Zadanie III.29 Dawid Kozak ID-MT 5

Wyznaczyć a następnie obliczyć wartość przyrostu ilości energii cieplnej wypromieniowanej w przedziale czasu Δt=2[h] przez ciało doskonale czarne o temperaturze T=1000 [K] i o powierzchni emisji A=0,1 [m²] w paśmie długości fal od λ₁=0,65[μm] do λ₂=0,7[μm].Stała Plancka h=6,626∙10^-23[J∙s].Stała Boltzmana k=1,38∙10^-23 [J/K], prędkość światła w próżni c≈3∙10⁸[m/s]

1.Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania.

Średni zasób energii promieniowania w przedziale całego pola dozwolonych poziomów energetycznych (stopni swobody) ma postac:

- w funkcji długości fali

- w funkcji częstotliwości

Elementarny przyrost objętościowy zasobu ilości oscylatorów w przedziale długości fal od λ do λ+dλ określony jest zależnością:

dn(λ)=

gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu długości fal określona jest związkiem:

Uwzględniając związek między długością fali a jej częstotliwością w próżni:

Otrzymano elementarny przyrost objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w przedziale częstotliwości fal od

Gdzie funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal określona jest związkiem

Objętościowa gęstość zasobu ilości oscylatorów jest równa

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania w polu długości fal:

Funkcja rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu ilości oscylatorów w polu częstotliwości fal :

2. Wyznaczenie objętościowej gęstości zasobu energii promieniowania

lub

gdzie

3. Wyznaczenie funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania.

Gęstość strumienia wymiany ilości cząsteczek gazu określona jest zależnością:

Stosując analogię do fotonów można napisać wyrażenie określające gęstość strumienia wymiany ilości fotonów.

Jeżeli w ostatniej zależności w miejsce objętościowej gęstości zasobu ilości fotonów n wstawimy funkcję rozkładu widmowego objętościowej gęstości zasobu energii promienowania
, to wówczas otrzymamy zamiast gęstości strumienia wymiany (emisji) ilości fotonów
, funkcję rozkładu widmowego gęstości strumienia wymiany (emisji) energii promieniowania w polu długości fal
.

Ilustracja funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania

4.Wyznaczenie gęstości strumienia emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂=λ₁+ Δλ

Elementarny przyrost gęstości strumienia emisji energii promieniowania jest równy

Całkując powyższy związek w granicach

Zastosowano przybliżenie numeryczne całkowania metodą trapezową, polegające na uśrednieniu funkcji podcałkowej, czyli określeniu jej wartości dla długości fali λ_śr , gdzie

i pomnożeniu tak określonej funkcji podcałkowej przez przyrost zmiennej niezależnej Δλ.

gdzie Δλ=λ₂-λ₁

5.Wyznaczenie strumienia emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂=λ₁+Δλ .

Elementarny przyrost strumienia emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od λ₁

do λ₂ określony jest zależnością:

Całkując powyższy związek w granicach po całej powierzchni emisji energii promieniowania, przy założeniu że gęstość strumienia emisji energii promieniowania jest bezgradientowa na powierzchni emisji

otrzymano

Strumień emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂ z powierzchni emisji A.

6.Wyznaczenie przyrostu ilości energii cieplnej wypromieniowanej z powierzchni emisji A w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂=λ₁+Δλ .

Elementarny przyrost ilości energii cieplnej wyemitowanej z powierzchni emisji A w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂ jest równy:

Całkując powyższe równanie w granicach przy założeniu , że strumień emisji energii cieplnej wypromieniowanej jest stacjonarny

Wyznaczono przyrost ilości energii cieplnej wypromieniowanej z powierzchni emisji A w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂

7.Obliczam wartość funkcji rozkładu widmowego gęstości strumienia emisji energii promieniowania dla długości fali λ_śr

Wartość średniej długości fali dla rozpatrywanego przedziału długości fal jest równa

stąd

8. Obliczenie wartości gęstości strumienia emisji energii promieniowania w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂

Wartośc przedziału długości fal jest równa:

Zatem

9. Obliczenie wartości strumienia emisji energii cieplnej promieniowania w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂ z powierzchni emisji promieniowania A.

10.Obliczenie wartości przyrostu energii cieplnej wyemitowanej z powierzchni A w zakresie długości fal od λ₁ do λ₂ w czasie 2[h].

---