Matura '02

I a. Warszawa -- profil ogólny

Zadanie 1.

Wyznacz wszystkie wartości parametru b, dla których równanie

ma:
a) jedno rozwiązanie,
b) dwa różne rozwiązania ujemne.

Zadanie 2.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których prosta o równaniu y = x - 3 dzieli trójkąt ABC o wierzchołkach A = (1, 1), B = (2, 3), C = (m, 1) na dwie figury o równych polach.

Zadanie 3.

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E. Wiadomo, że trójkąty ABE i CDE mają równe pola, długość boku AB jest równa 4, a przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta A. Oblicz długość boku BC.

Zadanie 4.

Miary kątów trójkąta prostokątnego o obwodzie równym 3 (
+
) kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz:
a) długości boków tego trójkąta,
b) objętość bryły, która powstanie z obrotu tego trójkąta dookoła jego przeciwprostokątnej.

Zadanie 5.

W zbiorze 15 monet 12 jest prawidłowych, a trzy mają po obu stronach orły. Losowo wybraną monetę rzucono 10 razy i otrzymano 10 razy orła. Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrano monetę z orłami po obu stronach.

Zadanie 5*.

Ze zbioru liczb { 1, 2, ..., 2n, 2n + 1 }, ( n > 0 ), losujemy jednocześnie dwie liczby. Niech A_n oznacza zdarzenie - iloczyn wylosowanych liczb będzie liczbą parzystą. Oblicz   lim _{n -->oo} P( A _n).

 

I b. Warszawa -- profil rozszerzony

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie z niewiadomą x

4 | cos x | - 3 = b cos 2x,

jeżeli wiesz, że jednym z pierwiastków jest ²/₃
.

Zadanie 2.

Wykres funkcji f określonej wzorem

przecina oś odciętych w punkcie M. Napisz równanie tej stycznej do wykresu funkcji f, która przecina oś odciętych w punkcie N takim, że ON = 2 ^. OM, gdzie punkt O jest początkiem układu współrzędnych.

Zadanie 3.

Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami trapezu, w którym AB || CD i długość boku BC jest równa 7
. Okrąg opisany na trójkącie ABD przecina prostą DC w punkcie E. Długość odcinka AE jest równa 14 a miara kąta AED jest równa 45^o. Oblicz długość boku DC.

Zadanie 4.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy długości a wpisany jest w kulę. Środek tej kuli należy do wysokości ostrosłupa i dzieli ją w stosunku
: 1 licząc od wierzchołka. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 5a.

Ze zbioru liczb {1, 2, ..., 15, 16} losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem i oznaczamy kolejno wylosowane liczby: x₁, x₂, x₃. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń:
    A -   x₁ ^. x₂ ^. x₃ jest liczbą podzielną przez 3,
    B -   x₁ + x₂ + x₃ jest liczbą podzielną przez 3.

Zadanie 5b.

Ze zbioru liczb {1, 2, ..., 15n + 1}, (n
1) losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem i oznaczamy kolejno wylosowane liczby: x₁, x₂, x₃. Niech C_n oznacza zdarzenie: x₁ ^. x₂ ^. x₃ jest liczbą podzielną przez 15. Oblicz   lim _{n -->oo} P( C _n ).

 

II. Bydgoszcz

Zadanie 1.

Dany jest okrąg o równaniu x² + y² - 8x + 12 = 0.
a) Wyznacz równania stycznych do okręgu przechodzących przez początek układu współrzędnych.
b) Oblicz pole figury ograniczonej stycznymi i łukiem okręgu wyznaczonym przez punkty styczności.

Zadanie 2.

Oblicz sumę stu najmniejszych dodatnich rozwiązań równania sin 2x = cos x.

Zadanie 3.

W schemacie 10 prób Bernoulliego prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie wynosi p.
a) Dla jakiej wartości p prawdopodobieństwo uzyskania 4 sukcesów jest największe?
b) Dla jakich wartości p najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów jest równa 4?

Zadanie 4.

Dany jest układ równań

a) Określ liczbę rozwiązań tego układu w zależności od parametru m
R.
b) Wyznacz te wartości parametru m
R, dla których para licz (x, y) spełniająca układ równań jest parą liczb niedodatnich.

Zadanie 5.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole powierzchni bocznej jest dwa razy większe od pola podstawy.
a) Oblicz stosunek promieni: kuli wpisanej i kuli opisanej na tym ostrosłupie.
b) Uzasadnij, że środek kuli opisanej na tym ostrosłupie należy do tego ostrosłupa.

 

IIIa. Lublin - profil ogólny

Zadanie 1.

W pewnym nadleśnictwie postanowiono wymienić drzewostan na obszarze 150 hektarów. W pierwszym roku zaplanowano wymianę na obszarze 3 hektarów i ustalono normę, że w każdym następnym roku będzie się dokonywać wymiany na obszarze o 1 hektar większym niż w roku poprzednim.
a) Oblicz, ile lat będzie trwać wymiana drzewostanu na zaplanowanym obszarze.
b) Oblicz, o ile należałoby zwiększyć normę wymiany, aby skrócić cały proces o 5 lat.
c) W obydwu przypadkach oblicz liczbę hektarów, na których dokonana zostanie wymiana w ostatnim roku.

Zadanie 2.

Funkcja kwadratowa f osiąga wartość najmniejszą równą - 4 dla argumentu 6, a liczba 2 jest miejscem zerowym funkcji f. Wykres funkcji liniowej g jest prostopadły do prostej o równaniu y = 2x - 8 i przechodzi przez punkt A = (-6; 8).
a) Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej oraz wzór funkcji g.
b) Oblicz współrzędne punktów wspólnych wykresów funkcji f i g.
c) Naszkicuj wykresy funkcji h(x) = | f (x) | oraz p(x) = g( |x| ). Sprawdź, wykonując odpowiednie obliczenia, czy punkt B = (4; 3) należy do wykresów funkcji h oraz p.
d) Wykorzystując wykresy funkcji h oraz p odczytaj, dla jakich argumentów x
R spełniona jest nierówność h(x)
p(x).

Zadanie 3.

W czworokącie ABCD dane są wierzchołki A = ( 7; 3 ) i C = ( -2; 2 ), punkt S = ( 3,5; 3,5 ) będący środkiem boku AD oraz wektor
= [-8; -8].
a) Wyznacz pozostałe wierzchołki czworokąta. Wykonaj rysunek czworokąta ABCD w układzie współrzędnych i wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem.
b) Oblicz długości boków czworokąta ABCD i zbadaj, czy w ten czworokąt można wpisać okrąg.
c) Oblicz odległości wierzchołków B i D od prostej zawierającej przekątną AC oraz wyznacz stosunek pól trójkątów ABC i ACD.

Zadanie 4.

W pudełku P jest 5 kul: 2 czerwone oraz po jednej kuli białej, zielonej i niebieskiej.
Pierwsza gra polega na równoczesnym wyciągnięciu dwóch kul z pudełka P. Gracz wygra, jeżeli wylosuje dwie kule czerwone.
W drugiej grze należy wyjąć z pudełka P kolejno, wszystkie kule. Gracz wygra, jeżeli wylosuje kolejno dwie kule czerwone.
Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych w obu grach. W której grze prawdopodobieństwo wygrania jest większe?

Zadanie 5.

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 18 cm i 12 cm, którego kąt między tymi bokami ma miarę równą 60^o. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa ABCS mają długości równe 12 cm. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i dzielącą jego wysokość w stosunku 1:2, licząc od wierzchołka tego ostrosłupa. Wykonaj rysunek ostrosłupa ABCS z zaznaczonym przekrojem i oblicz:
a) obwód otrzymanego przekroju,
b) objętość ostrosłupa ABCS,
c) pole powierzchni całkowitej i objętość tej z brył wyznaczonych przez przekrój, która nie jest podobna do ostrosłupa ABCS.

 

IIIb. Lublin - profil rozszerzony

Zadanie 1.

Dane są funkcje: f (x) = (2m + 3) x² + 2(m² + 3m) x + m + 4   i   g(x) = (¹/₂ m² + ¹/₄ m) x - 8m - 8   dla x
R, gdzie m jest parametrem rzeczywistym.
a) Wyznacz najmniejszą wartość parametru m, dla której spełnione są jednocześnie dwa warunki:
    - dla x = -1 funkcja f przyjmuje wartość nie mniejszą niż 5,
    - g jest funkcją rosnącą, a jej wykres przecina oś OY w punkcie o dodatniej rzędnej.
b) Dla wyznaczonej w punkcie a) wartości parametru m napisz równanie prostej równoległej do wykresu funkcji g i stycznej do wykresu funkcji f.

Zadanie 2.

Pan B. kupuje samochód na raty i dysponuje pewną kwotą pieniędzy p. Ponieważ otrzymał podwyżkę, postanowił do kwoty p dodawać: w pierwszym miesiącu 270 zł, a w każdym następnym miesiącu o 20 zł więcej niż w poprzednim. Już w pierwszym miesiącu pan B. kupił samochód i w tym miesiącu zaczął spłacać raty. Każda rata pomniejszała stan gotówki pana B. o 420 zł.
a) Oblicz, jaką najmniejszą kwotę p powinien dysponować pan B., aby nie zabrakło mu w żadnym miesiącu pieniędzy na wpłacenie raty za samochód.
b) Po ilu miesiącach pan B. będzie dysponował najmniejszą kwotą pieniędzy? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 3.

Dana jest funkcja

o dziedzinie będącej podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.
a) Wyznacz dziedzinę, miejsca zerowe, granice na krańcach przedziału określoności, asymptoty i ekstrema lokalne funkcji f.
b) Naszkicuj wykres funkcji f.
c) Rozwiąż równanie f (x) = 4. Wykorzystując szkic wykresu funkcji f sformułuj hipotezę o liczbie pierwiastków rzeczywistych równania   f (x) = m   dla m
R.

Zadanie 4.

Ustalono reguły następującej gry: z urny zawierającej 5 kul białych i 3 kule czarne gracz będzie losował bez zwracania 3 kule; za każdą wylosowaną kulę białą gracz otrzyma a złotych, zaś za każdą wylosowaną kulę czarną gracz zapłaci b złotych. Niech X oznacza zmienną losową opisującą wygraną gracza.
a) Podaj rozkład zmiennej losowej X.
b) Na podstawie wartości oczekiwanej zmiennej losowej X, określ związki między liczbami a i b, przy których gra jest:
    a. sprawiedliwa,
    b. korzystna dla gracza,
    c. niekorzystna dla gracza.

