1.Zadania tekstowe.
1.1 Pojęcie i struktura zadań tekstowych.
Kluczową kwestią w rozważaniach na temat zadań tekstowych jest określenie ich istoty. Józef Pieter podaje definicję, która określa jedynie gramatyczną warstwę, bez wnikania w jej sens matematyczny. Twierdzi on, iż zadanie tekstowe jest zdaniem pytającym lub układem zdań zakończonych pytaniem. Pełniejszą definicję sformułowaną przez W. Cziczigina przytacza Maria Cackowska : „zadanie tekstowe jest to żądanie wyznaczenia wartości liczbowej poszukiwanej wielkości na podstawie znanych danych wartości liczbowych innych wielości wchodzących w skład zadania oraz związków między tymi wartościami[…]. Zależności miedzy wielkościami wyrażone są w mowie potocznej, w języku życia codziennego i codziennej działalności wytwórczej. Dane wyrażone są w tych zadaniach liczbami, podobnie jak w przykładach liczbowych, czyli ćwiczeniach, zależności między wielkościami w postaci słownej, a żądanie określenia poszukiwanej wielkości w formie pytania.” Zofia Cydzik zwraca uwagę przede wszystkim na strukturę, mówiąc iż „zadanie tekstowe składa się z sytuacji życiowej i warunków matematycznych określonych za pomocą wielkości danych i wielkości poszukiwanej, powiązanych ze sobą takimi zależnościami logicznymi, których ustalenie prowadzi do odpowiedzi na główne pytanie w zadaniu.”
Jak wynika z powyższej definicji zadanie tekstowe składa się z warstwy werbalnej i gramatycznej. Tekst zadania zwykle dotyczy sytuacji życiowej bliskiej doświadczeniu dzieci i ma formę krótkiego opowiadania. Zdania są ze sobą powiązane logicznie, dzięki czemu tworzą określoną fabułę. Tekst zakończony jest zdaniem pytającym lub rozkazującym, zawierającym polecenie do wykonania.
Jak pisze Maria Cackowska warstwę matematyczną zadania stanowią dane i niewiadome, powiązane takimi zależnościami, iż tworzą one problem matematyczny wymagający rozwiązania. Dane matematyczne mogą być wyrażone liczbami lub słownie, za pomocą terminów matematycznych, np. miar wielkości, liczebników głównych, porządkowych itp. Zależności tych danych wyrażane są słownictwem potocznym opisującym różne czynności (otrzymał, zgubił, kupił, oddał, odjechał, rozdał, ustawił itp.) lub słownictwem paramatematycznym typu: o tyle większy - mniejszy, starszy - młodszy, droższy - tańszy, dwa razy dłuższy - krótszy, szybszy - wolniejszy itp. Wszystkie te terminy i zwroty mogą być przekładane na język operacji matematycznych - dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Problem matematyczny zadania może być zarejestrowany w postaci ciągu działań lub złożonej formuły matematycznej, która stanowi plan rozwiązania zadania.”
Proste zadania tekstowe mają dwojakie znaczenie dydaktyczne: same są materiałem poznawczym (wyznaczenie działania odpowiedniego do warunków matematycznych zadania, przekształcanie zadania według zmienionego głównego pytania) oraz pełnią funkcję usługową w kształtowaniu pojeć matematycznych.
1.2 Rodzaje zadań tekstowych
Zadania tekstowe są nieodłączną częścią edukacji matematycznej. Ze względu swą wagę odrywają różnorodne role. Większość autorów wyróżnia najprostszy podział na zadania tekstowe proste i złożone. Zadania proste to te, w których występuje tylko jedna niewiadoma, dlatego do ich rozwiązania potrzebne jest rozwiązanie jednego tylko działania, natomiast zadania złożone zawierają więcej niż jedna wielkość szukaną w związku z czym należy rozwiązać więcej działań, aby uzyskać odpowiedź na postawione w nich pytanie. Stefan Turnau dzieli ponadto zadania złożone na zadania złożone łańcuchowo i właściwe zadania złożone. Jego zdaniem zadanie złożone łańcuchowo można rozłożyć na taki ciąg prostych zadań, że po rozwiązaniu pierwszego z nich, odpowiedź daje niezbędne dane do rozwiązania następnego itd. We właściwych zadaniach złożonych znajdują się co najmniej dwa warunki charakteryzujące związki między niewiadomymi.
