Politechnika Łódzka

Filia w bielsku-Białej

ĆWICZENIE 13

Temat: Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy na podstawie prawa Stokesa.

1. Wstęp teoretyczny

We wszystkich cieczach lepkich przy przesuwaniu się jednych warstw względem drugich powstają mniejsze lub większe siły tarcia. Siła przyspieszenia działa na warstwę poruszającą się wolniej od strony warstwy poruszającej się szybciej . I odwrotnie ­­­­­­­- od strony warstwy poruszającej się wolniej na warstw szybszą działa siła hamująca. Siły te zwane siłami tarcia wewnętrznego skierowane są stycznie do powierzchni warstw. Siła tarcia wewnętrznego F jest tym większa, im większe jest pole ΔS powierzchni warstwy, którą bierze się pod uwagę i zależy od prędkości przepływu cieczy v odniesionych do odległości warstw.

F

Δ

S

v₁

Δh

v₂

Rys1. Powstawanie sił tarcia wewnętrznego

Niech dwie warstwy (Rys. 1) o powierzchni ΔS, odległe od siebie o Δh poruszają się względem siebie z różnicą prędkości v₁ - v₂ = Δv. Kierunek, wzdłuż którego mierzy się odległość warstw Δh, jest prostopadły do prędkości ich przepływu. Wielkość
wskazującą jak się zmienia prędkość przy przechodzeniu od jednej warstwy do drugiej, nazywa się gradientem prędkości. Siła tarcia wewnętrznego F jest proporcjonalna do gradientu prędkości.

Wyrażenie to nazywa się prawem Newtona. Wielkość η, zależną od rodzaju cieczy, jest współczynnikiem tarcia wewnętrznego lub współczynnikiem lepkości dynamicznej cieczy.

Lepkość cieczy w bardzo znacznym stopniu zależy od temperatury; przy tym zmniejsza się ona wraz z podwyższeniem temperatury. Szczególnie wrażliwa na zmianę temperatury jest lepkość olejów, np. lepkość oleju rycynowego maleje czterokrotnie przy podwyższeniu temperatury od 18°C do 40°C.

Każde ciało poruszające się w cieczy czy w gazie doznaje pewnej siły hamującej wskutek tego, że warstewki cieczy przylegającej do ciała będącego w ruchu pociągają za sobą coraz dalsze warstewki sąsiednie. Następuje więc przesuwanie się jednych warstw cieczy względem drugich (Rys. 2).

Istnieje gradient prędkości cząsteczek cieczy w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu. Siła, która wywołuje ten gradient prędkości, ma swe źródło w przyciąganiu międzycząsteczkowym. Jest ona czynnikiem hamującym ruch, przypisuje się jej zatem zwrot przeciwny kierunkowi ruchu i nazywa się ją tarciem wewnętrznym cieczy albo lepkością.

Według prawa Stokesa, siła oporu jest wprost proporcjonalna do prędkości, współczynnika lepkości dynamicznej i liniowych rozmiarów ciała. Dla kul poruszających się w cieczy lepkiej według prawa Stokesa siła oporu:

gdzie: η - oznacza współczynnik lepkości dynamicznej cieczy [Ns/m²],

r - promień kuli [m],

v - prędkość jej ruchu [m/s].

Prawo opisane tą zależnością jest słuszne dla warstwowego opływania kuli przez ciecz. Jeśli kula spada swobodnie w cieczy to w opisie jej ruchu oprócz siły Stokesa należy uwzględnić siłę wyporu cieczy:

gdzie: ρ_c - gęstość cieczy [kg/m³],

oraz siłę ciężkości kuli:

gdzie: m - masa kuli [kg],

g - przyśpieszenie ziemskie [m/s²].

Podczas opadania kuli w cieczy jej prędkość początkowo rośnie aż do momentu, gdy nastąpi równowaga sił F+W=G i ruch kuli stanie się jednostajny (Rys. 2).

F

Warstewki cieczy o różnych prędkościach

W

l

Rys. 2 Ruch kulki w ośrodku lepkim G

Mierząc drogę l przebytą przez kulkę ruchem jednostajnym oraz czas jej przebycia t, a także korzystając z warunku równowagi sił, można wyznaczyć lepkość dynamiczną cieczy w postaci zależności:

Badania wskazują, że ważnym parametrem charakteryzującym przepływ cieczy jest bezwymiarowa wielkość Re­, która nazywa się liczbą Reynoldsa i dla przepływu cieczy w okrągłej rurze jest równa:

,

gdzie: d - jest średnicą rury,

v_sr - średnią w przekroju rury prędkością cieczy
V_s - strumieniem objętościowym
,

ρ i η - gęstością i lepkością dynamiczną cieczy,

- lepkością kinematyczną cieczy.

