Literatura podstawowa

1. A. Zeliaś, B. Pawełek, S. Wanat; 2003; Prognozowanie ekonometryczne, teoria, przykłady, zadania; WN PWN, Warszawa

Literatura uzupełniająca

1. A. Zeliaś; 1979; Teoria prognozy; PWE, Warszawa

2. pod red. M. Gruszczyński, M. Podgórska; 2003; Ekonometria; SGH, Warszawa

3. pod red. T. Szapiro; 2000; Decyzje menedżerskie z Excelem; PWE, Warszawa

4. E. Nowak; 1998; Zarys metod ekonometrii; WN PWN, Warszawa

Na ćwiczeniach wymagany jest kalkulator.

Na ćwiczeniach rozwiązywane są zadania.

Zadania należy rozwiązywać.

Pierwsi studenci, którzy prawidłowo rozwiążą zadania i dadzą je do oceny, uzyskają punkty do zaliczenia.

Do zaliczenia ćwiczeń:

1. wymagana jest obecność, co najmniej 70%,

2. aktywność na ćwiczeniach - zdobywanie punktów na ćwiczeniach,

3. zdobycie więcej niż 50% punktów na warsztatach „on-line”,

4. zaliczenie kolokwium zaliczającego.

Do egzaminu dopuszczani są studenci, którzy zaliczyli ćwiczenia.

Ocena zaliczająca ćwiczenia ma wpływ na ostateczny wynik egzaminu.

Egzamin jest pisemny. Na egzaminie wymagany jest kalkulator.

Na egzaminie rozwiązywane są zadania tego typu, jakie były rozwiązywane na wykładzie, ćwiczeniach bądź warsztatach.

Wykład 1

1. Podstawowe pojęcia.

Co jest przedmiotem prognozowania? Budowanie prognoz, np. prognoz gospodarczych, społecznych, politycznych, rozwoju całego świata, rozwoju gminy, lokalnej społeczności, rozwoju branży, firmy…

Co rozumiemy przez prognozę danego zjawiska? - wskazanie najbardziej prawdopodobnej drogi rozwoju tego zjawiska w oparciu o naszą wiedzę, dotychczasowy przebieg zjawiska, wiedzę o obecnym stanie zjawiska.

Prognoza to wypowiedź o przyszłości. Nie wiemy jaka będzie przyszłość. Prognoza jest efektem prognozowania.

Oszacowanie to wypowiedź o przeszłości lub teraźniejszości Dotyczy parametrów, których dokładnych wielkości nie znamy. Oszacowanie to wynik szacowania.

Wypowiedzi na temat przyszłości - przewidywanie przyszłości, możemy podzielić na:

(Cieślak, 1997, Prognozowanie gospodarcze)

Przyjmujemy, że prognozowanie:

• to działania racjonalne posługujące się metodami naukowymi,

• odnosi się do określonej, zazwyczaj niezbyt odległej przyszłości.

Prognoza:

• jest budowana z wykorzystaniem nauki,

• odnosi się do nieodległej przyszłości,

• jest empirycznie weryfikowalna,

• jest prawdziwa z dużym prawdopodobieństwem.

My będziemy zajmować się tylko prognozami ekonometrycznymi, budowanymi na podstawie modeli ekonometrycznych.

Termin prognoza bywa też używany w nieco innym znaczeniu - bez zakładania, że jest to wypowiedź o przyszłości, np. prognoza zawartości złoża przed przystąpieniem do eksploatacji. My powiedzielibyśmy szacowanie wielkości złoża.

Prognoza pogody na jutro mówi jakie, z dużym prawdopodobieństwem, będą warunki pogodowe następnego dnia. Prognoza pogody ma charakter bezwarunkowy.

Prognoza zjawisk ekonomicznych ma często charakter warunkowy. Jeśli będą spełnione pewne warunki, zrealizowane pewne działania, to nastąpi określone zjawisko ekonomiczne.

Funkcje prognozy:

• wspomagająca podjęcie decyzji mikro i makroekonomicznych (przygotowująca, preparacyjna);

• aktywizująca, wspomagająca podjęcie działań aktywizujących lub przeciwstawiających się;

• informacyjna, uprzedzenie, poinformowanie o mogących nastąpić zmianach, skutkach działań.

