Rℓ jako przestrzeń towarów

Towar jest dobrem lub usługa ,to znaczy rzeczą bądź czynnością użyteczną zaspokajająca czyjąś indywidualna potrzebę , ujawniona przez popyt na ten towar. Towary różnią się miedzy sobą cechami fizycznymi oraz miejscem i czasem ich dostępności. Towary o identycznych cechach fizycznych w tym samym miejscu to te same towary;

Cechy fizyczne:Dobra masowe- zboże ,cement, woda ,mierzone są w jednostkach fizycznych.Dobra jednostkowe- samochody ,lodówki, mierzone są w sztukach.

Dobra surowcowe-lasy ,ziemia, mierzone są w jednostkach fizycznych.Czas w którym odbywa się działalność gospodarcza dzieli się na skończoną liczbę zwartych podstawowych przedziałów o równej długości dających się kolejno ponumerować. Podobnie dzieli się teren na skończona liczbę zwartych podstawowych obszarów dających się kolejno ponumerować.Rℓ- przestrzeń towarów , skończenie wymiarowa rzeczywista przestrzeń wektorowa .ℓ-oznacza liczbę towarów x-zawiera się w Rℓ- to plan działania podmiotu gospodarczego tzn. dla producentów jest to plan produkcji ,dla konsumentów jest to plan konsumpcji lub koszyk towarów.

X¡- i-ta współrzędna wektora x=(x1...xn)єRℓ, określa ilość i-tego towaru lub planowana wlk produkcji i-tego towaru

Dlatego: Każdy towar ma jednostkęTowary są nieskończenie podzielne Ilość towaru musi być albo liczbą ujemną albo dodatniąWektor xєRℓ jest interpretowany jako wektor wejścia- wyjścia

Producent konsument

Wejście - +

Wyjście + -

Zbiorem produkcji nazywamy zbiór y_j wszystkich planów produkcyjnych, które sa dla j-tego producenta możliwe do zrealizowania. Plan produkcji j-tego producenta składa się z wyszczególnienia wszystkich przynależnych mu wielkości wejście-wyjście, przy czym wejścia sa ujemne-np. surowce, półprodukty, ziemia, maszyny-a wyjścia dodatnie-produkty. Plan produkcji producenta jest wektorem y w przestrzeni towarów R^l. Zbiór produkcji Y_j tworzy zatem podzbiór przestrzeni towarów R^l , zawarty w jej podprzestrzeni.

Własności:

1) Y_j jest domknięty- niech (y_j^q) będzie do­wolnym ciągiem planów produkcyjnych; jeżeli wszystkie plany y_j^q są dla j-tego producenta możliwe technologicznie oraz y_j^q -> y_j⁰, to y_j⁰ jest też dla niego tech­nologicznie możliwy.

2) Możliwość braku produkcji indywidualnej: 0eY_j Zgodnie z nim j-ty producent ma możliwość braku aktywności, wycofania się. zaniechania produkcji, gdy sobie tego życzy.

3) Niemożliwość wolnej produkcji: Y∩R₊^l ⊂{0} jeżeli w możliwym do przeprowadzenia technologicznie planie produkcji całkowitej wszystkie wejścia są równe 0, to wyjścia też są równe 0. nie jest technicznie możliwe produkowanie czegoś z niczego.

4) Nieodwracalność produkcji całkowitej: Y∩(-Y) ⊂{0} gdy możliwy jest technologicznie plan produkcji całkowitej v, w którym nie wszystkie wejścia i wyjścia są równe 0, to przeciwny całkowity plan produkcji -y jest niemożliwy. Proces produkcyjny jest nieodwracalny min. dlatego, że produkcja wymaga czasu, a towary są datowane okresami czasu.

5) Korzyści skali - własność ta opisuje zmianę intensywności, z jaką prze­prowadzany jest dany plan produkcyjny.

