1. Cel ćwiczenia.

• zapoznanie się z procesem wytwarzania obrazów przez soczewki cienkie,

• zapoznanie się z metodami wyznaczania odległości ogniskowych soczewek cienkich.

2. Wstęp.

Soczewka jest elementem optycznym , którego działanie oparte jest na zjawisku załamania promieni świetlnych na granicy dwóch ośrodków. Zadaniem każdego układu optycznego opartego na zestawie soczewek, jest transponowanie homocentrycznej wiązki świetlnej. Wiązką homocentryczną nazywamy wiązkę, posiadającą jeden wspólny punkt przecięcia. Może być wiązką rozchodzącą lub schodzącą. Soczewki są powierzchniami sferycznymi, więc prosta, na której znajdują się środki krzywizn układu soczewek nazywamy osią optyczną układu. Układ soczewkowy pozwala uzyskać przetransponowany obraz dowolnego przedmiotu. Zbiór punktów przestrzeni, w której znajdują się przedmioty nazywa się przestrzenią przedmiotową (U). Zbiór obrazów punktów przestrzeni przedmiotowej tworzy przestrzeń obrazową (R). Jest to obszar rozciągający się od powierzchni załamującej po stronie utworzonych obrazów rzeczywistych. Wśród soczewek rozróżniamy soczewki o zdolności skupiającej lub rozpraszającej. Punkt, w którym przecinają się promienie(lub ich przedłużenia) wiązki równoległej światła po przejściu przez soczewkę, nazywany jest ogniskiem F, a odległość ogniska od środka soczewki - odległością ogniskowej 'f'. podstawową wielkością charakteryzującą soczewkę jest jej zdolność zbierająca, skupiająca (odwrotność odległości ogniskowej 'f '). Każda z powierzchni soczewki ma środek krzywizny, a prosta przechodząca przez oba środki krzywizny nazywa się osią główną soczewki. Wyróżniamy soczewki cienkie (grubość< niż 1% odl. ogniskowej) i grube (grubość> niż 10% odl. ogniskowej). Soczewkę cienką, przy założeniu, że kąty jakie tworzą promie nie z osią są małe, opisuje wzór soczewkowy :

n1- współczynnik załamania ośrodka , w którym znajduje się soczewka

n2- współczynnik załamania materiału soczewki

r1,r2- promienie krzywizny soczewki

x - odległość przedmiotu od soczewki

y - odległość obrazu od soczewki

U R

F F'

• •

Rysunek 1. Przejście wiązki równoległej do osi optycznej przez soczewkę skupiającą:

F, F'- ogniska przedmiotowe i obrazowe soczewki

F' F

• •

Rysunek 2. Przejście wiązki równoległej do osi optycznej przez soczewkę rozpraszającą:

F, F'- ogniska przedmiotowe i obrazowe soczewki

3. Orientacyjne oszacowanie odległości ogniskowych: soczewki skupiającej (nr 2)

oraz układu skupiajacego soczewek (nr 2 + nr 7).

Aby oszacować odległość ogniskowych należy wytworzyć ostry obraz odległego przedmiotu (odległego źródła światła) i zmierzyć odległość otrzymanego obrazu od soczewki. Odległość ta jest w przybliżeniu ogniskową obrazową soczewki. Ogniskowa ta wynosiła odpowiednio:

• dla soczewki nr 2: f' ≈ 110 mm

• dla układu soczewek nr 2 + nr 7: f' ≈ 426 mm

4. Wyznaczenie odległości ogniskowej soczewek skupiających metodą Bessela.

Metoda Bessela wyznaczania odległości ogniskowej polega na tym, że umieszczamy źródło światła (nasz przedmiot) w stałej odległości od ekranu. Odległość tę wyznaczamy z nierówności: d>4f', gdzie: d - odległość przedmiotu od ekranu; f' - odległość ogniskowa soczewki. Następnie umieszczamy pomiędzy przedmiotem i ekranem soczewkę skupiającą (układ soczewek skupiających). Teraz zmieniając odpowiednio położenie soczewki (układu) staramy się uzyskać na ekranie ostry obraz powiększony w położeniu C1 oraz ostry obraz pomniejszony w położeniu C2. Odległość między położeniami dla obrazu powiększonego i pomniejszonego - C.

