1. Elementarne pojęcia teorii obwodów elektrycznych

Ładunek elektryczny

Pojęcie ładunku elektrycznego jest dla elektrotechniki tym czym pojęcie punktu dla geometrii, a więc czymś najbardziej podstawowym, elementarnym, jednocześnie zaś trudnym do zdefiniowania. Ładunek elektryczny traktowany jest tu jako obiekt fizyczny, ale także jako wielkość fizyczna opisującą właściwości cząsteczek materialnych.

Jako wielkość fizyczna ładunek elektryczny charakteryzowany jest liczbowo. Jednostką ładunku jest jeden kulomb:
. Jeden kulomb jest to ładunek, jaki nie zmieniający się prąd o natężeniu jednego ampera przenosi w ciągu jednej sekundy (definicja ampera zostanie podana później, gdy zostanie wprowadzone pojęcie prądu i natężenia prądu).

Istnieje najmniejszy ładunek elektryczny. Jest to ładunek jednego elektronu (wynosi on:
). Stąd wartości ładunku elektrycznego mogą się zmieniać jedynie w sposób dyskretny - skokowo. Jednak w elektrotechnice uznaje się te skoki za na tyle małe, by można było przyjmować za dziedzinę zmienności wartości ładunku cały zbiór liczb rzeczywistych.

Ładunki elektryczne są dwojakiego rodzaju. Jeden rodzaj to ładunek jakimi obdarzone są elektrony, drugi rodzaj to ładunek elektryczny jaki posiadają protony. Ładunek elektronu umownie określa się jako ujemny, ładunek protonu jako dodatni. Ładunki tego samego rodzaju nazywa się ładunkami jednakoimiennymi, ładunki różnego rodzaju - ładunkami różnoimiennymi.

Wymienione tu cząsteczki elementarne wchodzą w skład budowy atomu. W elektrotechnice teoretycznej stosuje się model atomu Bohra, pochodzący jeszcze z początków XX wieku. Obecnie uważany jest on za przestarzały, jednak wobec swojej obrazowości jest bardzo przydatny do wyrabiania sobie intuicji zjawisk elektrycznych. W modelu tym wokół naładowanego dodatnio jądra zbudowanego z protonów i pozbawionych ładunku elektrycznego neutronów krążą ujemne elektrony ułożone w warstwy zwane powłokami.

Ładunek elektryczny jądra atomu jest taki sam (co do wartości) jak ładunek elektryczny elektronów stąd atom jest elektrycznie obojętny. Jeżeli od atomu odłączyć elektron lub kilka elektronów powstaną dwa obiekty naładowane elektrycznie takimi samymi ładunkami lecz przeciwnego znaku: dodatni jon i ujemne, odłączone elektrony. Obowiązuje tu zasada zachowania ładunku, zgodnie z którą w układzie odosobnionym ładunek jednego znaku powstaje tylko wtedy gdy jednocześnie powstaje taki sam ładunek znaku przeciwnego.

Siły kulombowskie, pole elektryczne

Ładunki oddziałują na siebie siłowo, przy czym ładunki jednakoimienne odpychają się, a ładunki różnoimienne przyciągają. Wielkość siły jaka tu występuje opisywana jest prawem Coulomba formułowanym następująco:

(1.1)

gdzie:
,
- wartości oddziałujących na siebie elektrycznych ładunków punktowych,

- przenikalność dielektryczna - parametr opisujący właściwości elektryczne środowiska,

- wektor jednostkowy: leżący na prostej łączącej ładunki, skierowany na zewnątrz gdy ładunki są jednakoimienne, do wewnątrz gdy są różnoimienne,

- tzw. “współczynnik racjonalizujący” (dzięki niemu wzory w układzie SI mają prostszą postać).

Fizycy (a za nimi elektrycy) zjawisko oddziaływania siłowego naładowanych elektrycznie cząsteczek opisują wprowadzając pojęcie pola elektrycznego. Polem tym jest przestrzeń fizyczna wokół ładunku, w której na inne ładunki działają siły kulombowskie. Istnienie pola wykrywa się wprowadzając do niego tzw. ładunek próbny. Ładunek próbny też wytwarza pole elektryczne, skutkiem czego mamy do czynienia nie z polem, które ma być zbadane, lecz z polem, które powstaje w wyniku nakładania się tych dwu pól. Aby ten, zniekształcający pomiar wpływ był jak najmniejszy, ładunek próbny powinien być możliwie mały (
). Przyjmuje się, że jest to ładunek dodatni.

Do opisu pola elektrycznego definiuje się wielkości charakteryzujące różne jego cechy: wektor natężenia pola elektrycznego, wektor indukcji elektrycznej, przenikalność dielektryczną, a także wektor polaryzacji. Pojęcia te powinny być znane z kursu fizyki, będą jeszcze omawiane w ramach teorii pola elektromagnetycznego na II roku studiów na Wydziale Elektrycznym WSM.

Potencjał elektryczny, napięcie elektryczne

Aby przesunąć ładunek w polu elektrycznym trzeba pokonać siły pola. Prowadzi to do wykonania pracy. Jeżeli teraz ładunek puścić swobodnie, siły pola spowodują jego ruch: pole wykona pracę na ładunku. Doprowadzenie ładunku do danego punktu pola (wbrew siłom pola) nadało mu energię, która teraz zostaje uwolniona. Ten rodzaj energii nosi nazwę energii potencjalnej. Z prawa Coulomba wynika, że siły jakimi trzeba było działać na ładunek były wprost proporcjonalne do wielkości ładunku. Stąd wykonana na nim praca, a więc i jego energia potencjalna też są do wartości ładunku proporcjonalne. Jeżeli zatem podzielić wartość tej pracy przez wartość ładunku otrzyma się pewną wielkość charakteryzującą właściwości energetyczne pola (niezależną od wielkości ładunku próbnego). Wielkość ta nosi nazwę potencjału elektrycznego.

Jej wzór definicyjny jest następujący:

(1.2.)

gdzie:
- praca jaką trzeba wykonać, by doprowadzić ładunek próbny (q) z miejsca leżącego poza polem (teoretycznie z nieskończoności) do danego punktu pola („a”).

Ładunek próbny powinien być możliwie mały (
), by nie zniekształcać pola.

Stosując pojęcia rachunku różniczkowego definicję tę można zapisać:

(1.2a.)

Potencjał elektryczny jest wielkością skalarną.

Jego jednostką jest jeden wolt:
. Potencjał elektryczny danego punktu pola elektrycznego wynosi jeden wolt wtedy gdy doprowadzenie ładunku o wartości jednego kulomba z nieskończoności do tego punktu pola wymaga wykonania pracy jednego dżula.

Intuicja potencjału jako ilorazu pracy włożonej w doprowadzenie ładunku do danego punktu pola i wartości tego ładunku jest oczywista. Jednak obliczenie tej pracy, choćby dla najprostszego pola wytwarzanego przez ładunek punktowy wymaga znajomości rachunku całkowego, a w przypadku ogólnym umiejętności obliczania tzw. całek liniowych. Będą one przerabiane w dalszym toku studiów na matematyce . Na razie uznajmy, że takie obliczenia są możliwe (i niekoniecznie trudne!).

