9.a) Warunek dostateczny istnienia ekstremum funkcji n- zmiennych. Kryterium Sylvestera określoności formy kwadratowej rzeczywistej n zmiennych.

Funkcja f(x,y) ma ekstremum w punkcie stacjonarnym P₀ wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik W(P₀) >0, gdy W(P₀)<0 - ekstremum nie istnieje, gdy W(P₀)=0 - przypadek wątpliwy.

gdzie

tw. (Kryterium Sylwestera) określoności formy kwadratowej:

Weźmy macierz A

Minorem głównym diagonalnym

• pierwszym nazywamy M₁= a₁₁

• drugim nazywamy M₂=
  

Forma kwadratowa F jest dodatnio (ujemnie) określona < = > gdy M._i>0, i=1,...,n, ((-1)ⁱm._i>0, i=1,...,n).

Ponadto

• jeżeli M._i>0, i=1,...,n-1, M_n=0, to F jest dodatnio półokreślona

• jeżeli (-1)ⁱM._i>0, i=1,....,n-1, M._n=0, to F jest ujemnie półokreślona.

9.b) Znależć ekstrema funkcji f(x₁,...,x_n)
.

(1,1,......,1) punkt stacjonarny

forma kwadratowa dodatnio określona. W pkt. (1,1....,1) istnieje ekstremum - minimum - wszystkie minory główne diagonalne są dodatnie.

---