/g]

(μ/p)_Al ⁼ 0,241 [cm²/g]

Wartość gęstości powierzchniowej dla próbki X:

d = k*d_0śre [g/cm²]

d =0,75 [g/cm²]

Obliczanie grubości próbki X:

G=d/p

p=2,67 g/cm³

otrzymujemy:

G =0,75/2,67 =0,280 [cm]

WNIOSKI

Po przeanalizowaniu wyników pomiarów, (wartości zestawionych w tabeli (tab.3)) oraz wielkości obliczonych na podstawie tych wyników okazało się, że nie do końca pokrywają się one z naszymi oczekiwaniami. Podczas pomiarów korzystaliśmy z wcześniej przygotowanych próbek w których liczba warstw folii (czyli k z tab.3) wynosiła od 0 do 11.

Jeżeli jako wartość k przyjmiemy ilość warstw folii w danej próbce, o średniej gęstości powierzchniowej d₀ = 0,25 [g/cm²], to ilość zliczonych impulsów z dla każdej próbki liczona dla t = 200 [s] zmniejsza się proporcjonalnie do k, a co za tym idzie zmniejsza się również wartość lnz..

Chcąc dokładnie przeanalizować wyniki korzystamy z metody najmniejszych kwadratów. Wyznaczamy parametry A i B z równań (8) i (9), i po podstawieniu ich do wzoru określającego funkcję regresji Y(d)=A-Bk, powstaje prosta określona wzorem:

(10) y(k)=3,80-0,065*k.

Na wykresie przedstawiona jest prosta (10), oraz punkty uzyskane z pomiarów. Jak wynika z samej istoty regresji liniowej z zastosowaniem metody najmniejszych kwadratów jest to najlepsza (optymalna) prosta przechodząca przez zbiór punktów doświadczalnych. Ponieważ znamy wartości z, oraz lnz dla próbki X , możemy na podstawie wykresu określić k dla którego Inz przyjmuje wartość 3,50 (patrz rys. l). W związku z tym, wyznaczenie grubości folii dla próbki X sprowadza się do obliczenia wartości d = k*d_0śre, [g/cm²] i podstawienia jej do wzoru na grubość:

G-d/p

gdzie p=2,67[g/cm³]

otrzymujemy:

G =0,75/2.67 - 0,280 [cm]

Błąd pomiaru wynika z faktu, iż dla określenia wartości k próbki X korzystaliśmy z wykresu (rys. l), przedstawiającego prostą „uśrednioną", czyli zoptymalizowaną w stosunku do wyników pomiarów. Parametry A i B czyli współczynniki regresji liniowej zostały wyznaczone zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów i w związku z tym są obarczone pewnym błędem. Błąd ten nazywany jest odchyleniem standardowym współczynników A i B. Dla prostej y(k) = 3,80 - 0.065k odchylenie standardowe współczynników regresji wynosi σ_A≈ 0,014 (wartość σ_A została zgodnie z ogólnymi zasadami zaokrąglona w górę do liczby posiadającej dwie cyfry znaczące, ponieważ pierwszą z tych cyfr jest l), σ_B≈0,28. Wynika z tego, że wartości współczynników A i B należało by zapisać:

A = 3,80 ± 0,014 ; B = 0,065 ± 0,28

Współczynnik korelacji v = -0,14. Świadczy to o bardzo słabej korelacji pomiędzy y = lnz(d) i d = k.

Odchylenie standardowe wyznaczonej wartości G obliczamy na podstawie prawa przenoszenia odchyleń standardowych zgodnie z którym:

σ_G = G (σ_B /B)

dla próbki X wynosi σ_G ≈l ,36.

Oznacza to, że grubość próbki X wynosi:

G =(0,280 ±1,36) [cm]

Tak duży błąd pomiaru nie pozwala nam przyjąć wartości G jako wiarygodnego wyniku, a jedynie jako duże przybliżenie tej wartości. Może to wynikać między innymi z faktu iż podczas dokonywania pomiarów zliczeń impulsów dla poszczególnych próbek część pomiarów została wykonana z preparatem promieniotwórczym przesuniętym w ten sposób, że nie znajdował się on centralnie pod próbka (a także pod okienkiem licznika), lecz był w stosunku do niej przesunięty. Zostało to skorygowane dopiero po kilku zliczeniach, a czas wykonania ćwiczenia nie pozwolił na powtórzenie pomiarów. Istotnym może być także fakt, że przy wyznaczaniu do poszczególnych próbek, kawałki folii które były ważone na wadze torsyjnej były jedynie odpowiednikami tych kawałków które zostały umieszczone w próbkach, nie mamy jednak pewności czy rzeczywiście wartość d_0śre ⁼ 0,25 [g/cm²], możemy przyjąć jako średnią gęstość powierzchniową dla wszystkich warstw folii poszczególnych próbek .

1

12

---