Zadanie 5.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o podstawie ABCDEF i krawędziach bocznych

AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, EE₁, FF₁,

dane są: pole trójkąta ACD₁ równe 8
i |
AD₁C | = 30^o.
a) Oblicz objętość graniastosłupa.
b) Oblicz odległość środka symetrii dolnej podstawy graniastosłupa od płaszczyzny, w której zawiera się trójkąt ACD₁.
c) Sprawdź, czy w ten graniastosłup można wpisać kulę.

 

IV. Gdańsk

Zadanie 1.

Dana jest funkcja f określona wzorem f (x) = (m + 1)² x⁴ - 4(m + 1)x³ - 6mx² + 1, gdzie x
R, m
R.
a) Wyznacz ekstrema lokalne funkcji, której wzór otrzymamy dla m = 0.
b) Wyznacz te wartości parametru m, dla których wykres funkcji jest wypukły w zbiorze liczb rzeczywistych.

Zadanie 2.

W trójkąt ABC wpisano prostokąt DEFG tak, że bok DE prostokąta zawiera się w boku AB trójkąta. Pole trójkąta ABC jest równe 384 cm², a jego wysokość CC' opuszczona na bok AB ma długość trzy razy mniejszą od długości tego boku.
a) Oblicz długość wysokości CC' i boku AB trójkąta ABC.
b) Oblicz długości boków prostokąta DEFG, wiedząc, że | EF | : | DE | = 5 : 9.
c) Oblicz cosinus kąta ostrego miedzy przekątnymi prostokąta DEFG.

Zadanie 3.

Dane są dwa ciągi rosnące - arytmetyczny ( a_n ) i geometryczny ( b_n ). Pierwsze wyrazy obu ciągów są równe 2, trzecie ich wyrazy są takie same, a jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy piątemu wyrazowi ciągu geometrycznego. Oblicz granice:

Zadanie 4.

Kontrola jakości w zakładzie produkującym odkurzacze przebiega dwuetapowo. Podczas pierwszej kontroli losowo sprawdza się piątą część wyprodukowanych odkurzaczy. Podczas drugiej kontroli losowo sprawdza się 40% odkurzaczy spośród tych, które nie podlegały pierwszej kontroli.
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany odkurzacz był badany pod względem jakości.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że spośród trzech zakupionych odkurzaczy co najwyżej jeden nie był kontrolowany.

Zadanie 5.

a) Rozwiąż nierówność

b*) Rozwiąż układ równań

 

V. Katowice

Zadanie 1.

Dana jest funkcja f (x) = x² - (m +1)x - 2m - 2, gdzie x
R.
a) Przyjmując m = 2 wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale <-1, 2
> oraz rozwiąż nierówność f (x) - f (-2) < 0.
b) Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których istnieją dwa różne pierwiastki x₁, x₂ równania f (x) = 0 spełniające warunek | x₁ - x₂ |
9.
c) Przyjmując m = -1 naszkicuj wykres funkcji g(x) = [ f (x+1) - 1 ] dla x
< -2, 1> wiedząc, że symbol [a] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od a.

Zadanie 2.

W trójkącie ABC dane są współrzędne wierzchołków A i B, gdzie A = (-1, -1) i B = (7, 1) oraz równanie symetralnej boku BC: x - 4y + 14 = 0. Wyznacz współrzędne wierzchołka C oraz wykaż, że trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Zadanie 3.

Ciąg ( a_n ) określony jest wzorem a_n = 2n² - 3n + 4. Zbadaj na podstawie definicji monotoniczność ciągu ( a_n ).
a) Trzeci i piąty wyraz ciągu ( a_n ) są odpowiednio równe szóstemu i dziewiętnastemu wyrazowi ciągu arytmetycznego ( b_n ). Ile kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego ( b_n ) należy dodać, aby otrzymana suma nie była mniejsza od 483?
b) Piąty oraz trzeci wyraz ciągu ( a_n ) są odpowiednio równe pierwszemu i drugiemu wyrazowi nieskończonego ciągu geometrycznego ( c_n ). Który wyraz ciągu ( c_n ) jest równy 13 ^. (1/3)² ?

Zadanie 4.

Przekątne dwóch ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami
i
takimi, że tg
= 4 oraz tg
= 2. Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 56.
a) Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.
b) Wyznacz cosinus kąta
między przekątnymi ścian bocznych prostopadłościanu wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz wykaż, że cos
= sin
^. sin
.

Zadanie 5.

Ze zbioru {-1, 2, 4, 6, 8, 9} losujemy kolejno bez zwracania liczby x i y. Niech A i B będą następującymi zdarzeniami:
A - suma wylosowanych liczb jest liczbą nieparzystą,
B - wylosowane liczby spełniają warunek 25 < (x - 1)² + y²
100.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń A, B oraz A
B.

 

VI. Kielce

Zadanie 1.

Dane są zbiory:
A = {x: x
R
(x - 2)³
(x - 2)² },
B = {x: x
R
- 4(x - 3)(x - 2)
0 },
C = {x: x
R
1/x + 1/x² + 1/x³ + ... < 2 gdzie lewa strona jest szeregiem geometrycznym zbieżnym }.
Wyznacz A, B, C, C \ (A
B).

Zadanie 2.

Dany jest ciąg arytmetyczny ( a_n ), w którym a₃ = 15 oraz a₁₁ = -17. Wyznacz wyraz pierwszy, różnicę ciągu i określ wzór na wyraz ogólny tego ciągu. Dla jakich n zachodzi równość

7a_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-1 ?

Oblicz sumę pierwszych pięćdziesięciu ujemnych wyrazów ciągu ( a_n ), które dzielą się przez 3 bez reszty.

Zadanie 3.

Pole trójkąta równoramiennego ABC wynosi 20. Wysokość poprowadzona z wierzchołka A zawiera się w prostej y = 3x + 1. Długości ramion AB i AC są równe, B = (7, 2). Wyznacz współrzędne punktów A i C.

Zadanie 4.

Podstawą graniastosłupa jest romb o boku długości a i kącie ostrym, którego miara wynosi 60^o. Oblicz objętość graniastosłupa wiedząc, że jest to graniastosłup prosty oraz przekątne dwóch sąsiednich ścian bocznych wychodzące z wierzchołka danego kąta tworzą kąt o mierze
, gdzie

(60^o, 180^o).
*) Obliczyć objętość graniastosłupa wiedząc, że wszystkie jego ściany są przystające do podstawy.

Zadanie 5.

W urnie U₁ są kule ponumerowane liczbami: 1, 2, 3, 4, 5, a w urnie U₂ kule ponumerowane liczbami: 9, 10, 11, 12, 13, 14. Losujemy 2 kule.
Pierwszy sposób losowania polega na tym, że pierwszą kulę losujemy z U₁, a drugą z U₂;
drugi sposób polega na losowaniu kolejno ze zwracaniem obu kul z urny U₂;
trzeci sposób - losujemy bez zwracania obie kule z urny U₁.
Opisz zbiór zdarzeń elementarnych dla każdego z tych doświadczeń i oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich kul, że iloczyn ich numerów jest liczbą nieparzystą. W którym przypadku prawdopodobieństwo to jest liczbą najmniejszą?

 

VII. Łódź

Zadanie 1.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym ( a_n ) drugi wyraz jest równy 1.
a) Wyznacz malejący ciąg arytmetyczny ( a_n ) wiedząc, że liczby a₁, a₂, -¹/₈ a₃ są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.
b) Nieskończony ciągu geometryczny ( b_n ), w którym   log₅ b₂ = a₂   i   b₁ + b₂ + b₃ =31   jest zbieżny. Oblicz sumę wszystkich jego wyrazów.
c) Zapisz wzór ogólny ciągu ( a_n ), jeśli

Zadanie 2.

W urnie I znajdują się kule oznaczone liczbami 1, 2, 3, 4, 5, natomiast w urnie II oznaczone liczbami 1, 3, 4, 5, 7.
a) Losujemy 5 razy po jednej kuli z urny I, zwracając za każdym razem wylosowaną kulę do urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz otrzymamy kulę oznaczoną liczbą podzielną przez 3.
b) Losujemy po jednej kuli z każdej urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma liczb, jakimi zostały oznaczone wylosowane kule, jest liczbą parzystą.
c) Przekładamy dwie kule z urny I do urny II, a następnie losujemy jedną kulę z urny II. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest to kula oznaczona liczbą parzystą.

Zadanie 3.

Dany jest punkt P (-1, 0) i prosta l o równaniu   x - 3y + 5 = 0.
a) Wyznacz równanie prostej l', która jest obrazem prostej l w symetrii względem punktu P. Oblicz odległość między prostymi l i l'.
b) Okrąg O, którego promień ma długość
jest styczny do prostej l i przechodzi przez punkt P. Wyznacz równanie okręgu O, wiedząc, że jego środek należy do prostej o równaniu y = -2x + 3.
c) Punkt P jest punktem przecięcia się przekątnych rombu ABCD, którego wierzchołki A i B należą do prostej l. Odcięta punktu A jest równa 1. Oblicz długość boku rombu ABCD.

Zadanie 4.

Suma długości promienia i wysokości stożka jest równa 5.
a) Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, jeśli długość jego tworzącej jest równa ⁵/₂
.
b) Wyznacz długość promienia podstawy stożka, jeśli jego objętość jest równa ⁴/₃
.
c) Podaj dziedzinę, wzór i określ monotoniczność funkcji objętości stożka w zależności od długości promienia jego podstawy.

Zadanie 5.

Funkcja f określona jest wzorem f (x) = x² + (2k - 1)x + 4.
a) Podaj zbiór wartości funkcji g określonej wzorem g(x) = 2kx - f (x) i równanie osi symetrii jej wykresu.
b) Wyznacz zbiór tych wartości parametru k, dla których pierwiastki x₁, x₂ równania f (x) = 0 spełniają warunek (x₁ + x₂)² = x₁ x₂.
c) Dla jakich wartości parametru k dwa różne pierwiastki x₁, x₂ równania f (x) = 0 spełniają warunek

x₁ - 2x₂ = 2.

Wyznacz te pierwiastki.

 

VIII. Wrocław

Zadanie 1.