Konstruowanie prognozy jest wskazane gdy:

• horyzont czasowy jest krótki,

• zmiany prognozowanej wielkości są powolne,

• prognozowane wielkości mają głównie autonomiczny charakter, mało zależą od arbitralnych decyzji,

• jest duża inercja (bezwładność) prognozowanej zmiennej.

Główne zastosowanie w gospodarce to prognozowanie:

• wielkości, których nie da się zaplanować,

• wskaźników techniczno-ekonomicznych,

• finansowe,

• ścieżek rozwoju,

• efektów zamierzonych posunięć gospodarczych,

• stopnia realizacji przyjętych celów,

• odchyleń od wyznaczonych celów.

W literaturze wprowadza się też pojęcie predykcji (predykcji ekonometrycznej) i rozumie się predykcję jako ogół zasad i metod wnioskowania o przyszłości na podstawie rozważanego modelu ekonometrycznego. Prognoza w tym ujęciu to skonkretyzowany proces wnioskowania lub wynik tego wnioskowania.

2. Metody prognozowania

Schemat głównych metod prognostycznych (Zeliaś, 1997, Teoria prognozy)

3. Rodzaje prognoz - klasyfikacja

Kryterium podziału	Rodzaje prognoz
Horyzont czasowy	Długoterminowe - ponad 2 lata Średnioterminowe - do 2 lat Krótkoterminowe - 1 do 3 miesięcy Bezpośrednia - do 1 miesiąca Bieżąca - do kilku dni Operacyjna - do planowania bieżącej działalności (najczęściej średnioterminowe) Strategiczna - do podejmowania długofalowych decyzji (długoterminowe czasem średnioterminowe)
Charakter lub struktura	Proste - dotyczące jednej zmiennej ekonomicznej - budowane bez udziału innych prognoz, Złożone - dotyczące więcej niż jednej zmiennej ekonomicznej - konstruowane na podstawie innych prognoz Jakościowe - prognoza nie wyraża się liczbą lecz jakościowo Ilościowe - wielkość prognozy wyraża się liczbą - punktowe, przedziałowe, - skalarne, wektorowe, Jednorazowe, powtarzalne; Kompleksowe - całościowo opisujące dane przyszłą sytuację złożonego zjawiska. Sekwencyjne - opis dla kilku momentów lub okresów w przyszłości (sekwencji). Samosprawdzające się, destrukcyjne.
Stopień szczegółowości	Ogólne (globalne) - opisujące zjawisko agregat, Szczegółowe - opisujące pewien aspekt badanego zjawiska.
Zakres ujęcia	Całościowe (globalne), częściowe (odcinkowe).
Zasięg terenowy	Światowe, międzynarodowe, krajowe, regionalne.
Metoda opracowania	Minimalne, średnie, maksymalne. Czyste (pierwotne) - ekstrapolacja obserwowanego trendu (krótkoterminowe), często tylko prognozy wstępne. Weryfikowalne - zazwyczaj prognozy powtarzalne, weryfikowane na podstawie napływających danych. Modelowe - zbudowane na podstawie pewnego modelu (ekonometrycznego). Predykcje ilościowe Prognozy nieobciążone - nie niosące systematycznego błędu, założenie co do wartości oczekiwanej prognozy. Prognozy budowane metodą największego prawdopodobieństwa - związane z metodą estymacji współczynników modelu, wybieramy wielkości „najbardziej” prawdopodobne. Minimalizujące oczekiwaną stratę - metoda niosąca wartościowanie ekonomiczne, funkcję straty. Prognoza uwzględnia prawdopodobieństwo wystąpienia zjawiska i stratę związaną z jego wystąpieniem. Predykcje jakościowe Predykcja punktów zwrotnych - przewidywanie wystąpienia momentów zmiany tendencji (np. ze wzrostowej na spadkową). Predykcja przewyższeń ­- budowanie prognozy mówiącej, że w pewnym okresie zmienna prognozowana osiągnie wartości wyższe (lub niższe) od z góry ustalonych. Zazwyczaj tą wartością jest jakiś poziom istotny z ekonomicznego punktu widzenia. Predykcja ciągów monotonicznych - prognoza czy utrzyma się tendencja spadkowa lub wzrostowa.
Cel lub funkcja	Prognozy badawcze - mają na celu zrozumienie i poznanie zjawiska. ostrzegawcze - mające na celu zwrócenie uwagi na niekorzystne zjawiska, normatywne - mające ustalić pewne obowiązujące normy, powinny być zrealizowane aktywne - pobudzające do działania, pasywne - zniechęcające do działania. Wspomagająca ( przygotowująca, preparacyjna) - wspomagająca działalność, podejmowanie decyzji. Aktywizująca Informacyjna

