3. Dyskusja średniokwadratowego błędu aproksymacji uogólnionym szeregiem Fouriera

Dla sygnału x(t) wprowadzamy skończenie wymiarową aproksymację:

gdzie: u_i(t) - wybrany układ funkcji ortogonalnych

c_i - współczynniki rozwinięcia

Szereg ten zapewnia najlepszą aproksymację w sensie minimum błędu średniokwadratowego, jeżeli współczynniki c_i zostaną wyznaczone z wzoru na współczynniki uogólnionego szeregu Fouriera:

Więc błąd średniokwadratowy

Osiągnie minimum, jeżeli c_i=a_i . Przy założeniu, że c_i= a_i+b_i błąd aproksymacji wynosi:

Po wykonaniu przekształceń algebraicznych błąd średniokwadratowy przyjmie postać:

Można więc stwierdzić, że błąd aproksymacji osiąga minimum, gdy b_i=0 tzn. c_i=a_i wtedy błąd średniokwadratowy będzie równy:

Wynika z tego wniosek, że możemy charakteryzować sygnały przy pomocy uogólnionego szeregu Fouriera za pomocą zbioru współczynników.

---