4. 1.CZYM SĄ LICZBY ZESPOLONE. OKREŚL LICZBĘ „i”. LICZBĄ ZES[POLONĄ NAZYWAMY LICZBĘ „ż” W POSTACI Ż =A + Bi GDZIE „A” ORAZ „B” SĄ DOWOLYMI LICZBAMI RZECZYWISTYMI , ZAŚ „i” LICZBĄ, KTÓREJ i^2=-1. LICZBĘ „i” NAZYWAMY JEDNOSTKĄ UROJONĄ ; LICZBĘ „A” NAZYWAMY CZĘŚCIĄ RZECZYWISTĄ LICZBY ZESPOLONEJ I OZNACZAMY A=REŻ ; LICZBĘ „B” NAZYWAMY CZĘŚCIĄ UROJONĄ I OZNACZAMY B=IMŻ 2.ARGUMENT I POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA. DLA KAŻDEJ LICZBY ZESPOLONEJ Ż≠0 ISTNIEJE DOKŁADNIE JEDNA TAKA LICZBA ϕ∈(-π,π), ŻE : Ż = |Ż|(COSϕ+iSINϕ) COSϕ = A/|Ż|; SINϕB/|Z| POSTAĆ Ż = |Ż|(COSϕ+iSINϕ) LICZBY ZESPOLONEJ „Ż” GDZIE ϕ∈R NAZYWAMY POSTACIĄ TRYGONOMETRYCZNĄ, A LICZBE „ϕ” NZYWAMY ARGUMENTEM LICZBY ZESPOLONEJ „Ż” I OZNACZAMY SYMBOLEM ARG Ż. JEŻELI ż≠0 ; ϕ∈(-π,π), TO LICZBĘ „ϕ” NAZYWAMY ARGUMENTEM GŁÓWNYM LICZBY „Ż” I OZNACZAMY arg ż. 3.TWIERDZENIE O ILOCZYNIE I ILORAZIE LICZB ZESP. JEŚLI Ż1 = |Ż1| (COSϕ1 + iSINϕ1);Ż2 = |Ż2|(COSϕ2+iSINϕ2), TO: Ż1Ż2 = |Ż1| |Ż2| (COS(ϕ1 + ϕ2) + iSIN(ϕ1 + ϕ2 )); ORAZ JEŻELI Ż2≠0 , TO: Ż1/Ż2 = |Ż1| / |Ż2| (COS(ϕ1 - ϕ2) + iSIN(ϕ1 - ϕ2 ));	4. WZÓR DE MOIVERE'A. JEŚLI Ż = |Ż|(COSϕ+iSINϕ), TO DLA KAŻDEJ LICZBY n∈N : Ż^n = |Ż|^n(COSnϕ+iSINnϕ), 5. POJĘCIE PIERWIASTKA JEŚLI n∈N, TO PIERWIASTKIEM „n”-TEGO STOPNIA Z LICZBY ZESPOLONEJ „Ż” NAZYWAMY KAŻDĄ TAKĄ LICZBĘ ZESPOLONĄ „W”, ŻE : „W” = Ż. DLA KAZDEJ LICZBY ZESPOL. Ż≠0 ISTNIEJE DOKŁADNIE „n” RÓŻNYCH PIERWIASTKÓW „n” TEGO STOPNIA Z LICZBY ZESP. „Ż”, SĄ NIMI : k∈{0,1,..,n-1} GDZIE ϕ ARGŻ 6. DLA KAŻDYCH LICZB ZESPOLONYCH W,Ż: a)Ż =Ż b)W + Z = W + Z , W Z = W Z c) W - Z = W - Z , (W/R) = W/Z d) |Ż| ≥ 0 , |Ż| = 0 Ż ≠ 0 e) |Ż| = |-Ż| = |Ż| f) |W+Ż| ≤ |W| + |Ż| -NIEROWNOŚĆ TRÓJKĄTA. g) REŻ ≤ |Ż| ; IMŻ ≤ |Ż| h) (|W| - |Ż| ) ≤ |W - Ż| i) |WŻ| = |W| |Z|	3.FUNKCJE 1.ILOCZYN KARTEZJAŃSKI ZBIORÓW JEŚLI X i Y SĄ ZBIORAMI, TO SYMBOLEM XY OZNACZĆ BĘDZIEMY ZBIÓR WSZYSTKICH PAR <x,y>, ŻE x∈X; y∈Y, ZBIÓR TEN NAZYWAMY ILOCZYNEM KARTEZJAŃSKIM ZBIORÓW X i Y <x,y>∈ X×Y x∈X ∧ y∈Y <x,y>∉ X×Y x∉X ∧ y∉Y 2. FUNKCJA ZŁÓŻMY, ZE X i Y SĄZBIORAMI. ZBIÓR f⊂ X×Y NAZWYWAMY FUNKCJĄ OKREŚLONĄ NA ZBIORZE X I PRZYJMUJĄCĄ WARTOŚCI W ZBIORZE Y , GDY DLA KAŻDEGO x ∈X ISTNIEJE DOKŁADNIE JEDEN TAKI PUNKT y∈Y, ŻE <x,y>∈ f. 3. ZACIŚNIĘCIE (RESTRYKCJA) FUNKCJI. JEŚLI f: X→Y ORAZ A⊂X, TO FUNKCJĘ: A→Y OKREŚLAMY WZOREM f/A(X) = f(x) NAZYWAMY ZACIŚNIĘCIEM FUNKCJI „f” DO ZBIORU „A”. 4. FUNKCJA RÓŻNOWARTOŚCIOWA: FUNKCJĘ f: X→Y NAZYWAMY RÓŻNOWARTOŚCIOWĄ f: X→Y GDY 5. FUNKCJA ODWROTNA JEŚLI f: X→Y, TO FUNKCJĘ f^-^1: Y→X OKREŚLONĄ WZOREM: x = f^-1(y) ⇔ y = f(x) DLA KAŻDEGO x∈X i y∈Y NAZYWAMY FUNKCJĄ ODWROTNĄ DO FUNKCJI „f”.	6. ZŁOŻENIE FUNKCJI JEŚLI f:X→Y ; g:Y→Z, TO FUNKCJĘ: g•f:X→Z OKREŚLONĄ WZOREM : (g • f) (x) = g ( f(x) ) NAZYWAMY ZŁOŻENIEM FUNKCJI a) JEŚLI f:X→Y , g:Y→Z , h:Z→T , TO : h • (g • f) = (h • g) •f b) JEŚLI f:X→Y , g:Y→Z, TO: g • f: X→Z c) JEŚLI f:X→Y , g: Y→Z, TO: g • f: X→Z d) JEŚLI f: X→Y, g: Y→Z, TO: g • f: X→Z , (g • f)^-1 = f^-1 • g^-1 7. FUNKCJA „na” JEŚLI f: X→Y, TO ZAMIAST PISZEMY : „f: X→Y”	8. MACIERZE I WYZNACZNIKI 1. CO TO JEST MACIERZ. JEŚLI M i N SĄ LICZBAMI NATURALNYMI, TO FUNKCJĘ A:{1,...,N}×{1,...,N}→K, NAZYWAMY MACIERZĄ (PROSTOKĄTNĄ) NAD CIAŁEM K O M-WIERSZACH I N-KOLUMNACH. OZNACZAMY JĄ PRZEZ [aij]M×N 2. WYZNACZNIK. JEŚLI [aij]N×N ∈ N (K), TO LICZBĘ DET [aij] OKREŚLONĄ WZOREM : Det [aij]N×N = ∑ (sgnσ)aσ(1)1⋅ aσ(N)N NAZYWAMY WYZNACZNIKIEM MACIERZY JEDNOSTKOWEJ (DOWOLNEGO STOPNIA ) JEST RÓWNY JEDEN Det I =1. a) JEŚLI MACIERZ „B” POWSTAŁA Z MACIERZY KWADRATOWEJ „A” PRZEZ PRZESTAWIENIE W NIEJ DWÓCH KOLUMN TO: Det B = - Det A b) JEŚLI DWIE KOLUMNY MACIERZY KWADRATOWEJ SĄ LINIOWO