Elektromagnetyczne fale płaskie

1. Własności fal płaskich

W nieobecności ładunków elektrycznych zjawiska elektromagnetyczne zachodzące w próżni, czyli zamiany wektorów pola elektromagnetycznego H(r,t) i E(r,t) w czasie i przestrzeni, opisują równania Maxwella

(1.1a-d)

gdzie c jest prędkością światła w próżni. Kropka nad wektorami oznacza pochodną cząstkową po czasie, np.
, natomiast rotacja
wektora jest wektorem, które­go składowe określają równości [1]

. (1.2)

Liczbie 1 odpowiada składowa x, liczbie 2 - składowa y, zaś liczbie 3 - składowa z dowolnego wektora
, zatem
oraz dla wektora r położenia w przestrzeni
,
. Składowe zupełnie antysymetrycznego tensora Leviego-Civity (TL-C)
spełniają związki

. (1.3a)

Stąd wynikają następujące związki dla składowych TL-C

,
,
. (1.3b)

Tensor Leviego-Civity spełnia pożyteczne tożsamości

,
,
. (1.3c)

Równania (1.1) zawierają wyrazy typu
. Są to skalary, bo

. (1.4)

Ze względu na podobną postać par równań (1.1a,b) i (1.1c,d) dla wystarczy rozpatrywać jedno z pól, np. elektryczne E(r,t). Niech
będzie wielkością składowej α wektora natężenia pola elektrycznego w dowolnie wybranym kartezjańskim układzie współrzędnych, natomiast
- jej fazą (α = 1,2,3). Obydwie te wielkości są liczbami rzeczywistymi. Za Fedorowem [1] wprowadzimy wektor E₀ o składowych zespolonych

(
).

Uwzględniając czynnik fazowy
związany z propagacją fali w przestrzeni będziemy rozważać zespolony wektor natężenia pola elektrycznego E(r,t), który ma składowe

. (1.5)

Wektory typu (1.5) odpowiadają elektromagnetycznej fali płaskiej. W obliczeniach możemy używać wektorów zespolonych, a po ich przeprowadzeniu ograniczyć się do części rzeczy­wistych. W dalszym ciągu będziemy liczby zespolone sprzężone oznaczali przy pomocy gwiazdki, np.
.

Rozpatrzymy iloczyn skalarny dwóch wektorów A i B. Gdy mamy do czynienia z sumami po wskaźnikach nie będziemy sum pisali, a więc

.

Z równań (1b) i (1d) wynika, że dla fali płaskiej o wektorze falowym
wektory E i H są prostopadłe do wektora falowego (
,
), bo spełniają one warunki

. (1.6)

Falę płaską charakteryzuje częstość kołowa ω, częstość liniowa ν i okres T, te trzy wielkości są wzajemnie powiązane, a mianowicie

. (1.7a)

Długość fali
związana jest z okresem T i częstością liniową ν

. (1.7b)

Kierunek
wektora falowego (wektora propagacji)
określa kierunek rozchodzenia się fali płaskiej, natomiast jego długość
, czyli liczba falowa także jest związana z pozostałymi charakterystykami

. (1.7c)

Jak widać spełniony jest dobrze znany związek
. Jest on nazywany liniowym prawem dyspersji.

Rozpatrzymy warunek stałości fazy
. Zapiszemy go w postaci

. (1.8a)

Niech
będzie rzutem wektora r na kierunek
. Ustalimy t (
), wtedy równanie

(1.8b)

określa płaszczyznę
(rys. 1.1). Z upływem czasu t płaszczyzna
przesuwa się pozosta­jąc prostopadłą do kierunku
. Łatwo znaleźć prędkość jej ruchu

.

Rys. 1

Iloczyn wektorowe dwóch wektorów A i B można zapisać w postaci zależnej od TL-C

. (1.9)

Dla fal płaskich z równania (1.1a) wynika, że
. By znaleźć
wykorzystamy tożsamość wektorową (por. Dodatek)

. (1.10a)

Wtedy

Z powyższego wzoru wynika, że gęstość energii płaskiej fali elektromagnetycznej równa

. (1.11a)

wyraża się tylko przez wektor jednego z pól, np.

(1.11b)

Jak widać gęstość energii fali płaskiej znika wtedy i tylko wtedy gdy wektory obydwu pól E i H znikają.

§ 2 Polaryzacja fal płaskich

Niech
będzie rzeczywistą częścią wektora
o składowych (1.5), tzn.
. Za Fedorowem w wybranym układzie współrzędnych dla składowych wektora
wprowadzimy specjalne oznaczenia

,
,
.

Nietrudno sprawdzić, że

,
,
. (1.12a-c)

Składowe ξ, η, ζ oraz czynniki fazowe
,
,
spełniają związek

, (1.13a)

o czym można się przekonać po wykorzystaniu wzorów (12) i znanych tożsamości trygonometrycznych. Jest to równanie płaszczyzny

(1.13b)

o współczynnikach

,
,
, D=0. (1.13c)

Jak widać koniec wektora
zakreśla w przestrzeni ξ, η, ζ krzywą (1.12), która leży w płaszczyźnie (1.13a), która jak wiemy (por. wzór (1.6)) jest prostopadła do wektora
. Tę krzywą będziemy nazywali krzywą polaryzacji.