4.1. Wyznaczanie odległości ogniskowej metodą Bessela dla soczewki skupiającej.

Tabela pomiarów wyznaczania odległości ogniskowej metodą Bessela dla soczewki skupiającej nr 2, przy odległości przedmiotu od ekranu d=500 ± 2[mm], przedstawia się następująco:

Nr Pomiaru	C1 [mm]	C2 [mm]	ΔC1 [mm]	ΔC2 [mm]
1	148	350	2	2
2	150	348	2	2
3	150	352	2	2
4	153	351	2	2
Wartość Średnia	150,25	350,25	2	2

Objaśnienia:

C1, C2-położenia soczewki dla ostrego obrazu powiększonego i pomniejszonego

ΔCi - błąd przy wyznaczaniu kolejnych położeń soczewki

Odległość między położeniami soczewki:

C = C2średnie - C1średnie = 200 mm

Błąd:

ΔC = ΔC1 + ΔC2 = 4 mm

Na podstawie wartości średnich, możemy wyznaczyć odległość ogniskowej metodą Bessela na podstawie następującej zależności:

= (500²-200²)/2000=105mm

Błąd Δf' obliczony za pomocą metody różniczki zupełnej:

Wynika stąd, że odległość ogniskowej wyznaczona za pomocą metody Bessela dla soczewki skupiającej wynosi:

f' = 105 ± 1,4 [mm]

1. Wyznaczanie odległości ogniskowej metodą Bessela dla układu soczewek skupiających.

Tabela pomiarów dla układu soczewek, przy położeniu przedmiotu (źródła światła) od ekranu w odległości d=1390 ± 1 [mm]:

Nr pomiaru	C1 [mm]	C2 [mm]	ΔC1 [mm]	ΔC2 [mm]
1	555	1070	2	2
2	552	1065	2	2
3	548	1061	2	2
4	558	1073	2	2
Wartość Średnia	553,25	1067,25	2	2

Odległość między położeniami soczewki:

C = C2średnie - C1średnie = 514 mm

Błąd:

ΔC = ΔC1 + ΔC2 = 4 mm

Na podstawie wartości średnich zawartych w tabeli możemy wyznaczyć odległość ogniskowej skupiającego układu soczewek (nr 2 + nr 7) metodą Bessela, z zależności:

Błąd Δf'1,2:

Na podstawie powyższego wzoru mogę obliczyć odległość ogniskowej soczewki rozpraszającej (nr 7) układu soczewek, z zależności:

Wynika z tego, że: f'2 ≈ -161,54 mm

Błąd Δf'2:

5. Wyznaczanie odległości ogniskowych przez pomiar promieni krzywizn soczewek (za pomocą sferometru).

Sferometr jest przyrządem, którym mierzymy strzałkę h czaszy kulistej o znanej średnicy podstawy 2R. Dzięki temu, znając wartość h i R, możemy dokonać obliczeń promieni krzywizn obu powierzchni soczewki:

R²+ h²

r = ————

2h

gdzie: R - promień podstawy

h - strzałka czaszy kulistej

Na podstawie wyliczonych wartości r1 i r2 oraz znając współczynnik załamania szkła soczewki n można obliczyć ogniskową obrazową f' soczewki na podstawie wzoru:

1 n 1 1

—— = —— - 1 —— - ——

f' n' r1 r 2

gdzie: n - współczynnik załamania materiału soczewki, przyjąć n=const=1,52;

n' - współczynnik załamania ośrodka, w którym znajduje się soczewka; dla powietrza: n=1

ri - promień krzywizny powierzchni łamiącej soczewki

5.1. Tabela pomiarowa dla soczewki skupiającej nr 2.

Nr Pomiaru	hwypukła [mm]	hwklęsła [mm]	Rwkl [mm]	Rwyp [mm]	Δh [mm]	ΔR [mm]
1	2,37	1,74	15	17,6	0,02	0,02
2	2,38	1,75	15	17,6	0,02	0,02
Wartość Średnia	2,375	1,745	15	17,6	0,02	0,02

2. Tabela pomiarowa dla soczewki rozpraszającej nr 7.

Nr Pomiaru	hwypukła [mm]	hwklęsła [mm]	Rwkl [mm]	Rwyp [mm]	Δh [mm]	ΔR [mm]
1	1,45	2,85	17,6	15	0,02	0,02
2	1,45	2,85	17,6	15	0,02	0,02
Wartość Średnia	1,45	2,85	17,6	15	0,02	0,02

3. Obliczenia.

Korzystamy z wzoru:

R² + h²

r = ————

2h

Dla soczewki nr 2, obliczam r1 i r2 :

