4.a) Definicja funkcji różniczkowalnej
w punkcie x⁰. Definicja pochodnej funkcji F w pkt x⁰ oraz różniczki dF(x⁰)h.

def. Fun. f nazywamy różniczkowalną w punkcie x₀, jeżeli jej przyrost Δf = f(x₀ + Δx) - f(x₀) można dla każdego Δx dostatecznie bliskiego zeru przedstawić w postaci Δf = AΔx + 0(Δx), gdzie A jest stałą, a 0(Δx) jest nieskończenie małą rzędu wyższego niż Δx, gdy Δx → 0.

def. Różniczką funkcji f w punkcie x₀ i dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn f'(x₀)Δx. Oznaczamy ją symbolem df(x₀), bądź też krótko df lub dy.

Ad. A)

def. Mówimy,że f-cja f jest różniczkowalna w punkcie x₀ jeśli istnieje odwzorowanie liniowe f `(x₀ )
Hom(

f '(x₀ )
[

takie,że f(x₀ +h)-f(x₀ )=f'(x₀ )(h)+

oraz

Odwzorowanie f '(x₀ ) nazywamy pochodną f-cji f w pkt. x_{0 .} Wartość odwzorowania f '(x₀ ) dla danego h nazywamy różniczką (zupełną) f-cji f dla przyrostu h i piszemy df(x_0, h)=f `(x₀ )h

4.b) Uzasadnić że funkcja
nie jest różniczkowalna w punkcie x0 = (0,0).

f(x,y)-f(0,0)=2f(x₀ ,h)+w _x0(h)

---