3EKRAN_-25

Lekcja 3 -Równoważność dwójników pasywnych

W niniejszej lekcji przedstawiona zostanie definicja oraz wyprowadzenie wzorów na połączenie szeregowe i równoległe dwójników. Zaprezentowane zostaną także dalsze przykłady analizy prostych obwodów prądu stałego, w tym praktyczne przykłady układów pomiarowych rezystancji tzw. metodą techniczną.

3EKRAN_-26

Równoważne dwójniki pasywne

Rys.3.11 Dwa równoważne dwójniki

Definicja:

Dwa dwójniki uważamy za równoważne jeżeli przy jednakowym wymuszeniu powstaje jednakowa odpowiedź.

Komentarz_Ekran-26

Inaczej dwójniki będą równoważne jeżeli przy jednakowym napięciu zasilania U popłynie przez dwójniki jednakowy prąd I. Równość napięć i prądów dotyczy zarówno wymuszenia napięciowego jak i prądowego.

3EKRAN_-27

Rodzaje połączeń dwójników:

Połączenie szeregowe

Z II Prawa Kirchhoffa otrzymamy: U-U₁-U₂-U₃=0 U=I(R₁+R₂+R₃) U=IR_Z

Ogólnie dla k dwójników połączonych szeregowo R_Z=R_K

Komentarz_Ekran-27

Konsekwencją połączenia szeregowego dwójników jest przepływający przez nie jednakowy prąd.

3EKRAN_-28

Równoważna (zastępcza) rezystancja równolegle połączonych rezystorów

Z I prawa Kirchhoffa mamy:

Komentarz_Ekran-28

Tym razem konsekwencją połączenia równoległego dwójników jest jednakowe napięcie na zaciskach każdego z nich.

3EKRAN_-29

Prądy dwójników można wyrazić przez:

Wstawiając powyższe prądy do I-go prawa Kirchhoffa otrzymamy:

stąd

Ogólnie wzór na połączenie równoległe ma postać:

lub

Warto zauważyć że jeżeli R₁=R₂=R₃=...R_N=R to

3EKRAN_30

Przykład 3.1

Obliczyć wskazania mierników oraz moc wydzielaną przez źródło (mierniki idealne).

Dane

E = 100 [V]

R_k+1 = R_k + 2 [Ω]

gdzie k= 1...5

oraz R₁ = 2 Ω

Komentarz_Ekran-30

Na podstawie wzoru na rezystancje wiedząc że R₁ = 2 Ω następne rezystancje mają wartości:

R₂ =4 Ω; R₃ =6 Ω; R₄ =8 Ω; R₅ =10 Ω; R₆ =12 Ω.

3EKRAN_31

Obwód po zastosowaniu i założeniu , że mierniki są idealne ma postać:

Komentarz_Ekran-31

W obwodach prądu stałego mierniki rzeczywiste modeluje się za pomocą rezystancji. W przypadku założenia idealności mierników dla amperomierza przyjmujemy wartość rezystancji równą zero, a w przypadku woltomierza równą nieskończoność, co zastępujemy przerwą w obwodzie. Wzór na rezystancję R₅₆ wynika ze wzoru ogólnego na połączenie równoległe w tym przypadku rezystancji R₅ i R₆.

3EKRAN_32

Obwód po połączeniu równoległym:

Jak można zauważyć I₃ = I₄ = (I₅ + I₆)

R₃₄₅₆ = R₃ + R₄ + R₅₆ = 6 + 8 + 5.455 = 19.455 Ω

3EKRAN_33

Po połączeniu równoległym R₂ i R₃₄₅₆:

3EKRAN_34

Łącząc szeregowo R₁ i R₂₃₄₅₆ otrzymany:

R_z= R₁+ R₂₃₄₅₆ = 2 + 3.318 = 5.318 Ω

3EKRAN_35

Korzystając z prawa Ohma można wyliczyć prąd I₁

Moc wydzielana przez źródło : P = E · I₁ = 100 · 18.805 = 1880.5 W

Wskazanie woltomierza to: U₂₃₄₅₆ = I₁ · R₂₃₄₅₆ = 18.805 · 3.318 = 62.395 V

Wskazanie amperomierza to wartość prądu I₃:

Odpowiedź:

Wskazanie amperomierza wynosi 3.207A

Wskazanie woltomierza wynosi 62.395 V

Moc wydzielana przez źródło 1880.5 W

3EKRAN_36

Przykład 3.2

1. Określić wartość rezystancji R w układzie zwanym układem poprawnie mierzonego napięcia, jeżeli wskazanie amperomierza I_A = 1A, a woltomierza U_V = 10V, oraz jeżeli mierniki są rzeczywiste o wartościach rezystancji: R_A = 10mΩ oraz R_V = 2kΩ.

