Laboratorium

Podstawy Automatyki

Ćwiczenie 2

Płaszczyzna fazowa

Grupa I

1. Wykonywanie wykresów fazowych.

Celem ćwiczenia było sporządzenie wykresu opisującego zachowanie się układu poruszającego się ruchem harmonicznym. Pierwszym z badanych przez nas układów był oscylator harmoniczny, którego ruch opisuje następujące równanie:

dla, którego przyjęto warunki początkowe:

Do wykreślenia trajektorii fazowej skorzystaliśmy ze skryptu napisanego w programie MATLAB oraz pliku funkcyjnego z funkcją rozwiązującą numerycznie równanie różniczkowe II rzędu.

Po wykonaniu skryptu otrzymaliśmy następujący wykres trajektorii fazowej:

Ma ona kształt odpowiadający punktowi osobliwemu typu „środek” - świadczący o stabilności układu przy zadanych parametrach. Układem można manipulować przez zmianę zadanych parametrów - zmiana przedziału czasowego w jakim badamy nasz układ, krok oraz warunki początkowe jakie bezpośrednio przekładają się na kształt wykresu oraz zmianę dokładności obliczeń oraz rozmiar obszaru rysowania.

2. Ruch harmoniczny.

W drugim przykładzie zajęliśmy się przedstawieniem ruchu harmonicznego wykonywanego przez ciężarek zawieszony na sprężynie. Współczynnik tłumienia b wprowadzaliśmy do programu z klawiatury. Utworzyliśmy w tym celu oddzielny skrypt i skorzystaliśmy z napisanej wcześniej funkcji do rozwiązywania równań różniczkowych. Opisaliśmy dragnie harmoniczne o jednym stopniu swobody.

Korzystając z :

oraz oprogramowania MATLAB uzyskaliśmy następujący wykres trajektorii fazowej :

Na wykresie Nyqista widać, że układ jest stabilny ponieważ wykres zbiega do punktu osobliwego. O kształcie wykresu decyduje współczynnik tłumienia b, o jego wymiarach liniowych przedział czasowy w jakim jest badany.

Wnioski: Program MATLAB może być stosowany do badania stabilności układów automatyki poprzez rysowanie wykresów Nyqista. Pozwala on na przeprowadzenie wielu skomplikowanych obliczeń, w krótkim czasie oraz wykorzystanie raz napisanej funkcji wielokrotnie do różnych zastosowań.

---