(Zeliaś, 1997, Teoria prognozy)

Przykład 1

W marcu 2004 wykonano prognozę dotyczącą sytuacji finansowej Firmy w maju 2004. Prognozowano wielkość produkcji, stan zapasów, wielkość sprzedaży, ściągalność należności, przepływy finansowe uwzględniające zmiany kursów walut.

Określić wykonaną prognozę na podstawie podanych na wykładzie kryteriów (klasyfikacji).

Rozwiązanie

Jest to prognoza:

• krótkoterminowa - 2 miesiące,

• operacyjna - związana z bieżącą działalnością,

• złożona - sytuacja finansowa opisana przez więcej niż jedną zmienną,

• ilościowa - prognoza wyraża się wielkościami mierzalnymi, prognozy finansowe zazwyczaj są ilościowe,

• może być zarówno punktowa jak i przedziałowa,

• wektorowa - wynikiem prognozy jest komplet liczb, a więc może być traktowany jak wektor,

• jednorazowa - obliczona tylko raz w marcu 2004, nic nam nie wiadomo, żeby miała być robiona powtarzalnie,

• kompleksowa - dotyczy całości sytuacji Firmy,

• nie wiemy czy jest samospełniająca czy destrukcyjna,

• ogólna - dotyczy całej Firmy, a nie jakiegoś aspektu działania Firmy, byłaby szczegółowa gdyby dotyczyła jednej firmy będącej częścią większego zespołu firm,

• całościowa - dotyczy całej Firmy, byłaby częściowa gdyby dotyczyła jednej firmy z dużego zespołu firm,

• regionalna - Firma związana jest z regionem,

• nie wiemy jako była metoda opracowania

• ze względu na cel lub funkcję - jest badawcza, celem jest rozpoznanie prawdopodobnej sytuacji finansowej Firmy,

• ze względu na cel lub funkcję - może być ostrzegawcza, aktywna, pasywna.

4. Horyzont prognozy

Oznaczenia: Y_t - zmienna opisująca badane zjawisko ekonomiczne,

t - zmienna czasowa

(t - oznacza moment lub okres, t = 1, 2, 3, …m),

y_t - szereg czasowy realizacji zmiennej Y_t w badanych momentach lub okresach,

I_d - przedział czasowy w którym są zbierane dane statystyczne,

t_d - środek przedziału I_d (czasami będziemy pisali t_śr).

Horyzont prognozy to przedział postaci:

(t_b , T]

gdzie: t_b okres (chwila) bieżąca, T okres (chwila) końcowa

Wyprzedzenie czasowe prognozy h' (w stosunku do bieżącego okresu), to długość horyzontu prognozy, czyli:

h' = T - t_b

Horyzont predykcji (dla bieżącego okresu) to przedział postaci:

(t_b , t_b + ₂]

gdzie: t_b okres (chwila) bieżąca, ₂ długość horyzontu predykcji wynikająca z przyjętego modelu prognostycznego. ₂ jest trudne to określenia, zazwyczaj pełni funkcję teoretyczną.

Niech ₁ oznacza czas niezbędny do podjęcia efektywnych kroków mogących wpłynąć na prognozowane zjawisko.

Jeśli zachodzą nierówności:

₁ ≤ h' ≤ ₂

to możliwa jest reakcja na wyniki prognozy.

Opóźnienie bieżące modelu ₀ (w stosunku do bieżącego okresu) to odległość między okresem bieżącym i środkiem przedziału zbierania danych:

₀ = t_b - t_d

Predyktywne opóźnienie modelu L to suma opóźnienia bieżącego modelu i wyprzedzenia czasowego prognozy

L = ₀ + h' = T - t_d

Wyjściowy okres prognozy t_n - to ostatni okres dla którego dysponujemy informacją o rzeczywistej wartości zmiennej prognozowanej.