Przejście przepływu laminarnego w burzliwy zachodzi, gdy Re > Re_kr. Wielkość Re_kr zależy od szeregu czynników: gładkości ścianek rury, sposobu wprowadzania cieczy do rury, itd. Dla gładkich okrągłych rur Re_kr≈2300.

2. Wyniki pomiarów i obliczenia

Przyrządy wykorzystane w ćwiczeniu

• rura Stokesa,

• waga analityczna,

• śruba mikrometryczna,

• kulki,

• przymiar.

msr [kg]	Δmsr [kg]	d [m]	Δd [m]	l [m]	Δl [m]	ρ [kg/m^3]
64⋅10^-6	0,1⋅10^-6	2,5⋅10^-3	0,01⋅10^3	0,5	0,001	1260

d₁= 2,454 mm

d₂= 2,466 mm

d₃= 2,459 mm

d₄= 2,462 mm

d₅= 2,463 mm

d₆= 2,458 mm

d₇= 2,465 mm

d₈= 2,471 mm

d₉= 2,451 mm

d₁₀= 2,479 mm

d_śr= 2,5mm

T [°C]	t [s]					tsr [s]	Δtsr [s]
20,5	7,6	7,59	7,6	7,66	7,54	7,59	0,052
25	5,75	5,75	5,72	5,56	5,62	5,68	0,105
30	4,31	4,31	4,26	4,25	4,16	4,26	0,025
35	3,37	3,31	3,28	3,31	3,28	3,31	0,046
40	2,68	2,62	2,75	2,69	2,72	2,69	0,061
45	2,4	2,44	2,54	2,31	2,44	2,43	0,075
50	2,15	2,1	2,02	2,1	2,06	2,09	0,061

α = 0,96

T=20.5°C

T=25°C

T=30°C

T=35°C

T=40°C

T=45°C

T=50°C

T=20.5°C

η=0,34 [Ns/m²]

Δη=4,43•10^-3 [Ns/m²]

T=25°C

η=0,25 [Ns/m²]

Δη=6,16•10^-3 [Ns/m²]

T=30°C

η=0,19 [Ns/m²]

Δη=2,28•10^-3 [Ns/m²]

T=35°C

η=0,15 [Ns/m²]

Δη=3,01•10^-3 [Ns/m²]

T=40°C

η=0,12 [Ns/m²]

Δη=3,46•10^-3 [Ns/m²]

T=45°C

η=0,11 [Ns/m²]

Δη=4,07•10^-3 [Ns/m²]

T=50°C

η=0,09 [Ns/m²]

Δη=3,18•10^-3 [Ns/m²]

Do wyznaczenia współczynników prostej regresji posłużono się programem komputerowym .

a=4138,4 °K

Δa=0,077 °K

b=-17,7

Δb=0,077

lnη=lnη₀+(E/k)*(1/T)

y=b+ax

gdzie

E - energia oddziaływań międzycząsteczkowych

K - stała Boltzmana K=1,3806*10^-23 [J/°K]

E=a*K [eV]

E=5,72*10^-20 =0,34 [eV]

T [°C]	1/T [1/°C]	η [Ns/m^2]	Δη [Ns/m^2]*10^-3	lnη
20,5	0,049	0,34	4,43	-1,08
25	0,04	0,25	6,16	-1,38
30	0,033	0,19	2,28	-1,66
35	0,028	0,15	3,01	-1,89
40	0,025	0,12	3,46	-2,12
45	0,022	0,11	4,07	-2,2
50	0,02	0,09	3,18	-2,4

3. Wnioski

Jak można zauważyć η maleje wraz ze wzrostem temperatuty. Również podczas pomiaru można stwierdzić iż wraz ze wzrostem temperatury zmniejsza się czas po jakim kulka przebywa drogę l w cieczy. Wnioskować więc można, iż ze wzrostem temperatury maleje lepkość cieczy. Błędy mogą wynikać z niedokładności pomiaru czasu jak i z przyjętych przybliżeń podczas prowadzenia obliczeń.

1

2

Ćw. 40

---