19 X 2005

Biostatystyka

Zadania do ćwiczenia 1 i ćwiczenia 2

Z1. Zakładając, że jesteś nosicielem pewnego rzadkiego allelu, jakie jest prawdopodobieństwo, że któreś z twoich prawnucząt będzie nosicielem tego samego rzadkiego allelu pochodzącego od ciebie. (Odp. 1/8)

Z2. Oszacowano dla populacji Murzynów amerykańskich, że jeden na 575 Murzynów ma anemię sierpowatą. W chorobie tej występują nieprawidłowe cząsteczki hemoglobiny S, co sprawia, że krwinki czerwone mają charakterystyczny sierpowaty kształt w warunkach niskiego ciśnienia parcjalnego tlenu. Choroby tej prawie wcale nie spotyka się u nieMurzynów żyjących w USA. Okazało się, że chorzy są nosicielami dwóch recesywnych genów HbS. Wiedząc, że w jednym z miast amerykańskich z populacją 64 tysiące mieszkańców co czwarty mieszkaniec jest Murzynem, jakie jest prawdopodobieństwo, że przypadkowo wylosowana osoba żyjąca w tym mieście będzie miała anemię sierpowatą oraz ilu mieszkańców tego miasta mogłoby mieć tą chorobę. (Odp. 1/2300, 28 mieszkańców)

Z3. W pewnym kraju około 10% ludzi jest nosicielami grupy krwi 0. Jaka jest szansa, że w losowo wybranym małżeństwie oboje małżonkowie są nosicielami grupy krwi 0. (Odp. 0.01)

Z4. Jeżeli oboje małżonkowie są nosicielami grupy krwi B, to jakie jest prawdopodobieństwo, że ich pierwsze dziecko będzie miało grupę krwi 0, jeśli wiemy, że 3 na każdych 7 nosicieli grupy krwi B jest heterozygotami. (Odp. 9/196)

Z5. Za występowanie żółtaczki hemolitycznej odpowiada obecność dominującego genu o penetracji około 10% (tzn. że choroba wystąpi jedynie u 1 na około 10 nosicieli tego genu). Jaka jest szansa, że dziecko heterozygotycznego mężczyzny pod względem tego genu oraz zdrowej homozygotycznej kobiety będzie nosicielem tej cechy. (Odp. 1/20)

Z6. Para planująca posiadanie czworga dzieci chciałaby mieć po dwa z każdej płci. Jaka jest szansa, że ich plany się spełnią. (Odp. 0.375, skorzystać z dwumianu Newtona)

Z7. Dwoje ludzi z normalną pigmentacją skóry posiada dwójkę dzieci albinotycznych i jedno normalne. Wiedząc, że szansa urodzenia albinosa z dwojga ludzi o normalnej pigmentacji skóry wynosi ¼, jakie jest prawdopodobieństwo zaistnienia takiej kombinacji. (Odp. 9/64, skorzystać z dwumianu Newtona)

Z8. Prawdopodobieństwa trafienia do celu przy strzelaniu z poszczególnych dział są następujące p₁=0.8, p₂=0.7, p₃=0.9. Jakie jest prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia przy jednej salwie z trzech dział. (Odp. 0.994, skorzystać z P(A) = 1 - P(A'1)P(A'2)*...*P(A'n))

Z9. Prawdopodobieństwo pomyślnego wykonania ćwiczenia przez jednego sportowca wynosi 0.5. Dwaj sportowcy wykonują to ćwiczenie kolejno, każdy z nich dwa razy. Sportowiec, który pierwszy pomyślnie wykona ćwiczenie, otrzyma nagrodę. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania nagrody przez sportowców. (Odp. 0.9375, skorzystać z P(A) = 1 - P(A'1)P(A'2)*...*P(A'n))

Z10. Prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia do tarczy przy trzech wystrzałach jest równe 0.875. Znaleźć prawdopodobieństwo trafienia przy jednym wystrzale. (Odp. 0.5, skorzystać z P(A) = 1 - P(A'1)P(A'2)*...*P(A'n))

Z11. Strzelec trafia do celu przy jednym strzale z prawdopodobieństwem 0.4. Ile strzałów powinien oddać, żeby z prawdopodobieństwem nie mniejszym niż 0.9 co najmniej raz trafił do celu. (Odp. 5, skorzystać z P(A) = 1 - P(A'1)P(A'2)*...*P(A'n))