Praca jaką trzeba wykonać w polu elektrycznym, by doprowadzić ładunek próbny z nieskończoności do danego punktu pola jest niezależna od drogi. Ta niezależność pracy od drogi jest cechą pola elektrycznego. Właśnie jej istnienie powoduje, że w każdym punkcie tego pola można określić jego potencjał. Pola, dla których można to zrobić nazywane są polami potencjalnymi. Doskonale wszystkim znanym polem potencjalnym jest pole grawitacyjne. Większość jego właściwości jest identyczna z właściwościami pola elektrycznego. Stąd można przenosić z niego na pole elektryczne wiele powszechnie znanych intuicji.

Iloraz pracy jaką trzeba wykonać w polu elektrycznym, by przemieścić ładunek próbny z punktu „b” do punktu „a” i wartości tego ładunku (zdążającej do zera, by nie zniekształcać badanego pola) definiuje kolejne elementarne pojęcie Elektrotechniki Teoretycznej: napięcie elektryczne.

Jego wzór definicyjny jest następujący:

(1.3.)

Z niezależności pracy w polu elektrycznym od drogi wynika bezpośrednio to, że praca potrzebna na przeprowadzenie ładunku próbnego z punktu „b” do punktu „a” jest równa różnicy prac potrzebnych na doprowadzenie tego ładunku do każdego z tych punktów:
. Stąd zależność napięcia pomiędzy punktami pola od potencjałów tych punktów:

(1.4.)

Istnienie zależności (1.5.) powoduje, że mówimy zamiennie: napięcie albo różnica potencjałów. Oznaczenie literowe
wskazuje, że potencjał
jest większy (niż potencjał
). Wtedy napięcie jest dodatnie. Gdyby było
napięcie
byłoby ujemne. Na rysunkach napięcie oznacza się przy pomocy strzałki (pierzastej), której grot skierowany jest w stronę wyższego potencjału. Wyższy potencjał bywa oznaczony także symbolem „+” (niższy symbolem „-”).

Napięcie elektryczne ma taką samą jednostkę jak potencjał elektryczny. Jest nią jeden wolt:
. Napięcie elektryczne pomiędzy danymi dwoma punktami pola elektrycznego wynosi jeden wolt wtedy gdy przeniesienie ładunku o wartości jednego kulomba od jednego z tych punktów do drugiego wymaga wykonania pracy jednego dżula. (Istnieje również definicja wolta odwołująca się do pojęcia natężenia prądu)

Stosując pojęcia rachunku różniczkowego powyższe zależności można zapisać:

(1.4a.)

Przyjęto, że ładunek próbny (q) jest dodatni. Jest on odpychany przez ładunki dodatnie, a przyciągany przez ładunki ujemne. Stąd praca
potrzebna na doprowadzenie ładunku próbnego do danego punktu pola jest albo dodatnia (wykonana przeciw siłom pola przy doprowadzaniu w pobliże ładunku dodatniego) albo ujemna (wykonana przez siły pola przy doprowadzaniu ładunku próbnego w pobliże ładunku ujemnego). Zatem potencjał może być albo dodatni albo ujemny. Potencjał danego punktu pola jest tym większy im punkt jest położony bliżej ładunku dodatniego, tym mniejszy im punkt leży bliżej ładunku ujemnego. Pomiędzy ładunkami dodatnim i ujemnym tworzącymi dipol elektryczny istnieje linia, której punkty mają potencjał zerowy (nie trzeba wykonać żadnej pracy by doprowadzić do nich ładunek próbny spoza pola gdzie potencjał też jest zerowy). Pokazano to na rys. 1.3.

Prąd elektryczny jako zjawisko fizyczne

Pod wpływem sił pola elektrycznego ładunki elektryczne przemieszczają się. Zjawisko to nosi nazwę prądu elektrycznego. Prądem elektrycznym nazywamy uporządkowany ruch ładunków elektrycznych (pod wpływem pola elektrycznego). O prądzie elektrycznym mówimy, że płynie (aczkolwiek przemieszczają się ładunki, nie prąd). W zależności od tego w jakim środowisku występuje zjawisko prądu i jaki jest jego mechanizm w elektrotechnice tradycyjnie rozróżnia się trzy rodzaje prądów: prąd przewodzenia, prąd przesunięcia i prąd unoszenia.

Prąd przewodzenia występuje w materiałach przewodzących. Istnieją dwa rodzaje (dwie kategorie) takich materiałów.

Do kategorii I należą metale i ich stopy, a także węgiel. Charakteryzują się one tym, że ich atomy tworzą struktury krystaliczne, w których elektrony zewnętrznych powłok są słabo związane z jądrami. Elektrony te należą nie tyle do konkretnych atomów ile do struktury krystalicznej jako całości. Mogą się one stosunkowo swobodnie przemieszczać w obrębie kryształu (stąd nazwa: elektrony swobodne). Tworzą tzw. gaz elektronowy. Gdy przewodniki I rodzaju poddać działaniu zewnętrznego pola elektrycznego elektrony te zostają wprawione w ruch (w kierunku potencjału dodatniego). Jest to prąd przewodzenia I rodzaju. Jeżeli rozważany przewodnik stanowi część obwodu zamkniętego prąd ten będzie płynął tak długo, jak długo istnieć będzie zewnętrzne pole elektryczne, które go wymusza. Ten rodzaj przewodnictwa prądu nazywa się przewodnictwem elektronowym.

Przepływ prądu przewodzenia w przewodniku I rodzaju nie jest związany z żadnymi procesami chemicznymi. Występuje natomiast zjawisko fizyczne: nagrzewanie się przewodnika.

Prąd przewodzenia II rodzaju (II kategorii) występuje w elektrolitach. Są nimi wodne, zdysocjowane roztwory kwasów, zasad i soli. Występują w nich jony dodatnie i ujemne. Poddane działaniu zewnętrznego pola elektrycznego przemieszczają się odpowiednio w stronę potencjału dodatniego (jony ujemne - aniony) i ujemnego (jony dodatnie - kationy). Skutkiem rozdziału jonów zachodzą reakcje chemiczne (elektrochemiczne). Liczba jonów maleje aż do wyczerpania i wtedy prąd przestaje płynąć.

Podobnie jak w przewodnikach I rodzaju i tu zachodzi zjawisko nagrzewania się środowiska przewodzącego. Nośnikami ładunków w przewodnikach II rodzaju są jony, stąd ten rodzaj przewodnictwa nosi nazwę przewodnictwa jonowego. Podobny (tj. jonowy) charakter ma przewodnictwo prądu elektrycznego w (zjonizowanych) gazach.

Prąd przesunięcia występuje w tych materiałach, w których brak swobodnych nośników ładunku. Takie materiały noszą nazwę dielektryków albo izolatorów. Przepływ prądu przesunięcia odbywa się na poziomie „mikro” („subatomowym”) i na poziomie „makro” („atomowym”). Na poziomie „mikro” polega na powstaniu, pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego, niesymetrii w rozkładzie elektronów otaczających jądra atomów (por. rys. 1.6.a). Powstanie takiej niesymetrii wymaga przesunięcie ładunków w chwili pojawienia się pola, a przesunięcie ładunków to krótkotrwały prąd elektryczny.