5a) Niemalejące korzyści skali: y_j eY_j ⇒ty_j eY_j dla t>l. dla każdego technologicznie możliwego planu produkcji y_j inten­sywność jego przeprowadzenia może być dowolnie zwiększona (t > 1).

5b) Nie rosnące korzyści skali: y_j eY_j ⇒ty_j eY_j dla 0≤t<1

dla każdego technologicznie możliwego planu produkcji y_j intensywność jego przeprowadzenia może być dowolnie zmniejszona

5c)Stałe korzyści skali y_j eY_j ⇒ty_j eY_j dla t≥0 każdy możliwy plan produkcji może być

wykonany z dowolnie zmniejszoną lub zwiększona intensywnością.

6) Addytywność: (Yj + Yj) ⊂ Y_j że dwa plany produkcyjne, które niezależnie od siebie są technologicznie możliwe, również wspólnie mogą być przeprowadzone

7) Y: jest wypukły. gdy plany produkcyjne y_j¹, y_j² dla j-tego produ­centa technologicznie możliwe, to jest możliwa także ich średnia ważona t y_j¹ + (1-t) y_j² utworzona dla dowolnych wag t₁=t, t₂=(1-t)

8) Y_j jest stożkiem o wierzchołku 0 są spełnione stałe korzyści skali, proporcje wszystkich wyjść i wejść są wzajemnie ustalone, a za­razem może on być przeprowadzony z dowolną intensywnością.

9) Swobodne dysponowanie towarami: (-R^l₊)⊂ Y zbiór produkcji całkowitej dopuszcza możliwość odrzucenia wszystkich towarów. Zarazem wejścia tech­nologicznie możliwego dowolnego planu produkcji całkowitej nie są niczym ograniczone.

9') (Y- R^l₊)⊂ Y jeżeli dowolnie ustalony plan produkcji całkowitej jest technolo­gicznie możliwy, to dotyczyć to będzie także dowolnego planu, którego żadne wejście nie jest mniejsze i żadne wyjście nie jest większe.

10) Yj jest zbiorem zwartym. Ponadto, jeżeli zbiór produkcji Y_j jest zwarty dla każdego producenta j=1,...,n, to zbiór produkcji całkowitej Y też jest zwarty jako suma algebraicz­na zbiorów zwartych.

Fakty:

1. Jeżeli każdy Y_j, jest domknięty i wypukły oraz Y∩(-Y) ⊂{0}to Y jest domknięty.

2. Jeżeli w przypadku zbioru produkcji Y_j spełniona jest własność stałych korzyści skali oraz addytywności to Y_j jest wypukłym stożkiem o wierzchołku 0.

3. Jeżeli zbiór produkcji Y_j jest wypukły oraz ma własność ad­dytywności i możliwości braku produkcji, to Y_j ma własność stałych ko­rzyści skali

4. Jeżeli zbiór produkcji Y_j jest wypukły i spełnia założenie sta­łych korzyści skali to Y_j spełnia założenie addytywności.

5. Jeżeli każdy zbiór produkcji Y_j(j=1,...,n) jest stożkiem o wierz­chołku 0, to zbiór produkcji całkowitej Y też jest stożkiem o wierzchołku 0.

6. Jeżeli dla każdego j =1,...,n zbiór produkcji spełnia własność addytywności oraz dla zbioru produkcji całkowitej Y_j spełnione jest założe­nie swobodnego dysponowania towarami, to zbiór produkcji całkowitej Y spełnia też założenie (9')

7. Jeżeli zbiór produkcji całkowitej Y jest domknięty, wypukły oraz ma własność swobodnego dysponowania towarami, to zbiór y ma też własność (9').

8. Dla zbioru produkcji całkowitej Y założenia swobodnego dys­ponowania towarami oraz nieodwracalności implikują własność niemoż­liwości wolnej produkcji.