Z12. Trzej myśliwi jednocześnie ujrzeli zająca i jednocześnie strzelili do niego. Zakładamy że dla każdego z myśliwych prawdopodobieństwo zabicia zająca jednym strzałem jest jednakowe i równe 1/3. Jakie jest prawdopodobieństwo zastrzelenia zająca. (Odp. 19/27)

Z13. Samolot ma trzy silniki. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu n godzin lotu ulegnie uszkodzeniu pierwszy silnik, wynosi 0.0001, drugi 0.0012, trzeci 0.0002. Zakładając że uszkodzenia tych trzech silników są zdarzeniami niezależnymi, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu n godzin lotu ulegnie uszkodzeniu jeden silnik. (Odp. 0,0014989)

Z14. Zakłady metalowe kooperują z trzema odlewniami. Z poszczególnych odlewni pochodzi odpowiednio 10%, 30% i 60% odlewów. Na podstawie obserwacji wiadomo, że odlewy dostarczane z pierwszej odlewni zawierają 2% odlewów z ukrytymi wadami, z drugiej 10%, a z trzeciej 4%. Stwierdzono, że pewien odlew posiada ukryta wadę. Z której odlewni najprawdopodobniej on pochodzi. (Odp. druga odlewnia, skorzystać z Tw. Bayesa)

Z15. Student potrafi odpowiedzieć na 15 pytań spośród 20. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że student odpowie na 2 spośród wylosowanych 3 pytań. (Odp. 0.46)

Z16. W magazynie znajdują się żarówki pochodzące z dwóch fabryk. 6% pochodzi z fabryki I. Wśród żarówek z fabryki I jest 1% wadliwych, a spośród żarówek z fabryki II 2% wadliwych. Z magazynu pobrano losową jedną żarówkę, która okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ta żarówka została wyprodukowana przez fabrykę II. (Odp. 0.571)

Z17. Spośród 100 mężczyzn 5 nie rozróżnia kolorów, a spośród 10000 kobiet 25 to daltonistki. Z grupy o jednakowej liczbie mężczyzn i kobiet wybrano osobę, która okazała się dotknięta tą wadą wzroku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowaną osobą jest mężczyzna. (Odp. 0.952)

Z18. Czy zdarzenia A i B mogą się wykluczać, jeżeli P(A) = 0.52 i P(B) = 0.49.

Z19. Zmienna losowa X przyjmuje trzy możliwe wartości: x₁=3, x₂=5 i x₃ odpowiednio z prawdopodobieństwami: p, 0.3, 0.2. Wyznaczyć x₃ i p, jeśli E(X)=5. Obliczyć wariancję zmiennej X. (Odp. x₃=10, p=0.5, D²(X)=7)

Z20. Zmienna losowa X przyjmuje trzy wartości: 0,1,2. Wiadomo, że E(X)=1 oraz E(X²)=1.5. Wyznaczyć rozkład zmiennej X.

Z21. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X mając jej dystrybuantę o postaci:

	x <= 1	1 < x <= 2	2 < x <= 5	x > 5
F(x)	0	0.2	0.6	1

Z22. Zmienna losowa X ma następujący rozkład prawdopodobieństwa:

xi	-1	2	5
pi	2/7	4/7	1/7

Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej.

Z23. Dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej X:

xi	10	20	30	40	50
pi	0.1	0.2	0.3	0.3	?

Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej, wartość oczekiwaną oraz wariancję.

Z24. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucając trzykrotnie kostką do gry wyrzucimy za pierwszym razem, za drugim i za trzecim razem szóstkę. (Odp. 0.0046)

Z25. 40% Polaków to blondyni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w sześcioosobowej rodzinie wszyscy są blondynami. (Odp. 0.004096)

Z26. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z wartością oczekiwaną 12 i wariancją 3. Znajdź n i p. (Odp. n=16, p=16)

Z27. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wśród 100 elementów znajdują się co najmniej 4 wadliwe, jeżeli wadliwość elementów w tej partii wynosi 2%. (Odp. λ=2, P(X>=4)=0.143)

Z28. Wiadomo, że przeciętny wiek kobiet w chwili urodzenia dziecka wynosi 26,9 lat, przy odchyleniu standardowym 5,5 roku. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dziecko urodzi kobieta w wieku: a) do 30 lat, b) 30-40 lat, c) 40-50 lat, d) powyżej 50 lat. (Odp. a) 0.725, b) 0.267, c) 0.007, d) 0.001)

Z29. Zmienna losowa ma rozkład N(0,1). Oblicz: a) P(X>0), b) P(X>2), c) P(-1<X<0), d) P(|X|<2), e) P(|X|>1).