Podobnego podziału dokonuje Zofia Cydzik, która dzieli zadania na proste jednodziałaniowe, zadania złożone z dwóch lub trzech działań ora zadania z działu logiki zbiorów. O tych ostatnich autorka pisze, iż są one odrębny problemem matematycznym i mają na celu rozwój logicznego rozumowania u uczniów.
Stanisław Sokołowski dokonuje podziału na zadania problemowe i bezproblemowe. Zadania bezproblemowe to takie, których treść stanowi oprawę dla ćwiczeń rachunkowych typu pamięciowego ( są to zadania proste i złożone). Zadania problemowe są sytuacją problemową, w której na płaszczyźnie określonej tematyki są ukazane wielkości dane i poszukiwane pozostające ze sobą w określonych zależnościach. Problemem matematycznym dla ucznia jest określenie tych zależności i związków ( odpowiedź na główne pytanie zadania). W ich przypadku także funkcjonuje podział na proste i złożone.
Problemy matematyczne mogą mieć strukturę zamknięta albo otwartą. W zadaniach zamkniętych dane i niewiadome wymagają zastosowania ściśle określonej metody rozwiązywania, która jednoznacznie determinuje wynik. Zadania te maja tylko jedno rozwiązanie. Rozwiązywanie tego typu zadań kształtuje i utrwala z góry zakładane schematy postępowania, nie dopuszczając przy tym żadnych zmian. Zadania otwarte są niezupełnie określone: umożliwiają wybór różnorodnych metod postępowania i mają wiele rozwiązań. Pozostawiają więc uczniom więcej swobody w dopełnianiu warunków, wyborze metod i otrzymywanych na ich podstawie wyników. Rozwiązywanie zadań otwartych wymaga pomysłowości i myślenia produktywnego.
Najbardziej szczegółowe podziały proponuje Maria Cackowska. Przytoczę je dokładniej. W początkowym okresie nauki istotna dla dzieci jest fabuła zadania. Pod tym względem można podzielić zadania tekstowe na te o fabule dynamicznej i fabule statycznej. W zadaniach z fabułą dynamiczną opisane w nim czynności podpowiadają wybór operacji matematycznej, natomiast przy fabule statycznej należy je wyznaczyć samodzielnie, niezależnie od treści, na podstawie poprawnego rozumienia całości zadania. Podziału zadań możemy dokonać także ze względu na stopień ich abstrakcji. Tutaj Maria Cackowska wyróżniła: zadania o treści konkretnej, abstrakcyjnej i abstrakcyjno - symbolicznej.
Zadaniem o treści konkretnej będzie zadanie typu: Na przystani stało 15 łodzi. Turyści wypożyczyli 6 łodzi. Ile łodzi zostało na przystani?
Przykładem zadania o treści abstrakcyjnej będzie następujące zadanie: Piechur idzie z prędkością 6 km na godzinę, a rowerzysta jedzie 3 razy szybciej. Ile km w ciągu godziny przejeżdża rowerzysta?
Treść abstrakcyjno - symboliczną zawiera na przykład zadanie: suma dwu liczb wynosi 15. Druga liczba jest o 3 większa od pierwszej. Oblicz wartość każdej z tych liczb.
Zadania tekstowe mogą różnić się między sobą także pod względem sposobu wyrażenia w nich danych matematycznych:
Zadania z jawnymi danymi: Mama kupiła na śniadanie 5 bułek zwykłych i 3 bułki maślane. Ile bułek mama kupiła na śniadanie?
Zadania z danymi półjawnymi: Franek zaoszczędził w jednym tygodniu 16 zł, a w drugim o 3 zł więcej. Ile pieniędzy zaoszczędził Franek w ciągu dwóch tygodni?