Za Fiodorowem [2] będziemy prowadzili rozważania w taki sposób, by ich wyniki nie zależały od wyboru układu współrzędnych. W tym celu wprowadzimy część rzeczywistą, E₁, i urojoną, E₂, wektora E₀ (przypomnijmy postać jego składowych

)

Oczywiście spełniony jest związek

.

Będziemy uważali
za wektor wodzący. By podkreślić tę interpretację za Fedorowem [2] wprowadzimy dla wektora
specjalne oznaczenie

. (1.14)

Podniesiemy do kwadratu wyrażenia znajdujące się po obydwu stronach równania (1.14). W wyniku otrzymamy równanie słuszne dla wszystkich wektorów wodzących i dla dowolnego momentu czasu oraz punktu przestrzeni

. (1.15)

Rozpatrzymy kwadraty iloczynów wektorowych wektorów R, E₁, E₂. Z tożsamości wektorowej (1.10a) wynika, że

,
, (1.16a,b)

(1.16c)

Obliczymy pochodną
. Zgodnie z równaniem (1.14)

(1.17)

dlatego

(1.18)

Wyeliminujemy fazę
. W tym celu pomnożymy wektorowo obydwie strony równania (1.14) przez (a) E₁ oraz (b) E₂. Następnie obydwie strony tak otrzymanych równań podniesiemy do kwadratu i dodamy. W rezultacie uzyskamy równanie

, (1.19a)

albo po uwzględnieniu równań (1.16)

. (1.19b)

Ponieważ zgodnie ze wzorem (1.14) wektor R jest sumą wektorów E₁, E₂, więc gdy nie są one równoległe jego koniec zakreśla krzywą płaską odpowiadającą krzywej polaryzacji (1.13a). Jego długość jest ograniczona, bo gęstość energii pola elektromagnetycznego (1.11b) jest skończona, czyli zgodnie ze wzorem (1.11a) skończona jest wielkość każdej ze składowych E i H. Zatem krzywa jest elipsą, okręgiem albo odcinkiem prostej. Zbadamy poszczególne przypadki.

1. Niech

(1.20)

Aby prawa strona równania (1.15) nie zależała od r i t muszą być spełnione dwa warunki

. (1.21a,b)

Jak widać, gdy spełniony jest warunek (1.20) wektory E₁, E₂ są prostopadłe, a ich długości są jednakowe. Gdy spełnione są warunki (1.21a,b) to z równania (1.19b) otrzymamy

. (1.22a)

Skierujmy osie układu współrzędnych wzdłuż E₁, E₂ wprowadzimy wektory kierunku tych osi
(j=1,2). Niech R_j będzie j-tą składową wektora R w tym układzie
, a zatem słuszna jest równość
. Po podzieleniu obydwu stron równania (1.22) przez
stwierdzamy, że składowe wektora R spełniają równanie okręgu

. (1.22b)

Dlatego gdy spełnione są warunki (1.21a,b) będziemy mówili o fali elektromagnetycznej kołowo spolaryzowanej. Warunki te stanowią niezmiennicze, tj. niezależne od wyboru układu współrzędnych, kryteria polaryzacji kołowej fal elektromagnetycznych.

II) Niech

,
, (1.23a,b)

Postępując tak jak w przypadku I, z równań (1.16), (1.19a) i (1.23a,b) otrzymujemy związek

(1.24a)

Po podzieleniu wyrażeń znajdujących się po obydwu stronach równania (1.24a) przez
otrzymamy równanie elipsy

. (1.24b)

Dlatego będziemy mówili o fali spolaryzowanej eliptycznie. Warunki (1.23a,b) stanowią niezależne od wyboru układu współrzędnych kryterium polaryzacji eliptycznej fali elektromagnetycznej.

III) Niech będzie spełniony warunek

(1.25a)

Z równania (1.25a) wynika, że

(1.25b)

Natomiast na podstawie równań (1.14), (1.18) i (1.25b) stwierdzamy, że dla fali liniowo spolaryzowanej

(1.25c)

Ponieważ wielkości
(i=1,2) są wielkościami nieujemnymi, z równań (1.19a) i (1.25c) wynika, że kwadraty tych iloczynów muszą znikać

,

czyli
. Jak widać
(j=1,2) oraz

. (1.25d).

Ponieważ równanie (1.25d) wraz z warunkiem (1.11b) ograniczającym wielkość składowych wektora E określa odcinek prostej, uzyskaliśmy niezmiennicze kryterium polaryzacji liniowej

albo
. (1.26a).

Współczynnik λ przyjmuje także wartości 0 i ∞, czemu odpowiada odpowiednio
,
.