Horyzont predykcji (dla wyjściowego okresu prognozy) to przedział: (t_n , t_n + ₂)

Opóźnienie w dopływie danych statystycznych ₃ = t_b - t_n .

Realne wyprzedzenie czasowe prognozy h to długość okresu na który się prognozuje (od wyjściowego okresu prognozy):

h = T - t_n = h' + ₃ = T - t_b + ₃ .

Zachodzą więc nierówności:

h' ≤ h ≤ ₂ .

Przykład 2

Od stycznia 2000 roku do grudnia 2003 obserwowano miesięczne wielkość zmiennej Y_t. W lutym 2004 wykonano prognozę dla maja 2004.

Oblicz wielkości związane z horyzontem prognozy:

1. zakres zmienności zmiennej czasowej t;

2. I_d przedział w którym zbierane są dane;

3. t_d środek przedziału w którym zbierane są dane;

4. t_b bieżący okres;

5. t_n wyjściowy okres prognozy;

6. T okres końcowy;

7. (t_b , T] horyzont prognozy;

8. h' wyprzedzenie czasowe prognozy (w stosunku do bieżącego okresu);

9. ₀ opóźnienie bieżące modelu (w stosunku do bieżącego okresu);

10. L predyktywne opóźnienie modelu;

11. ₃ opóźnienie w dopływie danych statystycznych;

12. h realne wyprzedzenie czasowe prognozy;

Rozwiązanie

1. t przybiera wartości od 1 do 53; ilość miesięcy od stycznia 2000 do maja 2004;

2. [1, 48] począwszy od stycznia 2000 do grudnia 2003 włącznie;

3. t_d = 24,5 środek przedziału [1, 48];

4. t_b = 50 numer miesiąca „luty 2004” przy numeracji zaczynającej się od miesiąca „styczeń 2000”;

5. t_n = 48 numer miesiąca „grudzień 2003” ;

6. T = 53 numer miesiąca „maj 2004”;

7. (50 , 53] ;

8. h' = T - t_b = 53 - 50 = 3;

9. ₀ = t_b - t_d = 50 - 24,5 = 25,5;

10. L = T - t_d = 53 - 24,5 = 28,5;

11. ₃ = t_b - t_n = 50 - 48 = 2;

12. h = T - t_n = 53 - 48 = 5;

Przykład 3

Od 1 lipca 2000 roku do 15 grudnia 2001 obserwowano codziennie wielkość zmiennej Y_t. W dniu 28 grudnia 2001 zbudowano prognozę dla 10stycznia 2002.

Oblicz wielkości związane z horyzontem prognozy:

1. zakres zmienności zmiennej czasowej t;

2. I_d przedział w którym zbierane są dane;

3. t_d środek przedziału w którym zbierane są dane;

4. t_b bieżący okres;

5. t_n wyjściowy okres prognozy;

6. T okres końcowy;

7. (t_b , T] horyzont prognozy;

8. h' wyprzedzenie czasowe prognozy (w stosunku do bieżącego okresu);

9. ₀ opóźnienie bieżące modelu (w stosunku do bieżącego okresu);

10. L predyktywne opóźnienie modelu;

11. ₃ opóźnienie w dopływie danych statystycznych;

12. h realne wyprzedzenie czasowe prognozy;

5. Błąd prognozy ex post i ocena ex ante błędu

Dwa podstawowe postulaty predykcji to:

1. Prognoza powinna być obliczona wraz z odpowiednim miernikiem rzędu dokładności.

2. Przy wyborze sposobu budowania prognozy należy dążyć do wysokiej efektywności predykcji, czyli osiągnięcia zadowalającego rzędu dokładności predykcji.

Wyróżniamy dwa rodzaje mierników dokładności predykcji:

• Mierniki dokładności ex ante - ocena błędu ex ante, ocena spodziewanej wartości rzeczywistych wartości zmiennej prognozowanej od prognozy.

• Mierniki dokładności ex post - wielkość błędu ex post, wartość odchylenia prognozy od rzeczywistej zrealizowanej wartości zmiennej.

6. Prognozy dopuszczalne

Wiele jest kryteriów dopuszczalności prognoz. Dopuszczalność prognozy jest ważnym zagadnieniem.