Zadania z danymi ukrytymi: Wieczorem w zagrodzie było kilkanaście owiec. Rano 6 z nich wypuszczono na łąkę i wtedy w zagrodzie zostało jeszcze 5 owiec. Ile owiec było w zagrodzie wieczorem?
lub pod względem ich uporządkowania:
Zadania o uporządkowanym układzie danych: Witek liczył skrupulatnie czas, który poświęcał codziennie na odrabianie lekcji. W poniedziałek czytanie zajęło mu 15 minut, rozwiązywanie zadań o 17 minut więcej niż czytanie, a pisanie wypracowania 2 razy więcej czasu niż czytanie. Ile czasu zajęło Witkowi odrabianie lekcji?
Zadania o częściowo uporządkowanym układzie danych: Do pomocy przy zbiorze owoców zgłosiło się 16 chłopców i 8 dziewczynek z klasy III. Sadownik podarował im za to 72 kg gruszek. Ile kg gruszek winni otrzymać chłopcy, a ile dziewczynki, jeśli podzielili się otrzymanymi owocami po równo?
Zadania o nieuporządkowanym układzie danych: Czapka i szalik kosztują razem 350 zł. Czapka jest 4 razy droższa od szalika. Oblicz cenę czapki i szalika.
Niezupełnie uzasadnionym z matematycznego punktu widzenia, ale od dawna zakorzenionym w dydaktyce rozdziałem jest wyróżnienie zadań arytmetycznych i zadań algebraicznych. Zadania arytmetyczne, czyli, inaczej mówiąc, zadania o arytmetycznej strukturze, które posiadają uporządkowany układ danych rozwiązywane są za pomocą formuły arytmetycznej. Natomiast zadania o strukturze algebraicznej ( zadania algebraiczne) to zadania o nieuporządkowanej strukturze danych najczęściej rozwiązywane są za pomocą równań.
George Polya wyróżnił następujące rodzaje zadań:
zadania typu „znaleźć”- celem jest znalezienie pewnego obiektu, niewiadomej zadania. Mogą to być zadania teoretyczne lub praktyczne, abstrakcyjne lub konkretne, poważne problemy lub zagadki. Możemy szukać wszelkiego rodzaju niewiadomych, możemy starać się znaleźć, otrzymać, zdobyć, produkować albo konstruować wszelkiego rodzaju obiekty. Głównymi częściami zadania typu „znaleźć” są niewiadoma, dane i warunek. Rozwiązanie zadania polega na bardzo dobrej znajomości jego głównych części: niewiadomej, danych i warunku. Zadania te są ważniejsze w matematyce elementarnej.
Zadania typu „udowodnić”- ich celem jest wykazać w sposób niezawodny, że pewne jasno sformułowane twierdzenie jest prawdziwe, albo też wykazać, że jest ono fałszywe. Musimy odpowiedzieć na pytanie: czy twierdzenie jest prawdziwe czy fałszywe? w sposób niezawodny, zdecydowany. Jeżeli zadanie typu „udowodnić” jest zadaniem matematycznym zwykłego rodzaju, to musimy znać bardzo dobrze jego główne części: założenie i tezę. Zadania tego typu są ważniejsze w matematyce wyższej.
Oprócz w/w rodzajów zadań G. Polya podaje trzeci rodzaj:
Zadanie pomocnicze - jest to zadanie, które rozpatrujemy nie dlatego, że naszym celem jest jego rozwiązanie, ale dlatego, że mamy nadzieję iż rozpatrzenie go może nam pomóc w rozwiązywaniu zadania wyjściowego. Korzyść z rozwiązania takiego zadania może być dwojaka:
możemy skorzystać z wyniku zadania pomocniczego
możemy skorzystać z metody rozwiązania zadania pomocniczego.
