Temat
Mechanika - dynamika
Przykład 1
Pręt stalowy o średnicy d = 5 mm i długości l = 2 m jest rozciągany siłą
P = 1600 N. Obliczyć naprężenia oraz wydłużenie całkowite i względne pręta. Moduł Younga dla stali wynosi E = 2,1 · 105 MPa.
R o z w i ą z a n i e.
Naprężenia normalne w poprzecznym przekroju pręta wynoszą
a wydłużenie całkowite (z prawa Hooke'a)
Przykład 2
Obliczyć wydłużenie wywołane ciężarem własnym pręta pryzmatycznego o długości l, wykonanego z materiału o ciężarze właściwym γ i module Younga E.
R o z w i ą z a n i e .
Wytnijmy z pręta odcinek o długości dx oddalony o x od górnego końca pręta. Odcinek ten jest rozciągany siłą równą ciężarowi pręta o długości l - x, a więc Q = S(l - x)γ.
Wydłużenie odcinka dx wynosi (z prawa Hooke'a)
Całkowite wydłużenie pręta jest równe
Wydłużenie to jest równe wydłużeniu wywołanemu siłą równą ciężarowi pręta, przyłożoną w środku ciężkości pręta.
Przykład 3
Doskonale sztywna belka AC = 3l = 5 m jest zamocowana jednym końcem A na stałej podporze przegubowej i cięgnie BD. Cięgno tworzy z osią belki kąt = 30º. Obciążenie belki stanowi pionowa siła
P = 20 kN, przyłożona w punkcie C. Obliczyć przekrój poprzeczny cięgna, jeżeli naprężenie dopuszczalne na rozciąganie wynosi
kr = 100 MPa.
R o z w i ą z a n i e.
Belka jest obciążona siłą P i reakcjami RA i N. Niewiadomą reakcję N w cięgnie wyznacza się z równania momentów względem punktu A
Stąd
Naprężenia normalne w cięgnie nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych na rozciąganie
Zatem wartość przekroju poprzecznego cięgna wynosi
Przykład 4
Pręt ACE o dwóch różnych średnicach, utwierdzony w punkcie A, jest obciążony w przekrojach B i D siłami 5P = 500 kN i P = 100 kN. Przekrój poprzeczny części pręta AC = 2l = 1 m jest równy
2A = 4 · 10-3 m2, a części CE = 2l = 1 m wynosi A = 2 · 10-3 m2. Pręt jest wykonany ze stali, dla której współczynnik sprężystości wzdłużnej wynosi E = 2,1 · 105 MPa i granica plastyczności Re = 220 MPa. Obliczyć współczynnik bezpieczeństwa n odniesiony do granicy plastyczności.
R o z w i ą z a n i e.
Reakcja w miejscu utwierdzenia pręta jest równa
Badając równowagę myślowo odciętych części pręta, otrzymuje się
Biorąc pod uwagę wartości tych sił obliczono naprężenia normalne
Współczynnik bezpieczeństwa, z jakim pracuje pręt, oblicz się ze wzoru
Ścinanie
Przykład 1
Dwa płaskowniki połączone nitami o średnicy d = 20 mm rozciągane są siłą F = 100 kN. Grubość blach g = 10 mm, dopuszczalne naprężenie na ścinanie kt = 100 MPa, a na rozciąganie kr = 160 MPa. Określ liczbę i nitów potrzebnych do tego połączenia oraz sprawdź płaskownik o szerokości b = 160 mm na rozciąganie.
R o z w i ą z a n i e.
Łączne pole przekroju poprzecznego wszystkich nitów wynosi
Pole przekroju ścinanego jednego nitu wynosi
Wobec tego liczba nitów potrzebna ze względu na ścinanie
Po wstawieniu danych otrzymamy
Przyjmujemy i = 4 nity.
Połączenie nitowe sprawdzamy na docisk powierzchniowy
gdzie kd - dopuszczalny nacisk powierzchniowy przyjmowany jako
(2 ÷ 2,5)kr
Stąd mamy
Przyjmując w naszym przypadku kd = 2kr = 320 MPa
a więc i = 2 nity
Jest to najmniejsza liczba nitów potrzebna ze względu na docisk.
