Wykład 30

30. Siatki dyfrakcyjne

1. Siatki dyfrakcyjne

Rozpatrzymy teraz przypadki gdy liczba centrów rozpraszania jest większa. Tzn. rozpatrzmy naturalne rozszerzenie doświadczenia Younga poprzez zwiększenie liczby szczelin od dwu do większej liczby N.

Układ zawierający zespół N równoległych szczelin nazywamy siatką dyfrakcyjną (szczelin może być b. dużo np. 10⁴/cm).

Na rysunku poniżej pokazany jest rozkład natężeń dla N = 5 szczelin.

Dla przypomnienia poniżej pokazano wynik w doświadczeniu Younga.

Z tych rysunków widać, że zwiększenie liczby szczelin

• nie zmienia odległości pomiędzy głównymi maksimami (przy stałych d i λ)

• nastąpiło natomiast ich zwężenie (wyostrzenie)

• pojawiły się wtórne maksima pomiędzy maksimami bocznymi

Maksima główne wystąpią gdy spełniony jest znany warunek

dsinθ = mλ, m = 0, 1, 2, (maksima) (30.1)

gdzie m nazywamy rzędem widma, a d jest odległością między szczelinami (stała siatki dyfrakcyjnej).

Uwaga: Położenia maksimów głównych nie zależą od N.

Pochodzenia maksimów wtórnych można wyjaśnić za pomocą metody strzałek fazowych (wskazów).

Siatki dyfrakcyjne są często stosowane do pomiarów długości fali i do badań struktury i natężenia linii widmowych.

• Ponieważ stałą siatki dyfrakcyjnej można zmierzyć dokładnie pod mikroskopem to z warunku na występowanie głównych maksimów możemy wyznaczyć λ.

• Z tego samego warunku widać, że fale o różnych λ uginają się pod różnymi kątami jest więc szansa na ich rozseparowanie.

Przykład 1

Siatka dyfrakcyjna ma 4000 nacięć na 1 cm. Pada na nią prostopadle światło żółte z lampy sodowej. W świetle tym występują dwie fale o długościach 589.00 i 589.59 nm. Pod jakim kątem występuje maksimum dla pierwszego rzędu dla 1 z tych linii ? Jaka jest odległość kątowa pomiędzy maksimami pierwszego rzędu dla tych linii?

Maksimum pierwszego rzędu otrzymujemy z warunku

dsinθ = mλ

dla m = 1

sinθ = λ/d = 0.236

θ = 13.6°

Najprostszym sposobem znalezienia odległości kątowej jest powtórzenie obliczeń dla λ = 589.59 i odjęcie obliczonych kątów ale trzeba prowadzić bardzo precyzyjne obliczenia tzn. dla wielu liczb znaczących (nie tak jak powyżej).

Powtarzamy obliczenia

dla λ = 589.00 nm θ = 13.6270°

dla λ = 589.59 nm θ = 13.6409°

stąd

Δθ = 0.0139°

Możemy jednak przeprowadzić bezpośrednie obliczenia tej różnicy.

W tym celu zróżniczkujemy nasze równanie

Otrzymujemy wtedy

Ponieważ długości fal mało się różnią więc możemy zapisać

skąd mamy

Oczywiście otrzymujemy ten sam wynik ale obliczenia wymagają tylko 2 cyfr znaczących zamiast 5 (jak λ).

Wielkość
jest nazywana dyspersją kątową siatki dyfrakcyjnej i informuje o odległości kątowej (rozdzieleniu) dwóch fal o mało różniących się długościach.

1. Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X)

Promienie X są falami elektromagnetycznymi o długościach fal rzędu 0.1 nm.

(Dla przypomnienia światło żółte z przykładu 1 ma długość równą 589 nm.)

W 1912 r. Max von Laue zauważył, że ciała stałe zawierające regularny układ atomów mogą stanowić naturalną, trójwymiarową „siatkę dyfrakcyjną” dla promieniowania X. (Standardowe optyczne siatki dyfrakcyjne są bezużyteczne bo λ << d.).

Rysunek poniżej pokazuje wiązkę promieni X, o widmie ciągłym, padającą na kryształ. Wiązki promieni powstałe w wyniku interferencji fal ugiętych na atomach padają na kliszę tworząc na niej charakterystyczny układ punktów zwany obrazem Lauego. Analiza położeń i natężeń tych punktów pozwala na określenie struktury kryształu.

Na kolejnym rysunku pokazana jest komórka elementarna kryształu NaCl.

Małe kule przedstawiają jony sodu, a duże jony chloru.

Jest to najmniejsza jednostka, z której można zbudować kryształ (cegiełka) poprzez dodawanie jej (powielanie) w trzech prostopadłych kierunkach.

Każda komórka elementarna NaCl zawiera 4 jony sodu i cztery jony chloru czyli cztery cząsteczki NaCl (poza jonem w środku, pozostałe należą też do komórek sąsiednich).

Dla NaCl długość boku komórki elementarnej wynosi 0.562737 nm (porównać z długością fali promieniowania X).

Natężenia linii siatki dyfrakcyjnej zależą od geometrii pojedynczej szczeliny. W idealnym przypadku zależą od szerokości szczeliny.

Tak samo natężenia wiązek rozproszonych na krysztale zależą od geometrii pojedynczej rozpraszającej komórki elementarnej.

2. Prawo Bragga

Prawo Bragga podaje warunki, w jakich jest możliwa dyfrakcja promieni Roentgena krysztale. Rysunek poniżej pokazuje ugięcie wiązki promieni X na zespole równoległych płaszczyzn (linie przerywane). Odległość między płaszczyznami wynosi d.

W krysztale można wybrać wiele różnych rodzin płaszczyzn o różnych odległościach międzypłaszczyznowych.

Rysunek (a) pokazuje falę oddziałującą z rodziną płaszczyzn, z których jedna jest pokazana na rysunku (b). Ugięcie następuje na elementarnych centrach rozpraszania (komórki elementarne - odpowiednik pojedynczej szczeliny).

Promienie ugięte będą się sumować gdy różnica dróg będzie równa całkowitej wielokrotności długości fali.

ab' - a'b = ab(cosβ - cosθ) = kλ, k = 0, 1, 2,

Dla k = 0 otrzymujemy β = θ tzn. płaszczyzna wyznaczona przez atomy działa jak „zwierciadło” odbijające falę padającą (kąt padania = kąt odbicia) tzn. w tym kierunku jest wzmocnienie promieniowania ugiętego.

Jeżeli chcemy otrzymać wzmocnienie promieniowania odbitego od całej rodziny płaszczyzn dla kierunku określonego przez kąt θ to muszą się wzmacniać promienie odbite od poszczególnych płaszczyzn. Oznacza to, że różnica dróg dla promieni odbitych od sąsiednich płaszczyzn musi być równa całkowitej wielokrotności λ, tak więc

2dsinθ = mλ, m = 1, 2, 3,....

Zależność ta została podana przez W. L. Bragga i stąd nazwa prawo Bragga.

W równaniu tym d oznacza odległość między sąsiednimi płaszczyznami.

Stąd widać, że dyfrakcja promieni X jest metodą doświadczalną w badaniu rozmieszczenia atomów w kryształach.

Aby otrzymać wyniki ilościowe trzeba znać długość fali promieniowania X.

29-4

30-1

---