praca magisterska wa c 7658


Temat

Mechanika - dynamika

0x08 graphic

Przykład 1
Pręt stalowy o średnicy d = 5 mm i długości l = 2 m jest rozciągany siłą
P = 1600 N. Obliczyć naprężenia oraz wydłużenie całkowite i względne pręta. Moduł Younga dla stali wynosi E = 2,1 · 105 MPa.

R o z w i ą z a n i e.
Naprężenia normalne w poprzecznym przekroju pręta wynoszą

                  0x01 graphic


a wydłużenie całkowite (z prawa Hooke'a)

                 0x01 graphic


Przykład 2
Obliczyć wydłużenie wywołane ciężarem własnym pręta pryzmatycznego o długości l, wykonanego z materiału o ciężarze właściwym γ i module Younga E.

                          0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e .
Wytnijmy z pręta odcinek o długości dx oddalony o x od górnego końca pręta. Odcinek ten jest rozciągany siłą równą ciężarowi pręta o długości l - x, a więc Q = S(l - x)γ.

Wydłużenie odcinka dx wynosi (z prawa Hooke'a)

                 0x01 graphic


Całkowite wydłużenie pręta jest równe

                 0x01 graphic


Wydłużenie to jest równe wydłużeniu wywołanemu siłą równą ciężarowi pręta, przyłożoną w środku ciężkości pręta.

Przykład 3
Doskonale sztywna belka AC = 3l = 5 m jest zamocowana jednym końcem A na stałej podporze przegubowej i cięgnie BD. Cięgno tworzy z osią belki kąt  = 30º. Obciążenie belki stanowi pionowa siła
P =
20 kN, przyłożona w punkcie C. Obliczyć przekrój poprzeczny cięgna, jeżeli naprężenie dopuszczalne na rozciąganie wynosi
kr = 100 MPa.

0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e.
Belka jest obciążona siłą P i reakcjami RA i N. Niewiadomą reakcję N w cięgnie wyznacza się z równania momentów względem punktu A

                 0x01 graphic

Stąd
                 0x01 graphic


Naprężenia normalne w cięgnie nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych na rozciąganie

                  0x01 graphic


Zatem wartość przekroju poprzecznego cięgna wynosi

                  0x01 graphic


Przykład 4
Pręt ACE o dwóch różnych średnicach, utwierdzony w punkcie A, jest obciążony w przekrojach B i D siłami 5P = 500 kN i P = 100 kN. Przekrój poprzeczny części pręta AC = 2l = 1 m jest równy
2A = 4 · 10-3 m2, a części CE = 2l = 1 m wynosi A = 2 · 10-3 m2. Pręt jest wykonany ze stali, dla której współczynnik sprężystości wzdłużnej wynosi E = 2,1 · 105 MPa i granica plastyczności Re = 220 MPa. Obliczyć współczynnik bezpieczeństwa n odniesiony do granicy plastyczności.

0x01 graphic


R o z w i ą z  a n  i e.
Reakcja w miejscu utwierdzenia pręta jest równa

                0x01 graphic


Badając równowagę myślowo odciętych części pręta, otrzymuje się

                0x01 graphic


Biorąc pod uwagę wartości tych sił obliczono naprężenia normalne

                 0x01 graphic


Współczynnik bezpieczeństwa, z jakim pracuje pręt, oblicz się ze wzoru

                 0x01 graphic

Ścinanie

Przykład 1
Dwa płaskowniki połączone nitami o średnicy d = 20 mm rozciągane są siłą F = 100 kN. Grubość blach g = 10 mm, dopuszczalne naprężenie na ścinanie kt = 100 MPa, a na rozciąganie kr = 160 MPa. Określ liczbę i nitów potrzebnych do tego połączenia oraz sprawdź płaskownik o szerokości b = 160 mm na rozciąganie.

0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e.
Łączne pole przekroju poprzecznego wszystkich nitów wynosi

                  0x01 graphic


Pole przekroju ścinanego jednego nitu wynosi

                  0x01 graphic


Wobec tego liczba nitów potrzebna ze względu na ścinanie

                  0x01 graphic


Po wstawieniu danych otrzymamy

                  0x01 graphic


Przyjmujemy i = 4 nity.

Połączenie nitowe sprawdzamy na docisk powierzchniowy

                  0x01 graphic

gdzie kd  - dopuszczalny nacisk powierzchniowy przyjmowany jako
(2 ÷ 2,5)kr

Stąd mamy 

                  0x01 graphic


Przyjmując w naszym przypadku k= 2kr = 320 MPa

                  0x01 graphic


a więc i = 2 nity

Jest to najmniejsza liczba nitów potrzebna ze względu na docisk.
Do połączenia należy przyjąć większą z otrzymanych liczb, czyli 4.