Ostatnim omówionym podziałem będzie podział na zadania typowe i nietypowe. Zadania nietypowe różnią się od typowych tym, iż są one wadliwie skonstruowane, które maja na celu zwrócenie uwagi uczniów na strukturę zadań. Mogą to być zadania z niedomiarem lub nadmiarem danych, bez danych, z pytaniem sprzecznym z warunkami matematycznymi a także wadliwe ze względu na niezgodność z sytuacją życiową.
1.3 Metody i etapy rozwiązywania zadań tekstowych
Ciąg działań arytmetycznych prowadzących do pożądanego wyniku (wartość niewiadomej) nazywamy sposobem rozwiązania. Dla każdego zadania można podjąć wiele sposobów rozwiązania. Metoda rozwiązywania zadań obejmuje matematyzację zadania tj. wyizolowanie i wyrażenie w języku matematycznym wszystkich istotnych związków między niewiadomymi i danymi.
Rozwiązywanie zadań może obejmować kilka różnorodnych sytuacji dydaktycznych:
- rozwiązywanie zadań pod kierunkiem nauczyciela ( często określa się ten typ lekcji rozwiązywaniem wspólnym)
- rozwiązywanie zadań analogicznych, gdzie udział nauczyciela ma charakter indywidualny i doraźny
- samodzielne rozwiązywanie zadań
- samodzielne rozwiązywanie tych samych zdań kilkoma sposobami.
Niezależnie od przyjętej metody rozwiązywania zadania można wyróżnić kilka etapów tej czynności. Różni autorzy w różny sposób podchodzą do tej kwestii.
A.S. Pczołko główny nacisk kładzie na czynności nauczyciela sterującego procesem rozwiązywania zadania przez uczniów. Zaleca on następujący tok postępowania:
Zakomunikowanie uczniom warunków zadania i pytania
Powtórzenie zadania według pytań naprowadzających i bez pomocy pytań
Wyodrębnienie pytania w zadaniu
Zapis rozwiązania zadania
Zupełnie inaczej problem ujmuje W. Hemmerling. Skupia się ona przede wszystkim na czynnościach uczniów, etapy rozwiązywania zadań formułując jako wskazówki:
I etap pracy - zapoznanie z zadaniem
1. Przeczytaj uważnie zadanie
2. Powiedz krótko, o czym jest zadanie (tytuł)
3. Powtórzy pytanie lub ułóż pytanie, jeśli go brak
II etap pracy - rozwiązanie zadania
1. Przedstaw warunki zadania za pomocą dostępnych ci liczmanów
2. Powtórz z pamięci to, co wykonałeś
3. Przedstaw zadanie krótko w postaci np. rysunku, tabeli, grafu strzałkowego itp.
4. Powiedz, co oznacza każda z podanych liczb i symboli
5. Jaki przewidujesz wynik rozwiązania
6. Napisz rozwiązanie
III etap pracy - sprawdzenie rozwiązania
1. Sprawdź, czy rozwiązanie odpowiada warunkom zadania ( w razie potrzeby możesz sprawdzić dwoma lub więcej sposobami)
2. Porównaj wynik rozwiązania z wynikiem, który przewidywałeś przed rozwiązaniem
3. Zapisz krótko odpowiedź
George Polya z kolei przykłada wielka wagę do układania przez uczniów planów rozwiązania oraz samokontroli. Jego propozycja określana jest mianem metody heurystycznej. Wyróżnia następujące etapy rozwiązywania zadań:
Zrozumienie zadania - zaznajomienie się z zadaniem i głębsze wniknięcie
w zadanie. Uczeń powinien umieć sformułować zadanie (powtórzyć je) oraz wskazać podstawowe elementy zadania : niewiadomą, wielkości dane
i stosunki między tymi wielkościami. Uczeń powinien rozpatrzyć podstawowe elementy zadania uważnie, wielokrotnie i z różnych stron. Jeżeli zadanie dotyczy pewnej figury uczeń powinien zrobić rysunek, wprowadzić odpowiednie oznaczenia stosując symbole, wskazać niewiadomą oraz dane.