Na poziomie „makro” przepływ prądu przesunięcia polega na wymuszonym przez siły zewnętrznego pola magnetycznego porządkowaniu chaotycznie rozmieszczonych w dielektryku dipoli elektrycznych (por. rys. 1.6.b). Dipolami tymi są cząsteczki związków chemicznych tworzących dielektryk. Takie porządkowanie też polega na przemieszczaniu się ładunków, a więc na przepływie (krótkotrwałego) prądu.

Prąd unoszenia (zwany też prądem konwekcyjnym) polega na przemieszczaniu się ładunków elektrycznych przez środowisko izolacyjne (np. przez próżnię). Występuje np. w kineskopie jako wiązka elektronów wyrywanych z wyżarzanej katody przez napięcie przyłożone pomiędzy nią a siatką. Prędkość nośników, zależna od napięcia, jest rzędu tysięcy kilometrów na sekundę. (Elektrony w przewodnikach I rodzaju osiągają prędkości rzędu metrów na sekundę.)

Prąd elektryczny jako wielkość fizyczna: natężenie prądu elektrycznego

Dla opisywania zjawiska prądu wprowadzono charakteryzującą je pod względem ilościowym wielkość fizyczną: natężenie prądu elektrycznego. Zamiast terminu natężenie prądu elektrycznego potocznie stosuje się znacznie krótszy termin: prąd elektryczny. Natężenie prądu elektrycznego przepływającego przez dany przekrój definiowane jest jako stosunek wartości ładunku do czasu, w którym ten ładunek przepłynął (przez rozpatrywany przekrój), a więc jako szybkość przepływu ładunków:

(1.5.)

Jest to wartość średnia prądu za czas
. Oznacza się ją symbolem „
” (gdy jest niezmienna, symbolem „I”).

Wartość chwilową prądu (w chwili „t”) definiuje zależność:

(1.5.a)

Do oznaczania wartości chwilowych prądu (natężenia prądu) stosuje się literę „i” lub - by zaakcentować, że chodzi o wartość prądu w chwili „t” - literę „i” z indeksem „t” (
).

Prąd elektryczny (natężenie prądu) jest wielkością skalarną. Ta wielkość skalarna jest nieco nietypowa, jest bowiem obdarzona zwrotem. Aby scharakteryzować prąd trzeba podać jego wartość i zwrot z jakim przepływa przez dany przekrój. Przyjęto, że zwrot ten dotyczy przemieszczania się ładunków dodatnich. Na rysunkach oznacza się go przy pomocy strzałki (pierzastej). Wartość dodatnia prądu znaczy, że prąd płynie zgodnie ze zwrotem strzałki, wartość ujemna jest wtedy gdy prąd płynie w kierunku odwrotnym do wskazywanego przez strzałkę. Początkującym elektrykom pewien problem stwarza fakt, że w przewodnikach I rodzaju przepływ prądu polega na przepływie ładunków ujemnych, więc zwrot prądu jest w nich przeciwny do zwrotu z jakim przemieszczają się elektrony, nośniki tego prądu.

Prąd, którego wartość i zwrot pozostają niezmienne w czasie nazywany jest prądem stałym. Oznacza się go literą "I".

Jednostką natężenia prądu elektrycznego jest jeden amper (1 A). Jest to jedna z jednostek podstawowych układu SI. Definiowana jest na podstawie oddziaływania siłowego pola magnetycznego na przewodnik z prądem: wartość prądu wynosi jeden amper jeżeli prąd ten płynąc w dwu oddalonych od siebie o jeden metr przewodnikach, nieskończenie długich, o przekrojach kołowych, nieskończenie małych, powoduje oddziaływanie siłowe o wartości
niutona na metr długości przewodnika.

Aby umożliwić bardziej precyzyjne opisywanie zjawiska prądu elektrycznego wprowadzono pojęcie gęstości prądu. Jest to wielkość wektorowa. Moduł (długość) tego wektora jest definiowany jako równy stosunkowi natężenia prądu (I) przepływającego przez dany przekrój do powierzchni tego przekroju (
) przy czym rozważany przekrój jest prostopadły do kierunku przepływu prądu . Zwrot wektora gęstości jest taki jak zwrot prądu.

Jest zatem:

(1.6.)

gdzie:
, - wektor jednostkowy zgodny z kierunkiem ruchu ładunków dodatnich,

Gęstość prądu wyrażona wzorem (1.6.) jest to wartość średnia gęstości prądu płynącego przez przekrój
.

Zależność odwrotna (prądu od gęstości średniej) jest iloczynem skalarnym:

(1.6.a)

gdzie:
- przekrój
jako wektor: jego moduł jest równy powierzchni
, zwrot prostopadły (normalny),

- kąt pomiędzy zwrotem wektora gęstości prądu (a więc zwrotem prądu) i wektorem normalnym (prostopadłym) do przekroju
.

W ogólnym przypadku wartość gęstości prądu w danym punkcie przestrzeni dana jest wzorem:

(1.6.b)

Zależność prądu od gęstości jest dla tego (ogólnego) przypadku całką z iloczynu skalarnego:
(obliczanie takich całek jest przewidziane w kursie matematyki na dalszych latach studiów).

Jednostką gęstości prądu jest:
.

Obwód zamknięty, źródło, odbiornik, strzałkowanie

Z naszych dotychczasowych rozważań dotyczących prądu jako zjawiska fizycznego wynika, że w sposób długotrwały może występować tylko prąd przewodzenia (przy czym w przewodnikach II rodzaju prąd taki będzie płynął tylko do chwili wyczerpania się jonów).

Istniejący tu mechanizm przepływu ładunków wymaga, by ładunki przemieszczały się „w obiegu zamkniętym”. Inaczej po przemieszczeniu się ich wszystkich prąd ustanie. Układ przewodników, w którym możliwy jest taki ciągły przepływ prądu nosi nazwę obwodu zamkniętego.

W obwodzie elektrycznym zawsze daje się wyróżnić takie części, w których energia jest do obwodu dostarczana i takie, w których jest ona przekazywana na zewnątrz. Pierwsze są źródłami energii elektrycznej, drugie - odbiornikami energii elektrycznej.

W odbiorniku prąd płynie pod wpływem sił pola elektrycznego, a więc od większego potencjału do niższego. Ładunki tracą wtedy energię potencjalną i wykonują pracę. Energia elektryczna zamienia się na energię nieelektryczną. Istnieje tu analogia z pracą wykonywaną w polu grawitacyjnym np. przez spadający młot kafara.

W źródle ruch ładunków jest wymuszony przez siły zewnętrzne pokonujące siły pola elektrycznego: prąd płynie „pod górę”, od potencjału niższego do wyższego (ładunki zyskują energię potencjalną). Praca wykonywana jest na ładunkach. Energia nieelektryczna (chemiczna, mechaniczna itd.) zamienia się w energię elektryczną (energię potencjalną ładunków). Występuje tu analogia do podnoszenia młota kafara (i nadawania mu energii potencjalnej).