Maksymalizacja zysku

Oznaczając za pomocą pY_j obraz zbioru Y_j przez określoną na R^l funkcję rzeczywistą y_j→p y_j, definiuje się zbiór T_j:={peR^l; pY_j ma element maksymalny} oraz korespondencję podaży j-tego producenta η⊂T_j×Y_j przy czym: η_j(p):={y_jeY_j; p y_j=max pY_j}Ponadto określono funkcję zysku j-tego producenta: π_j: T_j→R tak, że π_j(p):=max pY_j

Niech y₁,...y_n będą możliwymi planami produkcyjnymi odpo­wiednio w zbiorach produkcji Y_l,...,Y_n oraz y = y_l+..+ y_n Wówczas dla da­nego systemu cen peR^l py = max pY<=> dla każdego j= l,... n py_j = max pY_j, tzn. plan produkcji całkowitej y maksymalizuje zysk całkowity na Y wtedy i tylko wtedy, gdy y_j maksymalizuje zysk j-tego producenta na jego zbiorze produkcji Y_j (dla każdego j=1,...,n). Stąd otrzymujemy prostą charakterystykę korespondencji podaży całkowitej η(p) i funkcji zysku całkowitego π(p): ∀ pe∩ T_j: η(p):={yeY; p y=max pY} do zbioru wartości korespondencji podaży całkowitej η(p) na­leżą te plany produkcji całkowitej, które maksymalizują zysk całkowity na zbio­rze produkcji całkowitej Y, przy czym funkcja zysku całkowitego π(p) mierzy jego wartość liczbową.

0eY_j (możliwość braku produkcji). Wówczas dla pewnego systemu cen peT_j plan produkcyjny 0 może być optymalny. Może on nawet stanowić je­dyny plan produkcji maksymalizujący zysk. Wynika stąd, że w każdym przy­padku, gdy tylko istnieje możliwość braku produkcji, maksymalny zysk jest nieujemny.

(Yj + Yj) ⊂ Y_j (addytywność). Dla pewnego systemu cen p e T_j maksymalny zysk jest niedodatni; bo gdyby pewien technologicznie możliwy plan produkcji y_j przynosił zysk dodatni, to plan 2y_j, byłby również technologicznie możliwy i dawałby zysk podwójny, co przeczyłoby istnieniu maksimum zysku dla syste­mu cen p. Stąd rozpatrywane łącznie dwa powyższe założenia implikują, że mak­symalny zysk, o ile istnieje, jest równy 0.

Y_j jest wypukły. Wówczas zbiór optymalnych planów produkcji η_j(p) też jest wypukły. Rzeczywiście, niech p e T_j .Wtedy dl p=0 η_j(p)=Y_j, zaś dla p≠0 η_j(p) jest przekrojem Y_j z pewną hiperpłaszczyzną. W obu przypadkach zbiór η_j(p) jest wypukły.

KORESPONDENCJA PODAŻY - jest to przyporządkowanie każdemu producentowi zbioru planów optymalnych dla niego . Dla każdego j należącego do J nj(p) ⊂ Yj zbiór planów produkcyjnych technologicznie możliwych, maksymalizujących zysk producenta j-tego przy wektorze cen p.

SYSTEM KONSUMPCJI

Wybór konsumenta kształtuje kompletny plan konsumpcji,przy określonych ograniczeniach możliwości i kryteriów tego wy­boru. Uwzględnia się 2 rodzajeograniczeń:

a) wynikłe ze struktury psychologicznej jednostek- nie każdy plan konsump­cyjny okaże się możliwy do zrealizowania z tego punktu widzenia,

b)ograniczenia budżetowe - przy danych cenach i majątku konsumenta war­tość jego planów konsumpcyjnych nie może przekraczać wartości jego zasobu.

Przy tych ograniczeniach konsument wybiera optymalny plan konsumpcji ze względu na odpowiadająca mu skalę preferencji optymalnych planów konsumpcji od cen i wielkości zasobów.