Funkcja f jest określona wzorem f (x) = (k - 2)x² - (k +1)x - k.
a) Naszkicować wykres funkcji g, która przyporządkowuje każdej wartości parametru k
R liczbę miejsc zerowych funkcji f.
b) Rozwiązania x₁ i x₂ równania f (x) = 0 spełniają warunek |x₁ - x₂| < 1. Wyznaczyć k.
c) Wyznaczyć wszystkie całkowite wartości parametru k, dla których iloczyn dwóch różnych miejsc zerowych funkcji f jest liczbą całkowitą.

Zadanie 2.

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

a) Pierwszy wyraz danego ciągu, drugi wyraz danego ciągu i liczba 1, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznaczyć x, dla którego znaleziony ciąg arytmetyczny jest rosnący.
b) Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla których dany ciąg geometryczny jest ciągiem malejącym.
c) Wyznaczyć zbiór wartości funkcji S określonej wzorem

Zadanie 3.

Dany jest prostokątny trójkąt ABC (
ACB = 90^o ).
a) Punkt D leży na prostej AB tak, że spełnione są warunki: | AB | + | BD | = | AD |   i   | BD | = | BC |. Obliczyć długość odcinka CD, wiedząc, że | BC | = a i | AC | = b.
b) Obliczyć sinusy kątów ostrych w trójkącie ABC wiedząc, że długości jego boków są trzema kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego.
c) Dwusieczna kąta ABC i dwusieczna kąta do niego przyległego przecinają prostą AC odpowiednio w punktach E i F. Obliczyć długość odcinka EF wiedząc, że | AB | = c   i   | BC | = a.

Zadanie 4.

Dany jest stożek obrotowy.
a) Mając daną powierzchnię boczną P_b tego stożka oraz jego powierzchnię całkowitą P_c, wyznaczyć cosinus kąta nachylenia tworzącej danego stożka do płaszczyzny jego podstawy.
b) W dany stożek wpisano kulę. Wykazać, że stosunek objętości stożka do objętości kuli w niego wpisanej jest równy stosunkowi pola powierzchni całkowitej stożka do pola powierzchni tej kuli.
c) Dana jest długość l tworzącej stożka. Wyznaczyć wysokość stożka o możliwie największej objętości.

Zadanie 5.

W urnie znajduje się 6 kul białych i 10 kul czarnych.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul o różnych kolorach, jeśli losowanie odbywa się bez zwracania.
b) Zakładając, że losowanie odbywa się ze zwracaniem, obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul w tym samym kolorze.
c) Do urny dorzucono b kul białych, a następnie wylosowano dwie kule bez zwracania. Obliczyć b, dla którego prawdopodobieństwo wylosowania kul o różnych kolorach jest równe prawdopodobieństwu wylosowania kul o tym samym kolorze.

 

IX. Opole

Zadanie 1.

Dane są punkty: A = (-1, -2), B = (-3, 4), C = (1, 0).
a) Sprawdź, czy proste AC i BC są prostopadłe.
b) Znajdź równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.
c) Wyznacz równania stycznych do okręgu opisanego na trójkącie ABC, przechodzących przez punkt M = (0, 5).

Zadanie 2.

W ostrosłupie trójkątnym jedna z krawędzi ma długość k, każda z pozostałych krawędzi - długość 2 dm.
a) Oblicz objętość ostrosłupa dla k = 2 dm.
b) Wykaż, że dla k = 2
dm dwie ściany ostrosłupa są prostopadłe.
c) Dla jakiej wartości k pole powierzchni ostrosłupa ma wartość maksymalną?

Zadanie 3.

Wielomian dany jest wzorem W (x) = x³ - 3x² - x + 6.
a) Oblicz pierwiastki wielomianu W (x).
b) Rozwiąż nierówność W (x) > 3.
c) Wykaż, że jeżeli P (x) = W (x) + x - 1, to wielomian P (x) ma jeden pierwiastek.

Zadanie 4.

Ciąg ( a₁, a₂, a₃ ) jest arytmetyczny.
a) Wyrazy tego ciągu są długościami boków trójkąta prostokątnego, którego obwód wynosi 6 cm. Jakie wartości mają wyrazy tego ciągu?
b) Jeżeli a₂ = 3, a ciąg ( a₁+4, 3, a₃ ) jest geometryczny, to jakie wartości mają wyrazy a₁ i a₃ ?
c) Wykaż, że jeżeli dany ciąg arytmetyczny jest rosnący i jego wyrazy są długościami boków trójkąta prostokątnego, to różnica tego ciągu jest długością promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Zadanie 5.

Spośród cyfr: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 losujemy kolejno po jednej cyfrze trzy razy, nie zwracając wylosowanej cyfry po każdym losowaniu.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzyma się liczbę 451, zapisując cyfry w kolejności losowania?
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosuje się trzy cyfry, którymi można zapisać liczbę 451.
c) Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że uzyska się liczbę mniejszą od 451, zapisując cyfry w kolejności losowania?

 

X. Poznań

Zadanie 1.

Wyznacz wartości parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków równania

(m - 5)x² - 4mx + m - 2 = 0

ma wartość dodatnią.

Zadanie 2.

Dla pewnych liczb x, y wartości wyrażeń x + y; 4x - y; 3x + 4y + 1; 9x - 4y + 1 są początkowymi, kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz, ile początkowych wyrazów tego ciągu należy wziąć, aby ich suma była większa od 20100.

Zadanie 3.

Punkty przecięcia prostej o równaniu x + y - 6 = 0 z osiami układu współrzędnych stanowią końce krótszej podstawy trapezu równoramiennego o polu 28 (j²) i dłuższej podstawie długości 8
(j). Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trapezu. Wykonaj ilustrację graficzną rozwiązania.

Zadanie 4.

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość a. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa wynosi ¹/₄ (15)^1/2 a². Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Zadanie 5.

Spośród liczb 1, 2, 3,..., 151 losujemy jedną liczbę, a następnie z pozostałych drugą. Oblicz P (A
B ), gdzie A i B są następującymi zdarzeniami: A - w pierwszym losowaniu otrzymano liczbę parzystą; B - w drugim losowaniu otrzymano liczbę parzystą.

Matura '01

I. Wrocław

Zadanie 1.

Dana jest funkcja   f (x) = 2mx² - (m +1) x - 1.
a) Dla m = 2 rozwiązać nierówność   f (x) - |x - 1| < 0.
b) Wyznaczyć wartość parametru m, dla której styczna do wykresu funkcji   f w punkcie x = 1 jest równoległa do prostej   y = 8x . Napisać równanie tej stycznej.
c) Do jakich granic dążą pierwiastki równania   f (x) = 0,   gdy m

?

Zadanie 2.

Wyraz ogólny ciągu liczbowego (a_n) jest określony wzorem

a) Wykazać, że ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym.
b) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru p, dla których istnieje suma
wszystkich wyrazów ciągu (a_n). Wyznaczyć tę sumę.
c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru p, dla których ciąg (a_n) jest malejący.

Zadanie 3.

Dana jest funkcja   f (x) = cos x.
a) Wyznaczyć zbiór wartości funkcji   g (x) = 2 + sin x - f (x).
b) Rozwiązać równanie   f (
/2 - x) +
f (x) - 1 = 0.
c) Wyznaczyć wszystkie wartości t
[ -
,
], dla których równanie

ma rozwiązanie.

Zadanie 4.

Wysokość CC₁ trójkąta ABC jest równa 4 i dzieli podstawę AB na dwie części AC₁ i C₁B takie, że

AC₁ : C₁B = 1 : 8.

a) Obliczyć długość boków trójkąta ABC zakładając, że kąt przy wierzchołku C jest prosty.
b) Obliczyć tangens kąta przy wierzchołku C zakładając, że iloczyn tangensów kątów przy wierzchołkach A i B jest równy 8.
c) Obliczyć długość odcinka równoległego do wysokości CC₁, dzielącego pole trójkąta ABC na połowy.

Zadanie 5.

Dany jest czworościan foremny ABCD, którego krawędź ma długość a. Punkt K jest środkiem wysokości DD₁ tego czworościanu.
a) Wyznacz miarę kąta AKB.
b) Wyznacz stosunek długości promienia kuli wpisanej w dany czworościan do długości wysokości tego czworościanu.
c) Płaszczyzna równoległa do podstawy czworościanu i przechodząca przez punkt K dzieli go na dwie bryły. Oblicz stosunek objętości otrzymanych brył.

 

II. Warszawa (profil ogólny)

Zadanie 1.

a) Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (b_n) są dodatnie i spełniony jest warunek

2b₁ - b₂ = b₁² + b₂².

Wyznacz iloraz tego ciągu tak, aby suma jego czterech pierwszych wyrazów była największa. Oblicz tę największą sumę.
b*) Wyrazy a₁, ..., a₁₀ pewnego nieskończonego ciągu (a_n) spełniają warunki:

a₁ + a₃ + a₅ + a₇ + a₉ = 20,
a₂ + a₄ + a₆ + a₈ + a₁₀ = 15.

Wiedząc, że nieskończony ciąg (b_n) określony wzorem

jest ciągiem geometrycznym, oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (b_n).

Zadanie 2.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie

(m² - 1) x² + (1 - m²) x + m² - m - 2 = 0

ma dwa różne pierwiastki x₁, x₂ spełniające warunek   x₁ + x₂ = x₁² + x₂².

Zadanie 3.

Odległość środka podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego od jego krawędzi bocznej jest równa a. Krawędź boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze
. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa oraz tangens kąta nachylenia płaszczyzny ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.

Zadanie 4.

Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26.
Wiedząc, że |
ABC| = 120^o i promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy
, oblicz długości boków i pole tego równoległoboku.

Zadanie 5.

Ze zbioru liczb {1, 2, ..., 7} losujemy jednocześnie trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
A - suma wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3,
B - suma kwadratów wylosowanych liczb będzie podzielna przez 3.

III. Warszawa (profil mat.-fiz.)

Zadanie 1.

Na boku AB trójkąta ABC obrano punkt K tak, że |AK| = 0,125 |KB|. Na bokach BC i AC obrano odpowiednio punkty M i N tak, że prosta MN jest równoległa do prostej AB. Pole trójąta ABC jest równe 1. Wyznacz k = |BM| / |MC| tak, aby pole trapezu AKMN było największe.