Przykład 2
Dobrać wymiary elementu przedstawionego na rys., jeżeli siła
P =
80 kN, a naprężenia dopuszczalne wynoszą kt = 120 MPa,
k
r = 80 MPa, k= 200 MPa.

0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e.
Przekrój 1 - 1 pręta pracuje na rozciąganie

                  0x01 graphic

więc
                  0x01 graphic


Przyjmujemy średnicę d = 30 mm. Jeżeli siła P będzie zbyt duża, to element ulegnie zniszczeniu polegającemu na tym, że pręt przedstawiony na rys. b przesunie się w prawo, a przekrój 2 - 2 zostanie ścięty. Ponieważ pole powierzchni ścinanej jest równe
S2 = dh, więc naprężenia styczne wynoszą

                  0x01 graphic

skąd
                  0x01 graphic


W miejscach docisku poszczególnych elementów konstrukcji nie mogą powstawać odkształcenia trwałe; naprężenia docisku nie mogą przekraczać wartości naprężeń dopuszczalnych na docisk.
Powierzchnia S3 (rys. c) jest dociskana do ściany siłą P. Pole powierzchni wynosi

                  0x01 graphic


Naprężenia docisku

                  0x01 graphic

stąd
                  0x01 graphic


Przykład 3
Pręt stalowy o średnicy d = 60 mm  połączono spoiną z płytą. Wyznaczyć wymaganą grubość a spoiny, jeżeli dla pręta kr = 160 MPa, zaś dla spoiny kt = 120 MPa.

                                   0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e.
W połączeniach tego typu przyjmuje się, że skoro pręt może przenosić siłę rozciągającą

                  0x01 graphic


to również i spoina powinna bezpiecznie przenosić taką właśnie siłę (układ o równej wytrzymałości), zatem

                  0x01 graphic

Momenty bezwladności

Przykład 1
Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola względem osi centralnej.

0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e.
Moment bezwładności półkola względem osi z jest równy połowie momentu bezwładności całego koła

                  0x01 graphic


Stosując wzór Steinera, mamy

                  0x01 graphic


Przykład 2
Obliczyć moment bezwładności danego przekroju względem osi centralnej.

0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e.
Położenie środka ciężkości przekroju jest określone współrzędną

                    0x01 graphic


Moment bezwładności przekroju jest równy sumie momentów bezwładności względem osi zc trzech figur składowych.
Dla półkola I1 = 0,11r4, a względem osi zc (stosując wzór Steinera)

                  0x01 graphic


Dla prostokąta I2 = 2r · r3/12 i względem osi zc  

                  0x01 graphic


a dla trójkąta I3 = 2r · r3/36, zatem 

                  0x01 graphic


Ostatecznie otrzymamy

                  0x01 graphic


Przykład 3
Obliczyć odśrodkowy moment bezwładności ćwiartki koła względem układu osi yz.

0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e.
Elementarne pole wynosi

                 0x01 graphic


a współrzędna jego środka ciężkości

                  0x01 graphic


Moment odśrodkowy wynosi

                   0x01 graphic


Przykład 4
Wyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie m i długości l względem osi Ox i osi centralnej Cxc.

                        0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e.
Wycinamy myślowo w odległości y od osi Ox element długości dy.
Masa elementu o długości dy wynosi

                  0x01 graphic

Pomijając wymiary poprzeczne pręta (z = 0) otrzymujemy

                  0x01 graphic


Moment bezwładności względem osi centralnej Cxc.

                  0x01 graphic


Przykład 5
Wyznaczyć momenty bezwładności płaskiej kołowej płytki o masie m i promieniu r względem osi Ox, Oy i Oz.

                       0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e.
Moment bezwładności względem osi Oz jest biegunowym momentem bezwładności. W odległości ρ od środka tarczy wycinamy pierścień o grubości dρ, zatem

                  0x01 graphic

Masa wyciętego pierścienia wynosi

                  0x01 graphic

Stąd
                  0x01 graphic


Mamy także

                  0x01 graphic

Stąd
                  0x01 graphic


Możemy również napisać

                  0x01 graphic

Zatem
                  0x01 graphic

Zginanie

Przykład 1
Lina stalowa złożona z drucików o średnicach d = 0,8 mm jest nawijana na bęben o średnicy D = 40 cm. Obliczyć, jakie naprężenia wywołane zginaniem powstają w drutach, jeżeli moduł Younga E = 2,2 · 105 MPa.

R o z w i ą z a  n i e.
Stosując następujący wzór otrzymujemy odpowiedź

                  0x01 graphic


Przykład 2
Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.