ZALEŻNE, TO WYZNACZNIK MUSI BYĆ ZEREM: DET A = 0 c) TWIERDZENIE COUCHYE'GO O WYZNACZNIKU: JEŚLI A,B SĄ MACIERZAMI KWADRATOWYMI STOPNIA, TO : Det (AB) = (Det A) (Det B) 3. MINOR W DANEJ MACIERZY „A” SKREŚLAMY PEWNE WIERSZE I PEWNE KOLUMNY TAK, ABY ELEMENTY NIE SKREŚLONE UTWORZYŁY MACIERZ KWADRATOWĄ „B”. JEŚLI „B” JEST MACIERZĄ STOPNIA „N” TO WYZNACZNIK Det B NAZYWAMY MINOREM STOPNIA „N” MACIERZY.	4. DOPEŁNIENIE ALGEBRAICZNE MACIERZY. JEŚLI „A” JEST MACIERZĄ KWADRATOWĄ STOPNIA N>1, A MINOR STOPNIA (N -1) OTRZYMANY Z MACIERZY „A” PRZEZ SKREŚLENIE W NIEJ i-TEGO WIERSZA ORAZ j-KOLUMNY, POMNOŻONY PRZEZ LICZBĘ (-1)^i+j NAZYWAMY DOPEŁNIENIEM ALGEBRAICZNYM WYRAZU aij MACIERZY „A” I OZNACZAMY SYMBOLEM Aij 5. ROZWINIĘCIE LAPLACE'A: JEŚLI „A” JEST MACIERZ KWADRATOWĄ STOPNIA N>1, TO DLA DOWOLNYCH LICZB i,j ∈{1,...,N}: Det A= ai1Ai1+...+aiNAiN = a1ja1j+...+aNjANj 6. MACIERZ ODWROTNA. JEŚLI A∈ N (K), ORAZ Det A≠0,TO MACIERZ „A” NAZYWAMY ODWRACALNĄ (NIEOSOBLIWĄ), A MACIERZ „A^-1” OKREŚLONĄ WZOREM : (GDZIE Aij OZNACZA DOPEŁNIENIE ALG. WYRAZU aij MACIERZY „A” DLA i,j ∈ [1,..,N]), NAZYWAMY MACIERZĄ ODWROTNĄ DO MACIERZY „A”. JEŚLI „A” JEST MACIERZĄ ODWRACALNĄ TO : a) AA^-1 = A^-1A = I b) Det(A^-1) = 1/DetA c) (A^-1)^-1 = A
7.RZĄD MACIERZY. NAJWIĘKSZĄ LICZBĘ LINIOWO NIEZALEŻNYCH KOLUMN MACIERZY „A” NAZYWAMY RZĘDEM TEJ MACIERZY I OZNACZAMY SYMBOLEM : „rz A” a) JEŚLI A1,...,AN OZNACZAJĄ KOLEJNĄ (I WSZYSTKIE) KOLUMNY MACIERZY „A”, TO rz A = dim Lin { A1,...,AN} b) ( O RZĘDZIE). RZĄD MACIERZY JEST RÓWNY NAJWIĘKSZEMU STOPNIOWI JEJ NIE ZNIKAJĄCYCH MINORÓW (≠0). c) DLA KAŻDEJ MACIERZY A: rz A^T = rz A d) MACIERZ KWADRATOWA JEST NIEOSOBLIWA ⇔ GDY WRZYSTKIE JEJ KOLUMNY (WIERSZE) SĄ LINIOWO NIEZALEŻNE. e) JEŚLI MACIERZ „B” POWSTAŁA Z MACIERZY „A” PRZEZ : - POMNOŻENIE JEJ KOLUMN PRZEZ LICZBY RÓŻNE OD ZERA, - DODANIE DO PEWNEJ JEJ KOLUMNY KOMBINACJI LINIOWEJ INNYCHCH KOLUMN TO: rzB = rzA 8. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY MACIERZY JEŚLI „A” JEST MACIERZĄ KWADRATOWĄ, TO WIELOMIAN : Det (A-λ1) NAZYWAMY WIELOMIANEM CHARAK. MACIERZY „A” A PIERWIASTKI - PIERWIASTKAMI CHARAK. MACIERZY „A”	9. MACIERZ SYMETRYCZNA MACIERZ KWADRATOWĄ [aij]N×N NAZYWAMY SYMETRYCZNĄ ⇔ GDY aij = aji , DLA KAŻDYCH i,j ∈{1,...,N} TW. JEŚLI MACIERZ KWADRATOWA JEST RZECZYWISTA I SYMETRYCZNA, TO JEJ PIERWIASTKI CHARAKTERYSTYCZNE WSZYSTKIE SĄ LICZBAMI RZECZYWISTYMI. 10. WZORY CRAMERA UKŁAD © NAZYWAMY UKŁADEM CRAMERA ⇔, GDY Det A ≠ 0 TW. CRAMERA: JEŚLI Det A ≠ 0, TO UKŁAD © MA DOKŁADNIE JEDNO ROZWIĄZANIE x1,...,xN W CIELE K : xj = Det Bj / Det A ; DLA j∈{1,...,N} ALBO: JEŚLI Det A ≠ 0, TO ISTNIEJ DOKŁADNIE JEDNO ROZWIĄZANIE UKŁADU: x = Wx/W; y = Wy/W; z = Wz/W W≠ 0 11. MACIERZ TRANSPONOWANA JEŚLI MACIERZ A∈ M×N (K), TO SYMBOLEM : A^T OZNACZAMY MACIERZ, KTÓREJ j-TY WIERSZ JEST RÓWNY j-TEJ KOLUMNIE MACIERZY „A” (j∈{1,...,N} MACIERZ „A^T” NAZYWAMY TRANSPONOWANĄ WZGLĘDEM MACIERZY „A” TW.	1.RACHUNEK ZDAŃ , KRESY. 1.PRAWA DE MORGANA RACHYNKU ZDAŃ. ~(p∧q)⇔~p ∨~q, ~(p∨q)⇔~p∧~q 2.PRAWO ZAPRZECZENIA IMPLIKACJI. ~(p⇒q)⇔p∧~q 3.PRAWO KONTRAPOZYCJI (p⇒q)⇔(~q⇒~p) 4.PRAWA PRZESTAWIANIA KWANTYFIKATORÓW. JEŻELI ϕ(x,y) x∈X: y∈Y JEST FUNKCJĄ ZDANIOWĄ DWÓCH ZMIENNYCH, to: 5. PRAWA DE MORGANA RACHUNKU FUNKCYJNEGO. JEŻELI ϕ(x) x∈X JEST FUNKCJĄ ZDANIOWĄ TO:	6.ZBIORY OGRANICZONE NAZYWAMY: 7.KRES DOLNY JEŚLI MAMAY ZBIÓR C⊂R NIEPUSTY I OGRANICZONY Z DOŁU, TO JEDYNĄ LICZBĄ RZECZYWISTĄ „Z” SPEŁNIAJĄCĄ WARUNEK NAZYWAMY KRESEM DOLNYM ZBIORU „C” I OZNACZAMY INF C. 8.KRES GÓRNY JEŚLI MAMAY ZBIÓR C⊂R NIEPUSTY I OGRANICZONY Z GÓRY, TO JEDYNĄ LICZBĄ RZECZYWISTĄ „Z” SPEŁNIAJĄCĄ WARUNEK NAZYWAMY KRESEM GÓRNYM ZBIORU „C” I OZNACZAMY SUP C. inf N=1 , inf (0,]=0 , sup (0,1]=1	2.OBRAZY I PRZECIWOBRAZY. 