Strzałki na rysunku (rys. 1.8.) pokazują:

- dla prądu: kierunek przepływu ładunków dodatnich;

- dla napięć: wyższy potencjał.

Jeżeli strzałki na schemacie pokazują, że prąd płynie przez jakiś element obwodu od potencjału wyższego do potencjału niższego, element ten jest zastrzałkowany odbiornikowo. Gdy, odwrotnie, strzałka prądu oznaczająca prąd płynący przez element skierowana jest od potencjału niższego do wyższego mamy do czynienia ze strzałkowaniem źródłowym. Element zastrzałkowany odbiornikowo jest odbiornikiem wtedy gdy strzałkowanie odpowiada rzeczywistości, a więc gdy strzałka napięcia rzeczywiście wskazuje wyższy potencjał, zaś prąd istotnie płynie w tę stronę, którą wskazuje strzałka prądu (albo jednocześnie obydwie informacje są nieprawdziwe). Wtedy i natężenie prądu i napięcie mają wartości dodatnie (lub jednocześnie ujemne). Podobnie element zastrzałkowany źródłowo jest wtedy źródłem gdy strzałkowanie odpowiada rzeczywistości, a więc gdy wartości prądu i napięcia są dodatnie (jest też źródłem gdy są jednocześnie ujemne).

Praca prądu, moc

Natężenie prądu jest parametrem opisującym ilościowo ładunki elektryczne w ruchu zaś potencjał elektryczny (napięcie elektryczne) charakteryzuje ich stany energetyczne. Te dwa (zaledwie!) parametry wystarczają do opisu zjawisk zachodzących w obwodach elektrycznych. Także zachodzące w nich przemiany energetyczne.

Ładunek próbny „q” przemieszczając się od punktu A do punktu B odbiornika (rys. 1.8.) wykonuje pracę (
). Zgodnie z definicją napięcia elektrycznego praca ta jest równa iloczynowi ładunku i napięcia (
- bo napięcie to iloraz pracy i ładunku:
) Jest też:
(bo:
). Łącząc te dwa wzory otrzymuje się wyrażenie na pracę wykonaną przez prąd I płynący w odbiorniku, na zaciskach którego występuje napięcie U:

(1.7.)

Dzieląc obie strony tego równania przez
otrzymujemy wyrażenie na moc z jaką ta praca jest wykonywana, a więc wyrażenie na szybkość przetwarzania przez odbiornik energii elektrycznej na energię nieelektryczną:

(1.8.)

Wzór (1.8.) opisuje wartość średnią mocy za czas
. Wartość chwilową mocy można wyznaczyć gdy
:

(1.8.a)

Zależność pozwalająca obliczyć pracę za czas
w przypadku ogólnym ma postać całki:
.

Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla źródła. W źródle energia nieelektryczna zamieniana jest na energię elektryczną. Moc źródła wyliczona ze wzoru (1.8.) lub (1.8.a) jest miarą prędkości z jaką zachodzi ten proces.

Jeżeli jakiś element obwodu zastrzałkowany jest odbiornikowo lecz albo napięcie albo prąd mają dla niego wartość ujemną to ich iloczyn też daje wartość ujemną: ujemną moc. Należy to interpretować tak, że energia w obwodzie płynie w kierunku odwrotnym niż to wynika ze strzałkowania. Element nie jest odbiornikiem lecz źródłem (zastrzałkowanym odbiornikowo). Podobnie może być z odbiornikiem zastrzałkowanym źródłowo. Jeżeli jednak i prąd i napięcie mają jednocześnie wartości ujemne - moc pozostaje dodatnia, a więc energia przepływa tak jak to wynika ze strzałkowania: element zastrzałkowany źródłowo jest źródłem, zastrzałkowany odbiornikowo - odbiornikiem.

Zależność (1.8.) prowadzi do nowej definicji wolta. Wynika z niego, że jeden wolt jest różnicą potencjałów elektrycznych pomiędzy dwoma punktami obwodu, w którym płynie nie zmieniający się prąd jednego ampera, gdy moc pracy wykonywanej w tej części obwodu (szybkość przemiany energii) wynosi jeden wat:

Szeregowe i równoległe łączenie elementów obwodu elektrycznego

Obecnie zajmiemy się poznawaniem pojęć i metod stosowanych przez elektryków do formalnego opisu źródeł i odbiorników energii elektrycznej.

Potrzebne nam będzie do tego przeanalizowanie związków pomiędzy prądami i napięciami przy szeregowym i równoległym łączeniu odbiorników i źródeł.

Przy połączeniu szeregowym przez wszystkie tak połączone odbiorniki płynie ten sam prąd, o tym samym natężeniu I. Aby na poszczególnych odbiornikach były napięcia
i
napięcie źródła musi wynosić
. To oczywiste - z definicji napięcia wiemy, że napięcie to iloraz pracy wykonanej na ładunku do tego ładunku, a praca jaka jest wykonana na przepływających ładunkach w źródle musi być równa sumie pracy wykonanej przez ładunki w odbiornikach.

Przy połączeniu równoległym do wszystkich odbiorników doprowadzone jest to samo napięcie U. Ładunki tworzące prąd I rozpływają się tu na prądy składowe
i
stąd dla połączenia równoległego prąd całkowity jest ich sumą:

Powyższe zależności daje się uogólniać na „k” połączonych szeregowo lub równolegle odbiorników.

W elektrotechnice praktycznej powszechnie stosowane są systemy z odbiornikami i źródłami połączonymi równoległe. Zarówno odbiorniki jak i źródła energii elektrycznej budowane są na określone napięcia (tzw. napięcia znamionowe -
), a właśnie układ równoległy zapewnia wszystkim elementom takie same napięcia.

Najprostszy odbiornik, prawo Ohma

Najprostszym odbiornikiem energii elektrycznej jest kawałek przewodnika (rys. 1.11.). Płynie w nim prąd przewodzenia. W I połowie XIX wieku Georg Simon Ohm stwierdził doświadczalnie, że wartość natężenia prądu jaki płynie przez dany, konkretny przewodnik jest wprost proporcjonalna do wartości napięcia wywołującego ten prąd. Prawidłowość ta nosi nazwę prawa Ohma. Przedstawione wykreślnie wyniki badań przewodnika w przybliżeniu układają się w prostą o nachyleniu
Funkcja analityczna opisująca tę zależność ma postać
. Jeżeli oznaczyć:
otrzymuje się wzór na prawo Ohma:

(1.9.)

Prawo Ohma jest słuszne w każdej chwili czasowej, jest więc słuszne dla wartości chwilowych prądu i napięcia:

(1.9.a)

Współczynnikowi
nadaje się charakter wielkości fizycznej opisującej własności elektryczne przewodnika oraz nazwę: rezystancja. Termin ten pochodzi od łacińskiego: resisto - opierać się. Używanie dawniejszego określenia „oporność” uważane jest za błąd terminologiczny. Rezystancja definiowana jest wzorem (1.9.) jako współczynnik proporcjonalności pomiędzy prądem i wymuszającym ten prąd napięciem.

