Temat: Oddziaływanie cząstki mikroskopowej ze studnią potencjału

Rozpraszanie cząstki przez studnię potencjału

Przyjmijmy, że potencjał jest w pewnym obszarze osi x ujemny, na przykład (Rys. 16.1)

(16.1)

Będziemy taki potencjał nazywali studnią (jamą) potencjału (Rys. 16.1). Podobnie jak w przypadku bariery zagadnienie zależy od trzech parametrów (15.22a,b): E,
oraz
.

Jak poprzednio przyjmiemy, że mamy do czynienia z cząstkami w stanie stacjonarnym o energii E, które są wysyłane przez odległe źródło znajdujące się z lewej strony studni. Przyjmijmy, że energia cząstki jest dodatnia
. Niech k₂ będzie wektorem falowym w obszarze bariery (w obszarze II)
. W obszarach po za studnią (I i III) wektor falowy przyjmuje wartość
. Będziemy poszukiwali rozwiązań równania Schrödingera w postaci superpozycji fal płaskich (por. np. [1,2])

. (16.2)

Znając postać funkcji falowej na podstawie wzoru (15.3) możemy znaleźć zależność gęstości strumienia prawdopodobieństwa cząstek padających, odbitych i przechodzących od stałych całkowania równania Schrödingera

. (16.3a,b,c)

Warunki ciągłości funkcji falowej i jej pierwszej pochodnej w punktach nieciągłości potencjału dają cztery równania dla pięciu niewiadomych

Rachunki rozpoczniemy od rozwiązania drugiej pary równań, oto wyniki

. (16.4a,b)

Podobnie z pierwszej pary równań znajdujemy związek pomiędzy A₁,
oraz A₂,

, (16.5a)

. (16.5b)

Wykorzystamy związki (16.4a,b) i wyrazimy współczynniki
przez A₃

, (16.4c)

. (16.4d)

Wykorzystując definicje (15.11a,b) współczynników odbicia i przepuszczania po przeprowadzeniu dość żmudnych rachunków otrzymamy (por. [1]) wyrażenia określające ich zależność od k₁, k₂ i a

, (16.6a)

. (16.6a)

Wyrazimy te współczynniki przez parametry E,
i

, (16.7a)

. (16.7b)

Ponieważ cząstka może mieć dowolnie dużą energię
, a na głębokość V₀ oraz szerokość studni a nie ma ograniczeń, więc
,
. Wykresy zależności współczynników T i R od
i
przedstawiają Rys. 16.2a i 16.2b.

Obliczymy gęstość strumienia prawdopodobieństwa (15.3) w obszarze studni j_II. Ponieważ w tym obszarze prawdopodobieństwo odbicia cząstek nie znika więc wypadkowy strumień jest różnicą strumienia związanego z cząstkami padającymi i odbitymi

. (16.8)

Po podstawieniu za współczynniki A₂ i
wyrażeń (16.4a,b) otrzymamy

.

Ponieważ

,

w naszym szczególnym przypadku potwierdzamy słuszność stwierdzenia : gęstość strumienia prawdopodobieństwa jest wielkością zachowaną.

16.2 Cząstka mikroskopowa w studni potencjału o skończonej głębokości - stany związane

Załóżmy, że energia E i głębokość studni potencjału V₀ spełniają nierówność

.

Obliczymy różnicę
w trzech obszarach: I
, II
i III

To oznacza, że
jest w obszarach I i III wielkością urojoną, natomiast w obszarze II rzeczywistą

Jak poprzednio (§ 15.3) będziemy poszukiwali rozwiązania równania Schrödingera w postaci (15.7)

.

Aby w obszarze I funkcja falowa istniała dla wszystkich położeń na osi x należy wybrać gałąź pierwiastka
ze znakiem plus, natomiast w obszarze III gałąź pierwiastka ze znakiem minus, a więc rozwiązanie równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego o energii E ma postać

Z warunków ciągłości funkcji falowej i jej pierwszej pochodnej w punktach nieciągłości potencjału znajdujemy cztery równania. Zajmijmy się pierwszą parą tych równań

.

Jej rozwiązania mają postać

. (16.9a,b)

Druga para równań ma postać

.

Skąd

. (16.9c,d)

Podzielimy stronami równanie (16.9a) przez (16.9b). Podobnie postąpimy z drugą parą. W ten sposób otrzymamy dwa związki

.

Jak widać uzyskaliśmy związek łączący k z κ, który można przekształcić do postaci

,

albo

. (16.10a,b)

Rozpatrzymy równanie (16.10a). Wprowadzimy kąt φ

, (16.11)

Z równań (16.10a) i (16.11) wynika z, że
, a więc z definicji (16.11) kąta
otrzymujemy związek

. (16.12a)

Jak widać

. (16.12b)

Wprowadzimy oznaczenie

. (16.13)

Obydwie strony równania (16.12) do kwadratu i dodajmy do nich jedność, wtedy otrzymamy równanie trygonometryczne

. (16.14)

Rozwiązania równania (16.13) można otrzymać badając przecięcia funkcji
z prostą o nachyleniu
zależnym od głębokości studni potencjału (Rys. 16.3). Należy uwzględnić tylko te z nich, które spełniają dodatkowy warunek (16.12b). Liczba tych przecięć zależy od V₀ i E.