Zbiory konsumpcji i ich własności Kon­sumenci działają w przestrzeni towarów R' i zadanie każdego z nich polega na wyborze zawartości pewnego koszyka towarów, czyli na realizacji planu działania zwanego tutaj planem konsumpcji.

Plan konsumpcji x_i i-tego konsumenta jest reprezento­wany przez punkt w przestrzeni towarów R'(xj e R'), przy czym jego współ­rzędne dodatnie interpretuje się jako wejścia, zaś ujemne -jako wyjścia. Zbiór możliwych planów konsumpcyjnych i-tego konsumenta :Xj-(i = l,..._, m) i nazywamy jego

zbiorem konsurnpcji. Plan konsumpcji x_i e X_i - popyt i-tego konsumenta.

Każdemu konsumentowi przypisuje się zbiór możliwych dla niego planów konsumpcji, podyktowany minimalnym koszykiem towarów. Zbiór możliwych planów konsumpcyjnych i-tego konsumenta oznaczamy symbolem X_i(i=1,...,m.) i nazywamy jego zbiorem konsumpcji zbiór konsumpcji X_i jest zawarty w podprzestrzenie wektorowej

przestrzeni towarów R^l względnie małego wymiaru. Wejścia planu konsumpcyjnego są zazwyczaj różnymi dobrami i usługami wyszczególnionymi w czasie i przestrzeni. Wyjściami sa różne rodzaje pracy, odniesione również do okresu, miejsca w przestrzeni. W sytuacji gdy każdy konsument i=1,...,m. Wybierze pewien plan konsumpcji x_i*X_i, wektor x:=x₁+...+x_m. Będzie oznaczał całkowita konsumpcję wszystkich konsumentów, tj. popyt całkowity. Zbiór X:=X₁+...+X_m. Reprezentujący możliwości konsumpcyjne całego systemu konsumpcji, nazywamy zbiorem konsumpcji całkowitej.

własności zbiorów konsumpcji.

1) X₍ jest_domknjęty_.

(
) jest nieskończonym ciągiem planów konsumpcji, któ­re są możliwe dla i-tego konsumenta, oraz xi^q → x°_i to graniczny plan konsumpcji x°i jest też możliwy dla i-tego konsumenta.

l ') X_ jest domknięty

2) Xi Jest ograniczony z dołu wzglądem relacji ≤ w R'. istnieje punkt χ e R' taki, że χ i≤xi dla każdego xi e X_l gdy h-ty towar jest wejściem, tzn określoną świadczoną pracą, to wtedy istnieje pewna górna granica dla wielkości tego rodzaju pracy, którą i-ty konsument może wykonać w ustalonym okresie niezależnie od tego czym są jego inne wejścia lub wyjścia.

2') X jest ograniczony z doju względem ≤

3) X_i jest spójny. Xi składa się z jednego „kawałka".

4)Xi jest wypukły.

Zależ­ności pomiędzy własnościami zbiorów:

Założenie 2) jest spełnione dla każdego i = l,..., m wtedy i tyl­ko wtedy, gdy spełnione jest założenie 2').

Dowód. Niech założenie 2) będzie spełnione dla każdego zbioru konsumpcji Xi c R' dla i= l,...,m. Wówczas, χ:= sumaχ (odj=1 do m) jest dolnym ograniczeniem dla zbioru konsumpcji całkowitej X względem relacji <=. Podobnie-na odwrót. Natomiast z domkniętości każdego zbioru konsumpcji X_i nie wynika domkniętość zbioru konsumpcji całkowitej X. Prawdziwy jest jednak następują­cy fakt:"

Fakt Jeżeli każdy zbiór konsumpcji X_i(i= l,..., m) jest domknięty i ograniczony z dołu względem relacji ≤, to zbiór konsumpcji całkowitej X jest domknięty.

Sformalizować potoczne zasady : „im więcej tym lepiej” oraz „ im lepiej tym więcej”.