Jednostką rezystancji jest om:
.

Rezystancja przewodnika ma wartość jednego oma (
) jeżeli przyłożenie do tego przewodnika pola elektrycznego o napięciu jednego wolta powoduje przepływ prądu o natężeniu 1 ampera.

Wyrażenie (1.9.) można zapisać jako:

(1.10.)

gdzie:
.

Współczynnikowi proporcjonalności G nadaje się charakter wielkości fizycznej i nazwę: konduktancja (od łacińskiego conduco - połączyć). Dawna, obecnie uważana za niepoprawną nazwa to „przewodność”. Jednostką konduktancji jest simens:
.

Konduktancja przewodnika ma wartość jednego simensa (1 S) jeżeli przyłożenie do tego przewodnika pola elektrycznego o napięciu jednego wolta powoduje przepływ prądu o natężeniu 1 ampera.

Będąc odwrotnością rezystancji, konduktancja opisuje te same co tamta właściwości elektryczne przewodnika.

Wartość kąta
(z rys. 1.11.), a więc również wartość rezystancji (R) i konduktancji (G) danego konkretnego przewodnika zależy od tego z jakiego materiału jest on zrobiony oraz od tego jaką ma długość i jaki przekrój:

(1.11.)

(1.11.a)

gdzie: l - długość przewodnika,

S - powierzchnia przekroju przewodnika,

- współczynnik zależny od materiału z jakiego wykonany jest przewodnik,

Parametry
i
noszą nazwy: rezystywność (
) i konduktywność (
). Mają one charakter wielkości fizycznych charakteryzujących właściwości elektryczne materiałów.

Jako wielkości fizyczne mają swoje jednostki:

Ponieważ przekroje przewodów na ogół są niewielkie w porównaniu z ich długościami i mierzy się je raczej w
niż w
, więc w praktyce wygodniej jest stosować jednostki:

Prawo Joule'a

W odbiornikach energii elektrycznej zachodzi przemiana energii elektrycznej na energię nieelektryczną (por. rys. 1.8.). Energia nieelektryczna w jaką przemienia się energia elektryczna podczas przepływu prądu przez najprostszy odbiornik, a więc przez kawałek przewodnika jest energią cieplną. Pole elektryczne wprawiając (w przewodnikach I rodzaju) elektrony w ruch nadaje im energię. Skutkiem zderzania się z atomami siatki krystalicznej rozpędzone elektrony oddają im część tej energii wprawiając siatkę w drganie, co przejawia się jako wzrost temperatury. Podobne zjawisko (ale dotyczące poruszających się jonów) występuje w przewodnikach II rodzaju.

Moc (szybkość przemiany) występującej tu przemiany energii wynosi (dla prądu stałego):

.

Uwzględniając prawo Ohma otrzymuje się wzór:

(1.12.)

Stwierdzenie, że cała energia elektryczna wydzielana w przewodniku zamienia się na energię cieplną wraz ze wzorem (1.12.) opisującym tę przemianę ilościowo znane są w elektrotechnice jako prawo Joule'a.

Prawo Joule'a obowiązuje dla chwil czasowych:

(1.12.a)

Energia jaka wydzieli się w czasie
wynosi (dla prądu stałego):
Łatwo daje się wyprowadzać dalsze wersje tego wzoru wynikające z zależności (1.12.).

Dla przypadku ogólnego:
).

Rezystor idealny, metoda idealizacyjna

Rezystor idealny jest to taki przewodnik, w którym zachodzi wyłącznie jedno zjawisko fizyczne: zamiana energii elektrycznej na energię cieplną. Opisywane jest ono prawami Ohma i Joule'a.

Takich przewodników w rzeczywistości nie ma. W rzeczywistych przewodnikach zawsze występują jeszcze i inne zjawiska fizyczne: powstawanie pola magnetycznego, związane z tym zjawisko samoindukcji, indukowanie się napięć spowodowane zmiennymi polami magnetycznymi, gromadzenie ładunków elektrycznych itd., itp. Jednak dla niektórych obiektów (żarówka, grzejnik elektryczny, opornik radioelektroniczny) powyższa idealizacja jest wystarczająco dokładnym uproszczeniem. Zamiana energii elektrycznej na energię cieplną jest w nich zjawiskiem dominującym, inne zjawiska można - w pierwszym przybliżeniu - pominąć.

Rezystor idealny może być też traktowany jako obiekt abstrakcyjny. Wtedy naprawdę jest takim elementem, w którym nie zachodzą inne zjawiska poza przepływem prądu i związaną z nim zamianą energii elektrycznej na energię cieplną. Jako taki jest tworem czysto teoretycznym, takim jak np. geometryczna kula (rozumiana jako zbiór punktów, których odległość od określonego punktu jest mniejsza lub równa „r”). Taki rezystor idealny tak się ma do rzeczywistych rezystorów jak wspomniana kula geometryczna do spotykanych w przyrodzie obiektów kulistych - jest ich pierwszym, zgrubnym przybliżeniem. Jest ich matematyczną idealizacją.

Metoda naukowa, która tu została zastosowana nazywana jest metodą idealizacyjną. Polega ona na tym, że złożone obiekty i zjawiska przedstawia się przy pomocy ich idealnych modeli, takich jak ciało sztywne, ładunek punktowy, równia bez tarcia, itd. itp. Dopiero gdy uproszczenie okazuje się zbyt grube konstruuje się bardziej rozbudowany (ciągle jednak wyidealizowany) model (np. równia z tarciem). Metoda ta świadomie stosowana jest w naukach przyrodniczych co najmniej od czasów Galileusza i przyniosła im niebywałe sukcesy.

Rezystor rzeczywisty, fizyczny posiada swoje wymiary geometryczne: długość, przekrój. Rezystor idealny ich nie ma. Charakteryzuje go tylko jeden parametr: rezystancja. O takich elementach mówi się, że ich parametry (stałe) są skupione. Obwody z takimi elementami nazywane są obwodami o stałych skupionych. Złożone z elementów bezwymiarowych i one nie mają wymiarów geometrycznych. Stąd w obwodach z takimi elementami wszystkie zjawiska zachodzą jednocześnie.

Charakterystyka prądowo-napięciowa rezystora dana jest (dla prądu stałego) wyrażeniem:
(
). Wykres tej funkcji jest linią prostą. Stąd rezystor nazywany jest elementem liniowym.

Ze względu na swój charakter rezystor jest nazywany elementem pasywnym, albo biernym. Elementy pasywne są to takie elementy, które zawsze są odbiornikami energii elektrycznej, nie mogą być jej źródłami.

W rezystorze następuje przemiana energii elektrycznej na energię cieplną. Przemiana ta przebiega zawsze jednokierunkowo, jej efektem jest - na ogół niepożądane - rozpraszanie energii. Stąd rezystor nazywany jest elementem rozpraszającym, albo dyssypatywnym.