Zadanie 2.

Na wykresie funkcji   f określonej wzorem   f (x) = x²,   x
R   wybrano trzy różne punkty, których odcięte są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a rzędne - kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wykaż, że odcięta co najmniej jednego z tych punktów jest liczbą niewymierną.

Zadanie 3.

Dane jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Płaszczyzna dwusieczna kąta dwuściennego między płaszczyzną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy ostrosłupa dzieli powierzchnię boczną tego ostrosłupa na dwie części o równych polach. Oblicz miarę kąta nachylenia płaszczyzny ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

Zadanie 4.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m tak, aby równanie

(2m + 1) x² - (m + 3) x + 2m + 1 = 0

miało dwa różne pierwiastki x₁, x₂ spełniające warunek   x₁² (1 + x₂) + x₂² (1 + x₁) > -2.

Zadanie 5a).

Z doświadczeniem losowym polegającym na jednoczesnym losowaniu trzech liczb ze zbioru
A = {1, 2, ..., 7} związane są dwie zmienne losowe X i Y, gdzie X jest określona jako największa a Y jest określona jako najmniejsza z wylosowanych liczb. Oblicz E(X + Y).

Zadanie 5b*).

Rozwiąż zadanie 5a) w przypadku gdy A = {1, 2, ..., n}, n
3.

IV. Opole

Zadanie 1.

Dany jest punkt A (0, -1) oraz proste 3x - y + 18 = 0 i x + y - 2 = 0, przecinające się w punkcie B.
a) Dwa boki równoległoboku zawierają się w danych prostych, a jednym z jego wierzchołków jest punkt A. Napisać równania prostych, w których zawierają się pozostałe boki tego równoległoboku.
b) Wyznaczyć współrzędne takiego punktu P należącego do osi OX, aby kąt APB był prosty.
c) Obliczyć długość promienia okręgu opisanego na trójkącie, którego wierzchołkami są punkty przecięcia danych prostych z osią OX i punkt B.

Zadanie 2.

Dane są funkcje

a) Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla których f (x)
g (x).
b) Napisać równania stycznych do wykresu funkcji g, prostopadłych do prostej o równaniu

6x + 2y + 1 = 0.

c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru a, dla których równanie   f (x) - ^a/_x-1 = 0   ma dwa różne pierwiastki.

Zadanie 3.

Dana jest funkcja f (x) = cos x.
a) Rozwiązać nierówność 2 f ² (x) + f (x) - 1 > 0, dla x
[ 0, 2
].
b) Rozwiązać równanie f ( ¹/₂
- x) +
f (x) - 1 = 0.
c) Wyznaczyć zbiór wartości funkcji g (x) = 16 f ² (x) + 16 f (x) - 1.

Zadanie 4.

Dana jest funkcja f (x) = log x.
a) Rozwiązać nierówność f (x) - f (2x - 4) < 0.
b) naszkicować wykres funkcji y = 10 ^{| f (x) |}.
c) Rozwiązać równanie f (x) + (f (x))³ + (f (x))⁵ + ... =
, którego lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

Zadanie 5.

Dany jest stożek obrotowy, w którym tworząca ma długość l.
a) Obwód podstawy danego stożka jest równy m. Wyznaczyć pole przekroju osiowego tego stożka.
b) Pole powierzchni bocznej danego stożka jest trzy razy większe od pola podstawy. Wykazać, że objętość tego stożka jest dwa razy większa od objętości kuli wpisanej w ten stożek.
c) Rozwinięcie powierzchni bocznej danego stożka jest wycinkiem kołowym o kącie środkowym ⁴/₃
. Stożek ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem ¹/₃
. Wyznaczyć pole otrzymanego przekroju.

V. Opole (dla dorosłych)

Zadanie 1.

Dana jest funkcja f (x) = x³ - 2kx² - 3kx + 6.
a) Dla k = 1 wyznaczyć wszystkie argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości dodatnie.
b) Wyznaczyć wszystkie wartość parametru k, dla których funkcja f jest rosnąca na zbiorze liczb rzeczywistych.
c) Dla k = -2 napisać równania stycznych do wykresu funkcji f, równoległych do prostej o równaniu

x - y + 1 = 0.

Zadanie 2.

Wyraz ogólny ciągu (a_n) dany jest wzorem

a) Który wyraz ciągu (a_n) równa się 1⁷⁷/₈₀?
b) Ile wyrazów danego ciągu należy do przedziału ( ⁹/₅; ¹⁹/₁₀ ) ?
c) Na podstawie definicji wykazać, że granicą ciągu (a_n) jest liczba 2.

Zadanie 3.

W układzie współrzędnych dane są punkty: A (-4, 0), B (4, 0), C (k,
).
a) Dla k = -2 napisać równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC.
b) Na prostej o równaniu x - 2y - 8 = 0 znaleźć taki punkt P, aby kąt APB był prosty.
c) Wyznaczyć taką wartość parametru k, dla której pole trójkąta ABC jest największe.

Zadanie 4.

Dane są funkcje   f (x) = log ₂ (x + 10) - log ₂ (x + 6)   i   g (x) = log ₂ (2x + 3).
a) Rozwiązać równanie f (x) - g (x) = 0.
b) Wyznaczyć wszystkie argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości mniejsze od 2.
c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru a, dla których równanie f (x) - log ₂ (a - x) = 0 ma dwa różne rozwiązania.

Zadanie 5.

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny.
a) Wysokość danego ostrosłupa ma długość H, zaś jego ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
b) Krawędź boczna o długości b oraz wysokość ostrosłupa są bokami trójkąta równoramiennego. Obliczyć pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
c) Przez wierzchołek danego ostrosłupa i środki dwóch krawędzi podstawy poprowadzono płaszczyznę. Wyznaczyć pole otrzymanego przekroju mając dane: a - długość krawędzi podstawy oraz miarę kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy równą
.

VI. Kraków (dla dorosłych)

Zadanie 1.

Dana jest funkcja f (x) = (2
- 3)x + 2 -
dla x
R. Wiedząc, że a to miejsce zerowe funkcji f i
c = f (0), dobierz tak liczbę b, aby liczby a, b, c były trzema początkowymi wyrazami malejącego ciągu geometrycznego (a_n). Wyznacz sumę czterech początkowych wyrazów ciągu (a_n).

Zadanie 2.

Wielomian W (x) jest iloczynem trójmianu kwadratowego   x ² - (m - 2)x + ¹/₄ m² - 2 i dwumianu
x - m - 4,   gdzie m
R. Dla jakich wartości m, wszystkie rzeczywiste pierwiastki wielomianu W (x) są dodatnie?

Zadanie 3.

Dana jest parabola o równaniu y = x² - x - 2. Wierzchołki A i B trójkąta ABC to punkty wspólne danej paraboli i prostej o równaniu y = -x + 2, a wierzchołek C jest obrazem punktu D = (-4, -2) w symetrii względem osi OX. Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC oraz oblicz długość promienia i długość tego okręgu.

Zadanie 4.

W urnie znajduje się 9 jednakowych krążków papierowych ponumerowanych liczbami 1,2,...,9. Na krążkach o numerach 1,2,3 jest napis "50 groszy", na krążkach o numerach 4,5,6,7 jest napis "1 złoty", na krążkach o numerach 8,9 jest napis "2 złote". Z urny będą losowane dwa krążki.
a) Oblicz prawdopodobieństwo, że za dwie monety o nominałach takich jak na wylosowanych dwóch krążkach, będzie można kupić 15 dag cukierków wiedząc, że jeden kilogram cukierków kosztuje 16 zł?
b) O ile wzrośnie prawdopodobieństwo zdarzenia określonego w punkcie a), gdy z urny zostaną usunięte wszystkie trzy krążki o napisie "50 groszy"?

Zadanie 5.

W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym ABCDS o wierzchołku S dane są: długość krawędzi podstawy |AB| = 2 i miara kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
= 60^o. Przez krawędź podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do przeciwległej ściany bocznej. Oblicz pole otrzymanego przekroju ostrosłupa.

VII. Kraków (profil ogólny)

Zadanie 1.

Suma czterech początkowych wyrazów rosnącego nieskończonego ciągu arytmetycznego (a_n) równa się 0, zaś suma kwadratów tych czterech wyrazów wynosi 80.
a) Wyznacz wzór na wyraz ogólny ciągu (a_n).
b) Oblicz, dla jakich n suma n początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest większa od sumy wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (b_n), o wyrazie ogólnym   b_n = 160 ^. ( ³/₄ ) ^{n - 1}.

Zadanie 2.

Dane są zbiory:
    A = {x: x
R   i   |x + 1| - x = 1},
    B = {x: x
R   i   (x + 2) ^. (x² - 4x + 4) > 0},
    C = {x: x
R   i   ^{6 - x} / _x
1}.
Przedstaw zbiory A, B, C za pomocą przedziałów liczbowych i wyznacz zbiór C \ (A
B).

Zadanie 3.

Odcinek AB, gdzie A = (1, -3), B = (5, 1), jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C trójkąta ABC wiedząc, że pole tego trójkąta jest równe 15.
b) Wyznacz pole koła opisanego na trójkącie ABC.

Zadanie 4.

Gracz ma do wyboru dwie gry. Pierwsza polega na równoczesnym rzucie symetryczną kostką sześcienną i dwiema monetami. Gracz wygra, gdy wyrzuci parzystą liczbę oczek i dwa orły. W drugiej grze, spośród 16 kul ponumerowanych liczbami 1,2,...,16, wśród których są tylko 4 kule białe, losuje się bez zwracania 3 kule. Gracz wygra, gdy wśród wylosowanych kul są dokładnie dwie kule białe.
a) Opisz zbiór zdarzeń elementarnych dla każdej gry.
b) Oblicz prawdopodobieństwo wygrania w grze pierwszej oraz prawdopodobieństwo wygrania w grze drugiej.
c) W której grze prawdopodobieństwo wygrania jest większa i o ile?

Zadanie 5.

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym o podstawie ABCDEF i wierzchołku S dane są: pole ściany bocznej równe 40 cm² i cos |
ASB| = ³/₅. Oblicz:
a) objętość ostrosłupa ABCDEFS;
b) pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa i wykaż, że jest ono mniejsze od 456 cm²;
c) odległość spodka wysokości ostrosłupa od ściany bocznej.