Do połączenia należy przyjąć większą z otrzymanych liczb, czyli 4.
Przykład 2
Dobrać wymiary elementu przedstawionego na rys., jeżeli siła
P = 80 kN, a naprężenia dopuszczalne wynoszą kt = 120 MPa,
kr = 80 MPa, kd = 200 MPa.
R o z w i ą z a n i e.
Przekrój 1 - 1 pręta pracuje na rozciąganie
więc
Przyjmujemy średnicę d = 30 mm. Jeżeli siła P będzie zbyt duża, to element ulegnie zniszczeniu polegającemu na tym, że pręt przedstawiony na rys. b przesunie się w prawo, a przekrój 2 - 2 zostanie ścięty. Ponieważ pole powierzchni ścinanej jest równe
S2 = dh, więc naprężenia styczne wynoszą
skąd
W miejscach docisku poszczególnych elementów konstrukcji nie mogą powstawać odkształcenia trwałe; naprężenia docisku nie mogą przekraczać wartości naprężeń dopuszczalnych na docisk.
Powierzchnia S3 (rys. c) jest dociskana do ściany siłą P. Pole powierzchni wynosi
Naprężenia docisku
stąd
Przykład 3
Pręt stalowy o średnicy d = 60 mm połączono spoiną z płytą. Wyznaczyć wymaganą grubość a spoiny, jeżeli dla pręta kr = 160 MPa, zaś dla spoiny kt = 120 MPa.
R o z w i ą z a n i e.
W połączeniach tego typu przyjmuje się, że skoro pręt może przenosić siłę rozciągającą
to również i spoina powinna bezpiecznie przenosić taką właśnie siłę (układ o równej wytrzymałości), zatem
Momenty bezwladności
Przykład 1
Wyprowadź wzór na moment bezwładności półkola względem osi centralnej.
R o z w i ą z a n i e.
Moment bezwładności półkola względem osi z jest równy połowie momentu bezwładności całego koła
Stosując wzór Steinera, mamy
Przykład 2
Obliczyć moment bezwładności danego przekroju względem osi centralnej.
R o z w i ą z a n i e.
Położenie środka ciężkości przekroju jest określone współrzędną
Moment bezwładności przekroju jest równy sumie momentów bezwładności względem osi zc trzech figur składowych.
Dla półkola I1 = 0,11r4, a względem osi zc (stosując wzór Steinera)
Dla prostokąta I2 = 2r · r3/12 i względem osi zc
a dla trójkąta I3 = 2r · r3/36, zatem
Ostatecznie otrzymamy
Przykład 3
Obliczyć odśrodkowy moment bezwładności ćwiartki koła względem układu osi yz.
R o z w i ą z a n i e.
Elementarne pole wynosi
a współrzędna jego środka ciężkości
Moment odśrodkowy wynosi
Przykład 4
Wyznacz moment bezwładności cienkiego jednorodnego pręta o masie m i długości l względem osi Ox i osi centralnej Cxc.
R o z w i ą z a n i e.
Wycinamy myślowo w odległości y od osi Ox element długości dy.
Masa elementu o długości dy wynosi
Pomijając wymiary poprzeczne pręta (z = 0) otrzymujemy
Moment bezwładności względem osi centralnej Cxc.
Przykład 5
Wyznaczyć momenty bezwładności płaskiej kołowej płytki o masie m i promieniu r względem osi Ox, Oy i Oz.
R o z w i ą z a n i e.
Moment bezwładności względem osi Oz jest biegunowym momentem bezwładności. W odległości ρ od środka tarczy wycinamy pierścień o grubości dρ, zatem
Masa wyciętego pierścienia wynosi
Stąd
Mamy także
Stąd
Możemy również napisać
Zatem
Zginanie
Przykład 1
Lina stalowa złożona z drucików o średnicach d = 0,8 mm jest nawijana na bęben o średnicy D = 40 cm. Obliczyć, jakie naprężenia wywołane zginaniem powstają w drutach, jeżeli moduł Younga E = 2,2 · 105 MPa.