Z30. Rozkład wyników testu psychologicznego jest rozkładem N(80,10). Ilu spośród badanych 500 studentów uzyskało co najmniej 100 punktów. (Odp. 12 stud.)

Z31. W doniczkę wsiano pięć losowo wybranych nasion o sile kiełkowania 80%. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że : a) nie wykiełkuje żadne nasiono; b) wykiełkuje tylko jedno nasiono; c) wykiełkują tylko dwa nasiona; d) wykiełkują trzy; e) wykiełkują cztery nasiona; f) wykiełkują wszystkie; g) przedstawić graficzną prezentację tego rozkładu.

Z32. W długotrwałym badaniu stwierdzono, że określony lek miał skuteczność 30%. Lekarz zaaplikował, tenże lek pięciu pacjentom. Jakie jest prawdopodobieństwo, że lek ten będzie środkiem skutecznym dla co najmniej trzech pacjentów. (Odp. 0.1631)

Z33. Kupiono dwa losy na dwóch różnych loteriach. Na pierwszej z nich wygrywa 10% losów, na drugiej zaś 20%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) obydwa zakupione losy wygrywają, b) kupujący osiągnie jakąkolwiek wygraną, c) oba losy są puste. (Odp. a) 0.02, b) 0.28, c) 0.72)

Z34. Prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia w tarczę przy czterech wystrzałach jest równe 0,8704. Znaleźć prawdopodobieństwo trafienia przy jednym wystrzale. (Odp. 0.4)

Z35. W urnie jest n kul białych i 3 czerwone. Losujemy dwie kule. Przy jakiej liczbie kul białych prawdopodobieństwo wylosowania pary kul, z których przynajmniej jedna ma kolor czerwony, jest większe niż ½. (Odp. n = 0, 1, ..., 7)

Z36. Sklep spożywczy otrzymuje jaja od trzech farmerów. Liczba jaj dostarczonych przez poszczególnych farmerów wynosi odpowiednio: 15000, 30000 i 15000sztuk. Przeciętnie procent jaj zepsutych w dostawie pierwszego farmera wynosi 1%, drugiego 5% i trzeciego 1%. Klient kupił jedno jajko i trafił na zepsute. Obliczyć prawdopodobieństwo, że zepsute jako pochodzi od farmera drugiego. (Odp. 5/6)

Z37. W urnie są 4 kule białe i 3 czarne. Losujemy dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) żadna z wylosowanych kul nie jest biała; b) przynajmniej jedna kula jest biała; c) obydwie kule są białe.

Z38. Ze zbioru liczb naturalnych od 1 do 100 losujemy jedną liczbę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jest to liczba podzielna przez pięć lub siedem. (Odp. 8/25)

Z39. Partię 50 sztuk towaru poddano losowej kontroli. Warunkiem odrzucenia partii jest znalezienie co najmniej jednej sztuki wadliwej podczas trzech kolejnych losowań bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia partii towaru, jeśli zawiera ona 4% sztuk wadliwych. (Odp. 0.12)

Z40. Na loterię pieniężną przygotowano 200 losów, w tym dwa wygrywające po 1000zł, osiem, po 500 zł, dziesięć po 200 zł, dwadzieścia po 100 zł i sześćdziesiąt po 10 zł. Reszta losów jest pusta. Niech zmienna losowa X oznacza wygraną na loterii. Należy: a) przedstawić rozkład zmiennej losowej X w formie tabelarycznej; b) określić dystrybuantę zmiennej losowej X; c) znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X; d) znaleźć jej wariancję oraz odchylenie standardowe.

Z41. Rzucono cztery razy symetryczną kostką do gry. Niech zmienną losową X będzie liczba otrzymanych wyników podzielnych przez trzy. Należy: a) znaleźć rozkład zmiennej losowej X; b) zapisać funkcję dystrybuanty tej zmiennej; c) znaleźć E(X), D²(X) i D(X).

Z42. Doświadczenie polega na wielokrotnym rzucie sześcienną kostką. Ile należy wykonać rzutów, aby prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej raz szóstki było większe od 11/36. (Odp. 3 rzuty)

Z43. W pewnym przedsiębiorstwie produkcyjnym wylosowano stu pracowników pracujących na stanowiskach produkcyjnych, dokonując w ciągu miesiąca obserwacji ich produkcji. Otrzymano następujące wyniki.

