Czym są macierze?

Macierz to po prostu tablica liczb.
  - jest to przykładowa macierz.

Dla macierzy ważne jest kilka wartości charakteryzujących ją:

-         liczba wierszy (poziome)

-         liczba kolumn (pionowe)

Jeżeli w macierzy liczba kolumn jest równa liczbie wierszy to macierz nazywamy kwadratową n-tego stopnia, gdzie n to liczba kolumn i wierszy.

Każdy element macierzy jest opisywany przez numer wiersza i kolumny

np. a_i,j­ - oznacza element leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie.

Definicja matematyczna:

        Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych przyporządkowuje dokładnie jedną wartość a_i,j  R nazywamy macierzą

Macierze zapisujemy na ogół tłustym drukiem -  A, B - opisujemy

A=[a_ij]_nxm - oznacza macierz o liczbie wierszy n i liczbie kolumn m, tworzą ją elementy a_ij

Macierz, której wszystkie elementy są równe zero, nazywamy macierzą zerową lub po prostu zerem, zapisujemy A=0

Dla macierzy kwadratowej możemy wyróżnić przekątną główną, tworzą ją elementy na przekątnej od lewego górnego rogu, do prawego dolnego. Matematycznie jest to ciąg elementów (a₁₁, a₂₂, ..., a_nn).

Macierz kwadratową, której wszystkie elementy oprócz przekątnej głównej są równe zero, nazywamy macierzą diagonalną i zapisujemy

diag(a₁₁,a₂₂,...,a_nn).

Macierz diagonalną, której wszystkie elementy na przekątnej równe są 1 nazywamy macierzą jednostkową lub po prostu jedynką i oznaczamy I.

np. I=
dla stopnia trzeciego

Macierz, która oprócz przekątnej ma same 0, a na przekątnej te same wartości nazywamy macierzą skalarną. 

np. A=diag(a,a,a) =

I.                                      Porównywanie macierzy

 

 

Dla macierzy A=[a_ij]_nxm oraz B=[b_ij]_nxm możemy stwierdzić równość jeżeli odpowiadające sobie elementy są równe.

 

Matematycznie zapisujemy:

A=B  a_ij=b_ij dla (i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)

 

 

II.                                 Dodawanie macierzy

 

Dodawanie (i analogicznie odejmowanie) macierzy jest możliwe tylko dla dwóch macierzy o takich samych wymiarach. Wynikiem dodawania macierzy jest macierz o takich samych wymiarach jak składniki. Elementy macierzy wynikowej są sumą odpowiednich elementów składników.

 

Matematycznie zapisujemy:

A=[a_ij]_nxm , B=[b_ij]_nxm

Sumą macierzy A+B nazywamy taką macierz C = [c_ij]_nxm , że:

c_ij=a_ij+b_ij dla (i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)

 

czyli po prostu:

C=A+B= [a_ij+b_ij]_nxm

 

analogicznie definiujemy odejmowanie:

D=A-B= [a_ij-b_ij]_nxm

np.:

 

 

 

III.                            Mnożenie przez skalar

 

Każdą macierz możemy pomnożyć przez dowolną liczbę rzeczywistą. Mnożenie przez liczbę rzeczywistą polega na pomnożeniu każdego elementu przez tą liczbę. Mnożenie przez skalar jest przemienne.

 

Matematycznie

A=[a_ij]_nxm - iloczynem A nazywamy taką macierz C=[c_ij]_nxm, że:

c_ij=a_ij

 

np.

 

 

Mnożenie macierzy

Mnożenie macierzy nie jest już taką prostą sprawą. Operacja z początku może wydać się skomplikowana, ale po krótkiej wprawie wykonuje się ją już mnemotechnicznie.

Najpierw potrzebujemy zdefiniować sobie iloczyn skalarny dwóch wektorów.

Wektorem nazywamy macierz o jednej kolumnie.

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów nazywamy liczbę która jest sumą iloczynów odpowiednich składowych wektorów.

Mnożenie macierzy jest możliwe dla macierzy o odpowiednich wymiarach.

Jeżeli chcemy przeprowadzić mnożenie AB to liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierzy macierzy B.

Mnożenie macierzy nie jest przemienne tzn. chcąc wykonać mnożenie

BA liczba kolumn macierzy B musi być równa liczbie wierszy macierzy A.

Co jest wynikiem mnożenia?

Wynikiem mnożenia macierzy A_nxmB_mxk jest macierz C o wymiarze nxk.

Czyli po prostu przy mnożeniu macierzy o wymiarach nxm przez macierz o wymiarach kxl

-         po pierwsze „wewnętrzne” wymiary muszą się zgadzać => m=k

-         wynikiem jest macierz o wymiarach nxl

Jaką postać będzie miała macierz C?

Otóż każdy element macierzy C - c_ij jest równy iloczynowi skalarnemu i-tego wiersza macierzy stojącej po lewej stronie znaku mnożnie, przez j-tą kolumnę macierzy stojącej po prawej stronie znaku mnożenia.

np.

Definicja

  Iloczynem macierzy A=[a_ij]_nxp przez macierz B=[b_ij]_pxm nazywamy taką macierz C=[c_ij]_nxm piszemy C=AB, że

 dla i=1,2,...,n;j=1,2,...,m

W ogólnym przypadku mnożenie macierzy nie jest przemienne, natomiast jeżeli AB=BA to macierze A i B nazywamy przemiennymi.

Kilka przydatnych właściwości:

Jeżeli A,B oraz  C są macierzami o odpowiednich wymiarach to:

1.    A(BC)=(AB)C

2.    (AB)=(A)B

3.    (A+B)C=AC+BC

4.    C(A+B)=CA+CB

5.    IA=A, gdy A_nxn i I_nxn

Dodatkowo patrz: http://www.math.edu.pl/macierze

---