Budownictwo 2008/2009 Lista 1

Pochodna funkcji jednej zmiennej i jej zastosowania

1. Wyznaczyć pochodne funkcji:

2. Znaleźć wzór Taylora dla następujących funkcji:

3. Obliczyć przybliżoną wartość wyrażeń:

.

4. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji
.

5. Znaleźć kąt przecięcia krzywych: y = 2x² - x + 1 i y = x² + 4x - 3.

6. Stosując twierdzenie de l'Hospitala obliczyć granice:

,

7. Określić monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne następujących funkcji:

8. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w podanym przedziale:

,

9. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia krzywych:

10. Przeprowadzić badanie następujących funkcji:

Budownictwo 2008/2009 Lista 2

Całki nieoznaczone

1. Wyznaczyć całki wykorzystując podstawowe twierdzenia i wzory całkowe:

a)
, b)
, c)

d)
, e)
, f)
, g)
.

2. Wyznaczyć całki za pomocą metody podstawiania:

a)
, b)
, c)
, d)
,

e)
, f)
, g)
, h)
,

i)
, j)
, k)
, l)
.

3. Wyznaczyć całki za pomocą metody całkowania przez części:

a)
, b)
, c)
, d)
,

e)
, f)
, g)
, h)
,

i)
, j)
.

4. Wyznaczyć całki z funkcji wymiernych:

a)
, b)
, c)
, d)
,

e)
, f)
.

5. Wyznaczyć całki:

a)
, b)
, c)
, d)
.

6. Korzystając z tablic wyznaczyć całki funkcji niewymiernych:

a)
, b)
, c)
, d)
.

Budownictwo 2008/2009 Lista 3

Całki oznaczone i ich zastosowania

1. Obliczyć całki oznaczone:

2. Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywymi:

3. Obliczyć długość łuków podanych krzywych:

4. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi Ox figury ograniczonej liniami:

W przypadku (b) obliczyć też pole powierzchni bocznej otrzymanej bryły.

5. Obliczyć całki niewłaściwe:

Budownictwo 2008/2009 Lista 4

Funkcje wielu zmiennych

1. Wyznaczyć dziedzinę danej funkcji 2 zmiennych i naszkicować ją:

2. Naszkicować wykresy funkcji 2 zmiennych:

3. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji:

4. Wyznaczyć gradienty podanych funkcji:

5. Wyznaczyć gradient funkcji
w punkcie M = (1, 2, 3).
6. Obliczyć kąt między gradientami funkcji
w punktach .

7. Wyznaczyć pochodne cząstkowe funkcji złożonych:

8. Znaleźć pochodną kierunkową funkcji w punkcie M = (1, 1) w kierunku wektora

9. Wyznaczyć pochodną kierunkową funkcji w punkcie M = (1, 0, 0)
w kierunku: (1) osi O_x; (2) osi O_y; (3) wektora .

10. Wyznaczyć pochodną kierunkową funkcji u = xy² w punkcie M = (2, 1) w kierunku:
(1) wektora (2) gradientu tej funkcji w danym punkcie.

11. Sprawdzić, że funkcja u(x,y) spełnia dane równanie różniczkowe:

12. Stosując różniczkę zupełną wyznaczyć przybliżoną wartość wyrażeń:

13^*. Wyznaczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego podanych funkcji:

14. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

15. Prostopadłościenny kontener ma mieć objętość 8 m³. Podać wymiary kontenera, przy których mamy zminimalizowany koszt materiału potrzebnego do jego wykonania, jeżeli materiał na spód i wierzch jest dwa razy droższy niż materiał na boki tego kontenera.

16. Wyznaczyć globalne ekstrema warunkowe funkcji, stosując pomocniczą funkcję Lagarange'a:

a) f(x,y) = xy przy warunku x² + y² = 8

b) f(x,y) = 4y² - x² przy warunku y = x² + 1.

Budownictwo 2008/2009 Lista 5

Szeregi liczbowe

1^*. Wyznaczyć sumy danych szeregów:

a) , b) , c) .

2^*. Wykazać, że dane szeregi są rozbieżne (nie spełniają warunku koniecznego zbieżności):

, b) , c) , d) , e) .

3. Stosując kryterium porównawcze zbadać zbieżność szeregów:

a)
, b)
, c) , d)
.

4. Stosując kryterium d'Alemberta zbadać zbieżność szeregów:

a) , b) , c)
, d) , e)

5. Stosując kryterium Cauchy'ego zbadać zbieżność szeregów:

.

6. Korzystając z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregu
.

1

---