Liczba braków	0	1	2	3	4	5	6	7
Liczba pracowników	15	33	26	16	6	2	1	1

Zakładając, że rozkład prawdopodobieństwa występowania braków jest rozkładem Poissona, należy: a) wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X, definiowaną liczbą braków powstałych w ciągu miesiąca; b) znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pracownik ma na swoim koncie dokładnie 5 braków; c) znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany pracownik wytworzy mniej niż 3 braki.

Z44. Rzucamy 1024 razy monetą. Przyjmując, że prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki wynosi ½, znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że liczba uzyskanych reszek należy do przedziału [544, 560]. (Odp. 0.0214)

Z45. Sprawdzić czy funkcja f(x) jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X, gdy f(x)=0 dla x<=0; x dla 0<x<=2^1/2; 0 dla x>2^1/2. Przyjmując powyższą punkcję gęstości zmiennej losowej X, należy: a) znaleźć jej dystrybuantę; b) znaleźć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X<1, X>1.4, X=0.4, X=[0.6, 1.2].

Z46. W populacji studentów Akademii Ekonomicznej dokonano pomiaru wzrostu mężczyzn. Obserwacje potwierdziły, że zmienna losowa X wyrażająca wzrost studenta ma rozkład normalny N(176, 10). Obliczyć prawdopodobieństwo, że wzrost studenta jest: a) mniejszy niż 186 cm; b) mniejszy niż 166 cm; c) większy niż 170 cm; d) większy niż 200 cm; e) należy do przedziału (168, 184) cm.

Z47. Dany jest rozkład zmiennej losowej X:

X = xi	-2	-1	0	4	6
P(X=xi)	1/8	1/8	½	3/16	1/16

a) znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej X, b) znaleźć wartość wariancji oraz odchylenia standardowego tej zmiennej.

Z48. Wydrukowano rozkład pewnej zmiennej losowej X. Jednak z przyczyn technicznych wartość realizacji zmiennej losowej X=x₃ oraz P(X=x₃) nie zostały wydrukowane. Uzupełnij puste miejsca w tabeli, jeśli wiadomo, że E(X) = 5/4.

X=xi	-2	0		12
P(X=xi)	½	¼		1/16

Z49. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest w postaci F(x) = 0 dla x<=0; x³/27 dla 0<x<=3 i 1 dla x>3. Znaleźć funkcję gęstości tej zmiennej. Wyznaczyć wartości E(X) oraz D²(X).

Z50. Prawdopodobieństwo trafienia do celu jednym strzałem wynosi 2/3. Do celu oddano niezależnie 5 strzałów. Oblicz prawdopodobieństwo, że cel zostanie trafiony: a) zero razu, b) dwa razy, c) co najmniej raz, d) co najwyżej raz, e) co najwyżej cztery razy.

Z51. Rzucamy 3 razy dwoma kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że co najwyżej raz suma wyrzuconych oczek na obu kostkach jest liczba nieparzystą większą od 6.

Z52. Dwóch tenisistów o jednakowych umiejętnościach i kondycji rozgrywa mecze. Co jest bardziej prawdopodobne dla każdego z nich: a) wygrać jeden mecz z dwóch, b) wygrać dwa mecze z czterech.

Z53. Ile razy należy rzucać trzema monetami, aby prawdopodobieństwo otrzymania przynajmniej raz trzech reszek było większe od 15/64.

Z54. Rzucamy 4 razy parą symetrycznych kostek do gry. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę uzyskanych wyników, w których liczba wyrzuconych oczek jest podzielna przez 3. Należy: a) określić rozkład zmiennej losowej X, b) zapisać dystrybuantę zmiennej losowej X, c) znaleźć wartość parametrów: E(X), D²(X), D(X).

Z55. Masa ciała w populacji studentów ma rozkład normalny N(72, 12). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że masa ciała przypadkowo napotkanego studenta należy do przedziału: a) (60, 66), b) (78, 84), c) (69, 75), d) (108, 120).

Z56. Masa jabłek odmiany reneta złocista ma rozkład normalny N(150, 25). Obliczyć prawdopodobieństwo, że jabłko tego gatunku waży od 120 do 150 gramów.