Układanie planu rozwiązania - wyłonienie odpowiedniego pomysłu
i sprawdzenie, czy rozwiązanie jest osiągalne. Nauczyciel pomaga uczniowi zadając pytania pomocnicze: Czy znasz jakieś zadania pokrewne?
Wykonanie planu - ułożyć plan, wpaść na pomysł rozwiązania nie jest łatwo, potrzeba do tego wielu rzeczy: uprzednio zdobytej wiedzy, logicznego myślenia, skoncentrowania się nad celem, jaki mamy osiągnąć oraz szczęścia. Plan daje nam ogólny szkic rozwiązania, musimy się przekonać, czy wszystkie szczegóły mieszczą się w ramach tego szkicu. Wykonanie planu wymaga głównie cierpliwości. Uczeń musi sprawdzić każdy krok swego postępowania.
Rzuć okiem wstecz- spoglądając wstecz na otrzymane rozwiązanie, ponownie rozpatrując i analizując wynik i drogę doń prowadzącą, uczniowie utwierdzają swoją wiedzę i rozwijają swoje zdolności do rozwiązywania zadań. Sprawdzenie wyniku zmusza ucznia do wykonywania operacji odwrotnych, tak bardzo potrzebnych w rozwijaniu myślenia.
Podobną metodę opracowali A. Kaufmann, M. Fusier i A. Drevet. Została ona nazwana metodą kruszenia. Jak pisze Małgorzata Skura opiera się ona na założeniu, ze tworzenie nowych obiektów jest możliwe przez „kruszenie” już istniejących. „Kruszenie” pozwala dzieciom przygotować w swoich umysłach miejsce dla obiektów jeszcze nieistniejących. Metoda kruszenia ma pięć wersji. W wersji pierwszej przebiega w następujący sposób:
Dorosły prezentuje zadanie bazowe
Dziecko układa i zapisuje pytania szczegółowe do polecenia: Co można obliczyć?
dziecko analizuje postawione pytania, układa do nich działania i oblicza wyniki; eliminuje pytania postawione nieprawidłowo
Dziecko wybiera pytanie i samodzielnie układa do niego treść zadania o tej samej lub innej tematyce co zadanie bazowe.
Dziecko samodzielnie rozwiązuje ułożone zadanie.
Podobnie w tej kwestii wypowiada się Maria Cackowska. Zaleca ona metodę czynnościową, w której dziecko wykonuje czynności pomagające mu w zrozumieniu struktury matematycznej zadania i jego analizie: układanie przedmiotów, żetonów czy patyczków, rysunki lub schematy matematyczne (np. oś liczbowa, diagram Venna, graf itp.). Moim zdaniem jej schemat postępowania lepiej uwzględnia możliwości uczniów młodszych klas szkoły podstawowej, dlatego pozwolę sobie przytoczyć go poniżej:
I. Zrozumienie zadania:
1. Przeczytaj polecenie poprzedzające tekst zadania: zwróć uwagę, jakie czynności masz wykonać.
2. Przeczytaj uważnie tekst zadania:
a) wyodrębnij w nim warunki i pytanie
b) zastanów się, czy zadanie jest dobrze ułożone
c) uzupełnij luki w zadaniu lub popraw je tak, żeby dało się rozwiązać
II. Ustalenie planu rozwiązania zadania:
1. Wskaż dane i niewiadome
2. Zilustruj ich zależności zgodnie z poleceniem ( np. na liczmanach, na rysunku, na schemacie lub w krótkim zapisie)
3. Porównaj rezultaty wykonanych czynności z teksem zadania
4. Ustal „na oko” wynik rozwiązania
III. Rozwiązanie zadania:
1. Przeanalizuj zależności danych na rysunku, grafie lub krótkim zapisie
2. Zapisz je w postaci formuły matematycznej.
3. Porównaj zapisaną formułę z tekstem zadania
4. Wykonaj działania zapisane w formule i zapisz ich wyniki.
5. Sprawdź poprawność obliczeń.
IV. Sprawdzenie rozwiązania:
1.Porównaj otrzymane wyniki z tymi, które przewidywałeś wcześniej
2. Zastanów się, czy zadanie można rozwiązać innym sposobem.
3.Odczytaj pytanie z zadania i sformułuj na nie odpowiedź.