W procesie decyzyjnym konsument kieruje się zasadą „ im więcej tym lepiej”. Zgodnie z tą zasadą konsument woli mieć więcej niż mniej. Własnością relacji preferencji, której odzwierciedleniem jest postępowanie w myśl powyższej zasady jest monotoniczność preferencji. Zgodnie z własnością monotoniczności preferencji koszyk towarów x¹ € X zawierający więcej przynajmniej jednego dobra niż koszyk x² € X jest w stosunku do niego silnie preferowany. Dlatego krzywa obojętności konsumenta o monotonicznej skali preferencji narasta w kierunku północno wschodnim tak, aby mógł on zrealizować plan konsumpcji leżący na możliwie najwyższej krzywej obojętności. Założenie monotoniczności preferencji zachowuje moc tylko do pewnego punktu gdy więcej ciągle jeszcze znaczy lepiej.

Relacja preferencji

Def. Relację ≼_icR^2l nazywamy relacją preferencji (i-tego konsumenta), jeżeli relacja ≼jest zwrotna, przechodnia, spójna i domknięta w zbiorze konsumpcji Xi c R'.

własności relacji preferencji

1)zwrotność Vxi eXi xi ≼ xi

2) przechodniość Vx_i¹, xi² , x_i³, e Xi (x_i¹≼xi² i x_j² ≼x_j³ => x_i¹ ≼ x_i³ )

3) spójność Vx_i¹, xi² e Xi (x_i¹≠ x_i² => x_i¹ ≼ xi² lub xi²≼x_i¹ )

4) domkniętość Vx_i^' e Xi zbiory {xi e Xi;xi ≼x_i^' }

1) każdy koszyk towarów x-_s jest co_najwyżej tak samo preferowany jak on sam; w konsekwencji dwa identyczne koszyki towarów są nieodróżnialne z punk­tu widzenia indywidualnej skali preferencji i-tego konsumenta (zwrotność);

2) jeżeli jeden koszyk towarów jest co najwyżej tak preferowany jak drugi, a ten jest co najwyżej tak preferowany jak trzeci, to ten pierwszy koszyk towa­rów jest co najwyżej tak preferowany jak ten trzeci (przechodniość).

3) każde dwa koszyki towarów są porównywalne

4) pojęcie domkniętości relacji jest blisko związane z jednym z typów ciągłości relacji. Równoważne sformułowanie własności domkniętości podaje następujące twierdzenie:

Relację preferencji ≼ cR^2/ nazywamy w zbiorze X,cR':

1)monotoniczną, dla każdego x_i¹, xi² e Xi: x_i¹< xi² => x_i¹ <_i x_j²

2) nienasyconą, jeżeli dla każdego x_i¹ e X_i istnieje x_j² e X , taki, że x_i¹ <_i x_i²

3.Homotetyczn(jednodokładną), jeżeli dla każdego x_i¹, xi² e Xi x_i¹ ≼ x_i² ⇔
x_i^{1 ≼}
x_i² dla każdego lambda >0

Def Niech zbiór konsumpcji X_i c R' będzie wypukły oraz x_i¹, x_i² e X_i, t e (O, 1). Wówczas relacja preferencji ≼c R^2/ nazywana jest w zbiorze X_i :

1) słabo wypukłą x_i² ≽ x_i¹ ⇒ t x_i² +(1-t) x_i¹ ≽ x_i¹

2) wypukłą, x_i² > x_i¹ ⇒ t x_i² +(1-t) x_i¹ > _i x_i¹

3) silnie wypukłą, x_i² ~_i x_i¹ ⇒ t x_i² +(1-t) x_i¹ > _i x_i¹

F. Niech relacja preferencji ≼ c R²' będzie domknięta. Wówczas, jeżeli relacja <, jest wypukła w zbiorze X_t, to jest ona słabo wypukła w tym zbiorze.