VIII. Kraków (profil mat.-fiz.)

Zadanie 1.

Wyznacz ekstrema funkcji

Zadanie 2.

Okrąg k o środku należącym do prostej o równaniu x + y - 7 = 0 przechodzi przez punkty
A = (0, 0) i B = (1, 7).
a) Napisz równanie okręgu k.
b) Cięciwa CD, której środkiem jest punkt P = ( ⁷/₂, ¹³/₂ ) dzieli koło, którego brzegiem jest okrąg k, na dwie figury geometryczne. Oblicz pole tej figury, do której nie należy środek okręgu k. Sporządź rysunek w układzie współrzędnych.

Zadanie 3.

Dane jest równanie zmiennej xz parametrem m (m
R):

(m + 1) (¹/₄) ^x - 4m (¹/₂) ^x + m + 1 = 0.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 4.

Gracz będzie rzucał raz trzema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Jeżeli na wszystkich kostkach wypadnie ta sama liczba oczek, gracz wygra kwotę w złotych, równą sumie wyrzuconych oczek. Jeżeli na każdej kostce wypadnie inna liczba oczek, gracz wygra kwotę w złotych, równą najmniejszej liczbie wyrzuconych oczek. Jeżeli tylko na dwóch kostkach wypadnie taka sama liczba oczek, to gracz przegra 3 złote. Rozstrzygnij, na podstawie wartości oczekiwanej zmiennej losowej, czy opisana gra jest sprawiedliwa.

Zadanie 5.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie ABC i wierzchołku S przecięto płaszczyzną wyznaczoną przez środki D, E krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a, zaś |
ASB| =
. Wyznacz:
a) objętość ostrosłupa EODS, gdzie O jest spodkiem wysokości ostrosłupa ABCS;
b) tangens kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Dla jakich
zadanie ma rozwiązanie?

Matura '00

I. Łódź

Zadanie 1.

W trójkącie ABC dane są wierzchołki A (-2, 0) i B (8, 0). Wierzchołek C trójkąta leży na prostej o równaniu y = x + 4.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C tak, aby trójkąt ABC był prostokątny.
b) Kąt ABC ma miarę 45^o. Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Zadanie 2.

Dane jest równanie   (m - 1) x² + 2 (m + 2) x + m = 0   z niewiadomą x.
a) Zbadaj liczbę pierwiastków równania w zależności od wartości parametru m.
b) Dla jakich wartości parametru m zachodzi nierówność   log ₂ x₁ + log ₂ x₂ < 0,   gdzie x₁, x₂ są różnymi pierwiastkami danego równania.

Zadanie 3.

Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny jest równa ²/₃. Pierwsza i druga liczba są odpowiednio równe pierwszemu i drugiemu wyrazowi pewnego nieskończonego ciągu geometrycznego. Niech S oznacza sumę wszystkich wyrazów tego ciągu geometrycznego.
a) Wiedząc, że S = 1 i S_n jest sumą n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, wyznacz te wartości n, dla których spełniona jest nierówność | S - S_n | < ¹/₈₁.
b*) Dla jakich wartości S istnieją liczby tworzące malejący ciąg arytmetyczny i spełniające warunki zadania?

Zadanie 4.

Graniastosłup czworokątny prawidłowy, którego pole powierzchni bocznej jest równe 16, wpisany został w stożek o promieniu podstawy długości ⁶/₅ tak, że jedna podstawa graniastosłupa leży w płaszczyźnie podstawy stożka, a wierzchołki drugiej podstawy graniastosłupa leżą na powierzchni bocznej stożka. Przekątna graniastosłupa ma długość 2
. Oblicz objętość stożka i kosinus kąta między przekątnymi graniastosłupa.

Zadanie 5.

W urnie są 3 kule białe, 2 kule czarne i 4 zielone. Losujemy dwie kule z urny. Jeśli wylosowane kule są tego samego koloru, to rzucamy raz kostką do gry. W przeciwnym wypadku rzucamy dwa razy kostką. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że dokładnie na jednej kostce otrzymamy 5 oczek.

 

 

II. Wrocław

Zadanie 1.

Dane są funkcje   f (x) = x² - kx - 2k²   i   g(x) = x - 4.
a) Dla k = 2 rozwiązać nierówność f (x) < g(x). Podać interpretację geometryczną tej nierówności.
b) Wyznaczyć te wartości parametru k, dla których suma odwrotności kwadratów pierwiastków równania   f (x) = 0 jest większa niż 5.
c) Dla ilu całkowitych wartości parametru k pierwiastki równania f (x) = 0 są mniejsze od 10?

Zadanie 2.

Długości boków trójkąta ABC są liczbami całkowitymi, BC = 7, AC + AB = 13.
a) Obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC zakładając, że jest on równoramienny.
b) Obliczyć długości boków AB i AC oraz miarę kąta CAB wiedząc, że iloczyn skalarny wektorów
jest równy 20.
c) Miara kąta CAB jest równa 60^o. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót trójkąta ABC dookoła najkrótszego boku.

Zadanie 3.

Dana jest funkcja f (x) = cos x.
a) Ile rozwiązań należących do przedziału [2
; 20
] ma równanie

1 + f (x)   =   f ²(x) + f ³(x) + f ⁴(x) + ... ,

którego prawa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego?
b) W przedziale [10
; 11
] rozwiązać nierówność   f (x) + f (2x) + f (3x) > 0.
c) Rozwiązać równanie sin²x + f ²(2x) = f ²(3x).

Zadanie 4.

Dany jest wielomian W (x) = (m-1) x³ + (m+1) x² + (m²-1) x + (m+1)².
a) Dla m = 0 obliczyć obwód trójkąta ograniczonego osią OX, prostą x = -1 oraz styczną do wykresu funkcji y = W (x) w punkcie o odciętej równej x₀ = 0.
b) Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez (x-1) jest równa 30. Obliczyć wartość parametru m oraz pierwiastki tego wielomianu.
c) Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja y = W (x) jest rosnąca w całej dziedzinie.

Zadanie 5.

W urnach U₁ i U₂ znajdują się kule oznaczone numerami 1, 2, 3, 4. Skład urn ilustrują diagramy:

U₁ :  

Numer

1

2

3

4

Liczba kul

4

5

5

6

U₂ :  

Numer

1

2

3

4

Liczba kul

12

6

4

2

a) Z urny U₁ wylosowano (ze zwracaniem) 5 razy po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kulę z numerem 3 wylosowano dokładnie dwa razy?
b) Z urny U₂ wylosowano kolejno bez zwracania cztery kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie wylosowane kule mają inne numery?
c) Z obu urn wylosowano po jednej kuli. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma numerów wylosowanych kul jest większa niż 3?

III. Gorzów

Zadanie 1.

Dla jakich wartości parametru m połowa najmniejszej wartości funkcji

f (x) = (m-2) x² - (2m-1) x + m + 3

jest mniejsza od sumy miejsc zerowych tej funkcji?

Zadanie 2.

W rombie ABCD wierzchołki A i C są punktami przecięcia okręgu o równaniu x² + y² - 4x - 4y + 6 = 0 z prostą o równaniu y - x = 0. Wiedząc, że pole rombu jest równe 8, oblicz współrzędne wierzchołków B i D oraz długości przekątnych tego rombu.

Zadanie 3.

Dla jakich wartości parametru

(0; 2
) rozwiązaniem układu równań

jest para liczb (x, y) taka, że

Zadanie 4.

a) Obwód trapezu równoramiennego wynosi 116 cm. Oblicz pole trapezu, jeżeli długości ramienia i podstaw tego trapezu tworzą w tej kolejności ciąg arytmetyczny rosnący, a długość odcinka łączącego środki dwóch boków nierównoległych trapezu jest równa 41 cm.
b*) Długości boków czworokąta, w który można wpisać koło i na którym można opisać koło są równe a, b, c, d. Udowodnij, że pole S tego czworokąta wyraża się wzorem

Zadanie 5.

Wyznacz i porównaj pola powierzchni brył obrotowych otrzymanych przez obrót sześciokąta foremnego o boku a dookoła następujących osi:
a) prostej przechodzącej przez środki przeciwległych boków sześciokąta,
b) prostej zawierającej dłuższą przekątną sześciokąta,
c) prostej zawierającej bok sześciokąta.

IV. Warszawa (profil ogólny)

Zadanie 1.

Wyznacz wszystkie wartości parametru a tak, aby układ równań

miał dokładnie dwa rozwiązania.

Zadanie 2.

Funkcja f jest określona wzorem   f (x) = (m² - 1) x² - 2mx + 4m + 5   dla m
R.
a) Wyznacz wszystkie wartości parametru m
R, dla których funkcja ta
jest rosnąca w przedziale (-
; 1) i malejąca w przedziale (1; +
).
b) Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f w przedziale [-2, 1], gdy m = ¹/₂.

Zadanie 3.

W rozwartokątnym trójkącie równoramiennym | AC | = | BC |,
ACB = 2
, odległość środka koła wpisanego w trójkąt od wierzchołka A jest równa d. Oblicz:
a) Pole trójkąta ABC.
b) Promień koła opisanego na trójkącie ABC.

Zadanie 4.

Ze środka ściany sześcianu o krawędzi a poprowadzono prostą prostopadłą do przekątnej sześcianu. Oblicz długości odcinków, na jakie ta prostopadła podzieliła przekątną sześcianu.

Zadanie 5a.

Ze zbioru liczb {1, 2, ..., 7} losujemy trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń polegających na tym, że:
a) suma wylosowanych trzech liczb będzie liczbą parzystą,
b) iloczyn wylosowanych trzech liczb będzie liczbą parzystą.

Zadanie 5b*.

Ze zbioru liczb {1, 2, ..., 7} losujemy n razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb będzie liczbą podzielną przez 14.

V. Warszawa (profil mat.-fiz.)

Zadanie 1.

Funkcja f jest określona wzorem   f (x) = 2x³ - 9ax² + 12a²x + 1 dla x
R. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których funkcja f ma dwa ekstrema lokalne dla takich argumentów, że jeden z nich jest kwadratem drugiego.

Zadanie 2.

Dana jest rodzina trójkątów prostokątnych ABC spełniających warunki:

|
ACB | = 90^o,   A = ( - 4, 0 ),   C = ( x, 0 )   gdzie x
[0; 4],

a wierzchołek B należy do paraboli o równaniu y = 4x - x². Wyznacz współrzędne wierzchołka B, dla którego pole trójkąta ABC jest największe.