Prognoza jest dopuszczalna jeśli realne wyprzedzenie czasowe jest nie większe niż długość horyzontu predykcji: h ≤ ₂.

Horyzont prognozy zależy od wybranego modelu prognostycznego, zależy też inercji zmiennych objaśnianych.

Zwiększenie pewności prognozy można osiągnąć stosując kilka metod prognozowania.

7. Dane statystyczne wykorzystywane w prognozowaniu.

Ważny etap prac prognostycznych to pozyskanie danych statystycznych. Na ich podstawie następuje wybór klasy modelu prognostycznego (predykcji) czyli postaci zależności, oszacowań parametrów, weryfikacji prognoz wygasłych itd.

Liczbowe dane statystyczne powinny być:

• jednorodne

• rzetelne

• jednoznaczne

• porównywalne w czasie i przestrzeni

• kompletne

• aktualne dla przyszłości.

Wyróżnia się dwa rodzaje błędów:

• błędy systematyczne (nielosowe)

• błędy przypadkowe (losowe).

Podstawowe źródła błędów w trakcie zbierania i opracowywania danych to:

• niedokładność

• trudności z określeniem (zmierzeniem) badanej wielkości

• opuszczenie lub wielokrotne ujęcie tych samych wielkości

• niejasne lub zbyt ogólne pytania w formularzu pytań lub zła interpretacja odpowiedzi

• świadome lub nieświadome udzielanie fałszywych informacji

• niedokładność pomiarów lub obliczeń

• błędy w czasie przepisywanie (przepływie danych)

• błędy klasyfikacji, segregacji, tabulacji.

Błędy systematyczne są groźne. Błędy losowe nie są bardzo groźne.

8. Szacowanie brakujących danych (ilościowych i jakościowych)

Braki danych ilościowych związane są z niedostępnością danych statystycznych.

Braki danych związane z niedostępnością danych jakościowych.

Przy braku danych niemożliwe jest bezpośrednie wykorzystanie klasycznych metod ekonometrycznych.

Stosujemy jedną z trzech metod:

• ograniczamy przekroje analizy, tzn. eliminujemy te zmienne dla których brakuje danych,

• wykorzystujemy niekompletne dane i stosujemy nie ekonometryczne metody prognozy: burzę mózgów, szacunki ekspertów, metody analogowe itp.

• na podstawie dostępnych danych źródłowych szacujemy brakujące dane.

9. Prognozy w procesie decyzyjnym

Jaką rolę powinna odgrywać prognoza w procesie decyzyjnym?

Decyzja zazwyczaj podejmowana jest w warunkach niepewności. Prognoza oparta na posiadanej wiedzy i naukowych metodach matematyki i statystyki, pozwala redukować niepewność przyszłości.

Redukcja niepewności zależy od wielu czynników. Niektóre prognozy są nieomal bezbłędne, inne obciążone dużą dozą niepewności. Prognozy ekonometryczne zazwyczaj są obciążone dużą niepewnością.

Potrzebne są dodatkowe kryteria lub metody przy podejmowaniu decyzji w warunkach niepewności.

1. „Naiwna strategia postępowania” postępujemy tak, jakby prognoza była pewna.

2. Maksymalizowanie korzyść - jeśli potrafimy powiązać wielkość korzyści z prognozowanymi stanami wielkości Y_t oraz potrafimy oszacować prawdopodobieństwa trafności danego wariantu prognozy, to możemy tak postępować by maksymalizować wartość oczekiwaną korzyści.

3. Możemy też tak postępować by maksymalizować osiągany zysk (korzyść).

Można zwiększać trafność prognozy przez zwiększanie nakładów na prognozę. Nie zawsze jednak jest to opłacalne.

Jakość prognozę oceniamy oceniając jej trafność. Trafność prognozy oceniamy za pomocą określania błędów ex post. Jest to jednak możliwe tylko dla prognoz ilościowych.

Wykład 2

Zasady budowania prognoz ekonometrycznych

1. Wybór modelu prognostycznego.

1. Pierwszy etap. Określenie zjawisko, które chce się prognozować. Wybór postaci analitycznej funkcji prognozy. Wybór modelu ekonometrycznego (modelu prognostycznego). Wybór postaci zależności w ramach wybranego modelu prognostycznego.