Relacja obojętności :

na gruncie relacji preferencji ≼_i określonej w przestrzeni R^l, definiuje się pomocniczo relację obojętności koszyków towarów:

Vx_i¹,x_i² e X_i x_i¹ ~_i x_i² ⇔ x_i¹ ≼_i x_i² ∧ x_i² ≼_i x_i¹

Spr. że relacja obojętności jest równoważnościową: * x_i¹, x_i² * Xi x_i¹ ~i x_i²*(x_i¹ ≼i x_i² * x_i² ≼i x_i¹)

Relację ** XxX nazywamy równowartościową jeżeli: 1) * zwrotna (x_i ≼i x_i * x_i ≼i x_i) Własność spełniona, gdyż relacja preferencji jest zwrotna, a koniunkcja dwóch zdań prawdziwych jest zdaniem prawdziwym. 2) * symetryczna * * x,y* X x*y * y*x; * x_i¹, x_i² * Xi x_i¹ ~i x_i² * (x_i¹ ≼i x_i² x_i² ≼i x_i¹) * (x_i² ≼i x_i¹ * x_i¹ ≼i x_i²) * x_i² ~i x_i¹ Korzystamy z prawa przemienności koniunkcji: (p * q) * (q * p); 3) * przechodnia * x,y,z * X x*y * y*x * x*z; * x_i¹, x_i² ,x_i³* Xi (x_i¹ ~i x_i² * x_i² ~i x_i³) * (x_i¹≼i x_i² * x_i² ≼i x_i¹) * (x_i² ≼i x_i³ * x_i³ ≼i x_i²) (x_i¹≼i x_i² * x_i² ≼i x_i³) * (x_i³ ≼i x_i² * x_i² ≼i x_i¹) * (x_i¹ ≼i x_i³ * x_i³ ≼i x_i¹) * x_i¹ ~i x_i³

Prawo łączności koniunkcji p * (q * r) * (p * q) * r; Z własności przechodniości preferencji

Zasada abstrakcji

Twierdzenie φ⊂X×Xjest równoważnoscią dla dowolnych x,x₁,x₂eXsa spełnione warunki

1)x e[x], gdy x należy do swojej klasy abstrakcji

2) [x₁]=[x₂]⇔x₁φx₂ elementy są równoważne, mają te same klasy abstrakcji

3)[x₁]≠[x₂]⇔[x₁]∩[x₂]= są rozłączne

Dowolna relacja równoważności φ w zbiorze X≠Ø wyznacza podział tego zbioru na rozłączne i niepuste podzbiory, mianowicie na klasy równoważności tej relacji, w taki sposób, że dwa elementy x, y zbioru X należą do tej samej klasy równoważności wtedy i tylko wtedy, gdy są one rów­noważne, w tym znaczeniu, że pozostają ze sobą w relacji φ. Taki podział zbioru X na podzbiory, rozłączne i dające w sumie cały zbiór X, to jest podział rozłączny i wyczerpujący, nosi nazwę podziału logicznego zbioru X lub jego klasyfikacji. Stosując zasadę abstrakcji przy przejściu od elementów x, y zbioru X do klas równoważności [x], [y], relacja równoważności φ zostaje zamieniona na relacje równości poprzez utożsamienie elementów równoważnych. Metoda ta, zwana metodą identyfikacji elementów równoważnych. Są to tzw. defi­nicje przez abstrakcje. Ma zastosowanie w teorii konsumenta: przy definiowaniu relacji i krzywych obojętności.

Funkcja użyteczności

Funkcję u_i :X_i­­→R nazywamy funkcja użyteczności i-tego konsumenta jeżeli V x_i¹ , x_i² e Xi: x_i¹≼_i x_i² ⇔ u_i(x_i¹) <= u_i(x_i²)

Przykład:

zb. konsumpcji X_i=R₊²

f.użyteczności: u_i: X_i→R

u_i(x,y) = x(y+1)

[x_i^'] = {x_i*X_i:u_i(x_i) c, gdzie c:=u_i(x_i^')}.