R o z w i ą z a n i e.
Stosując następujący wzór otrzymujemy odpowiedź
Przykład 2
Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.
R o z w i ą z a n i e.
Warunki równowagi sił działających na belkę są następujące
Stąd
Obliczenia są podane w tabelce i na tej podstawie sporządzono wykresy.
Przykład 3
Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.
R o z w i ą z a n i e.
Warunki równowagi sił działających na belkę są następujące
Stąd
Obliczenia są podane w tabelce i na tej podstawie sporządzono wykresy.
Przykład 4
Wykonać wykresy sił tnących i momentów gnących dla belki przedstawionej na rys.
R o z w i ą z a n i e.
Aby wyznaczyć reakcje podporowe, rozłączamy w myśli belkę w przegubie B. Otrzymujemy dwa samodzielne układy.
Warunki równowagi sił działających na belkę są następujące
dla układu pierwszego
dla drugiego
Stąd
Obliczenia są podane w tabelce i na tej podstawie sporządzono wykresy.
Przykład 5
Belka o długości l = 2 m oparta końcami na dwóch podporach i obciążona w sposób ciągły (q = 10 kN/m) ma przekrój prostokątny o wysokości dwukrotnie większej od szerokości (h = 2b). Obliczyć konieczną szerokość i wysokość belki, jeżeli naprężenia dopuszczalne na zginanie wynoszą kg = 150 MPa.
R o z w i ą z a n i e.
Maksymalny moment gnący dla belki wynosi
Moment bezwładności przekroju poprzecznego
tak więc wskaźnik na zginanie przekroju poprzecznego wynosi
Stosując wzór
otrzymujemy
Skręcanie
Przykład 1
Silnik elektryczny o mocy P = 80 kW i obrotach n = 750 obr/min napędza dwie maszyny, z których jedna pobiera 70%, a druga 30% mocy silnika. Obliczyć minimalne średnice wałów napędzających obie maszyny, jeżeli naprężenia dopuszczalne wynoszą ks = 80 MPa.
R o z w i ą z a n i e.
Moment skręcający w wale 1 wynosi
a w wale 2
Naprężenia w wale 1 wynoszą
skąd
analogicznie
Przykład 2
Dla wału przedstawionego na rys. wykonać wykres momentów skręcających oraz obliczyć największe naprężenia i całkowity kąt skręcenia wału.
R o z w i ą z a n i e.
Moment reakcji ściany wynika z równania statyki
stąd
Moment pracujący w przedziale 1 (0 x1 l)
w przedziale 2 (l x2 l)
a w przedziale 3 (2l x3 l)
Odcinki wału odpowiadające współrzędnym oraz wykres momentów skręcających pokazano na rysunku.
Największy moment skręcający wynosi Ms max = Ms2 = 3M, a największe naprężenie styczne
Całkowity kąt skręcenia jest sumą kątów skręcenia kolejnych odcinków wału
Znak dodatni świadczy o tym, że lewy koniec pręta obróci się w kierunku zgodnym z momentem 2M.
Przykład 3
Zaprojektować stalową sprężynę śrubową, która pod działaniem siły
P = 500 N wydłuży się o l = 6 cm. Naprężenie dopuszczalne na skręcanie dla stali sprężynowej ks = 400 MPa, G = 8,5 · 104 MPa, a stosunek średnic D/d = 10.
R o z w i ą z a n i e.
Ze wzoru
znajdujemy
Ponieważ D = 10d, więc d = 5,67 mm 5,7 mm, a D = 57 mm.
Liczbę zwojów obliczymy ze wzoru
stąd
Szukasz gotowej pracy ?
To pewna droga do poważnych kłopotów.
Plagiat jest przestępstwem !
Nie ryzykuj ! Nie warto !
Powierz swoje sprawy profesjonalistom.