Akademia Górniczo - Hutnicza

im. Stanisława Staszica

w Krakowie

PROJEKT

Obliczenia statyczne dla belki przy pomocy programu Cosmos

Sęp Justyna

Wydział Górnictwa i Geoinżynierii

Budownictwo IV

Geotechnika w rewaloryzacji zabytków

WSTĘP

Model numeryczny dla zadanej belki przedstawionej na poniższym rysunku wykonany został na przykładzie czterech różnych modeli. W pierwszym z nich zadana belka została zastąpiona linią jednowymiarową, kolejne dwa wykonano w układzie płaskim 2D, przy czym dla jednego przyjęto płaski stan naprężenia a dla drugiego płaski stan odkształcenia, ostatni natomiast zamodelowano w przestrzeni 3D. Dla wszystkich przykładów zostały sporządzone wykresy ugięcia belki, deformacji, oraz wykresy przesunięcia wzdłuż osi OY. Oprócz tego dla belek 2D i 3D wykonano rozkłady naprężeń odpowiednio wzdłuż osi OX i OY.

TEMAT PROJEKTU

D=0,5[m] d=0,3 [m] l=5 [m]

ρ=2300 [kg/m³] E=5 [Gpa] ν=0,25

q= 30 [kN/m] M=10 [kNm]

MODEL 1D

W pierwszym etapie sporządzony został model geometryczny. Następnie nałożono na niego siatkę elementów skończonych. Kolejny etap to nadanie właściwości materiałowych i warunków brzegowych. Przekrój kołowy belki zastąpiono przekrojem prostokątnym o takich wymiarach aby moment bezwładności był taki sam jak belki kołowej. Uzyskano to dzięki użyciu polecenia Beam Section wprowadzając wymiary przekroju - program automatycznie obliczył momenty bezwładności. Cała geometria opiera się na dwóch prostych, można zatem szybko ją zbudować i w ten sposób uzyskać potrzebny nam wynik.

Model 1d gotowy do analizy:

W taki oto sposób wykonaną belkę poddano analizie statycznej którą program sam wybrał. Ze względu na to że grubość belki nie jest widoczna wykres przesunięcia belki względem osi OY został przedstawiony jako wykres.

Na podstawie uzyskanych wyników można stwierdzić, że w tym przypadku warunki brzegowe zostały zadane w sposób prawidłowy (w miejscu utwierdzenia przemieszczenia są równe zero).

Wykres deformacji belki:

Jak widać z wykresu linia ugięcia belki ma charakter krzywej.

MODEL PŁASKI 2D

W przypadku modelu płaskiego najpierw tak jak w poprzednim przypadku wykonano model geometryczny a następnie na jego powierzchni wygenerowana została siatka elementów skończonych. Zadanie rozwiązane zostało dla płaskiego stanu odkształcenia. Następnie utworzonej w ten sposób belce nadano cechy materiałowe oraz zadano odpowiednie warunki brzegowe. Gotowy do obliczeń statycznych model przedstawiony jest na rysunku poniżej:

Tak zamodelowaną belkę poddano analizie statycznej.

Płaski stan naprężenia

Wykres rozkładu naprężeń wzdłuż osi OX:

Jak widać w wykresu największe naprężenia mamy w miejscu przyłożenia obciążenia oraz na samym początku belki gdzie przyłożony jest moment, na niebiesko mamy wyróżnione strefy ściskania a na czerwono strefy rozciągania.

Wykres rozkładu naprężeń wzdłuż osi OY:

Największe wartości naprężeń występują w miejscu podpory stałej i w punkcie przyłożenia podpory przesuwnej. W tych miejscach belka jest szczególnie narażona. Po obejrzeniu rozkładów naprężeń mogę teraz stwierdzić, że zadanie zostało wykonane prawidłowo. Jak widać belka ta jest ściskana w środku-miejscu przyłożenia podpory, w miejscu utwierdzenia idąc od osi neutralnej w górę, oraz w na końcu belki w wyniku działania momentu.

Wykres przemieszczenia względem osi OX:

Wykres przesunięcia wzdłuż osi OX potwierdzają początkowe założenie-brak jakichkolwiek przemieszczeń w miejscu utwierdzenia. Doskonale widać miejsce położenia osi neutralnej belki wspornikowej.

Wykres przemieszczenia wzdłuż osi OY:

Analizując wyniki przemieszczeń wzdłuż osi OY widzimy, że belka ma zerowe przemieszczenia w miejscu podpór, a największe na końcu belki. Największy wpływ na wartość przemieszczeń ma obciążenie ciągłe oraz moment M.