Dla równania (16.10b) po uwzględnieniu (16.11) otrzymujemy

skąd
, zatem
. Równanie (16.12) przyjmuje postać

. (16.15a)

Jak widać w tym przypadku

. (16.15b)

Po podniesieniu obydwu stron równania (16.15a) do kwadratu i dodaniu do nich jedności otrzymujemy równanie pozwalające określić dopuszczalne wartości k (Rys. 16.4)

. (16.16)

Zauważymy, że im większy jest współczynnik k₀, a więc im większy jest iloczyn mV₀, a także im większa jest szerokość studni a w tym większej liczbie punktów prosta o nachyleniu
przecina krzywe
i
. Energie odpowiadające tym punktom przecięcia nazywamy energiami stanów związanych.

Gdy
to
, wtedy równania (16.14) i (16.16) bardzo upraszczają się

, (16.17a,b)

a ich rozwiązaniami są

(16.18a)

Tym wektorom falowym odpowiadają energie

. (16.18b)

Jak widać dla nieskończenie głębokiej studni potencjału widmo dozwolonych wartości wektorów falowych jest dyskretne, nieograniczone i równoodległe, Widmo energii jest również dyskretne lecz jest ograniczone z dołu przez wartość
i nie jest równoodległe. Energię E₁ nazywamy energią stanu podstawowego cząstki. Ponieważ cząstka jest zlokalizowana w obszarze a nieokreśloność
jej pędu jest rzędu
, zatem E₁ jest rzędu
- energii lokalizacji cząstki w studni potencjału. Nie znikająca energia lokalizacji cząstki w studni potencjału powoduje, że wśród rozwiązań (16.18a) nie ma
. Ponieważ w rozważanym przypadku naruszone są warunki założeń prowadzących do warunku ciągłości pochodnych funkcji falowej w punktach nieciągłości potencjału (por. § 15.2), funkcję falową należy znaleźć zakładając tylko ciągłość funkcji falowej. Zajmiemy się tym w § 16.3

Znajdziemy funkcje falowe w obszarze studni odpowiadające rozwiązaniom równań (16.10). Do postaci funkcji falowej w obszarze bariery

wstawimy wyrażenia (16.9a,b) dla współczynników
. W wyniku otrzymamy

.

Ten związek przekształcimy tak, by można było wykorzystać relację (16.11)

.

Po jej wykorzystaniu otrzymamy dla związku (16.10a) rozwiązanie parzyste względem zamiany

, (16.17a)

gdzie k jest rozwiązaniem równania (16.12a) warunkiem (16.12b). Natomiast dla relacji (16.10b) otrzymamy rozwiązanie nieparzyste względem zamiany

, (16.18b)

gdzie k jest rozwiązaniem równania (16.15) z warunkiem (16.16).

Jak widać dopuszczalne funkcje falowe cząstki znajdującej się w studni potencjału są albo parzyste albo nieparzyste względem zamiany
. To oznacza, że podobnie jak w przypadku cząstki amoniaku (§ 11) parzystość jest dobrą liczbą kwantową pozwalającą klasyfikować wektory własne hamiltonianu cząstki znajdującej się w symetrycznej studni potencjału.

16.3 Cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału

W tym przypadku cząstki nie mogą wnikać w obszary gdzie potencjał nie znika, zatem

. (16.19a,b)

Dla funkcji
(16.2) warunek ciągłości funkcji falowej w punkcie
prowadzi do następującego związku współczynników

.

Po wyeliminowaniu współczynnika
znajdziemy funkcję falową cząstki w obszarze studni

, (16.20)

gdzie
. Warunek znikania funkcji falowej na drugim brzegu studni (
)

,

pozwala określić widmo dopuszczalnych wartości wektora falowego

.

Jest ono zgodne z otrzymanym w § 16.2. Ze względu na symetrię studni względem jej środka możemy ograniczyć się do dodatnich wartości liczny n. Oprócz tego, ze względu na zauważone własności symetrii, nie musimy rozważać drugiej możliwości gdy nakładamy warunek ciągłości w punkcie
, a warunek znikania funkcji falowej w punkcie
wykorzystujemy do określenia dopuszczalnych wartości wektora falowego.

Znajdziemy normę znalezionej funkcji falowej. Wyznaczymy ją z równania

.

Obliczymy całkę

.

Jak widać
. Pomijając nieistotny czynnik fazowy otrzymujemy jawną postać unormowanej do jedności funkcji falowej cząstki znajdującej się w nieskończenie głębokiej studni potencjału

.

Literatura:

[1] D. Bohm, Quantum Mechanics, Prentice-Hall, Inc. 1952, New York (istnieje przekład na j. ros. D. Бoм, Квантовя Теория, ГИФМЛ, Москва, 1961), R. 11.

[2] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Quantum Mechanics, Vol. 1,Willey New York & Hermann, Paris, 1977, Complement H_I, str. 74.

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---