Zatem:

[(x^',y^')]={(x,y)*R₊²: x(y+1)=c,

gdzie c=x^'(y^'+1)}.

X(y+1)=c*y=c/x-1

Ograniczenia budżetowe

przy danym systemie cen p e R¹ i wartości majątku wi e R i-ty konsument wybiera swój plan konsumpcji x_i e X_i tak, by jego wydatki px_t mieściły się w ograniczeniach budżetowych px_i ≤ w_f. Punkt (p, w) e R ^l+m oznacza parę „cena-zasób".

Tw : Niech zbiór konsumpcji X_i c R^l będzie zwarty i wypukły. Jeżeli (p⁰,w⁰) e S_i oraz w⁰_i ≠ min p⁰ X_{i ,} , to korespondencja ograniczeń budżetowych γ_i c Si x Xi jest ciagla w (p⁰,w⁰)

Dowód: korespondencja γ_i jest półciągła z góry w (p⁰,w⁰) , bo jej graf graf γ_i = {(p,w,xi) e Si x Xi ; pxi ≤ wi } jest zbiorem domkniętym w zbiorze Si x Xi .

Maksymalizacja preferencji - korespondencja popytu

Korespondencja popytu, która każdemu i-temu konsumentowi przypisuje plany konsumpcji optymalnej ze względu na jego relację preferencji z uwzględnieniem wszystkich ograniczeń. Cel, jaki realizuje konsument, polega na maksymalizacji jego indywidualnych preferencji. Znaczy to, że przy danej parze ceny-zasobu (p, w) e S, i-ty konsu­ment wybiera w swym niepustym zbiorze ograniczeń budżetowych γ_i(p,w) plan konsumpcji x_t optymalny wobec jego preferencji, tzn. element maksymal­ny w odniesieniu do relacji preferencji ≼_i

Maksymalizacja preferencji a minimalizacja wydatkow:

Tw Jeżeli relacja preferencji jest domknięta oraz w≠ min pX_i to warunek (b) pxi<w_i => x_i <i x'_i implikuje warunek (a) px_l ≤wi => x_f ≼ x'_f

Tw. Jeżeli relacja preferencji ≼_i jest wypukła oraz plan xi e X_i nie jest konsumpcją nasyconą, to warunek (a) implikuje warunek (b).

Tw Niech dla danej pary (p, w) e S' plan x' będzie elemen­tem największym w zbiorze ograniczeń budżetowych γ (p, w) ze względu na preferencję ≼ Wówczas jeżeli relacja preferencji ≼_i jest wypukła oraz plan xi' nie jest konsumpcją nasyconą, to pxi' = wi.

Zmiany ceny i zasobu - ciągłość korespondencji popytu

Załóżmy teraz, że zbiór konsumpcji X_f jest spójny oraz że relacja preferen­cji jest domknięta. Wówczas, zgodnie z twierdzeniem , istnieje ciągła funk­cja użyteczności u_t: X_i → R.

Funkcja użyteczności w, definiuje ciągłą funkcję u'_i: S_; x X_i → R, określoną następująco:

u_i ` (p, w, xi):=ui(xi)

Korespondencja popytu ξ i-tego konsumenta jest półciągla z góry w punkcie (p, w) i pośrednia funkcja użyteczności i-tego konsumenta v_i jest ciągła w punkcie (p, w), jeżeli (p, w) e S_; oraz korespondencja ograniczeń budżetowych γ, jest cią­gła w tym punkcie.

Jeżeli powyższe założenia są spełnione dla każdego i-1,...,m, korespondencja popytu całkowitego jest półciągła z góry w punkcie (p, w).

Jeżeli wreszcie pewna z półciągłych z góry korespondencji popytu jest funkcją, to jest ona ciągła.