Zadanie 3.

Dane są punkty A = ( 1, 1 ), B = ( 9, 5 ), C = ( 5, 8 ).
a) Wyznacz punkt D tak, aby czworokąt ABCD był trapezem prostokątnym, którego kąt przy wierzchołku A jest prosty.
b) Oblicz pole trapezu i kosinus kąta przy wierzchołku B.
c) Czy w ten trapez można wpisać okrąg? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 4.

Podstawą prostopadłościanu ABCDA₁B₁C₁D₁ jest kwadrat ABCD, a odcinki AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, są krawędziami bocznymi. Oblicz odległość wierzchołka B₁ od płaszczyzny ACD₁, wiedząc, że |AB| = a i |AA₁|= b.

Zadanie 5a.

Z koszyka, w którym znajduje się pięć kul białych i trzy kule czarne, losujemy trzy razy po jednej kuli, bez zwracania wylosowanej kuli do koszyka.
a) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wśród wylosowanych trzech kul będą kule o różnych kolorach.
b) Zmienna losowa X jest określona jako liczba kul białych wśród wylosowanych kul. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej X.

Zadanie 5b*.

Z koszyka opisanego w zadaniu 5a losujemy pięć razy po jednej kuli ze zwracaniem, a następnie trzy razy po jednej kuli bez zwracania. Zmienna losowa Y jest określona jako liczba kul białych wśród wylosowanych kul w opisanych ośmiu losowaniach. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej Y.

VI. Gdańsk (profil ogólny)

Zadanie 1.

Dla jakich wartości parametru m
R równanie (m-1) 4^x - 4 ^. 2^x + m + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?

Zadanie 2.

Rozwiąż nierówność   log₂² 8x - log₂² 4x + log₂² 2x   <   log₂ 64.

Zadanie 3.

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Oblicz długości boków tego trójkąta, a następnie objętość bryły powstałej z obrotu tego trójkąta wokół przeciwprostokątnej.

Zadanie 4.

W urnie znajduje się 40 losów, wśród których są tylko losy wygrywające i przegrywające. Z urny wyciągamy dwa losy. Niech A oznacza zdarzenie - wylosowano dwa losy wygrywające, zaś B zdarzenie - wylosowano jeden los wygrywający i jeden przegrywający. Oblicz ile jest losów wygrywających, jeżeli P(A) = P(B) oraz sprawdź, które z poniższych zdarzeń jest bardziej prawdopodobne:
A - wylosowano dwa losy wygrywające,
C - wylosowano dwa losy przegrywające.

Zadanie 5.

Dana jest funkcja

a) Zbadaj przebieg zmienności funkcji i naszkicuj jej wykres.
b) Korzystając z wykresu funkcji f (x) zbadaj ilość rozwiązań równania |f (x)| = x² + a² w zależności od parametru a
R.

VII. Gdańsk (profil mat.-fiz.)

Zadanie 1.

Wyznacz liczbę różnych rozwiązań równania (x³ + 5x² + 8x + 4) [(m+2) x² - 6mx + (4m-1)] = 0 w zależności od parametru m
R. Naszkicuj wykres funkcji, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę rozwiązań powyższego równania.

Zadanie 2.

Zbadaj przebieg zmienności funkcji

i naszkicuj jej wykres dla x
(-
; ln e].

Zadanie 3.

Dane są punkty A = ( 2, 1 ), B = ( - 3, 2 ), C = ( 2m-1, 1-m ). Dla jakich wartości m środek okręgu opisanego na trójkącie ABC jest położony na osi OY, a dla jakich wartości m pole tego trójkąta jest równe 3?

Zadanie 4.

Dany jest czworościan foremny, którego krawędź ma długość 4. Ze zbioru wszystkich środków krawędzi i wierzchołków tego czworościanu wybieramy losowo dwa różne środki krawędzi i jeden wierzchołek. Pole trójkąta o wierzchołkach w wybranych punktach jest wartością zmiennej losowej. Podaj rozkład tej zmiennej losowej.

Zadanie 5.

a) Znajdź wszystkie rozwiązania równania

b*) Wykaż, że jeżeli
,
,
są miarami kątów dowolnego trójkąta, to prawdziwa jest równość

VIII. Katowice (profil ogólny)

Zadanie 1.

Dany jest układ równań

x + y = m² + 2
2x + y = 2 m² - 2m - 4
Wyznacz rozwiązanie (x, y) w zależności od parametru m.
a) Dla jakich wartości parametru m spełnione są jednocześnie warunki:  x
2   i   y² < 6y ?
b) Wyznacz m tak, aby punkt P = (x, y) należał do prostej nachylonej do osi OX pod kątem 45^o i przechodzącej przez punkt o współrzędnych (5, 7).
c) Wyznacz wszystkie liczby całkowite m, dla których wyrażenie

jest liczbą całkowitą.

Zadanie 2.

Dane są funkcje   f (x) = 2 x ² + 6 x + c,   g (x) = - x ² + b x - 25,   gdzie x
R. Wyznacz współczynnik c wiedząc, że funkcja f ma jedno miejsce zerowe oraz wyznacz współczynnik b wiedząc, że dla argumentu x = 5 funkcja g przyjmuje największą wartość.
a) Dla jakich x
R:   f (-x) + 4 ^. g(x)
0 ?
b) Wyznacz współrzędne takiego punktu P leżącego na prostej y = x, aby suma kwadratów odległości tego punktu od wierzchołków parabol będących wykresami funkcji f i g była najmniejsza.

Zadanie 3.

Dany jest trójkąt ABC, w którym kąt BCA = 90^o a kąt CAB jest dwa razy mniejszy od kąta ABC. Obwód okręgu wpisanego w ten trójkąt wynosi 2
. Prosta przechodząca przez wierzchołek C danego trójkąta tworzy z krótszą przyprostokątną kąt o mierze 30^o i przecina przeciwprostokątną AB w punkcie D.
a) Oblicz pole koła opisanego na danym trójkącie oraz wyznacz stosunek długości odcinka DB do długości odcinka DA.
b) Oblicz odległość punktu D od środka okręgu wpisanego w trójkąt ABC.

Zadanie 4.

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (a_n) wynosi 124, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu równa się 125.
Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego (a_n).
a) Sprawdź czy istnieje takie n, dla którego

b) Jakie dwie liczby x, y należy wstawić między pierwszy i trzeci wyraz ciągu (a_n), aby ciąg (a₁, x, y, a₃) był ciągiem arytmetycznym?

Zadanie 5.

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi
. Ściana boczna ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60^o.
a) Oblicz objętość tego ostrosłupa oraz pole jego przekroju wyznaczonego przez wysokość i krawędź boczną ostrosłupa.
b) Oblicz odległość wierzchołka podstawy ostrosłupa od jego krawędzi bocznej.

IX. Katowice (profil mat. - fiz.)

Zadanie 1.

Dane jest równanie   (m + 1) x² + (m + 1) x + 1 = 0   o niewiadomej x
R.
a) Zbadaj liczbę pierwiastków tego równania w zależności od parametru m oraz naszkicuj wykres funkcji f (m) danej wzorem

f (m)   =

x₁ + x₂
2 x₀
- m + 3

gdy dane równanie ma dwa pierwiastki x₁ i x₂
gdy dane równanie ma jeden pierwiastek x₀
gdy dane równanie nie ma pierwiastków

b) Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m, dla których dane równanie ma dwa różne pierwiastki spełniające warunek

(x₁ + x₂)³ - (x₁³ + x₂³)   <   (x₁ + x₂)² - (x₁² + x₂²) .

c) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej m, o ile istnieją dwa różne pierwiastki równania
(m + 1) x² + (m + 1) x + 1 = 0,   to są one liczbami niewymiernymi.

Zadanie 2.

Prosta l przecina boki AC i CB trójkąta równobocznego ABC odpowiednio w punktach M i N, przy czym   | AM | = | MC | = a   oraz   0 < | CN | < a.
a) Oblicz różnice długości promieni okręgu opisanego na trójkącie MNC i wpisanego w trójkąt MNC, jeżeli prosta l tworzy z przedłużeniem boku AB kąt
= 30^o.
b) Wyznacz stosunek pola trójkąta MNC do pola czworokąta ABNM, jeżeli prosta l tworzy z przedłużeniem boku AB kąt
, gdzie

(0^o, 60^o).

Zadanie 3.

Zbadaj przebieg zmienności, naszkicuj wykres i podaj zbiór wartości funkcji

Zadanie 4.

Objętość kuli opisanej na stożku jest cztery razy większa od objętości stożka. Mając daną wysokość stożka h = 2 oblicz objętość kuli oraz pole przekroju osiowego stożka.

Zadanie 5.

W pudełku P₁ znajduje się 5 kul białych i k kul czarnych (k
2), w P₂ jest 6 kul czarnych i n kul białych (n
1). Przy losowaniu dwóch kul bez zwracania z pudełka P₁ prawdopodobieństwo wyjęcia dwóch kul białych jest większe od ²/₉. Losując dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem z pudełka P₂ prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania kuli czarnej jest większe od ⁴/₉. Wyznacz liczbę kul w każdym pudełku.

X. Kraków (profil ogólny)

Zadanie 1. (8 pkt.)

Dane są dwie funkcje:   f (x) = 2x + 1   i   g(x) = -2x² - 2x +1.
a) Wyznacz współrzędne wspólnych punktów wykresów funkcji f i g.
b) Wyznacz te wartości r, dla których wszystkie punkty wspólne wykresów funkcji f i g należą do koła (x - 1)² + (y + 1)²
r². Dla najmniejszej wyznaczonej wartości r wykonaj rysunek przedstawiający to koło oraz wykresy funkcji f i g.

Zadanie 2. (10 pkt.)

Dla m
0 i m
-2 dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) o trzech wyrazach początkowych
¹/₂ ^. (m² + 2m),   ¹/₄ ^. (m² + 2m),   ¹/₈ ^. (m² + 2m).
a) Wyznacz te wartości m, dla których suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest dodatnia.
b) Wyznacz te wartości m, dla których suma trzech pierwszych wyrazów ciągu (a_n) jest o 1 mniejsza od sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.

Zadanie 3. (10 pkt.)