1. Możemy oprzeć się na zebranym materiale statystycznym i na jego analizie:

1. Analiza graficzna,

2. Analiza ilościowa - analiza dopasowania modelu do danych statystycznych.

2. Możemy oprzeć się na teorii ekonomicznej:

1. Korzystanie ze znanych i sprawdzonych zależności występujących między wielkościami ekonomicznymi

3. Możemy oprzeć się na doświadczeniu zebranym przy budowaniu podobnego typu prognoz oraz na towarzyszącym prognozowaniu badaniach.

Przyjęcie danego modelu prognostycznego związane jest z:

1. możliwością jasnej interpretacji ekonomicznej parametrów modelu,

2. możliwością względnie łatwej estymacji parametrów modelu,

3. stopniem dokładności, z jakim model opisuje badane zjawisko (w przeszłości i przyszłości).

Należy też dobrać zmienne objaśniające. Istnieje wiele metod doboru zmiennych objaśniających. Np:

1. odwołanie się do istniejącej teorii,

2. analiza materiału empirycznego,

3. wybranie zmiennych najsilniej skorelowanych ze zmiennymi objaśnianymi.

2. Drugi etap. Zebranie danych statystycznych, na podstawie których będą oszacowane parametry występujące w modelu. Dane powinny być: rzetelne, zgodne z przedmiotem badań, jednoznaczne, kompletne, aktualne, porównywalne w czasie i przestrzeni. Powinny być wyeliminowane dane odstające, rzadkie, obce. Możliwa jest redukcja danych objaśniających na tym etapie.

3. Trzeci etap. Estymacja parametrów modelu. Często metodą najmniejszych kwadratów.

4. Czwarty etap. Weryfikacja modelu. Czy otrzymane parametry strukturalne modelu są zgodne z obserwowaną rzeczywistością.

5. Piąty etap. Praktyczne wykorzystanie zbudowanego modelu. Do opisu rzeczywistości, wnioskowania o przyszłości, podejmowania decyzji.

2. Podstawowe założenia występujące przy wnioskowaniu o przyszłości.

Klasyczne założenia teorii predykcji:

1. znajomość modelu kształtowania się zmiennej prognozowanej,

1. znajomość postaci analitycznej

2. znajomość parametrów strukturalnych, stochastycznych

2. stabilność w czasie prawidłowości ekonomicznej na której opiera się model,

1. stabilność w czasie zarówno w przedziale z którego pochodzą dane do estymacji jak i w okresie prognozy,

3. stabilność rozkładu czynnika losowego (zaburzenia, błędu),

1. stabilność co najmniej do okresu T,

4. znajomość wartości zmiennych objaśniających model w okresie na który budowana jest prognoza,

1. znajomość dla okresu T zmiennych objaśniających jest istotnym ograniczeniem do stosowania modeli przyczynowo-skutkowych i wielorównaniowych modeli ekonometrycznych, ograniczeniem do przypadku, gdy zmienne objaśniające są zmiennymi planowanymi niezależnymi od innych czynników,

5. dopuszczalność ekstrapolacji modelu poza obserwowany w „próbie” obszar zmienności zmiennych objaśnianych.

1. najbardziej kłopotliwe założenie, służy ograniczeniu bezkrytycznych uogólnień.

Przyjmujemy, że klasyczne założenia teorii predykcji przy krótkookresowych prognozach są zawsze spełnione. Przy prognozach długookresowych klasyczne założenia teorii predykcji są zbyt restrykcyjne.

Zmodyfikowane założenia teorii predykcji:

1. znajomość modelu kształtowania się zmiennej prognozowalnej uwzględniająca możliwe małe niestabilności tej prawidłowości,

2. stabilność lub zachowanie się „bliskie” stabilności w czasie badanego zjawiska,

3. stabilność lub zachowanie się „bliskie” stabilności w czasie składnika losowego,

4. znajomość wartości zmiennych objaśniających model lub rozkładu tych zmiennych, w okresie na który wykonywana jest prognoza,

5. możliwość ekstrapolacji modelu poza obszar zmienności zaobserwowanej w „próbie” z błędem nie większym niż zadany z góry.

