PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Doświadczenie = czynność (działanie)

Doświadczeniem losowym nazywamy, każde działanie, którego wyniku nie można z góry przewidzieć.

Zdarzenie elementarne jest pojedynczym wynikiem doświadczenia losowego (pojęcie pierwotne).

Zbiór zdarzeń elementarnych jest to zbiór wszystkich wyników doświadczenia losowego (przestrzeń zdarzeń elementarnych, przestrzeń probabilistyczna).

Przykład: rzut monetą

- zbiór zdarzeń elementarnych

- liczność przestrzeni

zdarzenia elementarne (
)

prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi ½

Zdarzeniem losowym nazywamy, każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych.

P(B)=0 - zdarzenie niemożliwe

P(C)=1 - zdarzenie pewne

Zdarzenie niemożliwe jest to zdarzenie, któremu nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne.

Zdarzenie pewne jest to zdarzenie, któremu sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne.

Zdarzenie są jednakowo prawdopodobne, wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe prawdopodobieństwa.

Zdarzenie B jest mniej prawdopodobne niż zdarzenie D, bo ma mniejsze prawdopodobieństwo.

Jeśli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwem zdarzenia losowego nazywamy iloraz:

Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających rozważanemu zdarzeniu

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych

- wzór La place'a

Zdarzenia wykluczają się, wtedy i tylko wtedy, gdy ich koniunkcja (iloczyn) jest zdarzeniem niemożliwym.

Zdarzenia są przeciwne, wtedy i tylko wtedy, gdy ich koniunkcja jest zdarzeniem niemożliwym i ich alternatywa (suma) jest zdarzeniem pewnym.

A' - zdarzenie przeciwne do A

- własność zdarzeń przeciwnych

Zdarzeniu B' sprzyjają te zdarzenia elementarne z przestrzeni Ω, które nie sprzyjają zdarzeniu B.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo na końcu gałęzi drzewa należy pomnożyć wszystkie prawdopodobieństwa pośrednie przy tej gałęzi.

UWAGA:

Metoda ta nie wymaga, aby zdarzenia elementarne były jednakowo podobne.

- wzór ogólny obliczania prawdopodobieństwa

ZASADA MNOŻENIA

Przypuśćmy, że wynik pewnego działania zależy od kolejno podejmowanych decyzji. Jeśli przy podejmowaniu pierwszej decyzji mamy do wyboru n₁ możliwości, drugiej - n₂ możliwości itd., a ostatniej - n_k możliwości, to liczba różnych wyników, które możemy otrzymać, jest równa iloczynowi:

KOMBINATORYKA

SILNIA

, gdzie

,
, gdzie

SYMBOL NEWTONA

, gdzie
,
,

,
,
,
.

PERMUTACJE BEZ POWTÓRZEŃ

Permutacją n różnych elementów nazywamy każdy ciąg n- wyrazowy utworzony ze wszystkich tych elementów. Ozn.:

Cechy:

- elementy nie powtarzają się,

- istotna jest kolejność elementów,

- wszystkie elementy zbioru biorą udział w permutacji.

Liczba permutacji zbioru złożonego z n różnych elementów wyraża się wzorem:

KOMBINACJE BEZ POWTÓRZEŃ

Kombinacją k- elementową spośród n- elementów, nazywamy każdy podzbiór zbioru Z, gdzie 0 ≤ k≤ n. Ozn.:

Cechy:

- elementy nie powtarzają się,

- nie jest istotna kolejność elementów,

- nie wszystkie elementy muszą brać udział w kombinacji.

Liczba kombinacji k- elementowych, wybranych spośród n- elementów, wyraża się wzorem:
.

WARIACJE BEZ POWTÓRZEŃ

Każdy k- wyrazowy ciąg, którego wszystkie wyrazy należą do n- elementowego zbioru (k≤ n), nazywamy k- elementową wariacją bez powtórzeń n- elementowego zbioru. Ozn.:
.

Cechy:

- elementy nie powtarzają się,

- istotna jest kolejność elementów,

- nie wszystkie elementy muszą brać udział w wariacji.

Liczba wszystkich k- elementowych wariacji bez powtórzeń spośród n- różnych elementów, wyraża się wzorem:
.

Wariacja bez powtórzeń jest uporządkowaną kombinacją bez powtórzeń:

.

WARIACJE Z POWTÓRZENIAMI

Każdy k- wyrazowy ciąg o wyrazach należących do n- elementowego zbioru nazywamy k- wyrazową wariacją z powtórzeniami n- elementowego zbioru. Ozn.:
lub
.

Cechy:

- elementy powtarzają się,

- istotna jest kolejność elementów,

- nie wszystkie elementy muszą brać udział.

Liczba wszystkich k- wyrazowych wariacji z powtórzeniami n- elementowego zbioru, wyraża się wzorem:

---