Stefan Turnau wymienia jako metody rozwiązywania zadań:
- analizę ( redukcję) - rozwiązywanie rozpoczynamy od znalezienia głównej niewiadomej, po czym zastanawiamy się, co musimy wiedzieć, aby znaleźć niewiadomą i czy podane w zadaniu dane to umożliwiają
- syntezę (dedukcję)- najpierw wyodrębniamy dane i zastanawiamy się, czego możemy się dowiedzieć na ich podstawie
- metodę analityczno - syntetyczną ( redukcyjno - dedukcyjną)- przechodzenie od analizy do syntezy i przeciwnie: od syntezy do analizy.
Aby dopełnić obrazu należy jeszcze wspomnieć o dziecięcych strategiach, które są podejmowane samodzielnie w sytuacji problemowej. Przytoczę je za Ireną Adamek:
- manipulowanie dostępnymi przedmiotami
- przedstawienie problemu w formie graficznej lub słownej
- zainscenizowanie problemu
- przedyskutowanie problemu z innymi
- sporządzenie planu rozwiązania
- konstruowanie relacji
- ocenianie
J. Pieter, Psychologia uczenia się. Warszawa 1961, s.136
M. Cackowska, Rozwiązywanie zadań tekstowych w klasach I-III. Warszawa 1993, s. 10 za W.G. Cziczigin, Metodyka nauczania arytmetyki. Warszawa1951, s. 315
Z. Cydzik, Metodyka nauczania początkowego. Warszawa 1968, s.150
M. Cackowska, Rozwiązywanie zadań tekstowych w klasach I-III. Warszawa 1993, s. 10-11
Z. Cydzik, Matematyka 1. przewodnik dla nauczyciela. Warszawa 1985, s.6
S. Turnau, Zadania tekstowe i nauczanie stosowania pojęć matematycznych w: Z. Semadeni (red.), nauczanie początkowe matematyki, t.3. Warszawa 1985, s.76
Z. Cydzik, Nauczanie matematyki w klasie pierwszej i drugiej. Warszawa 1990, s. 139-153
S. Sokołowski, Zadania tekstowe w kl. I-III w: Nauczanie początkowe, zeszyt XIII. Zielona Góra 1984,
s. 37-38
J. Grzesiak, Konstruowanie i dobór zadań matematycznych w klasach początkowych. Koszalin 1984, s. 75-90
G. Polya, Jak to rozwiązać? Nowy aspekt metody matematycznej. Warszawa 1993
S. Turnau, Zadania tekstowe i nauczanie stosowania pojęć matematycznych w: Z. Semadeni (red.), nauczanie początkowe matematyki, t.3. Warszawa 1985, s. 78
S. Sokołowski, Zadania tekstowe w kl. I-III w: Nauczanie początkowe, zeszyt XIII. Zielona Góra 1984,
s. 41
A.S. Pczołko, Metodyka nauczania arytmetyki w szkole początkowej. Warszawa 1951, s.88
W. Hemmerling, Kierowanie rozwiązywaniem zadań matematycznych w klasach początkowych. Koszalin 1977, s.46-47
G. Polya, Jak to rozwiązać? Nowy aspekt metody matematycznej. Warszawa 1993
M. Skura, Dziecięce strategie rozwiązywania zadań matematycznych w przedszkolu i w pierwszych latach nauczania szkolnego. Warszawa, 2008, s.27-28
M. Cackowska, Rozwiązywanie zadań tekstowych w klasach I-III. Warszawa 1993, s. 28-29
S. Turnau, Zadania tekstowe i nauczanie stosowania pojęć matematycznych w: Z. Semadeni (red.), nauczanie początkowe matematyki, t.3. Warszawa 1985, s. 80
I. Adamek, Rozwiązywanie problemów przez dzieci. Kraków 1997, s.52