2. Obliczyć wartość rezystancji pomiarowej określonej jako stosunek
   (przy znajomości R_A i R_V jak wyżej ) jeżeli rzeczywista rezystancja wyniosłaby:

1. R =10Ω

2. R =5kΩ

Wyliczyć procentowy błąd popełniany przy określaniu rezystancji pomiarowej.

3EKRAN_37

W układzie poprawnie mierzonego napięcia wskazanie woltomierza jest jednocześnie napięciem na mierzonej rezystancji.

Rys.3.12 Układ poprawnie mierzonego napięcia

Komentarz_Ekran-37

Oprócz symboli mierników zostały zamodelowane ich rzeczywiste rezystancje. W trakcie prowadzonych obliczeń należy stosować obwód uwzględniające te rezystancje pomijając symbole mierników.

3EKRAN_38

Ad 1.

Aby obliczyć wartość rezystancji R należy obliczyć napięcie na rezystancji oraz prąd przez nią płynący.

Dane:

I_A = 1A U_V = 10V R_A = 10m Ω R_V = 2kΩ

R =?

Komentarz_Ekran-38

Należy zwrócić uwagę, że zakładając poprawność stosowanego układu do pomiaru rezystancji wyznacza się ją jako stosunek wskazań odpowiednio woltomierza do amperomierza.

3EKRAN_39

Ad. 2a

Dane: Wartość rzeczywista rezystancji R = 10Ω; R_A = 10mΩ R_V = 2kΩ

zmierzona rezystancja wynosi
stąd:

3EKRAN_40

Wstawiając w miejsce R_p wyrażenie określające R_RV otrzymujemy wzór, z którego wynika, że błąd pomiarowy w tym układzie zależy tylko od wartości mierzonej rezystancji i rezystancji woltomierza:

Warto zwrócić uwagę, że powyższy błąd zmierza w granicy do wartości -100% przy R

Z kolei najmniejszą wartość bezwzgędną =0 błąd przyjmie dla R=0

3EKRAN_41

Ad. 2b

Rezystancja rzeczywista R = 5kΩ

Względny błąd procentowy wynosi:

3EKRAN_42

Odpowiedzi:

Ad.1 Obliczona wartość rezystancji wyniosła 10.05Ω.

Ad. 2a Dla pomiaru rezystancji o wartości 10Ω w układzie poprawnie mierzonego napięcia błąd względny procentowy wynosi -0.498%.

Ad. 2b Dla pomiaru rezystancji o wartości 5000Ω tą metodą, błąd względny procentowy wyniósł -71.42%.

Wniosek

Układ poprawnie mierzonego napięcia daje dokładniejsze wyniki dla rezystancji zdecydowanie mniejszych od rezystancji woltomierza, błąd dla tej metody jest zawsze ujemny.

3EKRAN_43

Zadanie

Oblicz procentowy błąd popełniany przy określaniu rezystancji jako stosunek
dla układu poprawnie mierzonego prądu tj. jak na rys. poniżej. Obliczenia wykonać dla dwóch przypadków.

a)R =50 mΩ b)R =500Ω

3odpowiedź_do_EKRAN43

odpowiedzi:

Ad.a Dla pomiaru rezystancji o wartości 50mΩ w układzie poprawnie mierzonego prądu błąd względny procentowy wynosi 20%.

Ad.b Dla pomiaru rezystancji o wartości 100Ω tą metodą błąd względny procentowy wynosi 0.01%.

Wniosek

Układ poprawnie mierzonego prądu daje dokładniejsze wyniki dla rezystancji zdecydowanie większych od rezystancji amperomierza.

W dalszym ciągu jeżeli w przykładach nie podawane są rezystancje występujących w nich mierników to znaczy, że mogą być w rozpatrywanym obwodzie traktowane jako idealne.

3EKRAN_44

Przykład 3.3

Obliczyć wskazania mierników przy równoległym połączeniu żarówek do źródła rzeczywistego o rezystancji R_w. Zbadadać, przy jakim połączeniu żarówki pobierają większą moc. Założyć, że w rozpatrywanych warunkach zmiany napięcia mają nieznaczny wpływ na zmianę rezystancji żarówek.

Dane znamionowe pojedynczej żarówki : U_N = 110V P_N = 100W

Dane dotyczące parametrów obwodu: E = 110V R_W = 2Ω

Komentarz_EKRAN_44

Watomierz jest miernikiem wskazującym iloczyn napięcia jaki jest przyłożony do cewki napięciowej i prądu jaki przepływa przez cewkę prądową watomierza. W przypadku włączenia na powyższym rysunku, napięcie i prąd watomierza jest jednocześnie napięciem i prądem mierzonym odpowiednio przez woltomierz i amperomierz. Tak włączony watomierz pokazuje moc, z jaką przepływa energia z lewej strony obwodu do prawej. W elektrotechnice powszechnie używa się skrótu myślowego mówiąc o przepływie bądź poborze mocy przez odbiornik mając na myśli prędkość przepływu energii, lub poborze energii.

