3.Kryterium porównawcze: Jeżeli wyrazy szeregów są nieujemne i an < bn to ze zbieżności szeregu bn wynika zbieżność szeregu an. Z rozbieżności szeregu an wynika rozbieżność szeregu bn. Jako szeregu porównawczego używa się szereg harmoniczny : 3. Kryterium porównawcze w postaci limesowej. Jeżeli dla szeregu o wyrazach dodatnich istnieje właściwa granica to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne. Kryterium 1/n^a.	3. Warunek zbieżności: Jeżeli szereg an jest zbieżny, to . Dowód: an = Sn -Sn-1, jeżeli an jest zbieżne to istnieje granica 3. Kryterium d`Alamberta: Szereg Ean o wyrazach dodatnich jest zbieżny gdy : przy g < ! lub rozbieżny dla g > 1. 3. Kryterium Couchy`ego : Szereg Ean o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy przy g < 1 lub rozbieżny przy g > 1.	3. Kryterium Weierstrassa: Załóżmy, że (fn : n e N) jest ciągiem odwzorowań zbioru X w przestrzeni C. Jeżeli istnieje taki ciąg (an: n e N) nieujemnych liczb rzeczywistych, że : i szereg Ean jest zbieżny, to szereg funkcyjny Efn jest bezwzględnie zbieżny. 3. Kryterium Leibniza Jeżeli ciąg an o wyrazach nieujemnych jest nierosnący i lim an = 0 to szereg naprzemienny jest zbieżny. 3. Wzór Taylora:	3. Szereg liczbowy: Ean jest zbieżny gdy istnieje właściwa granica . Jeżeli szereg an jest zbieżny to posiada sumę Ean =S 3. Szereg geometryczny: Jeżeli a = 0 to szereg Eaq^n-1 jest zbieżny a jego suma = 0. Przy a różnym 0: 1. 2. |q| >= 1 to Sn nie posiada granicy właściwej zatem Eaq^n-1 rozb. 3. Promień zbieżności R: szeregu nazywamy kres górny wartości bezwzględnych wszystkich x dla których szereg jest zbieżny.	4. Twierdzenie Gaussa - Ostrogradzkiego: Jeżeli funkcja P,Q,R są ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi w obszarze domkniętym V, którym jest normalny względem płaszczyzny układu współrzędnych ; brzeg S obszary V jest powierzchnią regularną zamkniętą zorientowaną na zewnątrz, to: 4. Twierdzenie GREENA: Jeżeli funkcje P,Q są klasy C^1 w obszarze normalnym D, brzeg K obszaru D jest dodatnio skierowany gładką krzywą Jordana, to:	4. Czynnik całkujący: Niech * P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 nie będzie równaniem różniczkowym zupełnym. Funkcję μ dwóch zmiennych nazywamy czynnikiem całkującym dla równania * w obszarze D jeżeli spełniony warunek, że równanie: Jest równaniem różniczkowym zupełnym w D. Jeżeli μ = μ(x) wówczas: Jeżeli μ = μ(y) wówczas:
5. Równania różniczkowe liniowe rzędu II. def. * y`` + p(x)y` + po(x)y = f(x) gdzie p, po, f są funkcjami rzeczywistymi ciągłymi w < a , b > . Jeżeli f(x) = 0 to równanie powyższe przyjmuje postać: ** y`` + p(x)y` + po(x)y = f(x) równania liniowego jednorodnego. Wyznacznikiem Wrońskiego dla układu funkcji nazywamy wyznacznuk: Całka ogólna równania * jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego ** i całki szczególnej równania niejednorodnego *. CORN = CSRN + CORJ Do znalezienia CSRN stosuje się metodę uzmienniania stałych. 5. Równania różniczkowe liniowe rzędu II o stałych współcz. r.r II o stałych: * y`` + p1y` + poy = f(x) ** y`` + p1y` + poy = 0 Szuka się rozwiązania ** w postaci y = e^rx : y` = re^rx, y`` = r^2 e^rx po wstawieniu do ** otrzymuje się: r^2e^rx + p1re^rx + poe^rx = 0 /e^rx r^2 + p1r + po = 0 rów. charakterystyczne	1) Δ > 0 dwa pierwiastki rzeczywiste r1 i r2. e^r1x i e^r2x są całkami liniowymi niezależnymi równania **. CORJ = y C1e^r1x + C2e^r2x 2) Δ = 0 wówczas 1 pierwiastek rzeczywisty podwójny ro y1 = e^r0x y2 = xe^r0x 3) Δ < 0 wówczas dwa pierwiastki zespolone: r1 = α + iβ r2 = α - iβ wówczas y1 = e^α^x cosβx y2 = e^α^x sinβx 5. Równania różniczkowe liniowe rzędu n o stałych wsp. y^n + pn-1 (x)y^(n-1) + pn-2 (x)y^(n-2) +...+p1(x)y` + +po(x)y = f(x) r^n + pn-1r^n-1+....+p1r po rów. charakterystyczne 5. Równanie Bernouliego p i q są funkcjami ciągłymi w (a,b), r jest dowolną liczbą rzeczywistą. Przez podstawienie y^1-r= z rów. Bernoul. sprowadzamy do równania liniowego:	5. Równanie różniczkowe zupełne: def: * P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 gdzie lewa strona rów. jest różniczką zupełną pewnej funkcji. Warunkiem koniecznym i wystarcz. by równanie * było różniczką zupełną pewnej funkcji R w obszarze D jest : Jeżeli lewa strona rów. * jest różn. zupeł. funkcji U w obszarze D i Q różne od 0 w D U(x,y) jest całką ogólną rów. *. przez każdy punkt obszaru D przechod. dokładnie jedna krzywa całkowa.	5. Równanie różniczkowe liniowe I rzędu: p i q są funkcjami ciągłymi w przedziale (a,b). jeżeli q(x) = 0 to równanie * nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym. CORN = CSRN + CORJ CORJ znajdujemy metodą zmiennych rozdzielonych. CSRN znajdujemy metodą uzmienniania stałych bądź metodą przewidywań (gdy p(x) = const = p) 3. Promień zbieżności R: szeregu nazywamy kres górny wartości bezwzględnych wszystkich x dla których szereg jest zbieżny.

---