1.OBRAZ JEŻELI f:X→Y ORAZ A⊂X TO ZBIÓR f(A) OKREŚLONY WZOREM f(A)={y∈Y;Vx∈A(y=f(x))} NAZYWAMY OBRAZEM ZBIORU „A” WYZNACZONYM PRZEZ f. TW. JEŚLI f:X→Y, ORAZ A,B⊂X, TO : f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B) f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B) f(A) \ f(B) ⊂ f(A \ B) 2.PRZECIWOBRAZ JEŻELI f:X→Y ORAZ C⊂Y TO ZBIÓR f^-1(C) OKREŚLONY WZOREM f^-1(C)={x∈X:f(x)∈C} NAZYWAMY PRZECIWOB. ZBIORU „C” WYZNACZONYM PRZEZ f. TW. JEŚLI f:X→Y, ORAZ C,D⊂Y, TO: f^-1(C ∪ D) = f^-1(C) ∪ f^-1 (D)	10.GEOMETRIA 1. DEF. KĄTA MIĘDZY WEKTORAMI JEŚLI x,y ∈R^N\{0}, TO: arc cos xy/|x||y| NAZYWAMY KĄTEM MIĘDZY WEKTORAMI. TW. JEŚLI ϕ JEST KĄTEM MIĘDZY WEKTORAMI x,y ∈R^N\{0}, TO: cosϕ=xy/|x||y| TW. JEŚLI ϕ JEST KĄTEM MIĘDZY WEKTORAMI (x1,x2),(y1,y2) ∈R^2\{0,0}, TO : SINϕ=|x1y2-y1x2| / |(x1x2)||(y1,y2)| 2.ILOCZYN WEKTOROWY JEŚLI (x1,x2,x3),(y1,y2,y3) ∈R^3, to wektor (x1,x2,x3)×(y1,y2,y3) określony worem NAZYWAMY ILOCZYNEM WKTOROWYM.
6.PRZESTRZENIE LINIOWE. 1. DEF. PRZESTRZENI LINIOWYCH. JEŻELI V JEST ZBIOREM ORAZ +:V×V→V •:K×V→V V-WEKTOR K -LICZBA TO (V,+, •)NAZYWAMY PRZESTRZENIĄ LINIOWĄ NAD CIAŁEM K ⇔ SĄ SPEŁNIONE WARUNKI : 1. + JEST ŁĄCZNE I PRZEMIENNE 2. ISTNIEJE TAKIE Ξ ∈V, ŻE x + Ξ = x ; DLA x ∈V 3. ISTNIEJE TAKIE x ∈V, ŻE x + x` = Ξ ; DLA x ∈V 4.DLA KAŻDEGO x∈V; 1x = x 3. DLA KAŻDEGO x,y ∈V I DLA α∈K α(X+Y)=αX+αY, 4. DLA KAŻDEGO α,β∈K ORAZ DLA KAŻDEGO x∈V (α+β)x =αx + βx (αβ)x=α(βx)= β(αx) 2.DEF. PODPRZESTRZENI LINIOWEJ. JEŻELI (V,+,⋅) JEST PRZESTRZENIĄ LINIOWĄ NAD CIAŁEM „K” TO NIEPUSTY ZBIÓR W⊂V NAZYWAMY PODPRZESTRZENIĄ LINIOWĄ ⇔ GDY: TW. JEŻELI (V,+,⋅) JEST PRZESTRZENIĄ LINIOWĄ NAD CIAŁEM „K” TO ZBIÓR W⊂V JEST JEJ PODPRZESTRZENIĄ LINIOWĄ ⇔ GDY: TW. JEŻELI (V,+,⋅) JEST PRZESTRZENIĄ LINIOWĄ NAD CIAŁEM „K” A ZBIÓR W⊂V JEST PODPRZESTRZENIĄ LINIOWĄ TO (W, +,⋅) TEŻ JEST PRZESTRZENIA LIN. NAD CIAŁEM „K”.	