225+5,64

r1 = ————— ≈ 48,55 mm

4,75

309,76+3,045

r2 = ————— ≈ 89,63 mm

3,49

Stąd:

1

—— = 0,52 0,0206 - 0,0111 ≈ 0,0049104 mmֿ¹ ⇒ f'1 ≈ 203,65 mm

f'1

Analogicznie, dla soczewki nr 7:

225+2,1025

r1 = ——————— ≈ 78,31 mm

2,9

309,76+8,1225

r2 = ——————— ≈ 55,77 mm

5,7

Stąd:

1

— = 0,52 0,0127 - 0,018 ≈ -0,002756 mmֿ¹ ⇒ f'2 ≈ -362,85 mm

f'2

Błąd Δri dla danej soczewki liczymy wykorzystując metodę różniczki zupełnej (przykładowo, dla soczewki nr 2):

R 4h²-2R²-2h 15 22,476-450-4,74

Δr1= _*ΔR + _____* Δh = ——*0.02+ —————————*0.02≈ 0.51 mm

h 4h² 2,37 22,476

R 4h²-2R²-2h 17,6 12,1104-619,52-3,48

Δr2= _*ΔR + _____* Δh = ——*0.02+ —————————*0.02≈ 1.21 mm

h 4h² 1,74 12,1104

Błąd Δf1 , na podstawie metody różniczki logarytmicznej:

n 1 1 1

Δf1'= f1'* Δ— * ——————+Δr1*———————+Δr2 *———————

n' n 1 1 1 1

—— - 1 —— - —— * r1 —— - —— * r2

n' r1 r2 r1 r2

Z tej zależności wynika, że:

Δf'1 ≈ 0.518mm

Analogicznie, dla soczewki nr 7:

R 4h²-2R²-2h 15 0,81-450-0,9

Δr1= _*ΔR + _____* Δh = ——*0.02+ —————————*0.02≈ 1.17 mm

h 4h² 0,45 0,81

R 4h²-2R²-2h 17,6 32,49-619,52-5,7

Δr2= _*ΔR + _____* Δh = ——*0.02+ —————————*0.02≈ 0.49 mm

h 4h² 2,85 32,49

Błąd Δf2 , na podstawie metody różniczki logarytmicznej:

n 1 1 1

Δf2'= f2'* Δ— * ——————+Δr1*———————+Δr2 *———————

n' n 1 1 1 1

—— - 1 —— - —— * r1 —— - —— * r2

n' r1 r2 r1 r2

Z tej zależności wynika, że:

Δf'2 ≈ 1.63mm

Uwagi i wnioski.

Metoda Bessela jest najdokładniejszą metodą spośród stosowanych podczas ćwiczenia. Wynika to z tego, że odległości d i c są tylko pośrednio związane z odległościami ogniskowej przedmiotowej f i obrazowej f'.

Błędy zostały wyliczone w oparciu o metodę różniczki zupełnej. Wpływały na nie niedokładności związane ze znalezieniem ostrego obrazu na ekranie, niedokładność związana z pominięciem grubości soczewek.

Na bezpośredni pomiar ogniskowej soczewki rozpraszającej (bez konieczności składania jej z soczewką skupiającą) pozwalała tylko metoda promieni krzywizn powierzchni soczewki (przy pomocy sferometru).

Metoda Bessela nie dała zadowalających wyników dla układu soczewek (rozbieżność w stosunku do metody oszacowania) ze względu na niekorzystne warunki przy wykonywaniu tego doświadczenia (np. dużo krótsza ława pomiarowa nie pozwalająca na spełnienie podstawowego warunku dla metody Bessela: d>4f'!)

8

C C² + d² 200 40000+250000

Δf'= ——*ΔC+ ——— Δd = ———*4 + ——————*2 ≈ 1,4 [mm]

2*d 4d² 1000 1000000

d² - C² 1390²-514²

f'1,2 = ——— = ————— ≈ 300 [mm]

4d 5560

C C² + d²

Δf'1,2= ——*ΔC + ———* Δd ≈ 1,3 [mm]

2*d 4d²

1 1 1 1 1

— = — - — = —— - —— ≈ -61,9 [mm]

f'2 f'1,2 f'1 300 105

C C² + d² 514 264196+1932100

Δf'2= ——*ΔC+ ——— Δd = ———*4 + —————— *2 ≈ 1,31 [mm]

2*d 4d² 2780 7728400

---