Zestaw 1

1. Podać definicję przestrzeni probabilistycznej oraz jej przykład (przy odpowiedzi pytanie o δ-ciało).

2. Wyprowadzić wzór na wariancję w rozkładzie Poissona z parametrem λ.

3. Dana jest dystrybuanta Fn(x) = ½ + 1/Π*arctg(nx). Zbadać zbieżność średniokwadratową.

Zestaw 3

1. Wyprowadź wzór na EX rozkładu Berloulliego o parametrach n,p

2. Podane rozkłady x_i i y_j obliczyć kowariancje zmiennych U=X-Y i V=X+Y. Czy wartość współczynnika cov ma związek z niezależnością tych zmiennych?

3. Zadanie 39 z zestawu

Zestaw 5

1. Jeśli zdarzenia A i B są niezależne to udowodnij, że:

<--- przy sprawdzaniu odniosłem wrażenie, że ona sama była zdziwiona, że takie łatwe dała, więc zaczęła pytać co daję niezależność zdarzeń, w tym przypadku nic :p
2. Dystrybuanta podana wzorem:

Policzyć medianę i wartość oczekiwaną.
3. Jeśli współczynnik korelacji jest postaci
to udowodnić, że:

Zestaw 6

1. Zadanie nr 12 z przykładowych (wersja dłuższa) (P(B)=3P(~B)...)

2. Zadanie nr 32 z przykładowych (wersja krótsza) (Egzaminator i student...)

3. Zadanie nr 26 z przykładowych (wersja krótsza) (regresja II-go stopnia...)

Zestaw 7

1. Nie pamiętam dokładnie bo nie czytałem treści ale wydawało mi się, że było to zadanie:
Wykazać, że

wykorzystując prawdopodobieństwo warunkowe, czyli zadanie 59.
2. Dystrybuanta zmiennej ciągłej X jest równa:

3. Wykazać ,że

Zestaw 8

1. Podaj i udowodnij nierówność Schwarza

2. Identyczne jak zadanie 129 z II rozdziału.

3. Wykorzystując własności f. charakterystycznej wyznaczyć rozkład sumy n niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwuwymiarowym z parametrem n, p

Zestaw 11 - #1

1. Podaj i udowodnij nierówność Schwartza

2. zad 57 z przykładowych

3. Wyprowadź wzór na funkcję charakterystyczną rozkładu wykładniczego z parametrem lambda>0 (czy jakoś tak)

Zestaw 11 - #2

1. Prawdopodobieństwo wylosowania braku wynosi 0,2%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 3000 przedmiotów wylosujemy brak nie więcej niż 2 razy

2. Wyznaczyć rozkład dwuwymiarowej zmiennej losowej, jeżeli dane były rozkłady X i Y i (X,Y niezależne). Wyznaczyć wartość dystrybuanty w punkcie (0,0)

3. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną rozkładu wykładniczego z lambda > 0.

Zestaw 18

1. P(A)=p, P(B)=2p, 0<=p<=1. Wiadomo że co najmniej jedno zachodzi. Obliczyć p jeśli zdarzenia się wykluczają.

2. zad 29 z przykładowych

3. Nadajnik wysyła sygnał który jest zmienną losową X. Z powodu zakłóceń odbierany jest sygnał Y=(aX+Z), a-stały współczynnik zakłóceń, Z zmienna losowa niezależna od X. Wyznaczyć współczynnik korelacji X i Y jeśli: EX=m, DX=1, EZ=0, D^2X=b.

Zestaw XXX

1. Szansa na wylosowanie braku wynosi 0,2%. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 3000 przedmiotów wylosujemy brak nie więcej niż 2 razy

2. Były 2 tabelki: Jedna dla zmiennej X i druga dla Y. X i Y są niezależne. Trzeba było wyznaczyć funkcję X,Y (czyli zrobić jedna tabelkę) i policzyć F(0,0)

3. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną rozkładu wykładniczego.

Zestaw XYZ

1. 35 z przykładowych pytań (wyznaczanie stałej C i DX)

2. Ania i Bożena umówiły się między 16 a 17. Każda z nich może przyjść w dowolnym momencie między tymi godzinami. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że Ania przyjdzie później niż Bożena jeśli wiadomo, że Ania nie przyjdzie przez pierwsze pół godziny.

3. 61 z przykładowych zadań.

---