3EKRAN_45

Rozwiązanie:

Obliczamy rezystancję żarówek z zależności:

Zatem rezystancja zastępcza obu żarówek wynosi:

Prąd w obwodzie (wskazanie amperomierza):

Wskazanie woltomierza:

Wskazanie watomierza:

Komentarz_EKRAN_45

Warunki znamionowe

Na wszystkich urządzenia elektrycznych producent jest zobowiązany podać tzw. warunki znamionowe tj. warunki, przy których urządzenie bezpiecznie optymalnie i długotrwale powinno pracować. W przypadku urządzeń zasilanych ze źródeł prądu stałego najczęściej podawane jest napięcie znamionowe i moc, jaką pobierałoby urządzenie gdyby podczas pracy na jego zaciskach panowałoby powyższe napięcie.

3EKRAN_46

W rozpatrywanym przypadku żarówki zasilane są ze źródła rzeczywistego o rezystancji wewnętrznej różnej od zera. Oznacza to że przy obciążeniu go rezystancją na jego zaciskach panuje mniejsze napięcie od siły elektromotorycznej źródła E. Czyli nawet w przypadku żarówek włączonych równolegle, napięcie, przy którym pracują nie jest znamionowe. W dalszej części kursu zostanie przedstawiona zależność rezystancji przewodników od temperatury, która w przypadku żarówek jest zależna od napięcia. Oznacza to iż zakładając niezmienność rezystancji obliczonych na podstawie warunków znamionowych przyjmujemy pewne uproszczenie.

3EKRAN_47

Przy założeniu, że w rozważanym przypadku można pominąć wpływ temperatury na rezystancję mamy:

Dla połączenia szeregowego

Stąd moc pobierana przez obie żarówki:

Czy można zatem powiedzieć że dwie takie same rezystancje będą pobierały większą moc w przypadku połączenia równoległego, aniżeli w przypadku połączenia szeregowego?

Żeby odpowiedzieć na to pytanie określmy funkcje mocy dla obu przypadków:

3EKRAN_48

Jeżeli połączymy dwie rezystancje R szeregowo do rzeczywistego źródła to funkcja mocy ma postać:

Natomiast w przypadku połączenia równoległego tych rezystancji funkcja mocy ma postać:

3EKRAN_49

Wykres mocy w funkcji rezystancji R połączonych szeregowo i równolegle

3EKRAN_50

Odpowiedzi:

Wskazanie woltomierza: U = 106.5V

Wskazanie watomierza: P = 187.2W

Moc przy połączeniu szeregowym P=49.18 W

Z przebiegu uzyskanych funkcji mocy wynika, że dla rezystancji obciążenia R mniejszej od R_w (dla danych z zadania R_w=2) większą moc będzie pobierał układ szeregowo połączonych takich rezystancji, natomiast dla R> R_w układ rezystancji połączonych równolegle.

3EKRAN_51

Podsumowanie

Z przedstawionych przykładów warto zapamiętać następujące wnioski:

• Przyrządy pomiarowe nigdy nie są idealne. To my w zależności od konfiguracji obwodu i wielkości w nim występujących decydujemy o uproszczeniu traktując je jako idealne, czyli rezystancję amperomierza przyjmuje się równą zero a woltomierza nieskończoność. Należy jednak pamiętać, że rzeczywisty amperomierz i woltomierz może mieć przy małym zakresie (mA,mV) porównywalną rezystancję rzędu kilkunastu .

• Warto także zwrócić uwagę na uzyskane w ostatnim przykładzie funkcje mocy z charakterystycznym maksimum. Dla jakiej wartości występuje maksimum funkcji mocy zostanie wyjaśnione w następnej lekcji.

R₃

I₃

U₃

R₂

I₂

U₂

R₁

I₁

U₁

I

U

U

U₃

U₂

U₁

R₃

R₂

R₁

I

U_Z

R_Z

U

U

I i₁(t

B

I

A

E

R₁

R₃

A

R₅

R₆

R₄

V

R₂

E

R₂

R₄

R₅

R₆

R₃

R₁

I₄

I₁

I₂

I₃

I₅

I₆

R₄

E

R₂

R₅₆

R₃

R₁

I₁

I₂

I₃

E

R₂

R₃₄₅₆

R₁

I₁

I₂

I₃

E

R₂₃₄₅₆

R₁

I₁

I₁

R_z

E

V

A

U

I

R_Z

I

U

E

R

U_V

I_R

I_V

I_A

R_A

R_V

2

1

R_V

R_A

I

I_V

I_A

U_V

R

E

V

A

U_N

R_Ż

V

*

W

*

A

E

R_W

I

---