3. WEKTORY LINIOWOZALEŻNE. ZAŁÓŻMY, ŻE (V,+,⋅) JEST PRZESTRZENIĄ LINIOWĄ NAD CIAŁEM „K”. WEKTORY x1...xN NAZWIEMY : LINIOWO ZALEŻNYMI ⇔ ISTNIEJĄ TAKIE SKALARY α1... αN∈K, ŻE KOMBINACJĘ α1x1 +...+ αNxN = Θ ORAZ |α1| + ... + |αN| > Θ 4.WEKTORY LINIOWONIEZALEŻNE . ⇔ GDY WEKTORY SĄ LINIOWO NIEZALEŻNE. TW. WEKTORY x1...xN PRZESTRZENI V NAD CIAŁEM „K” SĄ LINIOWO NIEZALEŻNE ⇔ GDY DLA KAŻDYCH LICZB α1,..., αN ∈K SPEŁNIONY JEST WARUNEK: α1x1 +...+ αNxN = Θ ⇒ α1 = 0,..., αN = 0 4. TW. STEINTZA ZAŁÓŻMY, ŻE WEKTORY x1...xn PRZESTRZENI LINIOWEJ V SĄ LINIOWO NIEZALEŻNE. JEŻELI ZBIÓR M⊂C (m,n) ELEMENTÓW ORAZ x1...xn∈LinM TO n≤m. ZBIÓR M ZAWIERA TAKI (m-n) ELEMENTOWY ZBIÓR M0, ŻE M⊂Lin({x1...xn})∪M0 TW. ZAŁÓŻMY, ŻE WEKTORY x1...xn PRZESTRZENI LINIOWEJ V SĄ LINIOWO NIEZALEŻNE. JEŻELI ZBIÓR M⊂C (m,n) ELEMENTÓW ORAZ x1...xn∈LinM TO: Lim M = Lin{x1...xn}. TW. JEŚLI Lin{x1...xn}= Lin{y1...yn}, TO m = n.	5.BAZA PRZESTRZENI. ZBIÓR B⊂V NAZYWAMY BAZĄ PRZESTRZENI V ⇔, GDY Lin B = V; KAŻDY SKOŃCZONY UKŁAD RÓŻNYCH WEKTORÓW ZE ZBIORU „B” JEST UKŁADEM WEKTORÓW LINIOWO NIEZALEŻNYCH. TW. JEŚLI PRZESTRZEŃ „V” MA BAZĘ ZŁOŻONĄ Z „n” ELEMENTÓW, TO KAŻDA BAZA PRZESTRZENI V MA „n” ELEMENTÓW. 6. PRZESTRZEŃ SKOŃCZENIE WYMIAROWA. JEŚLI PRZESTRZEŃ V MA BAZĘ SKOŃCZONĄ TO LICZBĘ ELEMENTÓW TEJ BAZY NZAYWAMY WYMIAREM PRZESTRZENI V I OZNACZAMY SYMBOLEM dim V PRZESTRZENIE MAJĄCE BAZĘ SKOŃCZONŻ NAZYWAMY SKOŃCZENIE WYMIAROWYMI. PRZY CZYM JEŚLI dim V = n, TO PRZESTRZEŃ V NAZYWAMY n- WYMIAROWĄ. 7. PRZESTRZEŃ NIESKOŃCZENIE WYMIAROWA. PRZESTRZEŃ LINIOWĄ NIE MAJĄCĄ BAZY SKOŃCZONEJ NAZYWAMY PRZESTRZENIĄ NIESKOŃCZENIE WYMIAROWĄ. 