R o z w i ą z a n i e.
Warunki równowagi sił działających na belkę są następujące

                  0x01 graphic

Stąd
                  0x01 graphic


Obliczenia są podane w tabelce i na tej podstawie sporządzono wykresy.
0x01 graphic


Przykład 3
Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.

R o z w i ą z a n i e.
Warunki równowagi sił działających na belkę są następujące

                  0x01 graphic

Stąd
                  0x01 graphic


Obliczenia są podane w tabelce i na tej podstawie sporządzono wykresy.

0x01 graphic


Przykład 4
Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.

R o z w i ą z a n i e.
Aby wyznaczyć reakcje podporowe, rozłączamy w myśli belkę w przegubie B. Otrzymujemy dwa samodzielne układy.
Warunki równowagi sił działających na belkę są następujące
dla układu pierwszego

                  0x01 graphic

dla drugiego
                  
                  0x01 graphic

Stąd
                  0x01 graphic


Obliczenia są podane w tabelce i na tej podstawie sporządzono wykresy.

0x01 graphic


0x01 graphic


Przykład 5
Belka o długości l = 2 m oparta końcami na dwóch podporach i obciążona w sposób ciągły (q = 10 kN/m) ma przekrój prostokątny o wysokości dwukrotnie większej od szerokości (h = 2b). Obliczyć konieczną szerokość i wysokość belki, jeżeli naprężenia dopuszczalne na zginanie wynoszą kg = 150 MPa.

R o z w i ą z a n i e.
Maksymalny moment gnący dla belki wynosi

                  0x01 graphic

Moment bezwładności przekroju poprzecznego 

                  0x01 graphic

tak więc wskaźnik na zginanie przekroju poprzecznego wynosi

                  0x01 graphic


Stosując wzór

                  0x01 graphic

otrzymujemy

                  0x01 graphic

Skręcanie

Przykład 1
Silnik elektryczny o mocy P = 80 kW i obrotach n = 750 obr/min napędza dwie maszyny, z których jedna pobiera 70%, a druga 30% mocy silnika. Obliczyć minimalne średnice wałów napędzających obie maszyny, jeżeli naprężenia dopuszczalne wynoszą ks = 80 MPa.

              0x01 graphic

R o z w i ą z a n i e.
Moment skręcający w wale 1 wynosi

                 0x01 graphic

a w wale 2

                 0x01 graphic


Naprężenia w wale 1 wynoszą

                 0x01 graphic

skąd
                 0x01 graphic

analogicznie

                 0x01 graphic


Przykład 2
Dla wału przedstawionego na rys. wykonać wykres momentów skręcających oraz obliczyć największe naprężenia i całkowity kąt skręcenia wału.

0x01 graphic


R o z w i ą z a n i e.
Moment reakcji ściany wynika z równania statyki 

                 0x01 graphic

stąd
                 0x01 graphic

Moment pracujący w przedziale 1 (0  x1l)

                 0x01 graphic

w przedziale 2 (lx2  l)

                 0x01 graphic

a w przedziale 3 (2lx3  l)

                 0x01 graphic


Odcinki wału odpowiadające współrzędnym oraz wykres momentów skręcających pokazano na rysunku. 

Największy moment skręcający wynosi Ms max = Ms2 = 3M, a największe naprężenie styczne

                 0x01 graphic

Całkowity kąt skręcenia jest sumą kątów skręcenia kolejnych odcinków wału
                 0x01 graphic


Znak dodatni świadczy o tym, że lewy koniec pręta obróci się w kierunku zgodnym z momentem 2M.

Przykład 3
Zaprojektować stalową sprężynę śrubową, która pod działaniem siły
P = 500 N wydłuży się o l = 6 cm. Naprężenie dopuszczalne na skręcanie dla stali sprężynowej ks = 400 MPa, G = 8,5 · 104 MPa, a stosunek średnic D/d = 10.

R o z w i ą z a n i e.
Ze wzoru

                 0x01 graphic

znajdujemy

                 0x01 graphic


Ponieważ D = 10d, więc d = 5,67 mm  5,7 mm, a D = 57 mm.

Liczbę zwojów obliczymy ze wzoru

                 0x01 graphic

stąd
                 0x01 graphic

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
praca-magisterska-wa-c-7459, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7525, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7468, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7499, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7474, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7486, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7565, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7520, Dokumenty(2)
praca magisterska wa c 7654
praca-magisterska-wa-c-8169, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7507, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7446, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7839, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-8167, Dokumenty(2)
praca-magisterska-wa-c-7894, Dokumenty(2)

więcej podobnych podstron