Koncepcja schematu zastępczego

Pewne obiekty rzeczywiste (takie jak żarówka, piec elektryczny itp.) mają (w pierwszym przybliżeniu) taki sam opis matematyczny jak rezystor idealny. Zatem rezystor idealny można traktować jako ich (stosownie uproszczony) model. Do celów obliczeniowych można nim te obiekty zastąpić. Rysunek obwodu elektrycznego (takie rysunki nazywane są schematami), na którym zamiast elementów rzeczywistych występują elementy idealne o takim samym (z założoną dokładnością) opisie matematycznym jest schematem zastępczym tego obwodu.

Rezystor idealny jest schematem zastępczym żarówki, rury świetlówki, pieca elektrycznego, przyrządu magnetoelektrycznego, opornika radioelektronicznego itd., itp.

Koncepcja schematu zastępczego jest jedną z najważniejszych koncepcji Elektrotechniki Teoretycznej. Schematy zastępcze służą do obliczeń parametrów elektrycznych i do rozważań teoretycznych.

obiekt rzeczywisty	symbol na schematach głównych	opis matematyczny	schemat zastępczy
żarówka		( )
piec elektryczny

Zależność rezystancji od temperatury

Pod wpływem fizycznych czynników zewnętrznych, takich jak ciśnienie, wilgotność, pole magnetyczne, pole elektryczne itd. itp. rezystywność materiału zmienia się (zmienia się także oczywiście odwrotność rezystywności: konduktywność). Największe znaczenie praktyczne ma zmienność rezystywności pod wpływem zmian temperatury.

Stwierdzono, że dla przewodników II rodzaju (elektrolity) ze wzrostem temperatury rezystywność maleje. Dla przewodników I rodzaju (metale i ich stopy) jest odwrotnie: wraz ze wzrostem temperatury rezystywność wzrasta. Intensywność tego zjawiska jest różna dla różnych materiałów. Ogólnie rzecz biorąc, rezystywność stopów jest mniej zależna od temperatury niż rezystywność czystych metali.

Dla temperatur „umiarkowanych” (
) zależność rezystywności od temperatury dla metali i ich stopów jest w przybliżeniu liniowa, co pokazano na rys. 1.13. Analityczny wzór opisujący tę zależność ma (oczywistą) postać:

gdzie
jest (stałym w całym rozpatrywanym przedziale zmienności temperatury) współczynnikiem nachylenia prostej opisującej zależność. Ponieważ rezystancja danego przewodnika jest wprost proporcjonalna do jego rezystywności więc zależność rezystancji od temperatury ma taką samą postać.

W elektrotechnice przyjęło się stosowanie - jako wielkości opisującej zależność rezystywności (rezystancji) od temperatury - tzw. współczynnika temperaturowego rezystancji:

Stąd wzór:

(1.13.)

Słuszna jest też oczywiście zależność:

(1.13a.)

Przy wyznaczaniu
współczynnik nachylenia
(stały w całym przedziale) jest dzielony przez
, więc dla każdej temperatury
współczynnik
jest inny.

W katalogach materiałów przewodzących jest on podawany dla temperatury
.

Dla miedzi jest:

Zależność współczynnika temperaturowego rezystancji
od temperatury
, dla jakiej jest wyznaczany jest dość uciążliwa przy obliczeniach. Rozważmy, przykładowo, następujący problem:

PRZYKŁAD

W temperaturze
rezystancja wykonanego z miedzi uzwojenia maszyny elektrycznej ma wartość
. Wyznaczyć rezystancję uzwojenia w temperaturze
.

Nie możemy bezpośrednio korzystać z wzoru 1.13. gdyż katalogowy współczynnik temperaturowy rezystancji dla miedzi określony jest nie dla
lecz dla
. Musimy najpierw wyliczyć rezystancję uzwojenia dla temperatury
i dopiero potem dla temperatury
:

Przydatnym może być wzór umożliwiający przeliczanie współczynnika z „katalogowej” temperatury
na dowolną temperaturę
.

Wyprowadza się go dzieląc przez siebie stronami dwie (oczywiste) zależności:

i

Po podzieleniu jest:

stąd:

i ostatecznie:

Korzystając z wyznaczonego wzoru rezystancję z rozważanego przykładu można wyznaczyć następująco:

Zależność rezystywności metali od temperatury wykorzystywana jest do pomiaru temperatury. Zależność ta jest tylko w przybliżeniu liniowa. Najbardziej zbliżona do liniowości jest dla platyny, nieco mniej dla niklu i dla miedzi. Stąd właśnie te materiały (przede wszystkim platyna - termometr Pt100) są stosowana do produkcji tzw. termometrów metalowych.

Gdy trzeba uwzględnić nieliniowość zależności (szerszy zakres temperatur, np. rozżarzony drucik wolframowy w żarówce) stosuje się wzór aproksymacyjny (szereg MacLaurina):

Na ogół wystarczają współczynniki
i
.

Idealne źródła energii elektrycznej

Zjawiska elektryczne opisuje się w teorii obwodów przy pomocy dwu wielkości: napięcia elektrycznego (różnicy potencjałów) i natężenia prądu elektrycznego. Dany element jest charakteryzowany specyficzną dla niego zależnością pomiędzy tymi wielkościami. Zatem, stosując metodę idealizacyjną, można zaproponować aż dwa wyidealizowane (tj. takie, których opis matematyczny jest najprostszy możliwy) modele źródła:

- takie źródło które daje się opisać wyłącznie przy pomocy napięcia: idealne źródło napięciowe: siła elektromotoryczna (SEM - E), tożsama z różnicą potencjałów wymuszaną przez źródło na jego zaciskach

i

- takie źródło które daje się opisać wyłącznie przy pomocy natężenia prądu: idealne źródło prądowe: siła prądomotoryczna, zwana też prądem źródłowym (SPM - J), tożsama z natężeniem prądu wymuszanym przez źródło.

Dla idealnego źródła napięciowego słuszna jest zależność:

(1.14.)

Napięcie na zaciskach źródła jest stałe (równe SEM), nie zależy od pobieranego ze źródła prądu.

Idealnych źródeł napięciowych w rzeczywistości nie ma, w pierwszym przybliżeniu można jednak za takie uważać wiele źródeł rzeczywistych. Wszyscy znają to z potocznego doświadczenia - kupiona w kiosku bateryjka charakteryzowana jest przez napięcie, które „trzyma” przez cały okres pracy (a gdy przestaje „trzymać” to ją wyrzucamy).

Jeszcze lepszym modelem idealnego źródła napięciowego jest laboratoryjny stabilizowany zasilacz napięciowy.

Napięcie na zaciskach idealnego źródła napięciowego jest stałe, niezależne od natężenia pobieranego z niego prądu. Może ono jednak zmieniać się w czasie (tak jest np. w prądnicach prądu sinusoidalnie zmiennego). W przypadku ogólnym słuszna jest więc zależność:

(1.14.a)

(napięcie jest niezależne od prądu, choć zmienia się w czasie)

Dla idealnego źródła prądowego słuszna jest zależność:

(1.15.)

Prąd wydawany przez źródło jest stały (równy SPM), nie zależy od napięcia jakie panuje na zaciskach.