Z57. Liczba wyrzuconych oczek kostką do gry jest zmienna losową z prawdopodobieństwem dla każdej wartości równym 1/6. Obliczyć wartość oczekiwaną tej zmiennej. (Odp. 3.5)

Z58. W celu określenia siły kiełkowalności zboża wysiano po pięć nasion na 50 płytkach, stwierdzając: 1) brak płytek z nie wykiełkowanymi roślinami; 2) jedną płytkę z jedną rośliną; 3) trzy płytki z dwiema roślinami; 4) dziewięć płytek z trzema roślinami; 5) 21 płytek z czterema i 6) 16 płytek pięcioma roślinami. Jaka jest kiełkowalność nasion w badanej partii 5t zboża przygotowanego do siewu. (Odp. 0,792)

Z59. Z danych rzeczywistych wiadomo, że prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi 0.514. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w rodzinie 5-dzietnej będzie r chłopców. Podać wartość oczekiwaną liczby chłopców. Jaka będzie prawdopodobna liczba matek mających co najmniej czworo dzieci jednej płci. Porównać wyliczone prawdopodobieństwa r chłopców z rozkładem teoretycznym.

Z60. Badany obszar podzielono wg siatki na dużą liczbę małych kwadratów. Ze względu na zbyt duży obszar wybrano losowo 88 kwadratów zastawiając w nich pułapki. Stwierdzono w pułapkach podane niżej liczby osobników określonego gatunku ssaków.

Liczba zwierząt w pułapce	0	1	2	3	4	5	6
Liczba pułapek	10	21	28	16	8	4	1

1. Ustalić, czy rozmieszczenie zwierząt na tym obszarze jest zbliżone do losowego zgodnie z rozkładem Poissona.

2. Czy można stwierdzić, że do niektórych pułapek wpada więcej zwierząt niż należałoby oczekiwać z rozkładu Poissona.

3. Jeżeli nie, to ile pustych pułapek powinno się znajdować wśród znalezionych.

4. Wykreślić rozkład liczebności empirycznych i teoretycznych

5. Wyznaczyć dystrybuantę teoretyczną rozkładu prawdopodobieństw.

Z61. Wadliwość produkowanych szczepionek wynosi 0.15%. Do sprawdzenia jakości produkcji pobrano próbkę losową 700 fiolek. Niech X oznacza liczbę złych fiolek pośród 700 wylosowanych. Obliczyć: a) wartość oczekiwaną zmiennej X; b) wariancję i odchylenie standardowe.

Z62. Średnia zawartości Hb we krwi kobiet wynosi 13.7 g/100 ml, wariancja 1.58. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo pobrana do badań krew kobiet zawiera co najmniej 12 g/100 ml. (Odp. 0,91149)

Z63. Dane są możliwe wartości dyskretnej zmiennej losowej X: x₁=-1, x₂=0, x₃=1 oraz wartości oczekiwane tej zmiennej i jej kwadratu: E(X) = 0.1 oraz E(X²) = 0.9. Znaleźć prawdopodobieństwa p₁, p₂, p₃ odpowiadające możliwym wartościom x₁, x₂, x₃. (Odp. p₁=0.4, p₂=0.1, p₃=0.5)

Z64. Pewna pracownia studencka wyposażona jest w 5 kalkulatorów elektronicznych. Na podstawie dłuższych obserwacji stopnia wykorzystania kalkulatorów określono prawdopodobieństwo p=0.1 tego, że w czasie zajęć któryś z kalkulatorów jest wolny (p jest takie samo dla wszystkich kalkulatorów). Jakie jest prawdopodobieństwo, że w danej chwili wolne są a) dwa kalkulatory, b) przynajmniej dwa kalkulatory. (Odp. a) 0.0729, b) 0.08146, skorzystać z dwumianu Newtona)

Z65. Rzucamy 5 razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo trzykrotnego wyrzucenia orła. (Odp. 5/16, skorzystać z dwumianu Newtona i trójkąta Pascala)

Z66. W jednej z uczelni wyższych wylosowano 90 studentów i dokonano rejestracji ich nieobecności na zajęciach obowiązkowych w ciągu zimowego semestru. Otrzymano następujące informacje:

Liczba dni nieobecności	0	1	2	3	4	5	6	7
Liczba studentów	12	20	27	18	7	3	2	1

Zakładając, że rozkład liczby dni nieobecności na zajęciach jest rozkładem Poissona, wyznaczyć jego dystrybuantę oraz obliczyć prawdopodobieństwo, że student będzie nieobecny w ciągu semestru mniej niż dwa razy.

Z67. Niech X ma rozkład normalny N(0,1). Obliczyć: a) P(0<X<2); b) P(X>2); c) P(X<-0.5); d) P(|X|<1).

5

---