Twierdzenie Cauchy'ego (rachunek różniczkowy)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ten artykuł dotyczy rachunku różniczkowego. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy'ego.

Twierdzenie Cauchy'ego - jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym. Ma ono ważne zastosowania teoretyczne. Pozwala między innymi oszacować błąd we wzorze Taylora oraz uzasadnić regułę de l'Hospitala. Twierdzenie Cauchy'ego jest uogólnieniem twierdzenia Lagrange'a.

Spis treści [ukryj] 1 Twierdzenie 2 Dowód 3 Wniosek 4 Bibliografia 5 Zobacz też

Twierdzenie [edytuj]

Jeżeli dane funkcje
i
są:

• ciągłe w przedziale domkniętym
  ,

• różniczkowalne w przedziale
  ,

to istnieje punkt
należący do przedziału
taki, że:

Dowód [edytuj]

1. Pierwszy przypadek:
   

• Oznaczmy
  

• Wówczas
  

• Ponadto korzystając z twierdzenia Rolle'a:
  

• Więc dla powyższego
  mamy:
  

• Kończy to dowód tego przypadku, gdyż istnieje
  takie, że:
  

Drugi przypadek:

• Zdefiniujmy:
  

• Niech także:
  będzie określone wzorem:
  

• Wykażemy, że
  spełnia założenia twierdzenia Rolle'a

• Istotnie:

• 
  

• 
  

• Wobec powyższego spełnione jest założenie
  

• Na mocy twierdzenia Rolle'a:
  

• Zauważmy, że:
  

• 
  

• Więc:
  

• Kończy to dowód twierdzenia.

Wniosek [edytuj]

Jeżeli funkcje
i
są:

• ciągłe w przedziale domkniętym
  , różniczkowalne w przedziale
  oraz dodatkowo
  dla
  

to istnieje taki punkt
, że:




---