3. Zasady budowy predykcji ilościowych

Predykcja punktowa.

1. zasada nieobciążoności predykcji (zasada statystyczna)

y^P_T = E(Y_T)

2. zasada największego prawdopodobieństwa predykcji (zasada statystyczna)

y^P_T = M(Y_T)

3. zasada minimalizacji funkcji straty (zasada ekonomiczna)

E[W(Y_T - y^P_T)] = min { E[W(Y_T - y^^P_T)] ; y^^P_T dowolna predykcja}

Predykcja przedziałowa

1. Ustalamy z góry wiarygodność predykcji γ_T , należy wskazać przedział I^P_T spełniający:

P( Y_T ∈ I^P_T ) = γ_T

Wiarygodność predykcji γ_T to liczba z przedziału [0, 1], zazwyczaj γ_T ≥ 0,9.

4. Miary dokładności wnioskowania w przyszłość EX ANTE

W predykcji punktowej możemy rozważać następujące błędy:

1. D_T = Y_T - y_T^P - błąd predykcji, zmienna losowa

2. D'_T = Y_T - Y_T^P - pełny błąd predykcji, Y_T^P zmienna losowa, brak oszacowań parametrów modelu

3. D^*_T = Y_T - E_S(Y_T^P) - czysty błąd predykcji, E_S(.) to wartość oczekiwana po wszystkich możliwych zbiorach danych, zgodnie z ich rozkładem.

W praktycznych obliczeniach stosuje się najczęściej błąd predykcji. Oszacowanie parametrów rozkładu błędu predykcji ex ante jest często stosowanym miernikiem jakości wnioskowania w przyszłość. Szacujemy parametry:

1. E(D_T) - obciążenie predykcji,

2. var(D_T) - wariancja predykcji,

3. σ(D_T) = (var(D_T))^0,5 - odchylenie standardowe predykcji (średni błąd predykcji),

4. V(D_T) = σ(D_T) / |y_T^P| - względny błąd predykcji.

W predykcji przedziałowej stosujemy często następujące mierniki dokładności predykcji ex ante:

1. wiarygodność predykcji γ_T (z góry ustalona) ,

2. precyzja predykcji d(I^P_T) - połowa przedziału predykcji I^P_T ,

3. względna precyzja predykcji V(I^P_T) = d(I^P_T) / | y^P_T|

5. Miary dokładności wnioskowania w przyszłość EX POST

Ocenę ex post możemy przedstawić jako ocenę dla prognoz wygasłych.

Prognoza wygasła to prognoza dla okresu t, dla którego znana jest już prawdziwa wartość zmiennej prognozowanej Y_t , czyli t ∈ I_d (zamiast T piszemy teraz t).

Oznaczmy:

I_emp - okres weryfikacji empirycznej prognozy,

m - ilość okresów w I_emp , czyli ilość okresów w których następuje empiryczna weryfikacja.

Mierniki dokładności predykcji ex post:

1. Średnie obciążenie predykcji ex post:

2. Względne obciążenie predykcji ex post:

3. Średni błąd predykcji ex post:

4. Względny błąd predykcji ex post:

5. Współczynnik Theila

gdzie

6. Całkowity względny błąd predykcji

7. Rozkład współczynnika Theila na sumę trzech składników pozwala ocenić źródła błędów predykcji

I² = I₁² + I₂² + I₃²

gdzie:

określa obciążenie predykcji

określa niedostateczność elastyczności predykcji

określa niedostateczność predykcji punktów zwrotnych

gdzie:

- średnie arytmetyczne, odpowiednio, wartości rzeczywistych i wygasłych prognoz;

- odchylenia standardowe, odpowiednio, wartości y_t i y_t^P;

- współczynnik korelacji liniowej między wartościami y_t i y_t^P;

dla t ∈ I_emp czyli na przedziale empirycznej weryfikacji prognoz.