8. PRZEKSZTAŁCENIE LINIOWE. PRZEKSZTAŁCENIE PRZESTRZENI F:V→W NAZWIEMY LINIOWYM ⇔, GDY TW.ODWZOROWANIE F:V→W JEST LINIOWE ⇔, GDY:	9. JĄDRO PRZEKSZTAŁCENIA. JEŚLI F:V→W JEST ODWZOROWANIEM LINIOWYM TO ZBIÓR Ker F (JĄDRO F) OKREŚLAMY WZOREM Ker F = {x∈V: F(x) = Θ} NAZYWAMY JĄDREM PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO. TW. JEŚLI F:V→W JEST PRZEKSZTAŁCENIEM LINIOWYM TO Ker F JEST PODPRZESTRZENIĄ LIN. PRZESTRZENI V . TW. JEŚLI JEST PRZEKSZTAŁCENIEM LINIOWYM TO Ker F = {Θ}⇔ F JEST RÓŻNOWARTOŚCIOWE. 10. IZOMORFIZM. IZOMORFIZM PRZESTRZENI LINIOWEJ V NA PRZESTRZEŃ W NAZYWAMY KAŻDE RÓŻNOWATOŚCIOWE ODWZOROWANIE LINIOWE PRZESTRZENI V NA PRZESTRZEŃ W. PRZESTRZENIE LINIOWE (V i W) NAZYWAMY IZOMORFICZNYMI [V≈W] ⇔ ISTNIEJE IZOMORFIZM PRZEKSZTAŁCAJĄCY JEDNĄ Z TYCH PRZESTRZENI W DRÓGĄ. TW. DLA KAŻDYCH PRZESTRZENI LINIOWYCH V,W,Z NAD TYM SAMYM CIAŁEM K: V~V; V~W ⇒ W~V; V~WΔW~Z⇒V~Z TW. JEŚLI F:V→W JEST IZOMORFIZMEM PRZESTRZENI V NA W, A M⊂V JEST BAZĄ PRZESTRZENI V, TO F(M) JEST BAZĄ PRZESTRZENI W.	9.UKŁADY RÓWNAŃ I ROZMAITOŚCI. 1. TW. KRONECKERA - CAPELLEGO. UKŁAD (L) MA CO NAJMNIEJ JEDNO ROZWIĄZANIE x1,...,xN W CIELE K ⇔, GDY : rzA = rzU JEŚLI Det A ≠0 TO UKŁAD MA JEDNO ROZWIĄZANIE. 2.UKŁAD RÓWNOWAŻNY DWA UKŁADY NAZYWAMY RÓWNOWAŻNYMI ⇔, GDY KAŻDE ROZWIĄZANIE JEDNEGO Z NICH JEST ROZWIĄZANIEM DRUGIEGO I NA ODWRÓT. 3. ROZMAITOŚCI ROZMAITOŚCI LINIOWE W PRZESTRZENI R^N NAZYWAMY RÓWNOLEGŁYMI ⇔, GDY MAJĄ ONE TĘ SAMĄ PRZESTRZEŃ KIERUNKOWĄ . 4.RÓWNANIE PARAMETRYCZNE PROSTEJ W PRZESTRZENI R^N. DLA LICZB RZECZYWISTYCH ξ^01,..., ξ^0N ORAZ α1,..., αN SPEŁNIONY WARUNEK |α1| +...+|αN|>0 RÓWNANIA : ξj = ξ^0j +ταj, j∈{1,...,N} 5.RÓWNANIE WEKTOROWE PŁASZCZYZNY PRZECHODZĄCEJ PRZEZ TRZY PUNKTY PRZESTRZENI R^N. x=x^0+τ(y^0-x^0)+τ2(z^0-x^0) 6. RÓWNANIE WEKTOROWE PROSTEJ. JEŚLI WEKTOR W∈R^N, TO RÓWNANIE JEST RÓWNANIEM PR.: x = x^0+τW ; (x+Lin{W})w R^N

---