Idealnych źródeł prądowych w rzeczywistości nie ma. Trudno też znaleźć znane z życia codziennego przykłady źródeł, które można by "w pierwszym przybliżeniu" traktować jako idealne źródła prądowe (stąd elektrycy unikają stosowania ich w analizach, są dla nich mało „intuicyjne”). Najbardziej znanym modelem fizycznym idealnego źródła prądowego jest laboratoryjny stabilizowany zasilacz prądowy.

Określenie „siła prądomotoryczna” (SPM) jest używane zamiennie z terminem „prąd źródłowy”.

Prąd wydawany przez idealne źródło prądowe jest stały, niezależny od napięcia występującego na źródle. Może on jednak zmieniać się w czasie (tak jest np. w pewnych prądnicach prądu sinusoidalnie zmiennego). W przypadku ogólnym słuszna jest więc zależność:

(1.15.a)

(wartość natężenia prądu jest niezależna od napięcia, choć zmienia się w czasie)

Charakterystyki prądowo-napięciowe obydwu źródeł idealnych: napięciowego i prądowego są liniami prostymi. Są to zatem elementy liniowe.

Ze względu na swój charakter: wprawianie w ruch ładunków elektrycznych, wymuszanie przepływu energii, noszą one nazwę elementów aktywnych, albo czynnych.

Takie elementy mogą być albo źródłami albo odbiornikami. Źródłami są wtedy gdy, przy strzałkowaniu źródłowym, zarówno ich prąd jak i napięcie przyjmują wartości dodatnie. Gdy przy dodatniej wartości napięcia natężenie prądu ma wartość ujemną (albo gdy jest odwrotnie: napięcie ujemne, prąd dodatni) element jest odbiornikiem aktywnym.

Oznaczanie idealnych źródeł energii elektrycznej

Obecnie (rok 1999) w praktyce nie ma podręczników, które stosowałyby oznaczenia SEM i SPM z rys. 1.14. i 1.15. uznawane jako obowiązujące przez nowe polskie normy. Używane są oznaczenia tradycyjne pokazane na rys. 1.16. Elektryk powinien znać i jedne i drugie. Z wszystkimi będzie się w pracy zawodowej spotykał.

Źródła sterowane

Teoria obwodów elektrycznych zajmuje się również takimi źródłami, których parametry są zależne od innych wielkości elektrycznych: prądów płynących w obwodzie lub występujących w obwodzie napięć. Noszą one nazwę idealnych źródeł sterowanych.

Rozróżnia się cztery rodzaje idealnych źródeł sterowanych:

- idealne źródła napięciowe sterowane prądowo;

- idealne źródła napięciowe sterowane napięciowo;

- idealne źródła prądowe sterowane prądowo;

- idealne źródła prądowe sterowane napięciowo;

Na rys. 1.25. pokazano oznaczenia źródeł sterowanych na schematach elektrycznych.

Koncepcję źródła sterowanego wykorzystuje się przede wszystkim w elektronice, do analizy pracy tranzystorów i urządzeń pokrewnych. Jako źródło sterowane można również traktować prądnicę prądu stałego. Prądem sterującym
jest prąd magnesujący.

Na ogół w rzeczywistych źródłach sterowanych zależność pomiędzy prądem lub napięciem sterującymi, a SEM lub SPM źródła jest nieliniowa - inaczej niż w źródłach idealnych z rysunku.

Źródło rzeczywiste energii elektrycznej

Idealne źródło napięciowe i idealne źródło prądowe są najprostszymi opisami (schematami zastępczymi) źródeł energii elektrycznej. Dla wielu zastosowań praktycznych przyjęcie niezmienności napięcia źródła (dla źródeł napięciowych) lub jego prądu (dla źródeł prądowych) jest zbyt daleko idącym uproszczeniem. Potrzebny jest model bardziej zgodny z wynikami uzyskanymi z badania rzeczywistych, fizycznych źródeł energii.

Niech - przykładowo - takim źródłem będzie bateria ogniw galwanicznych. Jej badanie polega na obciążaniu rezystorem
o rezystancji zmieniającej się od wartości
(przerwa) do wartości
(zwarcie). Mierzone jest napięcie na zaciskach źródła i natężenie prądu płynącego w obwodzie.

Dla
(obwód rozwarty) prąd nie płynie (
). Jest to stan jałowy. Napięcie jest największe:
- napięcie jałowe. Dla
(stan zwarcia) prąd jest największy możliwy:
- prąd zwarcia. Napięcie jest równe zeru (
).

Dla wartości pośrednich wyniki uzyskane z eksperymentu, przedstawione wykreślnie, układają się w przybliżeniu w odcinek linii prostej (por. rys. 1.19.

Równanie analityczne tej linii można wyznaczyć wykorzystując proporcjonalność boków trójkątów podobnych.

Jest:

(1.16.)

Stąd poszukiwane równanie:

(1.16a)

Gdyby badane źródło było idealnym źródłem napięciowym, równanie powyższe miałoby postać:
, co oznaczałoby, że wartość napięcia jest stała, niezależna od natężenia prądu pobieranego ze źródła. Członem równania (1.16a.) określającym zależność napięcia od prądu jest
. Gdy ten człon odrzucić (upraszczając opis źródła) otrzymuje się:
. Porównując to wyrażenie z równaniem źródła idealnego otrzymany:
- siła elektromotoryczna źródła jest równa jego napięciu w stanie jałowym.

Występujący w równaniu (1.16a.) iloraz
ma wymiar
- taki jak rezystancja. Sensownym jest zatem nazwanie go rezystancją. Wielkości
i
dotyczą źródła, są jego parametrami „wewnętrznymi” niech to więc będzie: rezystancja wewnętrzna źródła. Oznaczmy ją symbolem
.

Wzór (1.16.) otrzymuje teraz postać:

(1.17)

Rozważmy teraz obwód złożony z trzech elementów idealnych E,
i
połączonych szeregowo jak to pokazuje rys. 1.20. Dla połączenia szeregowego jest:
. Dla rezystorów obowiązuje prawo Ohma, jest zatem:
. Stąd:
co można przekształcić do postaci:
.

Równanie to jest identyczne z wyprowadzonym z danych eksperymentalnych równaniem (1.17.) opisującym źródło rzeczywiste. Zatem rysunek 1.19. przedstawia schemat zastępczy źródła rzeczywistego. Występuje w nim źródło idealne napięciowe, stąd nazwa: schemat zastępczy napięciowy (potocznie: źródło rzeczywiste napięciowe).

Wzór (1.16.) można też przekształcić tak, by wyrazić nie napięcie w funkcji prądu, jak we wzorze (1.16a.), lecz prąd w funkcji napięcia. Otrzymuje się wtedy wyrażenie:

(1.16b)

Rozważania podobne do powyższych prowadzą do utożsamiania prądu zwarcia
z siłą prądomotoryczną J oraz do nadania (mającemu wymiar konduktancji) ilorazowi
statusu konduktancji wewnętrznej źródła, oznaczanej symbolem
. W ten sposób otrzymuje się równanie:

(1.18)

Jest ono jedynie inną formą równania (1.16). Pozwala jednak na wyprowadzanie jeszcze jednego schematu zastępczego źródła rzeczywistego.