Wykres deformacji belki.

Wykres deformacji belki jest analogiczny do wykresu przesunięcia wzdłuż osi OY-zerowe deformacje występują w miejscu podpór a największe na końcu belki.

Płaski stan odkształcenia

Wykres rozkładu naprężeń wzdłuż osi OX:

Rozkład naprężeń wzdłuż osi OX dla płaskiego stanu odkształcenia mają analogiczny charakter jak dla płaskiego stanu naprężenia, różnią się jedynie wartościami w poszczególnych węzłach.

Wykres rozkładu naprężeń wzdłuż osi OY:

Wykres przemieszczenia względem osi OX:

Wykres przemieszczenia wzdłuż osi OY:

Wykres deformacji belki.

Dla wszystkich powyższych wykresów możemy zauważyć podobieństwo z odpowiednimi wykresami dla płaskiego stanu naprężenia, dla tego przykładu największe ugięcie też obserwujemy dla odległości jednej czwartej belki. Wykres deformacji w tym przypadku ma nieco łagodniejszy charakter.

MODEL PRZESTRZENNY 3D

W modelu przestrzennym rozpoczęto od wykonania modelu geometrycznego. Do wykonania modelu geometrycznego w 3D musiałam utworzyć dodatkowe układ współrzędnych (2) i skopiować do niego obraz przekroju belki a następnie utworzyć objętości między powierzchniami.

Następnym krokiem było wygenerowanie na jego powierzchni siatka elementów skończonych. Utworzonej w ten sposób belce nadano cechy materiałowe oraz zadano odpowiednie warunki brzegowe:

Wykres rozkładu naprężeń wzdłuż osi OX:

Podobnie jak w przypadku belki płaskiej największe naprężenia mamy na końcu gdzie przyłożona została para sił o momencie.

Wykres rozkładu naprężeń wzdłuż osi OY:

Największe wartości naprężeń występują w miejscu przyłożenia momentu. W tych miejscach belka jest szczególnie narażona. Moment zadany na początku belki nie ma rozkładów przypadku naprężeń wzdłuż osi OY tak dużego wpływu jak rozkładów innych przypadkach. Jak widać belka ta jest ściskana w miejscu przyłożenia momentu.

Wykres przemieszczenia względem osi OX

Wykres przesunięcia wzdłuż osi OX potwierdzają początkowe założenie-brak jakichkolwiek przemieszczeń w miejscu utwierdzenia. Tak jak w przypadku zagadnienia płaskiego doskonale widać miejsce położenia osi neutralnej belki wspornikowej.

Wykres przemieszczenia wzdłuż osi OY:

Tak jak w przypadku płaskim belka ma zerowe przemieszczenia w miejscu utwierdzenia. Moment i obciążenie ciągłe mają największy wpływ na wartość przemieszczeń.

Napręźenia główne

P1

P2

P3

ROZWIĄZANIE ANALITYCZNE

Strzałka ugięcia dla belki jednowymiarowej została wyznaczona w sposób analityczny metodą Clebscha. Dla zadanej belki wyróżniamy dwa przedziały, pierwszy z nich od 0 do l/2, a następny od l/2 do l. Równania według metody Clebscha:

Warunki brzegowe:

Y(x=0)=0

Y(x=l/2)=0

Z warunków brzegowych obliczone zostały stałe C i D które wyniosły odpowiednio:

C=-85058,33332

D=146484,375

I=2,669·10^-3

Dla x=5 y = 0,0177762 mstąd wniosek że dla liczenia analitycznego najbardziej zbliżony jest model 1d.

WNIOSKI

Projekt miał na celu nauczyć posługiwania się programem Cosmos oraz poprawnej interpretacji otrzymanych wyników.

Wszystkie cztery przypadki wygenerowały zbliżone wyniki. Analizując wykresy strzałek ugięcia dla poszczególnych belek zauważamy że krzywe je opisujące mają podobny charakter, jedynie dla płaskiego stanu odkształcenia strzałka jest mniej wypukła. Różnice wartości ugięć są efektem różnych geometrii. Jeżeli teraz wyniki otrzymane w programie cosmos porównamy z wynikami otrzymanymi w wyniku obliczeń analitycznych, możemy zauważyć że z trzech belek obliczanych w kosmosie najbardziej praktycznie identyczne wyniki ma belka 1d. Na tej podstawie można stwierdzić, że belki zostały zrobione w sposób prawidłowy. Wykonanie każdego modelu wiązało się z innym nakładem pracy, wykorzystaniem różnych funkcji programu a także czasem wykonania.

---