Punkty A = (1,2) i C = (5,6) są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD, którego pole wynosi 32.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołków B i D.
b) Napisz równanie okręgu wpisanego w ten romb.

Zadanie 4. (10 pkt.)

Ze zbioru wszystkich wierzchołków danego n-kąta foremnego o boku długości a losujemy dwa różne wierzchołki przyjmując, że wszystkie wyniki losowania są jednakowo prawdopodobne.
a) Dla n = 6 oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
A - odcinek, którego końcami są wylosowane wierzchołki jest bokiem danego wielokąta,
B - odcinek, którego końcami są wylosowane wierzchołki ma długość 2a.
b) Dla jakich wartości n prawdopodobieństwo zdarzenia C - wylosowane wierzchołki wyznaczają bok danego n-kąta jest mniejsze niż ¹/₁₀ ?

Zadanie 5. (12 pkt.)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o podstawie ABC i wierzchołku S, krawędź boczna jest dwukrotnie dłuższa od krawędzi podstawy.
a) Wyznacz cosinus kąta
, który tworzą ściany boczne tego ostrosłupa. Wykaż, że miara kąta
jest większa niż 60^o.
b) Oblicz objętość tego ostrosłupa przyjmując, że krawędź podstawy a ma długość 6 cm.

XI. Kraków (profil mat. - fiz.)

Zadanie 1. (8 pkt.)

Dla jakich wartości parametru m zbiór rzeczywistych rozwiązań równania

m x⁴ - (m + 1) x² + 1 = 0

jest dwuelementowy?

Zadanie 2. (10 pkt.)

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n) o wyrazach niezerowych i wzorze ogólnym

Wyznacz x, dla którego suma wszystkich wyrazów o numerach nieparzystych jest o 2 mniejsza od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych.

Zadanie 3. (10 pkt.)

Dla k
R dane są współrzędne wierzchołków A = (4, 6), P
_ABS = 13, C = (k, -2k), równoległoboku ABCD. Wyznacz współrzędne wierzchołka D.
a) Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji f (k), wyrażającej pole równoległoboku ABCD w zależności od parametru k.
b) Wyznacz taką wartość parametru k, dla której funkcja f ma wartość najmniejszą. Sprawdź, czy dla wyznaczonej wartości parametru k równoległobok ABCD jest prostokątem.

Zadanie 4. (10 pkt.)

Ze zbioru wszystkich wierzchołków danego n-kąta foremnego losujemy dwa różne wierzchołki przyjmując, że wszystkie wyniki losowania są jednakowo prawdopodobne.
a) Niech A oznacza zdarzenie: "odcinek, którego końcami są wylosowane wierzchołki jest przekątną danego n-kąta". Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A. Dla jakich wartości n prawdopodobieństwo zdarzenia A jest większe od 0,9?
b) Dla n = 6 pięciokrotnie powtórzono losowanie dwóch różnych wierzchołków. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia B: "tylko raz otrzymano parę wierzchołków wyznaczających przekątną sześciokąta".

Zadanie 5. (12 pkt.)

Krawędzie boczne graniastosłupa prostego, którego podstawą jest równoległobok ABCD oznaczono: AA₁, BB₁, CC₁ oraz DD₁. Każda z tych krawędzi ma długość 8 cm. Obwód równoległoboku ABCD wynosi 36 cm. Przekątne graniastosłupa mają długości 18 cm i
cm. Oblicz pole równoległoboku ABCD.

Matura '99

I. Warszawa (profil podstawowy)

Zadanie 1.

Dane jest równanie (m - 2) x ² - (m + 1) x - m = 0.
a) Dla jakich wartości parametru m
R równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których iloczyn jest liczbą nieujemną?
b*) Dla jakich całkowitych wartości parametru m iloczyn dwóch różnych pierwiastków danego równania jest liczbą całkowitą?

Zadanie 2.

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC. Krawędź boczna ostrosłupa AS jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy i tworzy z podstawą ostrosłupa kąt prosty. Przez krawędź BC poprowadzono płaszczyznę przecinającą krawędź AS w punkcie E tak, że

| AE | : | ES | = 1 : 3.

Oblicz stosunek pól powierzchni całkowitych ostrosłupów, na które płaszczyzna sieczna podzieliła dany ostrosłup ABCS.

Zadanie 3.

W pudełku jest 6 losów wygrywających i 4 losy puste. Rzucamy trzykrotnie kostką w kształcie czworościanu foremnego, którego dwie ściany są białe i dwie czarne. Następnie losujemy z pudełka bez zwracania:
3 losy - jeśli kostka upadła trzy razy na czarną ścianę;
2 losy - jeśli kostka upadła dwa razy na czarną ścianę.
W pozostałych przypadkach bierzemy z pudełka jeden los. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu w wyniku tego doświadczenia co najmniej dwóch losów wygrywających.

Zadanie 4.

Dane są punkty: A (2; 1), B (4; -1), C (6; 2). Znajdź taki punkt P leżący na okręgu o równaniu

x² + (y - 2)² = 16,

dla którego pola trójkątów ABP i BCP są równe.

Zadanie 5.

Dana jest funkcja określona wzorem

w którym prawa strona jest sumą szeregu geometrycznego zbieżnego. Zbadaj przebieg zmienności tej funkcji i naszkicuj jej wykres.

II. Warszawa (profil mat. - fiz.)

Zadanie 1.

Dane jest funkcja f (x) = (2m - 1) x² - (5m - 2) x + 2m.
a) Dla jakich wartości parametru m
R funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe dodatnie? Wyznacz wszystkie całkowite wartości parametru m, dla których iloczyn miejsc zerowych danej funkcji jest liczbą całkowitą.
b*) Dla jakich wartości parametru m
R równanie (2m - 1) 4 ^{| x |} - (5m - 2) 2 ^{| x |} + 2m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?

Zadanie 2.

Ostrosłup czworokątny prawidłowy o krawędzi podstawy długości a i wysokości
przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki dwóch krawędzi bocznych ostrosłupa wychodzących z przeciwległych wierzchołków podstawy i wierzchołek podstawy nie leżący na żadnej z tych krawędzi. Jedna z płaszczyzn symetrii tego ostrosłupa dzieli otrzymany przekrój na dwa trójkąty o różnych polach. Oblicz obwód tego trójkąta, który ma większe pole.

Zadanie 3.

W pudełku jest 6 losów wygrywających i 4 losy puste. Rzucamy trzykrotnie kostką w kształcie czworościanu foremnego, którego dwie ściany są białe i dwie czarne. Następnie losujemy z pudełka bez zwracania:
3 losy - jeśli kostka upadła trzy razy na czarną ścianę;
2 losy - jeśli kostka upadła dwa razy na czarną ścianę.
W pozostałych przypadkach bierzemy z pudełka jeden los. Zmienna losowa jest liczbą wylosowanych losów wygrywających. Podaj rozkład i oblicz wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej.

Zadanie 4.

Dany jest trójkąt ABC o wierzchołkach: A (2; 5), B (-1; -4), C (-5; 4). Wyznacz zbiór wszystkich punktów P należących do wnętrza koła opisanego na trójkącie ABC, dla których pola trójkątów ABP i BCP są równe. Podaj ilustracją graficzną zadania w prostokątnym układzie współrzędnych.

Zadanie 5.

Zbadaj przebieg zmienności funkcji
i naszkicuj jej wykres.

III. Wrocław

Zadanie 1.

Sondaż przeprowadzony w pewnym mieście na temat budowy obwodnicy dał następujące wyniki: 60% badanych wypowiedziało się przeciw tej budowie, a wśród nich 70% handlowców. Natomiast pomiędzy zwolennikami tego przedsięwzięcia 20% to handlowcy.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest handlowcem i zwolennikiem obwodnicy.
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana w tym mieście osoba jest handlowcem.
c) Losowo wybrana osoba stwierdziła, że jest handlowcem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że popiera ona budowę obwodnicy.

Zadanie 2.

Dane są liczby:

 

a) Która z podanych liczb jest rozwiązaniem równania

log₂² x + 1,9 log₂ x = 0,2 ?

b) Uzasadnić, które z podanych liczb są większe od 1, które mniejsze od 1, a które równe 1.
c) Rozwiązać nierówność (x-a₁) (x-a₂) (x-a₃) (x-a₆)
0.

Zadanie 3.

Suma n początkowych wyrazów ciągu liczbowego (a_n) określona jest wzorem

S_n = 2n² - 14n   ( n
N⁺ ).

a) Obliczyć trzydziesty pierwszy wyraz ciągu (a_n).
b) Na podstawie definicji, wykazać, że (a_n) jest ciągiem arytmetycznym.
c) Wyznaczyć trzy kolejne wyrazy tego ciągu, spełniające warunek: kwadrat środkowego wyrazu jest o 48 mniejszy od różnicy kwadratów wyrazów z nim sąsiadujących.

Zadanie 4.

Dany jest równoboczny trójkąt ABC, w którym bok ma długość a. Na odcinkach AB, BC i AC obrano odpowiednio punkty C₁, A₁, B₁ tak, że

AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = 1 : 2

a) Obliczyć tangens kąta ACC₁.
b) Obliczyć stosunek promieni okręgów: wpisanego i opisanego na trójkącie C₁BC.
c) Punkty przecięcia odcinków AA₁, BB₁ i CC₁ są wierzchołkami trójkąta PQR. Wykazać, że pole trójkąta PQR jest siedem razy mniejsze od pola trójkąta ABC.

Zadanie 5.

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a.
a) Wiedząc, że przekątna ściany bocznej tworzy z drugą ścianą boczną kąt o mierze
, obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
b) Płaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy graniastosłupa podzieliła go na dwie bryły, których stosunek objętości równa się 1/3. Obliczyć miarę kąta nachylenia tej płaszczyzny do płaszczyzny podstawy, jeśli wiadomo ponadto, że wysokość graniastosłupa jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy.
c) Obliczyć pole powierzchni kuli opisanej na tym graniastosłupie, wiedząc, że jego pole powierzchni bocznej jest 4 razy większe od pola powierzchni podstawy.

 

 

IV. Szczecin

Zadanie 1.

a) Rozwiąż nierówność

b*) Udowodnij, że jeżeli liczby a i b należą do przedziału (0;1) to

Zadanie 2.

W okrąg wpisano trapez, którego podstawą jest średnica. Stosunek sumy długości podstaw trapezu do jego obwodu równy jest 2/3. Oblicz cosinus kąta ostrego trapezu.