W przypadku polaryzacji kołowej i eliptycznej należy jeszcze ustalić kierunek obiegu. Określimy go badając znak iloczynu
. Wektor
jest styczny do elipsy albo okręgu, które zatacza koniec wektora R. Obydwa te wektory leżą w tej samej płaszczyźnie, która jest prostopadła do wektora
, zatem ich iloczyn wektorowy jest prostopadły do niej, tzn. jest równoległy albo antyrównoległy do
. Wobec tego iloczyn mieszany
jest w zależności od kierunku obiegu okręgu albo elipsy dodatni albo ujemny. Dlatego dla fali spolaryzowanej eliptycznie albo kołowo iloczyn
może być dodatni albo ujemny. Ze związku (1.18) wynika kryterium określające kierunek obiegu. Umówimy się, że jeżeli obserwator widzi zbliżający się front fali, to gdy

światło jest spolaryzowane prawoskrętnie, (1.26b)

światło jest spolaryzowane lewoskrętnie. (1.26c)

Jak widać w przypadku polaryzacji kołowej i eliptycznej skrętność trójki wzajemnie prosto­padłych wektorów
,
i
pozwala ustalić czy światło jest spolaryzowane prawo- czy lewoskrętnie. Polaryzację prawoskrętną będziemy oznaczali przy pomocy litery R (od angielskiego słowa right), natomiast lewoskrętną przy pomocy litery L (od angielskiego słowa left).

W przypadku fali kołowo spolaryzowanej warunki (1.21a,b) i (1.26) można wyrazić z pomocą jednego wzoru, a mianowicie

. (1.27a)

gdzie σ = 1 gdy światło jest spolaryzowane kołowo prawoskrętnie, σ = -1 dla światła spolaryzowanego lewoskrętnie. Słuszny jest także wzór

. (1.27b)

Sprawdzimy, że wektory E₁ i E₂ (1.27a) są prostopadłe. W tym celu rozpatrzymy ich iloczyn skalarny i skorzystamy z możliwości cyklicznego przestawiania wektorów tworzących iloczyn mieszany:
. Zatem

Udowodnienie własności (1.21a) wymaga wykorzystania tożsamości wektorowej (1.10a). Dla
otrzymamy

.

§ 3 Własności amplitud wektorowych

Sformułujemy kryteria polaryzacji w taki sposób by zależały one tylko od wektorów
i E^*, których składowe określa równanie (1.5). Obliczymy iloczyn wektorowy
. Ponieważ wektor
zbudowany jest z wektorów
i

. (1.28)

Wykorzystując ten związek możemy zapisać kryterium obiegu (1.26b,c) zapisać w postaci

, R, (1.29a)

, L. (1.29b)

Gdy w nierównościach (1.29) dokonamy zamiany
na
i jednocześnie
na
to znak nierówności obydwu nierówności zmieni się na przeciwny, zatem dla polaryzacji kołowej i eliptycznej sprzęganie wektora
zmienia kierunek obiegu na przeciwny.

Ponieważ dla fali spolaryzowanej liniowo wektory
,
są równoległe więc

. (1.30)

Wykorzystując warunki (1.21) dla fali kołowo spolaryzowanej łatwo się przekonać, że w tym przypadku kwadrat wektora
znika, a więc znika także kwadrat
i

(1.31)

Pokażemy, że w przypadku polaryzacji kołowej wektor
jest proporcjonalny do wektora
, czyli

. (1.32a)

By udowodnić słuszność związku (1.32a) pomnożymy skalarnie obydwie jego strony przez
. Po prawej stronie otrzymanego w ten sposób równania mamy do czynienia z iloczynem mieszanym, w którym występuje dwa razy ten sam wektor, a zgodnie ze wzorem (1.31) wyrażenie znajdujące się po jego lewej stronie znika.

Następnie pomnożymy wektorowo obydwie strony wzoru (1.33a) przez
, w wyniku otrzymamy związek
. Wykorzystamy wzór dla podwójnego iloczynu wektorowego

. (1.10b)

Ponieważ wektor
i jest prostopadły do
i ma jednostkową długość więc ostatecznie otrzymujemy

(1.32b)

Porównując wzory (1.32a) i (1.32b) stwierdzimy, że
, zatem
, a więc dla fali spolaryzowanej kołowo spełniona jest interesująca tożsamość

. (1.32c)

Rozpatrzymy amplitudy
dwóch fal kołowo spolaryzowanych w tej samej płaszczyźnie i o jednakowym kierunku obiegu. Pokażemy, że ich iloczyny skalarny i wektorowy znikają

,
(1.33a,b)

Natomiast gdy kierunki obiegu są przeciwne to

,
(1.33c,d)

Dla przykładu rozpatrzymy wzór (1.33a) i wykorzystamy związek (1.32c) oraz tożsamość wektorową (1.10b). Mamy

.

W przypadku wzoru (1.33d) wykorzystamy tożsamość (1.10b). Biorąc
otrzymamy

.

Dodatek: Pożyteczne tożsamości

Wykorzystamy własności tensora Levi-Civity (1.3) do wyprowadzenia kilku pożytecznych tożsamości wektorowych. Na początek wyprowadzimy tożsamości (1.10). Zaczniemy

Literatura

[1] M. Suffczyński, Elektrodynamika, PWN, Warszawa, 1969.

[2] F.I. Fedorow, Optika anizotropnych sred, Izdatielstwo Akademii Nauk BSSR, Minsk, 1958, R. III.

1

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---