Rozważmy obwód złożony z trzech elementów idealnych J,
i
połączonych równolegle jak to pokazuje rys. 1.21. Dla połączenia równoległego jest:
. Dla rezystorów obowiązuje prawo Ohma jest zatem:
. Stąd:
, co można przekształcić do postaci:
.

Równanie to jest identyczne z wyprowadzonym z danych eksperymentalnych równaniem (1.18.) opisującym źródło rzeczywiste. Zatem rysunek 1.20. przedstawia schemat zastępczy źródła rzeczywistego. Występuje w nim źródło idealne prądowe, stąd nazwa: schemat prądowy (albo: źródło rzeczywiste prądowe).

Obydwa schematy zastępcze źródła rzeczywistego: źródło rzeczywiste napięciowe i źródło rzeczywiste prądowe oparte są o te same dane empiryczne, odpowiadają różnym wersjom tego samego równania matematycznego (1.16.). Stąd są sobie równoważne, pod warunkiem, że występujące w nich parametry odpowiadają sobie nawzajem. Tymi parametrami są E i
dla źródła rzeczywistego napięciowego oraz J i
dla źródła rzeczywistego prądowego.

Parametry te pochodzą od wielkości
i
charakteryzujących źródło rzeczywiste. Jest:
i
, a także:
i
. Jest zatem również:
i
.

Stąd warunki równoważności.

Warunek równoważności źródła napięciowego o parametrach E i
źródłowi prądowemu o parametrach J i
:

i
(1.19a.)

Warunek równoważności źródła prądowego o parametrach J i
źródłowi napięciowemu o parametrach E i
:

i
(1.19b.)

Źródła idealne są szczególnymi ("osobliwymi") przypadkami źródeł rzeczywistych. Dla idealnego źródła napięciowego
, dla idealnego źródła prądowego
. Z wzorów (1.19) wynika jasno, że nie istnieje źródło prądowe równoważne idealnemu źródłu napięciowemu, ani źródło napięciowe równoważne idealnemu źródłu prądowemu.

Schematy przedstawiające źródło rzeczywiste jako rzeczywiste źródło prądowe lub rzeczywiste źródło napięciowe wyprowadzono na podstawie charakterystyki prądowo-napięciowej źródła galwanicznego. Jednak każde źródło rzeczywiste (prądu stałego) ma (w uproszczeniu) taką samą charakterystykę. Zatem przedstawione wyżej schematy można stosować jako schematy zastępcze najróżniejszych źródeł: rzeczywistych: prądnic maszynowych, ogniw galwanicznych, ogniw paliwowych, fotoogniw itd. itp.

Schematy te powstały na podstawie zewnętrznego badania źródła rzeczywistego, zatem (w sposób oczywisty) nie modelują one jego wewnętrznej struktury. Czasami jednak rzeczywistym źródłom energii elektrycznej przypisuje się strukturę zbliżoną do struktury rzeczywistego źródła napięciowego. Wtedy parametry schematu zastępczego tych źródeł można utożsamiać z parametrami ich rzeczywistych elementów składowych. Przykładowo dla prądnicy rezystancja wewnętrzna bywa utożsamiana z rezystancją przewodów miedzianych, z których jest wykonane uzwojenie jej twornika.

W źródłach energii elektrycznej następuje zamiana energii nieelektrycznej (chemicznej, mechanicznej itp.) na energię elektryczną. Kierunek przemiany energetycznej może być jednak odwrotny, np. ładowanie akumulatora lub praca silnikowa prądnicy. Dzieje się tak wtedy gdy prąd w źródle płynie od potencjału wyższego do niższego. Wymusza (wymuszają) to źródło (źródła) zewnętrzne.

Liniowość, superpozycja

Wykresy charakterystyk prądowo-napięciowych wszystkich poznanych dotąd elementów obwodów elektrycznych są (w przybliżeniu) liniami prostymi. Stąd elementy te nazywają się elementami liniowymi. Obwody, w których występują wyłącznie elementy liniowe nazywają się obwodami liniowymi. Jeżeli charakterystyka elementu nie jest (przy założonym przybliżeniu) linią prostą jest on elementem nieliniowym. Obwód elektryczny, w skład którego wchodzi chociaż jeden element nieliniowy jest obwodem nieliniowym.

W obwodach liniowych można stosować superpozycję. Mówimy, że obowiązuje w nich zasada superpozycji. Jeżeli w danym układzie obowiązuje zasada superpozycji to w tym układzie odpowiedź na kilka wymuszeń działających jednocześnie jest równa sumie odpowiedzi na każde z tych wymuszeń działających oddzielnie. Wymuszeniem nazywamy tu przyczynę występowania jakiegoś zjawiska, a odpowiedzią samo to zjawisko. W obwodzie elektrycznym wymuszeniem może być siła elektromotoryczna (lub siła prądomotoryczna) - odpowiedzią: prąd (płynący w efekcie działania tego wymuszenia).

Zatem superpozycja polega na liniowym dodawaniu się odpowiedzi na wiele jednoczesnych wymuszeń.

W obwodzie z rys. 1.24. prąd I ma wartość:
. Gdy wymuszenia działają pojedynczo, natężenia prądu wynoszą:
i
. Stąd:
.

Zasada superpozycji jest spełniona.

Na rys. 1.25. pokazano graficzny sposób wyznaczania prądu w obwodzie nierozgałęzionym z dwoma siłami elektromotorycznymi. Dla obwodu z elementem nieliniowym zasada superpozycji nie jest tu spełniona.

Zasada superpozycji i liniowość są ze sobą ściśle związane. Obwód liniowy bywa definiowany jako taki obwód, w którym obowiązuje zasada superpozycji.

Schematy zastępcze obiektów rzeczywistych

Zadaniem elektrotechniki teoretycznej jest dostarczanie narzędzi do analizowania rzeczywistych obiektów elektrotechniki stosowanej. Narzędzia takie potrzebne są do wyznaczania parametrów charakteryzujących te obiekty, do dobierania tych parametrów zależnie od potrzeb, do wyliczania zależności pomiędzy różnymi wielkościami występującymi w obwodach. Pomocne są w tym schematy zastępcze. Są one czymś w rodzaju „ideograficznego zapisu” zależności matematycznych (mniej lub bardziej uproszczonych) opisujących rzeczywiste obiekty.

Różne obiekty mają takie same opisy matematyczne, stąd mają one takie same schematy zastępcze. Schemat zastępczy tego samego obiektu może być inny gdy odpowiada on innemu opisowi matematycznemu (mniej lub bardziej uproszczonemu). Pokazano to w tabeli.

obiekt rzeczywisty	symbol na schematach głównych	opis matematyczny	schemat zastępczy
żarówka		( )
piec elektryczny
ogniwo galwaniczne, akumulator				źródło idealne
prądnica prądu stałego
ogniwo galwaniczne, akumulator				źródło rzeczywiste
prądnica prądu stałego

© Tadeusz St. Piotrowski

- 22 -

---