Zadanie 3.

Wykaż, że styczne do wykresu funkcji

poprowadzone w punktach, których rzędna jest równa 1, przecinają się w początku układu współrzędnych pod kątem prostym.

Zadanie 4.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a, wysokość - długość H. Jaką maksymalną objętość może mieć walec wpisany w ten ostrosłup, jeżeli oś symetrii walca jest osią symetrii ostrosłupa?

Zadanie 5.

Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy trzy razy ze zwracaniem po jednym elemencie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg w kolejności losowania.
Zdarzenie A oznacza: "wylosowane liczby utworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1/2 lub 3".
Zdarzenie B oznacza: "wylosowane liczby tworzą ciąg arytmetyczny rosnący, którego różnica jest liczbą dodatnią parzystą".
Zdarzenie C oznacza: "za pierwszym razem wylosowano liczbę parzystą".
Oblicz P(A) i P(B/C).

V. Lublin (profil podstawowy)

Zadanie 1.

Wyznacz zbiory A, B, A
B, gdzie:

Zadanie 2.

a) Wyznacz największą liczbę naturalną p, dla której ciąg (a_n) dany wzorem
jest malejący.
b) Dla wyznaczonego p rozwiąż równanie

Zadanie 3.

Punkty A i C należą do okręgu o₁ o środku S i promieniu długości r, przy czym
. Z punktu C zakreślono okrąg o promieniu 3/2
r przecinający okrąg o₁ w punktach B₁ i B₂.
a) Oblicz długości odcinków AB₁ i AB₂.
b) Oblicz pola trójkątów AB₁C i AB₂C oraz wyznacz stosunek tych pól.

Zadanie 4.

Dana jest funkcja

a) Wyznacz wartości parametrów a i b wiedząc, że f(0)=1/4 oraz f '(4)=-1/6
b) Dla wyznaczonych wartości a i b podaj wzór funkcji f(x) i określ jej dziedzinę.
c) wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji f(x) w punktach przecięcia wykresu tej funkcji z osią OX.
d) Wyznacz równania asymptot poziomych i pionowych wykresu funkcji f(x) (o ile istnieją).

Zadanie 5.

Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości a. Ze zbioru wszystkich środków krawędzi i wierzchołków tego czworościanu wybieramy losowo dwa różne środki krawędzi i jeden wierzchołek.
a) Opisz zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia i podaj liczbę jego elementów.
b) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, że trzy tak losowo wybrane punkty wyznaczą trójkąt o najmniejszym polu.

VI. Lublin (profil mat.-fiz.)

Zadanie 1.

Dla ciągu geometrycznego (a_n) zachodzą równości

a₁ + a₂ + a₃ + ... = a₁² + a₂² + a₃² + ... = 2.

Dla jakich k prawdziwa jest nierówność

Zadanie 2.

Dany jest romb ABCD, w którym kąt rozwarty przy wierzchołku B mam miarę 2
. Przekątna AC dzieli ten romb na dwa trójkąty. Punkty przecięcia środkowych tych trójkątów oznaczamy S₁ i S₂.
a) Wykaż, że w czworokąt AS₁CS₂ można wpisać okrąg.
b) Niech P₁ oznacza pole koła wpisanego w romb ABCD,
zaś P₂ pole koła wpisanego w czworokąt AS₁CS₂.
Wykaż, że stosunek P₁ / P₂ = 1 + 8 sin²
.

Zadanie 3.

Dana jest parabola o równaniu y² = 4x. Prosta l jest styczna do paraboli p w punkcie A=(1,2) i przecina osie układu współrzędnych w punktach R i S.
a) Wyznacz równanie prostej l.
b) Parabolę p przekształcono przez jednokładność o środku O=(0,0) i skali k, otrzymując parabolę p'. Podaj liczbę punktów wspólnych paraboli p' i prostej l w zależności od wartości skali k.
c) Wyznacz skalę k jednokładności tak, by środek M odcinka RS należał do paraboli p'. Zrób odpowiedni rysunek.

Zadanie 4.

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Ze zbioru D wszystkich kątów dwuściennych między płaszczyznami zawierającymi ściany boczne i podstawę danego ostrosłupa wybieramy losowo jeden i oznaczamy jego miarę literą
.
a) Podaj rozkład zmiennej losowej X przyjmującej wartości równe cos
. Oblicz wartość oczekiwaną EX zmiennej losowej X.
b) Który z kątów zbioru D ma miarę najmniejszą, który największą? Odpowiedź uzasadnij bez korzystania z tablic i kalkulatora.

Zadanie 5.

a) Niech A oznacza zbiór tych wartości parametru m, dla których równanie

- ( m⁴ + 1) 9^x + 4 (m³ - m² + 3) 3^x + 4m - 14 = 0

ma dokładnie dwa rozwiązania: jedno dodatnie i jedno ujemne. Wykaż, że zbiór A = (1; 3).
b) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów x, dla których wartości funkcji

należą do zbioru A.

VII. Gdańsk (profil ogólny)

Zadanie 1.

Dane są zbiory A = {x
R: x³ + 2x² - 4x - 8
0 },
B = {x
[0; 2
]: sin 2x
sin x }, C = {x
R: log (9 - x²)
0 }.
Wyznacz zbiór A
B
C.

Zadanie 2.

Pan "A" zapalony turysta, wyruszył w podróż krajoznawczą, pokonując każdego dnia 40 kilometrów. Po sześciu dniach wyruszył z tego samego miejsca, tą samą trasą jego przyjaciel "B", pokonując pierwszego dnia 82 kilometry, a każdego następnego dnia o 4 kilometry mniej niż dnia poprzedniego. W którym dniu podróży pana "A" i w jakiej odległości od miejsca wyjazdu, pan "B" dogoni przyjaciela? Rozwiąż zadanie układając odpowiedni układ równań lub odpowiednie równanie.

Zadanie 3.

Dana jest funkcja f (x) = x³ - 6
x² + 24x. Zbadaj przebieg zmienności funkcji f i naszkicuj jej wykres.

Zadanie 4.

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AB|=|AC| dane są wierzchołki B=(1,-1) i C=(4,0). Jedno z ramion trójkąta zawiera się w prostej o równaniu x + 2y - 4 = 0. Na boku AB tego trójkąta obrano punkt P taki, że |AP|:|PB| = 3:2. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie P stycznego do boku AC.

Zadanie 5.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o krawędzi podstawy długości a, krawędź boczna jest równa ka, gdzie k
R⁺.
a) Dla jakiej wartości k krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60^o? Dla wyznaczonej wartości k oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa.
b*) Dla jakich wartości k ściany boczne ostrosłupa są nachylone względem siebie pod kątem ostrym, a dla jakich k pod kątem rozwartym? Czy istnieje takie k, dla którego ściany boczne ostrosłupa są nachylone względem siebie pod kątem 59^o? Odpowiedź uzasadnij.

VIII. Gdańsk (profil mat.-fiz.)

Zadanie 1.

Z pełnego zbiornika zawierającego 729 litrów czystego kwasu odlano a litrów i dopełniono zbiornik wodą. Po dokładnym wymieszaniu ponownie odlano ze zbiornika a litrów roztworu, a zbiornik dopełniono wodą. Po 6-krotnym powtórzeniu tej czynności roztwór w zbiorniku zawierał 64 litry czystego kwasu. Oblicz a.

Zadanie 2.

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AB|=|AC| dane są wierzchołki B=(1,-1) i C=(4,0). Jedno z ramion trójkąta zawiera się w prostej o równaniu x + 2y - 4 = 0. Na boku AB tego trójkąta obrano punkt P taki, że |AP|:|PB| = 3:2. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie P stycznego do boku AC.

Zadanie 3.

Dane są zbiory

A = {x
R: 2x³ - 8x² - x - 45
0 },
B = {x
R: 2^x - 4
2^-x > 3 },
C = {x
[0; 2
]: sin x + |cos x|
0 },

Wyznacz zbiór A
B
C.

Zadanie 4.

Sześcian podzielono płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy na dwie bryły, z których jedna ma pięć, a druga sześć ścian. Pole powierzchni całkowitej bryły, która ma pięć ścian, jest równe połowie pola powierzchni całkowitej sześcianu. Znajdź tangens kąta nachylenia płaszczyzny przecinającej do płaszczyzny podstawy w jednym z możliwych przypadków.

Zadanie 5.

Dana jest funkcja f (x) = ln³ x - ln x³.
a) Określ przedziały monotoniczności funkcji f oraz przedział, w którym funkcja f jest wypukła. Czy wykres funkcji f ma asymptoty? Jeśli tak, to napisz ich równania.
b*) Korzystając z interpretacji geometrycznej całki oznaczonej wykaż, że

IX. Łódź

Zadanie 1.

Dane jest równanie paraboli y = m x² + 2(m-1) x + m².
a) Dla jakich wartości parametru m wierzchołek paraboli ma rzędną zawartą w przedziale (1, 5)?
b) Dla wartości m=1 napisz równania stycznych do tej paraboli przechodzących przez punkt (0; 3/4).

Zadanie 2.

Na okręgu o równaniu x² + y² = 8 opisano romb. Dłuższa przekątna rombu zawarta jest w prostej o równaniu y = x.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołków rombu jeśli jego pole jest równe 33 i 1/3.
b) Wyznacz pole rombu jako funkcję długości jednej przekątnej rombu i podaj dziedzinę tej funkcji.

Zadanie 3.

Wielomian W(x) = x³ + a x² + b x + c ma trzy pierwiastki, które są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie równym 2. Styczne do wykresu tego wielomianu w punktach o odciętych 1 i 2 mają współczynniki kierunkowe równe odpowiednio 3 i -2. Wyznacz współczynniki i pierwiastki wielomianu.

Zadanie 4.

Dany jest trójkąt o bokach długości 4, 6 i 8.
a) Oblicz pole trójkąta.
b) Oblicz pole powierzchni i objętość bryły powstałej po obrocie tego trójkąta dookoła boku o długości 6.
c*) Oblicz sumę kwadratów środkowych tego trójkąta.

Zadanie 5.

a) Rzucamy dwiema kostkami do gry. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie w sumie 5 czy 6 oczek?
b) Rzucamy trzy razy dwiema kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że co najmniej raz otrzymamy w sumie 5 oczek.

---