8. Dzieląc rozkład z punktu 7. przez współczynnik Theila I² dostajemy:

gdzie interpretujemy:

jako miernik całkowitego względnego obciążenia predykcji wynikającego z obciążenia predykcji (małej zgodności średnich wartości y_t i y_t^P w przedziale I_emp),

jako miernik całkowitego względnego obciążenia predykcji wynikającego z niedostatecznej elastyczności predykcji (małej zgodności zróżnicowania wartości y_t i y_t^P w przedziale I_emp),

jako miernik całkowitego względnego obciążenia predykcji wynikającego z niedostatecznej predykcji punktów zwrotnych (małej zgodności kierunków zmian wartości y_t i y_t^P w przedziale I_emp),

10. Do badania dopuszczalności prognoz stosowany jest również współczynnik Janusowy:

w liczniku występuje wariancja średniego błędu predykcji ex post, w mianowniku wariancja resztowa modelu.

Współczynnik Janusowy pozwala badać aktualność modelu. Na jego podstawie oceniamy, czy model nadal jest aktualny.

Jeżeli J² ≤ 1 + δ dla δ małej liczby rzeczywistej (nieco większej od zera) to model nadal jest aktualny. Wariancja średniego błędu predykcji ex post nie jest dużo większa od wariancji resztowej modelu. Jeżeli J² jest dużo większe od 1 uznajemy, że model już się zdezaktualizował.

Mierniki dokładności predykcji (zarówno ex ante jak i ex post) dzielimy na mierniki bezwzględne (zachowujące „jednostkę” miary) i względne (procentowe).

Jeżeli odbiorca prognozy nie ma własnych kryteriów dopuszczalności prognozy, to przyjmujemy następującą ocenę dokładności (zarówno ex post jak i ex ante):

V ≤ 3% - prognoza bardzo dobra,

3% < V ≤ 5% - prognoza dobra,

5% < V ≤ 10% - prognoza może być dopuszczalna,

10% < V - prognoza nie jest dopuszczalna,

Przykład 1 (Zeliaś, przykład 2.2 str. 53)

Prognozowana jest wartość indeksu WIG (na zamknięciu sesji) na GPW w Warszawie. Szereg czasowy obserwacji („próby”) składa się z 10 momentów zamknięcia sesji od 27 listopada 2000 do 8 grudnia 2000.

Obliczono prognozę sekwencyjną dla T = 11, 12, 13 (11, 12, 13 grudnia 2000).

Dane i obliczenia w tabeli 1.

1. Średnia rzeczywistych wartości WIG w okresach 11, 12, 13 wynosi: y^śr_T = 17.089,05

Średnia wartości prognoz WIG w okresach 11, 12, 13 wynosi: y^Pśr_T = 17.056,75

Średnia prognozy ma niższą wartość od średniej wartości rzeczywistych, może to wskazywać na to, że prognozy są obciążone.

Różnica średnich czyli średnie obciążenie ex post prognozy:
= u^śr = y^śr_T - y^Pśr_T = 32,30

A więc istotnie prognoza jest obciążona, niedoszacowanie wynosi 32,2 punktu.

2. Czy występujące obciążenie prognozy jest dużym obciążeniem? Liczymy względne obciążenie ex post prognozy:

V(u^śr) = | u^śr | / | y^Pśr_T | = 32,30 / 17.056,75 = 0,19%

Obciążenie prognozy jest bardzo małe.

3. Średni błąd prognozy ex post wynosi:
   = 37,33

4. Względny błąd prognozy ex post wynosi:
   

Średni błąd prognozy to 37,33 jest to jednak zaledwie 0,22% średniej wartości rzeczywistej.

5. Współczynnik Theila:
   

6. Względny błąd predykcji ex post wynosi:
   

7. Identyfikując przyczyny błędu korzystamy z rozkładu współczynnika Theila I² = I₁² + I₂² + I₃² :

obciążenie predykcji

niedostateczność elastyczności predykcji

określa niedostateczność predykcji punktów zwrotnych

8. Wyliczymy teraz udział procentowy tych błędów w całkowitym błędzie ex post:

9. Obliczmy współczynnik Janusowy:

ponieważ współczynnik jest mniejszy od 1 model nadal jest aktualny.

Przykład 2 (Cd przykładu 1 Zeliaś przykład 2.3 str 56)

Czy opierając się na wyliczonych ocenach prognozy, możemy poprawić prognozę.

Tak możemy próbować polepszyć prognozę przez korektę obciążenia. W naszym przypadku to korekta 80% błędu prognozy. (Dane i obliczenia w tabeli w arkuszu Excela do wykładu 2.)

Literatura.doc

---