Logiczne struktury dzialania ekonomii E

Ekonomię tworzą konsumenci i = l , . . . , m reprezentowani przez ich zbiory konsumpcji oraz relacje preferencji producenci i=l,....n z przypisanymi im zbiorami pro­dukcji Y- oraz zasoby całkowite ω R'. ekonomia jest repre­zentowana przez układ: E=((Xi ≼), (Yj), ω )gdzie:

1)dla każdego i = l,..., m X,c R' jest niepustym zbiorem konsumpcji i-tego konsumenta, prauporzadkowanym w sposób zupełny przez relację pre­ferencji =S₍.

2) dla każdego j= l,..., n Yj, c R- jest niepustym zbiorem produkcji j-tego producenta,

3) ω e R' jest zasobem całkowitym.

Stan ekonomii jest określony przez wyszczególnienie działania każdego pod­miotu ekonomicznego, to jest przez podanie dla każdego konsumenta jego planu konsumpcji yj rzez podanie dla. każdego producenta jego planu produkcji v, w przestrzeni towarów R'.,

W systemie ekonomicznym Debreu każdy uczestnik rynku stara się wybrać pewne optymalne działanie. Dla producentów jest to plan produkcyjny maksymalizujący zysk przy pewnych ograniczeniach technologicznych ,natomiast dla konsumentów jest to koszyk towarów maksymalizujący ich preferencje przy danym zasobie budżetowym. Gdy działania te są zgodne z całkowitymi zasobami ekonomii ,oznacza to równowagę systemu.

Def. ogólnej równowagi konkurencyjnej w modelu wartościach

(m+n+1)-elementowy ciąg punktów
w przestrzeni towarów R^l nazywamy stanem ogólnej równowagi konkurencyjnej Walrasa, jeżeli:]

1)
jest elementem maksymalnym ze względu na relację preferencji
w zbiorze

dla każdego i=1,..,m

2)
maksymalizuje naYj zysk ze względu na p* dla każdego j=1,...,n;

3)x*-y*=ω

model Debreu - o istnieniu ogólnej równowagi konkurencyjnej w ekonomii z własnością prywatną

Tw. (O istnieniu równowagi konkurencyjnej). Ekonomia z wła­snością prywatną ζ=((Xi ≼i), (Yj), ωi, θij) ma stan równowagi ((x*i), (y*j),p*) e R ^{l (m+n+1)} jeżeli:

(a)Xi jest zbiorem domkniętym, wypukłym i ograniczonym z dołu ze względu na relację ≤ w R',

(b.l) nie istnieje konsumpcja nasycona w Xi

(b.2) dla kazd xi'e Xi, zbiory {xi e Xi, xi ≼ xi') oraz (x_i e Xi ; xi'≼xi} są domknięte w Xi

(b.3) dla dowolnych x_i¹, xi² e Xi te(0,1) jeżeli xi² ≻i xi¹ to tx²_i + (l-t)x^l_i ≻i x'.,
(c) istnieje x⁰_i e Xi taki, że x⁰_i <<ω_i

(d.l) 0 e Yj możliwość braku produkcji indywidualnej

(d.2) Y jest zbiorem domkniętym i wypukłym,
(d.3) Y∩(-Y)c{0} addytywność

(d.4) (-R^l₊) zaw Y swobodne dysponowanie towarem

Część 1. dowodu

Niech Yj oznacza domkniętą, wypukłą powłokę zbioru produkcji Yj dla j-1,..,n. Wykażemy, że jeśli ciąg ((xi*),(yj*),p*) jest ξ-równowagą, to jest on też ξ-równowagą. Dla dowodu wystarczy sprawdzić, ze jeżeli plan produkcji yj* maksymalizuje p*yj j-tego producenta na jego zbiorze produkcji Yj, to plan produkcji yj* tez maksymalizuje zysk p*yj na zbiorze Yj. Tak właśnie jest bo zbiór {yjeR^l; p*yj≤p*yj*} jest domknięty i wypukły, zatem jeżeli zawiera on zbiór Yj, to zawiera on także jego domkniętą wypukłą powłokę Yj.

---